Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen.

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1 H MPKP Konfiguration einer TM als String schreiben: Bandinschrift zwischen den Blank-Zeichen Links von der Kopfposition Zustand einfügen. Beispiel: 1234q567 bedeutet: Kopf steht auf 5, Zustand ist q. Rechnung: Folge solcher Strings, getrennt durch Trennzeichen ##. 315

2 Beispiel für eine Rechnung ##q 0 ab##xq 1 b##xyq 2 ##xyzq 3 ##xyq 4 z### ##q 0 ab##xq 1 b##xyq 2 ##xyzq 3 ##xyq 4 z### Anfangsregel Kopierregeln Überführungsregeln Abschlussregeln u. Löschregeln 316

3 Reduktion H MPKP Eingabe für H: M w Anfangsregel: (#,##q 0 w#) MPKP erzwingt, dass hiermit begonnen wird erzeugt Anfangskonfiguration von M Kopierregeln: (a,a) für alle a Γ {#} Kopieren von Buchstaben Löschregeln: (aq,q), (qa,q) f. alle a Γ u.q Q Löschen von Buchstaben Abschlussregeln: (q###,#) für alle q Q 317

4 Überführungsregeln Kopfbewegung 0 δ(q,a)=(q,c,0) (qa,q c) δ(q,b)=(q,c,0) (q#,q c#) Kopfbewegung 1 δ(q,a)=(q,c,1) (qa,cq ) δ(q,b)=(q,c,1) (q#,cq #) Sonderfall rechtes Bandende Sonderfall rechtes Bandende (für alle a Γ, q Q) 318

5 Überführungsregeln Kopfbewegung 1 δ(q,a)=(q,c, 1) (bqa,q bc) δ(q,a)=(q,c, 1) (#qa,#q Bc) δ(q,b)=(q,c, 1) (bq#,q bc#) δ(q,b)=(q,c, 1) (#q#,#q Bc#) (für alle a,b Γ, q Q) linkes Bandende rechtes Bandende 319

6 Korrektheit f( M w): konstruierte MPKP-Eingabe Zu zeigen: M hält auf w : f( M w) hat Lsg. Rechnung als String aufschreiben. Zusätzliche Rechenschritte zum Löschen des Bandinhaltes einfügen Resultat ist Lösung von f( M w). 320

7 M hält auf w : f( M w) hat Lsg. Anfangsregel erzwingt, dass Lsg mit Anfangskonfiguration von M w beginnt. Kopier- und Überführungsregeln erzwingen korrekte Rechnung. Nur die Abschlussregel erreicht, dass die x- Folge und die y-folge gleich viele Zustandssymbole enthalten Es wird eine haltende Rechnung codiert. 321

8 Überblick: nicht rekursive Sprachen D D H U H ε MPKP H ε PKP L(S) Rekursiv aufzählbar: D, H, H ε, U Nicht rek. aufzählbar: D, H, H ε, U 322

9 Fazit Entscheidbarkeitstheorie Es gibt Probleme, die nie von Rechnern gelöst werden können (unabhängig vom technologischen Fortschritt). Wenn man auf ein nicht entscheidbares Problem stößt: Herausfinden, ob es nicht genügt, eine einfachere Variante zu lösen. 323

10 Teil 3: Endliche Automaten (Kapitel T4 u. T5.3)

11 Begriffe Rechnerstrukturen Schaltnetz (ohne Rückkopplungen/ Speicher) andere gängige Begriffe Schaltkreis [T] circuit combinational circuit Schaltwerk (mit Rückkopplungen/ Speicher) sequentieller Schaltkreis sequential circuit 325

12 Schaltwerke im Huffmann-Modell Input... Schaltnetz... Output Flip-Flops... Rückkopplung Takt Vereinfachung: Keine Ausgabe 326

13 Beschreibung von Schaltwerken k Flip-Flops 2 k Zustände Zustandsmenge Q. l Inputbits 2 l Inputs Eingabealphabet Σ mit Σ =2 l. Funktion des Schaltnetzes: Rückkopplung: δ:q Σ Q (Zustandsüberführungsfunktion) Ausgabe: γ:q Σ {0,1} r (Ausgabefkt., entfällt hier) Startzustand q

14 Zugehöriges abstraktes Modell DFA (deterministic finite automaton) wird beschrieben durch: endliche Zustandsmenge Q, endliches Eingabealphabet Σ, Startzustand q 0, Übergangsfunktion δ:q Σ Q, F Q: Menge akzeptierender Zustände. Schreibweise: (Q,Σ,q 0,δ,F ) 328

15 Aufbau eines DFAs w 1 w 2 w 3... w n Lesekopf Read-only Eingabeband Steuerung mit endl. Speicher Unterschied zu TMs: Band darf nur gelesen werden, Kopf darf nur nach rechts gehen. 329

16 Arbeitsweise des DFAs (Q,Σ,q 0,δ,F) Eingabe: w=(w 1,...,w n ) Σ n, Lesekopf auf w 1. Startzustand ist q 0. Aktion in jedem Rechenschritt: Wenn q der Zustand ist und w i gelesen wird, ist δ(q,w i ) der neue Zustand. Kopf geht um eine Position nach rechts. Akzeptanz, falls nach Lesen von w n ein Zustand aus F erreicht wird. 330

17 Beispiel Q={q 0,...,q 3 }, F={q 0 } δ 0 1 q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Anschaulicher: graphische Darstellung Startzustand 0 q q 1 0 q 0 akzept. Zustände 1 q 2 q

18 Beispiel (Fortsetzung) Bedeutung der Zustände: q 0 : gerade Anzahl Nullen gerade Anzahl Einsen q 1 : gerade Anzahl Nullen ungerade Anzahl Einsen q 2 : ungerade Anzahl Nullen gerade Anzahl Einsen q 3 : ungerade Anzahl Nullen ungerade Anzahl Einsen q 0 q 2 q 3 Akzept. Sprache: {w w enth. gerade Anz. von Nullen und Einsen} q 1 0

19 Begriff: reguläre Sprache Definition: Ein Sprache L heißt regulär, wenn es für L einen DFA gibt. 333

20 Beispiel L={w {a,b}* Auf zwei a s in w folgt immer ein b} Vereinfachung: Fehlende Kanten entsprechen Kanten zu einem verwerfenden Zustand, der nie wieder verlassen wird. 334

21 Vereinfachte Schreibweise Bisher: δ:q Σ Q. Erweitere δ auf δ:q Σ* Q durch q Q: δ(q,ε)=q und δ(q,(w 1,...,w n ))=δ(δ(q,w 1,...,w n 1 ),w n ). Bedeutung: δ(q,(w 1,...,w n )) ist der Zustand, in dem der DFA beginnend mit q nach dem Lesen von w 1,...,w n ist. Akzeptanz: w wird akzeptiert δ(q 0,w) F. 335

22 Bsp: eingeschränktes SSS (KP**) Fest vorgegeben: Zahl A. Eingabe: Folge a 1,...,a n {1,...,A}. Frage: Gibt es eine Teilfolge der Zahlen mit Summe A? Erinnerung: Wenn A Bestandteil der Eingabe ist, ist das Problem NP-vollständig. 336

23 DFA für eingeschränktes SSS Eingabealphabet: Σ={1,...,A} Zustandsmenge Q enthält alle Teilmengen von {0,...,A}, die 0 enthalten. Bedeutung: Menge der Summen, die aus den bisher gelesenen Zahlen gebildet werden können. Startzustand: {0} Akzept. Zustände: alle Mengen in Q, die A enthalten. Übergangsfkt: δ(m,a)={i i M i a M}. 337

24 Beispiel A=4, Σ={1,2,3,4} Q={{0},{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{0,1,2},{0,1,3}, {0,1,4},..., {0,1,2,3,4}} Startzustand {0} F={{0,4},{0,1,4},{0,2,4},{0,3,4},{0,1,2,4}, {0,1,3,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4}} Übergangsfunktion nur am Beispiel: δ({0,3},1) ={0,1,3,4} 338