Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Prof. Dr. Christian Wieners, Dipl.-Math. techn. Daniel Maurer

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1 Institut für Angewandte und Numerisce Matematik Prof. Dr. Cristian Wieners, Dipl.-Mat. tecn. Daniel Maurer Numerisce Matematik für die Facrictungen Informatik und Ingenieurwesen Lösungen zur Klausurvorbereitung Sommersemester 0 Kapitel (Grundlagen der Aritmetik) Formen Sie die Ausdrücke (a) + x x + x für x (b) x + x x x so um, dass ire Auswertung gutartig (d.. keine Auslöscung) ist. für x (a) Für x 0 streben beide Summanden gegen und es tritt Informationsverlust durc Auslöscung auf. Besser ist + x ( x)( + x) ( + x)( + x) = x ( + x)( + x) (b) Für x tritt Auslöscung auf. Besser ist Kapitel ( + x ) (x x ) x + x + x x = x ( x + x + x x (Direkte Lösungsverfaren für lineare Gleicungssysteme) (a) Berecnen Sie die Determinante und die LR-Zerlegung der Matrix (b) Nennen Sie zwei Eigenscaften einer Matrix A, damit eine Colesky-Zerlegung existiert. (c) Nennen Sie die Dimension und Eigenscaften der Matrizen Q und R einer QR- Zerlegung einer Matrix A R K N. Nennen Sie zwei Transformationen zur Erstellung einer QR-Zerlegung. ) (a) Die Zerlegung ergibt L = 0 R = Als Determinante ergibt sic somit det(a) = 3 = 6. (b) Für symmetrisc (und) positiv definite Matrizen existiert eine Colesky-Zerlegung. (c) Q R K K ist ortogonal mit Q T Q = I K. R R K N ist eine obere Rectecksmatrix R[k, n] = 0 für k > n. Als Transformationen eignen sic Givens-Rotation und Houseolder-Spiegelung. Kapitel 3 (Lineare Ausgleicsrecnung) Gegeben Sei ein Gleicungssystem Ax = b. Geben Sie die Normalengleicung an und formulieren Sie mindestens zwei Eigenscaften dieser Normalengleicung. Die Normalengleicung lautet A T Ax = A T b. Eigenscaften: Die Normalengleicung ist immer lösbar. Wenn A T A invertierbar ist, ist die Lösung eindeutig. x ist Lösung der Normalengleicung genau dann, wenn: x minimiert Ax b Kapitel 4 (Eigenwertberecnung) (a) Geben Sie die Vektoriteration zur Berecnung eines Eigenvektors zu einem einfacen, betragsmäßig größten Eigenwert an. (b) Wie siet eine Hessenberg-Matrix H R N N aus? Wie siet eine symmetrisce Hessenberg-Matrix aus? (c) Nennen Sie zwei Verfaren aus der Vorlesung, in denen Hessenberg-Matrizen eine Rolle spielen. Was soll jeweils berecnet werden? (a) S0) setze w 0, k = 0 S) berecne v k = Aw k und normiere: w k+ = v k vk S) setze k := k + und gee zu S). (b) Eine Matrix H R N N eißt Hessenberg-Matrix, wenn H[n + : N, n] = 0 (alle Einträge unteralb der ersten Nebendiagonalen sind gleic Null). Eine symmetrisce Hessenberg-Matrix ist tridiagonal.

2 (c) QR-Iteration (mit Sift): Berecnung (aller) Eigenwerte, GMRES-Verfaren: Lösung eines Gleicungssystems Ax = b. Kapitel 5 (Iterationsverfaren für lineare Gleicungen) (a) Die Matrix A sei zerlegt in A = L + D + R mit L strikte untere Dreiecksmatrix, R strikte obere Dreiecksmatrix und D Diagonalmatrix. Gegeben sei das Fixpunktverfaren x k+ = x k + B(b Ax k ), mit B als Vorkonditionierer. Wie siet B aus für das Gesamtscrittverfaren (Jacobi) bzw. das Einzelscrittverfaren (Gauss-Seidel)? Wann ist die Iteration (linear) konvergent? (b) Geben Sie für das CG- und das GMRES-Verfaren (one Vorkonditionierung) jeweils an: Für welce Matrizen A R N N das Verfaren geeignet ist. Was minimiert wird. In welcem Raum minimiert wird. In welcer Norm minimiert wird. Nennen Sie einen Vorteil des CG-Verfarens (wenn anwendbar) und einen (anderen) Nacteil des GMRES-Verfarens. (a) Jacobi: B = D. Gauss-Seidel: B = (L + D). Das Verfaren ist konvergent, wenn ρ(i BA) <. (b) CG: Nur für symmetrisce Matrizen geeignet, GMRES für allgemeine minimiert wird jeweils das Residuum r k = b Ax k beide Verfaren minimieren im Krylov-Raum definiert durc V k = span{r 0, Ar 0,..., (A) k r 0 } mit Anfangsresiduum r 0 = b Ax 0. CG minimiert in der Energienorm, GMRES minimiert in der eukl. Norm. CG: weniger Speiceraufwand, GMRES: Ortogonalisierung nict rundungsfelerstabil - Restart benötigt (wobei die Konvergenz dann nict gesicert ist). (a) Es soll eine Nullstelle gefunden werden. (b) x k+ = x k DF (x k ) F (x k ), mit Ableitung DF (x) R 3 3. (c) Falls DF (x) glatt genug ist, ist die Konvergenz in der Näe der Lösung quadratisc. Kapitel 7 (Polynom-Interpolation) (a) Geben Sie die Definition der Lagrange-Basis zu Stützstellen t 0,..., t N an. Wie seen die Werte an den Stützstellen aus? (b) Geben Sie die Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms P (t) an. (c) Geben Sie die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms P (t) an. (d) Welces Verfaren ist sinnvoller, wenn eine neue Stützstelle t N+ inzukommt? (a) L n (t) = N k=0,k n t t k t n t k. Für die Stützstellen gilt somit: L n (t k ) = { k = n 0 k n. (b) P (t) = N f nl n (t), mit Wert f n an der jeweiligen Stützstelle t n. (c) P (t) = N f[t 0,..., t n ]ω n (t) mit f[t 0,..., t n ] dividierte Differenz, ω 0, ω k = (t t k )ω k (t). (d) Für Lagrange müssen alle Polynome neu berecnet werden, es empfielt sic daer die Newton-Darstellung, da dort nur ein zusätzlicer Wert berecnet werden muss. Kapitel 6 (Iterationsverfaren für nictlineare Gleicungen) Kapitel 8 (Splines) (a) Was soll mit Hilfe des Newton-Verfarens gefunden werden? (b) Geben Sie das Newton-Verfaren für eine lineare Funktion F : R 3 R 3 an. (c) In welcer Ordnung konvergiert das Verfaren in der Näe der Lösung (genügend Glatteit vorausgesetzt)? (a) Geben Sie die Definition eines kubiscen Splines zu den Stützstellen t 0,.., t N Werten f 0,..., f N an. (b) Welce Randbedingungen sind sinnvoll? mit

3 (a) Sei [a, b] ein Intervall und : a = t 0 < t <... < t N = b eine Zerlegung. Dann ist S( ) = {S C [a, b] : S n := S [tn,t n] P 3 (n =,.., N)} der Raum der kubiscen Splines zu δ. Der Spline S ist nun interpolierender Spline, wenn S(t n ) = f(t n ) (n = 0,..., N). Zur eindeutigen Bestimmung müssen Randbedingungen angegeben werden. In anderen Worten: sei S n (t) = S [tn,t n], n =,..., N mit S n (t) = a n + b n t + c n t + d n t 3 P 3, sowie folgenden Bedingungen: Interpolationsbedingungen: S (t 0 ) = f(t 0 ) S n (t n ) = f(t n ), Stetigkeitsbedingungen: n =,..., N S n (t n ) = S n+ (t n ), n =,..., N S n(t n ) = S n+(t n ), n =,..., N S n(t n ) = S n+(t n ), n =,..., N eine der folgenden Randbedingungen: Natürlice Randbedingungen S (t 0 ) = 0 S N (t N ) = 0 Hermitesce Randbedingungen (mit gegeben Werten f 0 und f N ): S (t 0 ) = f 0 Perodisce Randbedingungen S (t 0 ) = S N(t N ) S N (t N ) = f N Für 4N Unbekannte fallen somit N + Gleicungen auf die Interpolation, 3N 3 Gleicungen auf die Stetigkeit und Gleicungen auf die Randbedingungen. (b) Siee a) Kapitel 9 (Trigonometrisce Interpolation und FFT) Gegeben sei eine π periodisce Funktion f : R C, N = p und t n = n π N. Setze f n := f(t n ) und ω = exp(i π N ). Gesuct sind Koeffizienten c n (n = 0,..., N ) eines trigonometriscen Interpolationspolynoms T N (t) = N c n exp(int), so dass T N (t n ) = f n. Setze weiterin f = (f 0, f,..., f N ) T und c = (c 0, c,..., c N ) T. Geben Sie zur Berecnung der c n eine Matrix W an, so dass gilt: N W f = c. Was können Sie über die Spalten von W aussagen? Nac Vorlesung gilt Mit gilt c j = N N f n ω nj.... ω ω... ω (N ) W = ω ω 4... ω (N ) ω (N ) ω (N )... ω (N ) N W F = C. Die Spalten von W sind ortogonal zueinander (und bilden somit eine Ortogonalbasis), denn es gilt: { N N w k, w j = (w k ) n (w j ) n = ω nk nj ( ) N k = j ω = 0 sonst mit W = (w 0,..., w N ) ( ( ) siee Vorlesung!). Kapitel 0 (Numerisce Quadratur) (a) Bestimmen Sie zur Berecnung eines Integrals f(t) dt zu einer gegebenen Funktion f die Gewicte ω k (k =,, 3) einer Quadratur Q H mit Stützstellen ξ =, ξ = 0, ξ 3 =, so dass Q H = Q H (P ) = P (t) dt. 3 i= ω i f(t i ) exakt ist für Polynome vom Grad

4 (b) Mact es Sinn, nac einer Quadraturformel zu sucen mit (i Stützstellen und Exakteitsgrad 5 (ii) 4 Stützstellen und Exakteitsgrad 8 (ierbei bezeicnet ein Exakteitsgrad K, dass die Quadraturformel für Polynome P P K exakt ist). (a) Konstruktion nac Vorlesung: Setze a = ξ =, b = ξ 3 =, H = {ξ, ξ, ξ 3 }. ω k = b a L k (t) mit L k (t) = Als Gewicte ergeben sic somit: ω = ω = ω 3 = t 0 t 0 dt = = [ 3 t3 4 t ] t + t = 4 [ 3 t3 4 t t + + = 3 dt = ] t 0 0 dt = = [ 3 t3 + 4 t ] 3 j=,j k ( = 4 3 = 3 t ξ j ξ i ξ j dt. t t dt ( ) = 6, t 4 4 ( dt + t + t dt ( Insgesamt ergibt sic (vgl. Simpson-Regel): Q H = [f( ] 6 ) + 4f(0) + f( ). = 6. Alternativ: Direkte Berecnung über die Monome, t, t : ( ) = 3, / / / / / / dt = t dt = 0! = ω + ω + ω 3! = ω + ω 3 ω = ω 3 t dt = 3 ( )3! = 4 ω + 4 ω 3 = ω ω = 6 ω = 6 = 3. (b) (i) Ja, da es genau eine Quadratur mit N Stützstellen und Exakteitsgrad N gibt (Gauß-Quadratur). Beacte, dass ierbei die Stützstellen nict fest gewält werden dürfen! Kapitel (ii) Nein, eine Quadratur kann für N Stützstellen nict exakt sein für Polynome vom Grad N. (Numerisce Integration gewönlicer Differentialgleicungen) (a) Was soll mit Hilfe eines Runge-Kutta-Verfarens berecnet werden? (b) Geben Sie die Verfarensfunktion zum folgenden 4-stufigen Runge-Kutta-Verfaren mit Scrittweite τ zur Berecnung von u n zum Zeitpunkt t n an: 0 /3 /3 /3 /3 /8 3/8 3/8 /8 Verwenden Sie die Notation mit k,..., k 4. (c) Geben Sie das explizite Euler-Verfaren an. (a) Berecnet werden soll eine Annäerung der Lösung u (zu bestimmten Zeitpunkten t [t 0, t 0 + T ]) einer Anfangswertaufgabe u(t) = f(t, u(t)) u(t 0 ) = u 0 mit gegebenen f C([t 0, t 0 + T ] R M, R M ), t 0 R, T > 0, u 0 R M.

5 (b) k = f(t n, u n ) k = f(t n + τ 3, un + τ 3 k ) k 3 = f(t n + τ 3, un τ 3 k + k ) k 4 = f(t n + τ, u n + τk τk + τk 3 ) u n = u n + τ 8 (k + 3k + 3k 3 + k 4 ) (c) Das explizite Euler-Verfaren lautet u n = u n + τf(t n, u n ).