1.2 Einführung der Zahl Dominik Schomas Clemens Blank

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1 1.2 Einführung der Zahl Dominik Schomas Clemens Blank Die Zahl wird über den konstanten Quotienten eingeführt. Der Umfang sowie der Durchmesser werden von den Schülern experimentell gemessen mit und in einer Tabelle an der Tafel eingetragen. Konkrete Umsetzung Die Einführung findet an der Tafel statt, während die eigentliche Aufgabe in Gruppenarbeit bearbeitet wird. An der Tafel führt der Lehrer das Verfahren am Beispiel des Quadrates vor. Dessen Durchmesser ist hierbei wie im Bild definiert: Die Klasse soll hierbei erkennen, dass das Verhältnis konstant ist. Da der Durchmesser eines Quadrates und eines, in das Quadrat passenden, Kreises gleich ist, lässt sich daraus die Vermutung ableiten, dass beim Kreis das Verhältnis auch konstant ist und kleiner als 4 ist 1

2 Arbeitsauftrag Unter einer Zeitvorgabe versuchen die Schüler in Gruppen anhand eines kreisförmigen Gegenstands zu bestimmen. Als Ausrüstung erhält jede Gruppe genügend Schnur sowie einen Zollstock, wobei weitere Hilfsmittel ausdrücklich erlaubt sind. Nach kurzer Erklärung des Arbeitsauftrages suchen die Schüler selbstständig kreisförmige Gegenstände, an denen sie durch die Messung des Umfangs und Durchmessers den Quotienten ausrechnen. Die Ergebnisse werden in einer Tabelle an der Tafel gesammelt. Während des gesamten Vorganges wird noch nicht erwähnt, dass hierdurch berechnet wird Nach dem Zusammentragen der Ergebnisse wird auf das sich abzeichnende Zahlenverhältnis eingegangen. In Hinblick auf die Anzahl der Dezimalstellen, erscheint eine Abkürzung in Form eines Zeichens sinnvoll: wird eingeführt. Zum Abschluss der Übung wird das Ergebnis noch kurz mit dem Quotienten des Quadrates verglichen. Dabei kann man das Ergebnis für den Kreis mit dem Ergebnis für das Quadrat vergleichen. Auch beim Kreis ist das Verhältnis konstant und wie zu erwarten war auch etwas kleiner. Tipps zur Durchführung Um die Motivation noch weiter zu erhöhen kann man Belohnungen (z.b. Gummibärchen) für jede richtige Nachkommastelle von verteilen. Dies verstärkt das Bestreben, möglichst genau und sorgfältig zu arbeiten und Methoden zu entwickeln, welche den Messfehler möglichst gering halten (z.b. größere Gegenstände vermessen oder den Gegenstand mehrfach mit Schnur umwickeln). 2

3 Hintergründe Das Zentrale dieser Einführung ist, dass die Schüler hier selbst die Zahl anhand beliebiger kreisförmiger Gegenstände bestimmen muss. Durch die freie Wahl der Gegenstände wird verdeutlicht, dass nicht von der Größe des Kreises abhängen kann. Es wird ersichtlich, dass diese Zahl im alltäglichen Leben existiert und nicht bloß ein theoretisches, mathematisches Konstrukt ist. Durch einen Ansporn, genau zu messen, werden die Schüler zu sorgfältigem und bewusstem Arbeiten animiert. Dies führt zu einer ersten Auseinandersetzung mit Messfehlern und deren Bedeutung. Diese Überlegungen sind fachübergreifend wertvoll, wie z.b. in den Fächern Physik und Chemie. Messfehler Um ein möglichst gutes Ergebnis für zu bekommen muss man sich über die Messfehler klar werden. Es gibt einige einfache Dinge zu berücksichtigen um den Fehler gering zu halten. Zuerst gilt, dass eine dicke Schnur zu einem ungenauen Ergebnis führt, da die Seite der Schnur, die direkt am Gegenstand anliegt den Umfang korrekt angibt. Legt man die Schnur aber gerade hin und misst mit dem Metermaß die entsprechende Länge, so misst man den Umfang des Kreises mit dem Durchmesser. Aus dieser Gleichung folgt sofort, dass für dünne Schnüre das Ergebnis besser wird. 3

4 Eine weitere und effektivere Methode den Messfehler gering zu halten ist den Fehler, der bei der Messung entsteht zu verringern. Hierbei gibt es zwei Vorgehensweisen. Die erste ist, dass man große Gegenstände vermisst. Dies verringert nicht nur den statistischen Fehler (Ablesefehler), sondern auch den systematischen Fehler (oben beschrieben). In der obigen Formel sieht man dies, da falls d genügend groß ist. Die andere Methode den Ablesefehler zu Verringern ist den Gegenstand mehrfach zu umwickeln. 1.3 Vom Umfang zum Flächeninhalt eines Kreises Claudia Roosen Die Schüler erfahren anhand einer Pizza, wie sich die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises aus seinem Umfang herleiten lässt. Konkrete Umsetzung Der Lehrer bestellt vor der Unterrichtsstunde eine Pizza bei einem Lieferdienst, der diese zu einem bestimmten Zeitpunkt in das Klassenzimmer bringt. Nachdem die Schüler gefragt wurden, wer am Schluss ein Stück von der Pizza haben möchte, zerteilt der Lehrer die Pizza in entsprechend viele, gleich große Kreisausschnitte. Diese legt er unter Mithilfe der Schüler so nebeneinander, dass sich eine zur Pizzakreisscheibe flächengleiche Figur ergibt, die einem Rechteck ähnelt. Durch diese Anordnung erkennen die Schüler, dass die Breite des Rechtecks ungefähr dem Radius des Kreises entspricht, sowie die Länge dem halben Kreisumfang. 4

5 Für den Flächeninhalt des Kreises ergibt sich somit die Formel: Hintergründe Pizzalieferung in den Mathematikunterricht Die Grundidee dieser Herleitung zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises ist allgemein bekannt. Der didaktische und pädagogische Vorteil dieser Vorgehensweise gegenüber einem gewöhnlichen Tafelbild besteht darin, dass sich das Riechen und Schmecken tief einprägen. Durch das Erlebnis, dass der Lieferdienst die Pizza bis in das Klassenzimmer bringt, wird die Erinnerung an die Herleitung der Formel bei den Schülern vertieft. 5

6 Grenzwertprozess Da die nebeneinander gelegten Pizzastücke nicht direkt ein Rechteck ergeben, wird von den Schülern ein Vorstellungsvermögen gefordert. Wenn die Schüler verstanden haben, dass sich die aus den Pizzastücken zusammengelegte Figur durch Erhöhung der Anzahl der Kreisausschnitte immer mehr einem Rechteck annähert, können sie die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises herleiten und haben dabei einen Grenzwertprozess nachvollzogen. 1.4 Berechnung des Kreisbogens und des Flächeninhalts eines Kreisstücks Simon Steiert Ziel ist die Einführung der Berechnung des Kreisbogens und des Flächeninhalts eines Kreisstücks. Voraussetzung für diese Aufgabe ist die Kenntnis über die Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Kreises mit bekanntem Radius. Konkrete Umsetzung Wie in 1.3 fragt der Lehrer die Schüler, wer ein Stück Pizza haben möchte. Anschließend zerschneidet der Lehrer die Pizza in genauso viele Stücke, wie sich Schüler gemeldet haben. Nachdem die Pizza in die entsprechende Anzahl an gleichgroße Stücke zerschnitten ist stellt der Lehrer den Schülern die Frage nach dem Flächeninhalts und der Länge des Kreisbogens eines Pizzastückes. Die Schüler sollen überlegen, welche Daten zur Berechnung der geforderten Größen von Nöten sind. Nachdem die Schüler den Ansatz zur Berechnung gefunden haben (Anzahl der Pizzastücke und Radius) darf sich jeder Schüler ein Stück Pizza mit an den Platz nehmen und soll die Werte berechnen. Das Pizzastück darf erst gegessen werden, wenn der Schüler dem Lehrer die korrekten Ergebnisse mitgeteilt hat. 6

7 Hintergründe Haptische Herleitung Durch die Zerteilung der Pizza in gleich große Stücke soll dem Schüler klar gemacht werden, dass er einen gewissen Anteil vom Ganzen bekommen wird. Mit den Kenntnissen aus dem Bereich der Bruchrechnung wird der Schüler verstehen, dass man den Umfang/Flächeninhalt der ganzen Pizza durch die Anzahl der Pizzastücke teilen muss, um auf den korrekten Wert des Flächeninhalts und die Länge des Kreisbogens eines Pizzastückes zu kommen. Zudem kann der Zusammenhang der Gleichung A= α 360 π r 2 = 1 An z ahl d e r P i z z a st üc k e π r 2 klar gemacht werden. Visuelle und haptische Erfahrung von Größenverhältnissen Durch die Berechnung des Kreisbogens/Flächeninhalts eines konkreten Objektes, das sowohl haptisch, als auch visuell vorliegt, bekommt der Schüler einen Eindruck von den Größenverhältnissen im Kreis. Der Schüler erfährt, wie viel Quadratzentimeter Pizza er zu sich nimmt. Somit bekommt der berechnete Wert des Flächeninhalts des Pizzastückes eine konkrete mengenhafte Bedeutung. 7

8 1.5 Oberfläche eines Kegels Kristina Weber Yannick Sulz Hinter einer scheinbar einfachen Aufgabenstellung verbirgt sich eine Hinführung zur Oberfläche eines Kegels Konkrete Umsetzung Aufgabenstellung Für diese Übung finden sich die Schüler in ihrer Farbgruppen zusammen. Nun stellt der Lehrer den Gruppen den Auftrag aus einem DIN-A4 Blatt einen Kegel zu bauen. Hierfür gibt er den Radius der Kegelgrundfläche mit r = 6cm und die Höhe des Kegels mit h = 7cm vor. Außerdem wird ein Zeitfenster angegeben (von ca. 20 Minuten). Hilfsmittel sind Klebestifte, Scheren und Zirkel. 8

9 Erweiterter Arbeitsauftrag Jede Farbgruppe schreibt anschließend auf ihren Kegel die von ihr errechnete Oberflächengröße des Kegels. Lösungsvorschlag Für die Mantellinie s gilt: Der Kreis mit dem Radius s kann jetzt mit Hilfe des Zirkels gezeichnet werden. Um den Kegelmantel anzufertigen, rechnet man anschließend die Bogenlänge b des Kreisausschnittes aus. Da b auch der Umfang des Kreises ist, gilt: Eingesetzt ergibt sich: Alle nötigen Größen für den Bau des Kegelmantels sind jetzt bekannt. Für die erweiterte Aufgabenstellung muss berechnet werden. 9

10 Da aus folgt: gilt: (Für den Mantel gilt: ) Für und ergibt sich somit eine Oberfläche. Hintergründe Der Lehrer hat den Schülern eine scheinbar einfache Aufgabe gestellt: Es soll ein Kegel gebastelt werden. Im Laufe der Bastelphase stoßen die Schüler auf einige Hürden. Die erste Hürde wird häufig darin bestehen, zu bestimmen wie groß der Zirkel eingestellt werden muss. Die Länge, mit welcher der Zirkel eingestellt werden muss, wird mit dem Satz des Pythagoras bestimmt. Des Weiteren muss der Winkel berechnet werden, mit welchem geschnitten wird. Durch das Lösen eines einfachen Problems werden die Schüler mit erhöhtem Ehrgeiz und Motivation versuchen, weitere anfallende Probleme zu bearbeiten. Durch den leichten Einstieg wird die Motivation der Schüler gefördert auch an weiterführende Überlegungen heran zu gehen. Beim Bau des Kegels machen die Schüler bereits alle Beweisschritte, wodurch das Verständnis der Schüler für die anschließende Herleitung mit Variablen durch den Lehrer gefördert wird. Für die Schüler ist es somit leichter Bereitschaft für den nachfolgenden Beweis zu zeigen und ihm zu folgen. Bei dieser Übung steht eine konkrete Aufgabe im Vordergrund, anhand dessen die Schüler später die allgemeine Herleitung erarbeiten. Die gebauten Kegel werden vorne zur allgemeinen Betrachtung gesammelt, wodurch der Ehrgeiz erhöht wird, möglichst gute Resultate abzuliefern. Beim gemeinsamen Vergleichen der errechneten Oberflächen kann das Thema Rundungen angeschnitten werden. 10

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