6.1 Einführung Wenn bei einer Multiplikation lauter gleiche Faktoren auftreten, so wird dafür meistens die Potenzschreibweise gewählt.

Transkript

1 6 6. Eiführug We bei eier Multipliktio luter gleiche Fktore uftrete, so wird dfür meistes die Potezschreibweise gewählt.... Fktore Potezwert Es ist,,, : Bsis oder Grudzhl, R * N,,, : Expoet oder Hochzhl, Bsis der Potez ist Ist die Bsis eier Potez die, ist ds zugehörige Produkt ebeflls. Bsis der Potez ist Ist die Bsis eier Potez die, ist ds zugehörige Produkt ebeflls. Ds Vorzeiche beim Bei positiver Bsis ist der Wert der Potez immer positiv. 4 z. B. 8 z. B. Bei egtiver Bsis ist der Wert der Potez positiv, we der Expoet gerde ist. * N,,, z. B Bei egtiver Bsis ist der Wert der Potez uch egtiv, we der Expoet ugerde ist. * N,,, - - z. B. 8 Achtug, bechte Sie de Uterschied: 9 9

2 6. Additio ud Subtrktio vo Poteze Bei der Additio ud bei der Subtrktio köe ur Poteze mit gleicher Bsis ud gleichem Expoete zusmmegefsst werde. Dbei werde die Koeffiziete ddiert bzw. subtrhiert. Beispiele. 6 b b b 8 b b b. b b b 5 b b 6. Multipliktio ud Divisio vo Poteze Bei der Multipliktio ud Divisio werde zwei Fälle uterschiede. Zum eie köe Poteze gleiche Bse, zum dere gleiche Expoete besitze. Gleiche Bse Multipliktio. Potezstz Beweis m m Poteze mit gleicher Bsis werde multipliziert, idem m die Bsis uverädert lässt ud die Expoete ddiert. Beispiele Wede Sie de. Potezstz :.? b b?.. 5 b b? 4. 5xy xy? 6 5. '?

3 Gleiche Bse Divisio. Potezstz Beweis m m 5 5 Poteze mit gleicher Bsis werde dividiert, idem m die Bsis uverädert lässt ud die Expoete subtrhiert. Beispiele Wede Sie de. Potezstz : 7 5. x : x?. x c c x?. 5 :? 4. x y 4 4x y? Luzer, lte BM-Prüfug (log Nummer 4 obe) x y 6x y x y : 4x y? schrittweise zeige!

4 Schwierigkeit Nr. mit der Formel (. Potezstz) erhält m: Dieses Problem lässt sich ur us der Welt schffe, idem m festsetzt (defiiert): gilt für, der Ausdruck ist icht defiiert! Schwierigkeit Nr. 5 mit der Formel (. Potezstz) erhält m: 5 5 Dieses Problem lässt sich ur us der Welt schffe, idem m festsetzt (defiiert): gilt für b b b b b gilt für, b dere Beweisführug für Schwierigkeit Nr. (über ): 4

5 Gleiche Expoete Multipliktio. Potezstz Beweis b b b bbb b b b b Poteze mit gleiche Expoete ber ugleiche Bse werde multipliziert, idem m die Bse multipliziert ud de Expoete beibehält. Beispiele Wede Sie de. Potezstz :. 5 4?. 4xy xy?. m m x x? 4. m 4 m? ? 5

6 Gleiche Expoete Divisio 4. Potezstz Beweis b b b b b b b b b b Poteze mit gleiche Expoete ber ugleiche Bse werde dividiert, idem m die Bse dividiert ud de Expoete beibehält. Beispiele Wede Sie de 4. Potezstz : :6?. b?. 4x x? 4. 8x 7y? 5. b b? b 4b? 6

7 6.4 vo Poteze 5. Potezstz Beweis m m Hiweis:, somit gilt: 6 Poteze werde poteziert, idem m die Expoete multipliziert. Beispiele Wede Sie de 5. Potezstz :.?. b?.? 4.? 5.? 6. x? x? 7

8 8. x 4? 9. 4 x? x.? ? ? 6.5 Poteze im Überblick Defiitio Potez:... Fktore N ud R Soderfälle: ist icht defiiert Recheregel: m m b b m m : :b :b m m, m Z ud, b R 8

9 6.6 Expoeteschreibweise I Nturwisseschft ud Techik komme oft sehr grosse oder sehr kleie Zhle vor. Zum Beispiel ist die Soe ugefähr 5 m (Meter) vo der Erde etfert oder ei Elektro trägt die elektrische Ldug vo ugefähr.6 C (Coulomb) oder rotes Licht ht eie Welleläge vo.6 m (Meter). Dies sid sehr uhdliche Zhle. Deshlb otiert m diese Werte üblicherweise i der wisseschftliche Schreibweise oder Expoeteschreibweise. So betrge der Abstd zur Soe.5 m, die Elektroeldug.6 9 C oder die Welleläge vo rotem Licht 6. 7 m. Weiter ist es bei icht llzu grosse Expoete üblich, die Zeherpotez i eier Vorsilbe (Vorstz) zu itegriere. So ist der Abstd zur Soe 5 9 m = 5 Gm (=Gigmeter) oder die Welleläge vo rotem Licht 6 9 = 6 m (=Nometer). Die gebräuchliche Vorsilbe sid i der chfolgede Tbelle zusmmegestellt. Für grosse Zhle: Für kleie Zhle: Fktor Vorsilbe Zeiche Fktor Vorsilbe Zeiche Dek d Dezi d Hekto h Zeti c Kilo k Milli m 6 Meg M 6 Mikro µ 9 Gig G 9 No Ter T Pico p 5 Pet P 5 Femto f 8 Ex E 8 Atto Teilweise wird zwische der wisseschftliche ud der techische Schreibweise uterschiede. Bei der techische Nottio sid die Expoete der Zeherpotez immer durch drei teilbr. 6.7 Azeigeformte beim TI Beim TI k ds Azeigeformt zwische «Norml», «Wisseschftlich» ud «Techisch» umgeschltet werde. c, «Eistelluge», «Dokumeteistelluge» betätige ud d «Expoetilformt» uswähle: Wisseschftliche Nottio eier Zhl (SCI): k ; Techische Nottio eier Zhl (ENG): k ; ' 9

10 6.8 Übuge, Frommewiler Löse Sie die folgede Aufgbe: Nummer Seite Bemerkuge 79 (lle) Grudlgebereich 8 (lle) Grudlgebereich 8 (, c, d, f, g ud h) Grudlgebereich 8 (lle) Grudlgebereich 84 (lle) Grudlgebereich 85 (, b, d, e, f, h ud i) Grudlgebereich 87 (lle) Grudlgebereich 88 (, c, e, g) 4 Grudlgebereich 89 (lle) 4 Grudlgebereich 9 (lle) 5 Grudlgebereich 9 (c, d, f, g, i, j, l) 5 Grudlgebereich 9 (freiwillig) 6 Grudlgebereich 9 (freiwillig) 6 Grudlgebereich 94 (, b, d, e, j, l) 6 Grudlgebereich 95 (freiwillig) 7 Grudlgebereich 96 (c, d, f, h) 7 Grudlgebereich 97 (lle) 7 Schwerpuktbereich 98 (lle) 7 Schwerpuktbereich (, c, d, f, h, j, l) 8 Schwerpuktbereich 4 (lle) 9 Schwerpuktbereich 5 (, c, e, f, i) 9 Schwerpuktbereich 6 (c, f, g, i) 9 Schwerpuktbereich 8 (, c, d) 9 Schwerpuktbereich 9 (lle) 4 Schwerpuktbereich (lle), Zeherpoteze 4 Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze 4 Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze 4 Grudlgebereich (lle), Zeherpoteze 4 Grudlgebereich 5, Zeherpoteze 4 Grudlgebereich, Zeherpoteze 4 Grudlgebereich, Zeherpoteze 4 Grudlgebereich

11 6.9 Übuge (lte Aufhmeprüfuge vo Fchhochschule). Fsse Sie zusmme ud vereifche Sie so weit wie möglich. s s r r r s s r? sr s r r s r s (Luzer 995)

12 . Vereifche Sie de Ausdruck ud stelle Sie ds Resultt ls gekürzte Bruch dr ? ist eie positive, gze Zhl 4 6 (Luzer 994)

13 . Bereche Sie de Ausdruck llgemei ud für =. Stelle Sie die Resultte mit Hilfe vo Zeherpoteze dr. 4? (Luzer 985)

14 4. Vereifche Sie de Ausdruck ud stelle Sie ds Resultt ls gekürzte Bruch dr.? ist eie positive, gze Zhl (Luzer 99) 4

15 5. Vereifche Sie de Ausdruck so weit wie möglich. m b :? m b (Ber/Thu 996) 6. Vereifche Sie de Ausdruck so weit wie möglich : 6? 6 6 (Quelle ubekt) 5

16 7. Vereifche Sie so weit wie möglich b b b b :? b b b b 6

17 6. Biomilkoeffiziete Der biomische Lehrstz gibt, wie zweigliedrige Summe (Biome) poteziert werde. Die erste füf Poteze des Bioms + b sid chfolged ufgelistet: b b + b b + b + b b + b + b + b b + 4b + 6b + 4b + b Betrchtet m die Biome i der Summeschreibweise, so erket m folgede Gesetzmässigkeite: Die Azhl der Summde ist um grösser ls der Expoet des Bioms. b b b z. B.. Summde Die Summde sid us ud b gebildete mit Koeffiziete versehee Potezprodukte. Die Summe der Expoete i jedem Potezprodukt ist gleich dem Expoete des Bioms. Der Expoet vo fällt, der vo b steigt mit jedem Glied um. Die Koeffiziete des zweite ud vorletzte Gliedes sid gleich wie der Expoet des Bioms. z. B. Koeffiziet b b b b Dmit ist die Gesetzmässigkeit für die Kostruktio der Pltzhlter ud b gefude. Betrchtet m ur die Koeffiziete, so ergibt sich ds Psclsche Dreieck: = = + Koeffiziet = + + = = Ds Psclsche Dreieck ht eie vertikle Symmetriechse. Zur Berechug der ächste Zeile muss m Rd je eie Eis hizugefügt werde. Die mittlere Elemete ergebe sich jeweils durch Additio der beide schräg drüberstehede. Koeffiziet Koeffiziet Koeffiziet Zusmmefssug Mit dem Psclsche Dreieck sid die Koeffiziete bekt. D die Etwicklug der Expoete der Vrible uch bekt ist, köe Biome mit höhere Expoete direkt otiert werde. 7

18 Beispiel Bereche Sie b 5 mit Hilfe des Psclsche Dreiecks. Lösug: Für die 5. Potez liefert ds Psclsche Dreieck die Koeffiziete: 5 5 somit: b b 5 b b b 5 b b b 5 b b b 5b b Die Methode der Berechug vo Biome ( + b) mit dem Psclsche Dreieck ht de Nchteil, dss m die Koeffiziete der -te Zeile ur bestimme k, we m die vorgehede Zeile ebeflls berechet. Dies k ufwädig werde. Deswege ist eie Formel sehr ützlich, die gestttet, ohe Berechug weiterer Koeffiziete umittelbr eie bestimmter Stelle des Zhledreiecks stehede Biomilkoeffiziete zu erreche. Zu eier solche Formel gelgte Leohrd Euler durch kombitorische Überleguge. Für die Awedug der Formel werde die Zeile des Zhledreiecks ch de Expoete der zugehörige Poteze vo + b ummeriert. Ebeso ummeriert m die Koeffiziete i eier Zeile. Die Eis gz liks steht i jeder Zeile ullter Stelle. Im Sie dieser Vereibrug gb Euler für de Biomilkoeffiziete i der 4. Zeile. Stelle die Drstellug 4 6, i der 8. Zeile. Stelle die Drstellug , i der 5. Zeile 5. Stelle die Drstellug ud llgemei für de Biomilkoeffiziete i der -te Zeile ( > ) k-ter Stelle (k > ) die Drstellug k k k Der Aufbu dieser Brüche ist durch folgede Gesetzmässigkeite gekezeichet: Im Zähler ud Neer stehe Produkte mit der gleiche Azhl Fktore. Diese bilde i de Zähler fllede, i de Neer steigede Folge türlicher Zhle. Die Nummer der Zeile gibt, mit welcher Zhl der Zähler begit. Die Nummer der Stelle et die Azhl der Fktore im Zähler ud Neer ud gibt, womit der Neer edet. 8

19 Für de i der -te Zeile k-ter Stelle stehede Biomilkoeffiziete ht Euler die Abkürzug k (gesproche: über k oder tief k) eigeführt. Spezilfälle bilde die Biomilkoeffiziete, die ullter Stelle i eier Zeile stehe:. Sivollerweise setzt m für beliebiges. Erweitert m de Bruch () mit dem Produkt ( k)!, d köe Biomilkoeffiziete uch mit Fkultäte berechet werde. Die Fkultät eier türliche Zhl ist ds Produkt der türliche Zhle vo bis : Recheregel für die Fkultät:! ud! Zhlebeispiel: k k! ! k k! k! k! k! Es gilt somit: k! k k k k! k! Beispiele Bereche Sie die folgede Aufgbe:. 6!?.!?. 6? k 4. 7? 5 9

20 5 für k ;; ; ; 4; 5 k. 5. Bereche Sie die Biomilkoeffiziete Mit de Biomilkoeffiziete köe die Zhle des Psclsche Dreiecks somit direkt berechet werde. Die vorgehede Zeile müsse dbei icht berechet werde. Allgemei ergibt sich folgeder Zusmmehg: Somit köe uch höhere Poteze der Summe ( + b) mit Hilfe der Biomilkoeffiziete direkt berechet werde: b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

21 Mit dem Summezeiche (Sigm) ud de Biomilkoeffiziete lsse sich Poteze vo + b kompkt schreibe. Biomischer Lehrstz (Summeschreibweise) Für die Zhle, b R ud k, N mit k gilt: b b k k k k Erklärug zum Summezeiche (Sigm) steht für eie vereifchte Schreibweise vo Zhle, die ufsummiert werde. Solle zum Beispiel Zhle summiert werde (x + x + x + + x ), ud zwr vom. bis -te Wert, k folgede Schreibweise beutzt werde: Edwert i Lufvrible (Lufidex) Fuktio bzgl. der Lufvrible x x x x x i Strtwert Beispiele. Bereche Sie die erste 4 Werte der 6. Zeile des Psclsche Dreiecks.. Bereche Sie x 5.

22 . Bereche Sie x 5y. 4. Bereche Sie die erste 4 Summde vo x 7y 7.