Hans Walser, [ a], [ ] Fibonacci und Pascal

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1 Hans Walser, [0022a], [0303] Fibonacci und Pascal Worum geht es? Bekanntlich führen die Schrägzeilensummen im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten zu den Fibonacci-Zahlen. Es wird untersucht, was bei einer Veränderung der Steigung geschieht. 2 Disposition Damit wir die Steigung gut definieren können, wird das Pascal-Dreieck mit Linksanschlag dargestellt Pascal-Dreieck mit Linksanschlag

2 Hans Walser: Fibonacci und Pascal 2/ Die Rekursion der Biomialkoeffizienten kann wie folgt visualisiert werden: 2 n+ n ( k+) = k n ( ) + ( k+ ) grün = blau + rot

3 Hans Walser: Fibonacci und Pascal 3/ 3 Schrägzeilen Die Steigung der Schrägzeilen können wir nun wie gewohnt definieren. Für die Steigung 0 erhalten wir horizontale Zeilen und damit die Zeilensummen Zeilensummen

4 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / Nach der Rekursion für die Binomialkoeffizienten ist jedes Element der Zeile n + die Summe zweier Elemente der Zeile n (außerhalb des Pascal-Dreiecks muss man sich Nullen dazu denken) Wie sich die Elemente der Zeilen zusammensetzen Daher haben wir für die Zeilensummen die Rekursion a n+,0 = a n,0 + a n,0 = 2a n,0.

5 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / 3. Steigung Für die Steigung erhalten wir die Fibonacci-Zahlen Steigung Diese haben die Rekursion a n+, = a n, + a n,. Dies kann sofort eingesehen werden: Jedes grüne Element ist die Summe eines blauen und eines roten Elementes.

6 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / grün = blau + rot Als Referenz an den goldenen Schnitt definieren wir noch die Quotientenfolge q n, = a n+, a n,. Die Tabelle zeigt die ersten Werte. a[,] = q[,] = =.0 a[2,] = q[2,] = 2 = 2.0 a[3,] = 2 q[3,] = 3/2 =. a[,] = 3 q[,] = /3 =. a[,] = q[,] = / =. a[,] = q[,] = 3/ =.2 a[,] = 3 q[,] = 2/3 =.3 a[,] = 2 q[,] = 3/2 =.0 a[,] = 3 q[,] = /3 =.0 a[0,] = q[0,] = / =. a[,] = q[,] = / =.2 a[2,] = q[2,] = 233/ =.0 a[3,] = 233 q[3,] = 3/233 =.02

7 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / a[,] = 3 q[,] = 0/3 =.033 a[,] = 0 q[,] = /0 =.032 a[,] = q[,] = / =.03 a[,] = q[,] = 2/ =.0333 a[,] = 2 q[,] = /2 =.030 a[,] = q[,] = / =.0333 a[,] = q[,] = 0/ =.033 Die Quotientenfolge q n, strebt gegen den goldenen Schnitt: x = lim q n, = τ = Steigung 2 Für die Steigung 2 sieht die Sache so aus: Steigung 2

8 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / Offenbar gilt die Rekursion a n+,2 = a n,2 + a n 2,2. Wir benötigen drei Startwerte. Auch diese Rekursion kann visualisiert werden Tabellarisch: grün = blau + rot a[,2] = q[,2] = =.0 a[2,2] = q[2,2] = =.0 a[3,2] = q[3,2] = 2 = 2.0 a[,2] = 2 q[,2] = 3/2 =. a[,2] = 3 q[,2] = /3 = a[,2] = q[,2] = 3/2 =. a[,2] = q[,2] = 3/2 =. a[,2] = q[,2] = 3/ =. a[,2] = 3 q[,2] = /3 =.32 a[0,2] = q[0,2] = 2/ =.32 a[,2] = 2 q[,2] = /2 =.2 a[2,2] = q[2,2] = 0/ =.33

9 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / a[3,2] = 0 q[3,2] = 22/ =. a[,2] = q[,2] = 2/ =.00 a[,2] = 2 q[,2] = 3/3 =.2 a[,2] = q[,2] = 2/ =.0 a[,2] = 2 q[,2] = 0/2 =.03 a[,2] = 0 q[,2] = / =.2 a[,2] = q[,2] = 2/ =.2 a[,2] = 2 q[,2] = 3/3 =.33 Wie groß ist x 2 = lim q n,2? 3.3 Steigung Steigung 3 Wir erhalten die Rekursion a n+,3 = a n,3 + a n 3,3 und benötigen vier Startwerte.

10 Hans Walser: Fibonacci und Pascal 0/ Tabelle: grün = blau + rot a[,3] = q[,3] = =.0 a[2,3] = q[2,3] = =.0 a[3,3] = q[3,3] = =.0 a[,3] = q[,3] = 2 = 2.0 a[,3] = 2 q[,3] = 3/2 =. a[,3] = 3 q[,3] = /3 = a[,3] = q[,3] = / =.2 a[,3] = q[,3] = / =. a[,3] = q[,3] = 0/ =.22 a[0,3] = 0 q[0,3] = / =. a[,3] = q[,3] = / =.32 a[2,3] = q[2,3] = 2/ =.33 a[3,3] = 2 q[3,3] = /3 =.33 a[,3] = 3 q[,3] = 2/ =.3 a[,3] = 0 q[,3] = /0 =.3

11 Hans Walser: Fibonacci und Pascal / a[,3] = q[,3] = / =.3 a[,3] = q[,3] = 3/ =.33 a[,3] = 3 q[,3] = /3 =.33 a[,3] = q[,3] = / =.32 a[,3] = q[,3] = /0 =.3 Allgemein Für die Steigung m benötigen wir m + Startwerte und erhalten die Rekursion: a n+,m = a n,m + a n m,m Der Beweis läuft analog zu den oben visualisierten Fällen. Formal können wir die Zahlen a n,m direkt aus den Binomialkoeffizienten berechnen: Grenzwerte Wie groß ist: a n,m = n m+ k=0 n mk ( k ) a x m = lim n+,m = lim a q n,m n,m Aus der Rekursionsformel a n+,m = a n,m + a n m,m erhalten wir: a n+,m = a n,m + a n m,m a x m = lim n+,m a n,m = lim + an,m an m,m = + lim! an,m an,m an 2,m an m+,m an,m an 2,m an 3,m an m,m " $$$$$$ # $$$$$$ % m Faktoren a x m = lim n+,m = +! a n,m an,m an,m an 2,m an m+,m lim lim lim lim an,m an 2,m an 3,m an m,m " $$$$$$$$$ # $$$$$$$$$ % m Faktoren Der Limes x m ist also eine positive reelle Lösung der Gleichung: z = + z m oder z m+ = z m + Mit dem Startwert erhalten wir nach der Methode von Newton-Raphson: = + x m m x[0] = 2.0 x[] =.033 x[2] =.232 x[3] =.302 x[] =.32 x[] =.2033 x[] =.222 x[] =.233

12 Hans Walser: Fibonacci und Pascal 2/ x[] =.2323 x[] =.3 x[0] =.2322 x[] =.20 x[2] =.3 x[3] =.3 x[] =.02 x[] = x[] =.2 x[] =.23 x[] =.20 x[] =.0 x[] =. Vermutlich ist lim x m =. m Gestörte Kreisteilung Heuristisch kann dies wie folgt überlegt werden: Die Gleichung z m+ = z m + ist eine durch dem Summanden z m gestörte Kreiseilungsgleichung z m+ =, deren Lösungen die m + ( ) -ten Einheitswurzeln sind. Im folgenden sind die Lösungen in! von z m+ = z m + für einige Werte von m dargestellt. Wir erhalten jeweils m + Lösungen. Zum Vergleich ist auch der Einheitskreis eingezeichnet.

13 Hans Walser: Fibonacci und Pascal 3/. m = 3 m = 3

14 Hans Walser: Fibonacci und Pascal /.2 m = m =

15 Hans Walser: Fibonacci und Pascal /.3 m = m = Die Punkte liegen nun beinahe auf dem Einheitskreis. Interessant ist die Spitze bei der in unserem Kontext relevanten positiven reellen Lösung.

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