2 Multiplikation. 2. Berechne die folgenden Terme: a) 2x 2 2x = 2(x 2 x) b) 2x 5 + x 4 c) 6a 2 b + 3a 2 = 3(2a 2 b + a 2 ) d)

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1 Urs Wyder, 4057 Basel Algebra : Lösungen 1 Addition und Subtraktion 1. Vereinfache die folgenden Terme: 37x + 0x 5a + 34b + 17ab x + 45xy 3x + 50y. Vereinfache die folgenden Terme: 48x + 4 = 4(x + 1) 6x + 14y = (3x + 7y) 1a + 18abc = 3(7a + 6ab 5x + 5 = 5(x + 1) 3. Vereinfache die folgenden Terme: 3a + 5 x 10y 3ab 5 3g 14h 5k f) 13u + 5v 4. Vereinfache die folgenden Terme: 3m 7n 3m 3n + 7 = 3(m n) + 7 a 3 = (a + 3) 4x x f) x + y 5. Vereinfache die folgenden Terme: 60a 71b 40m + 3m + 3 a 0 0a + b + 49c 9 f) 43a + 6 1

2 Multiplikation 1. Berechne die folgenden Terme: 6x 9x 3x 3 + 3x 4ab 36 4a b + 8ab x 3 + 6x f) 5x + 10x 15 g) x 4 y x 3 y h) a + ab a i) 6x 3 + 6x = 6(x 3 + x ) j) a 4 4a 3 = (a 4 a 3 ). Berechne die folgenden Terme: x x = (x x) x 5 + x 4 6a b + 3a = 3(a b + a ) 15 a3 3 a = 3 (5a3 a ) 16x 3 + 4x = 8(x 3 + 3x ) f) x 4 y x 3 y = x 3 y(x 1) g) 9x 3 + 7x y = 9x (x + 3y) h) 35 6 a b i) x j) 11 a 3. Fülle die folgende Tabelle aus: x y x 3y x 1 y x 1 x3 4x y y xy Berechne die folgenden Terme: x + 4x a 5 4 3x x3 + 3 x 4a 3 + a + 3a a b + 9ab f) 10m n m n + m 11 g) 5 a a b + 3ab 1 h) 18 x3 y + 1 x3 y + xy + 9x i) 10x + 17x + 6 j) 5 4 a b + 43abcd + 4 6c d

3 5. Berechne die folgenden Terme: x 9 x 5 x3 3x 5x 6 4x 7x 6 7a 5 ab 6b 3x 48x 1 f) 5 x + 11x (x + 11x + 1) g) 3x x + 55x 4 h) x3 + 5x + 13x i) 1 x + 5xy y 6. Berechne die folgenden Terme: 16m + 7n + 4mn + 34m x 3 x 5x 3x 3 10x x 19a b 10a 14ab 14a 8 7. Vereinfache die folgenden Terme: a a a a a f) a 4 8. Vereinfache die folgenden Terme: a 5 a 4 a 7 a 5 a 6 f) a 6 9. Es sei a =. Berechne die folgenden Terme: f) Es sei n N. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: 1 x 1 x 1 x 3 1 x 4 1 x 5 f) 1 x 6 g) 1 x n 3

4 11. Berechne die folgenden Terme: xy = (xy 1) g h + 7gh + 5 b + 7bc c u 16u u4 v Berechne und vereinfache die folgenden Terme: a + ab + a + b x 3 + y 3 + x y + xy 3x 6y v 3 5v + 5v + x 4 4x 3 + 6x 4x + 1 m n + mn + 3m n + m n + 3mn f) z 5 + z 4 13z 3 z + 5z Berechne und vereinfache die folgenden Terme: x 3 + 7x 10x 1ab a b 3ab 3 Binomische und trinomische Formeln, Pascal sches Dreieck 1. Berechne mittels binomischer Formel: x + xy + y x + 6x + 9 4x + 4x + 1 9a b + 1ab + 4 m + m f) x 4 y 6 + 4x 3 y 3 + 4x. Berechne mittels binomischer Formel: x xy + y x 6x + 9 9x 1xy + 4y 4a b 1a b + 9a 9 4 a 3 a f) m 4 n 4 m 3 n 3 + m n 3. Berechne mittels binomischer Formel: 4x + 3x + 64 x 9y 9a b 1a b + 4a 5x + 10x 3 + x 4 16m + 80m f) e 5f 4

5 4. Weshalb ist (a+ nicht das gleiche wie a +b? Was muss erfüllt sein, damit Gleichheit gilt? Begründe und mache Beispiele! Antwort: Bei (a + gibt es neben a und b noch den sogenannten Mischterm ab. Um die Bedingung für die Gleichheit zu finden, werden die beiden Terme gleich gesetzt und vereinfacht: (a + = a + b a + ab + b = a + b a b ab = 0 : ab = 0 Gleichheit gilt also nur, wenn a oder b gleich Null ist (oder beid. 5. Berechne mittels binomischer Formel: x y 4x 1 5 y 5t 9s x y4 9m n6 f) 11g h k 1 g) m 4 n 4 m 3 n 3 + 4m n h) 1 a b c i) 5a 5a j) x 4xy + 4y 4 6. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: 8xy 10a 50 c + 6ac n 8mn 4a Überprüfe die Richtigkeit der folgenden Gleichungen: richtig richtig richtig 5

6 9. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: x + 4y + 9z + 4xy + 6xz + 1yz 4x + y + 9z 4xy 1xz + 6yz a b + a + 9b + a b + 6ab + 6ab 16a b + 4a + 9b 16a b 4ab + 1ab 4s + 1.5t +.5u + 14st 6su 10.5tu f) 5t + 9x st 1s 0t 10. Berechne und vereinfache die folgenden Terme: 1 4 x + 4y + 4 xy + x 8y x y z + xy + xz + 3yz a4 10a 3 a + 4a + 1 a 6 a a4 + a 3 a a + 9b c + 4ab ac 3bc 3 1 f) 4 x + y + 4 xy x + 4y Berechne die folgenden Terme mit Hilfe des Pascal-Dreiecks: x 7 + 7x 6 y + 1x 5 y + 35x 4 y x 3 y 4 + 1x y 5 + 7xy 6 + y 7 16x x 3 y + 16x y + 16xy y 4 43a 5 405a a 3 90a + 15a 1 81x x x + 96x x 4 y x 3 y x y + 16xy + 1 f) a 5 15a 4 b + 90a 3 b 70a b ab 4 43b 5 g) 64x 6 19x 5 y + 40x 4 y 160x 3 y x y 4 1xy 5 + y 6 h) a 8 8a 7 + 8a 6 56a a 4 56a 3 + 8a 8a Berechne die folgenden Terme mit Hilfe des Pascal-Dreiecks: 15s s t + 60st + 8t 3 m 5 10m 4 40m 3 80m 80m 3 = (m m m m + 80m + 3 8a a b 54ab + 7b 3 3x x 4 + 0x 3 + 5x + 5x a3 + 3 a b + 1 ab b3 Hinweis zu 1b: ( m) 5 = ( 1) 5 ( + m) 5 = (m + ) 5 6

7 4 Faktorzerlegungen (Faktorisierung) 4.1 Einfaches Ausklammern 1. Faktorisiere die folgenden Terme: 3x(x 1) 13a(a + 1) ab (ab 1) 5(f 3fg + 5g) mn(4n + 5) f) 7x( x + 3y + 1) g) x 3 (x + 1)(x 1)(x + 1) h) s(t + ) i) 5s(s 3) j) 1x 3 y z(4x + 3yz) k) (x ) l) 8a(b + 4c + 3b m) 10(10a + 1) n) 3x 3 y 4 (3x 3 + y 4). Faktorisiere die folgenden Terme: 6a (3a 5) 9a b(5a 1) 5p(5q + 4) 11t(4su 3s ) x (3x + 4) f) a( b c + b g) e(e + ) h) 9w(8w 4w + 5) i) 10a (3a ) j) 7x(x y) k) 4x(y 4) l) 1t(3r s) m) (a + n) 6(abc + xyz) o) 8w(11w 10) p) 67s (s 1) 7

8 4. Faktorisierung mittels binomischer Formeln 1. Faktorisiere die folgenden Terme mit Hilfe der drei binomischen Formeln: (x + y) (x + ) (y + 1) (x + 1) (ab + f) (x 3y)(x + 3y) g) (m n) h) (3ab + i) (10x 1)(10x + 1) j) (3x 1) k) (mn 3) l) (3xy z)(3xy + z). Faktorisiere die folgenden Terme mit Hilfe der drei binomischen Formeln: (x y)(x + y) (3a + 1) (3a + 1) 3(x 5y) y(x + 1) f) 3(4a 5(4a + 5 g) a(10m 1)(10m + 1) h) x(10x 1) i) ab(a + b j) a(ab 3)(ab + 3) k) (x + y )(x y)(x + y) l) a(t 1)(t + 1)(t + 1 m) 8x 4 y + 8x y + y n) c(a o) a(4a 5(4a + 5 p) x 4 z(13xz 1y)(13xz + 1y) 3. Beweise die folgende Behauptung: 46 1 = (1 46 ) = (1 4)( = 3( ) 4. n 3 n = n(n 1) = n(n 1)(n + 1) = (n 1)n(n + 1) 4.3 Faktorisierung mit Zweiklammeransatz 1. x + px + q (x + (x + = x + (a + x + ab p = a + b, q = a b 8

9 . Faktorisiere mittels Zweiklammeransatz: (x + )(x + 1) (y + )(y + 3) (y + 1)(y + 6) (a + 3)(a ) (m 3)(m 8) f) (s + 1)(s + 1) g) (m + 4)(m 6) h) (h + 7)(h 3) i) (x + 1)(x + 3) j) (3a + )(a + 3) k) (5x + )(x + 1) l) (3m )(m 5) m) (7a + 3(a + 3 n) (6m + 5)(5m + 4) o) (3n + 5)(n 7) p) (7a + (3a + 3. Faktorisiere mittels Zweiklammeransatz: (x + )(x + 1) (a + (a + 3(m 5)(m 4) a(x + )(x + 4) t(s + 1)(s + 5) f) (x + 3)(x + 4) g) 4(m 7)(m + 6) h) 5a(n 15)(n ) i) 5(x 1)(x + ) 4. Lösung durch Faktorisierung mit Zweiklammer-Ansatz: 3x + 1x 180 = 0 x + 7x 60 = 0 (x + 1)(x 5) = 0 = L = { 1, 5} 5. Gleichung: (x + )(x + 9) = 144 Ausrechnen und faktorisieren: x + 11x + 18 = 144 x + 11x 16 = 0 (x + 18)(x 7) = 0 = L = { 18, 7} 9

10 4.4 Faktorisierung durch doppeltes Ausklammern 1. Faktorisiere die folgenden Terme durch doppeltes Ausklammern: (a + (a + ) (m + n)(m + 3) (m + n)(m + 5) (a + (c + (x + )(y 3) f) (3x y)(x + 1) g) (11a (a 1) h) (3x + )(a 1). Faktorisiere die folgenden Terme durch doppeltes Ausklammern: (x + )(y + 3) x(x + )(x + 1) 3(3a + (c + x(3x + )(y + 1) d(3ab ac + bc 6c ) f) (a + 1) (a 1)

11 5 Division 5.1 Vorzeichenregel 5. Einfache Divisionen 1. Führe die folgenden Divisionen aus: a f) 68 g) 4a 3 b h) 4y i) 4a j) 5x Division von Summen und Differenzen Der Dividend ist eine Summe, der Divisor ein Faktor. Führe die folgenden Divisionen aus: 3x + 4 8b 4 x y + 3 3(a 3 5x + 1 f) 3x + g) v (3v ) h) 5t + 3 i) x (x + 3) j) 1 3 x(x4 3x + 4) k) (a + 3) l) 5a 4a Zähler und Nenner sind Summen oder Differenzen 1. Vereinfache die folgenden Brüche: 7 n + a + b 3 f) x x y 11

12 . Vereinfache die folgenden Brüche: f) a + 1 a + 4 x + 1 x a + b a + 3 x + 3 x + y x + 4 x(x ) x 3 x(x 1) g) (x + 1)(x 1) h) i) 4x + 1 x + 1 a a + 1

13 3. Vereinfache die folgenden Brüche: 1 a + a + 3 f) g) h) i) a + 5 3a + 1 a + a + 3 mn t c + 3 x + 5y z x 3 x a + 3b x 5 1. Löse mit Hilfe des Divisionsalgorithmus: x + x + a + 3a + 4 x 3 + x + 3 a 3 b + 3a + b 3a 4 a 3 + 3a + 4 f) 8x + 3x x+1 g) 7m 9m

14 6 Bruchterme und Gleichungen mit Bruchtermen 6.1 Kürzen von Bruchtermen 1. Vereinfache die folgenden Brüche: x x + x + 3 a c a + 1 a 3 f) x + 3 x + 1 g) a + b x + h) 1 x 1 i) x + 7 x + 1 j) a 3 a + b 14

15 k) x + 1 5x l) x 3 3 m) m + 7 m 7 n) x + 3 5x o) a + 3b a + b p) x 11 x 5 q) (7a + 4 3a + b r) 3 (a + 3) a 3 s) m + n m n t) x y x u) x + 5 x 4 v) ( x + 9 ) 15

16 6. Erweitern von Bruchtermen. Vereinfache die folgenden Brüche: f) 5 = = x y = 6x 4xy ab 3c = 6abd 9cd 3x 4 = 9x5 1x 4 x y = 3x4 y 3 6x y 4 g) x + y x = xy + y xy = y (x + y) xy h) 5x = 5xyz 5yz i) x y + 1 = (x ) (y 1) y 1 16

17 6.3 Addition von Bruchtermen 3. Addiere die folgenden Bruchterme: 6a + b 15 (x + 1)(10x 3) 4x y x x(x 1) f) 4xy (x + y)(x y) 5x + xy y x(x y) 4. Addiere die folgenden Bruchterme: 3x (x + 1)(x 1) 17 1(x + 3y) x (x 4) (x 3) 4xy (a + (x y) 17

18 5. Addiere die folgenden Bruchterme: 4 + a 4 a 6 (x ) 1 x + y (x y) (x + y) 3x + x + 3 (x + 3)(x 3) f) 7 4(a g) h) 6x 3 + 1x + 7x 41 (x + 4)(3x 1) x x 3 (x + 1)(x 1) 6. Addiere die folgenden Bruchterme: a + ab + b ab(a + x 1 a (x m) x(a x)(a + x) f) x + y 64x (x ) (x + ) g) h) x + 3 (1 x) 5a + a 9 (a + 1)(a + 3)(a ) 18

19 6.4 Multiplikation von Bruchtermen 7. Multipliziere die folgenden Bruchterme: 3(x + 3) 4 a 3 35 x + 3x 3 a + 3 3(a + 7) 8. Multipliziere die folgenden Bruchterme: 3 3(x + ) x + 3 (a 3 a(a + x(x y) 9y 9. Multipliziere die folgenden Bruchterme: a + b x + xy + y x + y 1 4 x + 1 x + 1 x y x 4y (x y) (x + y) f) x (x ) g) h) a 4(a 1) (x + ) 3 x 3 19

20 6.5 Division von Bruchtermen 10. Dividiere die folgenden Bruchterme: x(x ) 3xy z 5a b a b 11. Dividiere die folgenden Bruchterme: ( ) bc a x 3 x(x + 5) (x + 1)(x 1) 5y (a + 3)(b 1) b x x y 1. Dividiere die folgenden Bruchterme: x + 1 3y(x 1) (3x )(3x + )(x y) 1 x (x + 3)(5x 3)(5x + 3)

21 Doppelbrüche 14. Vereinfache die folgenden Bruchterme so weit als möglich: f) g) a + 1 b 1 4(x + 3) (x 4)(x 1) a 1 4a (x + 1) 3x (x 1)(x y)(x + 1) 4z 5 a(x y) 3 5(x y) 3a 6.6 Kreuzworträtsel Lösungswort: Euler 6.7 Gleichungen mit Bruchtermen 15. Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen. D = R \ {4, 5}, L = { 4} D = R \ { 3, 3}, L = { } D = R \ {0}, L = { 5 8 } D = R \ {1}, L = {3} D = R \ {, }, L = R\{, } f) D = R \ { 3, 1, 3 }, L = {19 4 } g) D = R \ { 4 3 }, L = {3 } h) D = R \ { 1, 0}, L = { 17 4 } 1

22 16. Bestimme die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen. D = R \ { 3, 3}, L = {1} D = R \ { 5, 5 }, L = { 5 6 } D = R \ { 1, 0, 3}, L = {±i} D = R \ {0, 1}, L = { 1 } D = R \ { 5, 8}, L = { } f) D = R \ {0, 5}, L = { 7 7 } g) D = R \ { 3, ±4}, L = {0} h) D = R \ { 1 }, L = {} (alte Version: 8 13 ) 18. Die zwei aufeinanderfolgenden Zahlen sind 3 und Stunden Minuten ( 9.3 Minuten) Arbeitstage

23 7 Wurzeln 1. Vereinfache die folgenden Wurzeln: f) 5 3 g) 0 h) 7 7. Rationalisiere die Nenner der folgenden Brüche: f) g) ( + ) h) 3 i) 1 + k) 3 3. Schreibe die folgenden Wurzeln als Potenzen: x 1 4 f) a 1 3 g) x 1 x h) 1 5 i) 8 1 k) Schreibe die folgenden Potenzen als Wurzeln und vereinfache so weit als möglich: g) = 1 3 x f) x a y x a h) 1 c a b 5. Rechengesetz anwenden: n x = x 1 n 1/ x = x 1 1 = x 3

24 6. Schreibe die folgenden Wurzeln als Potenzen und vereinfache so weit als möglich: x 3 x 3 a 1 = a a 3 a 7 f) q Schreibe die folgenden Potenzen als Wurzeln: a 11 f) 10 x 3 8. Multipliziere die folgenden Wurzeln. Schreibe das Resultat als Wurzel und als Potenz. 4 5 x 3 x 13 6 = 6 x 13 x 1 3 y 1 5 f) a 9. Bestimme die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Wurzelgleichungen: D = {x R x 6 }, L = { 3 } D = {x R x 1 }, L = { 3 } D = {x R x 1 }, L = { 17 } D = {x R x 7 3 }, L = { 44 } D = {x R x 5 }, L = { 6 } f) D = {x R x 11 }, L = { 16 } g) D = {x R x 0 }, L = { 1 } h) D = {x R x 4 }, L = { 5 } 4

25 i) D = {x R x 1 }, L = { 10 } j) D = {x R x }, L = { } k) D = {x R 5 x 5 }, L = { 5 } l) D = {x R 5 < x < 5 }, L = { 5 } m) L = { } n) D = {x R x }, L = { 5 } o) D = {x R x 5 3 }, L = { 10, 18 } 5