Rhythmusanalyse - Tatum, Tactus, Metrum

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1 Symbole und Signale - MuWi UHH WS 04/05 Rhythmusanalyse - Tatum, Tactus, Metrum Universität Hamburg

2 Rhythmusanalyse: Was ist Rhythmus? Am Anfang war der Rhythmus : Rhythmus ist elementare und definierende Dimension von Musik. Allerdings: Keine allgemein akzeptierte Definition von Rhythmus an der Hand. (Spitznagel nennt an die 100 in der Literatur.) Etymologie: von gr. ρυθµς (rhythmos = Form ). Bei Plato: Geordnete Bewegung, geordnete Abfolge von Ereignissen. Rhythmen sind omnipräsent inder Natur: Planetenbewegungen, Tag- und Nachtzyklus, Gehen, Sprechen, Atmen, Herzschlag, Kunst&Musik, elektrische & mechanische Schwingungen, Atomschwingungen H. Riemann oder K.Bücher zugeschrieben 1

3 Rhythmusanalyse: Grundlagen Analoge Rhythmen: Schwingungen, digitale Rhythmen: Ereignisse. Durch Auszeichnung eines Gebiets im Zustandsraum lassen sich analoge in digitale Rhythmen überführen. Rhythmen im engeren Sinne sind Zeitreihen die ein Mindestmaß an Korrelation aufweisen Definitorische Einschränkungen: 1. Nur zeitliche Rhythmen 2. Nur digitale Rhythmen 3. Nur akustische und motorische Rhythmen 2

4 Rhythmusanalyse: Grundlagen Arbeitsdefinition: Musikalische Rhythmen sind diskrete, korrelierte, akustische Zeitreihen. Andere Autoren definieren Rhythmus als Folge von Akzenten wie schwer-leicht oder lang-kurz. (z.b. Cooper& Meyer, 1960) Die Messung und die Definition musikalischer Rhythmen wird dadurch erschwert, dass sie ein Perzept sind, keine primär-physikalische Tatsache. Die Aufgabe der computergestützten Rhythmusanalyse ist, aus dem physikalischen Phänomen auf das Perzept zu schließen. 3

5 Rhythmusanalyse: Grundlagen Mathematische Definition Definition 1 (Rhythmus) Eine Abbildung Z R E n (t n, e n ) mit n < m t n < t m heißt (digitaler) Rhythmus. Ein reiner Rhythmus ist ein Rhythmus mit E =. 4

6 Rhythmusanalyse: Grundlagen Ein Großteil der bekannten Musik ist um ein implizite oder explizite (quasi-periodische) Impulsfolge, den Beat, herum organisiert. Dies folgt aus und wird erzeugt durch die zeitliche Korreliertheit der Ereignisse. Die rhythmischen Ereignisse werden oft mit dem Onset (Einsatzzeit) assoziert. Der Onset ist ein Perzept, korreliert aber in der Regel mit messbaren physikalischen Eigenschaften. Das Zeitintervall zwischen zwei Onsets heißt Inter-onset-interval (IOI) Die Dauer eines Klanges wird in vielen Modellen vernachlässigt. 5

7 Rhythmusanalyse: Grundlagen Phänomen der subjektiven Rhythmisierung (Metrisierung): Der Mensch nimmt auch bei isochronen, physikalisch identischen Reizen eine 2er- oder 3er-Gruppierung wahr. Metrum ist strukturierte Abfolge von wichtig/unwichtig (bzgl. des Beatlevels) Die perzeptuellen Akzente einer musikalischen Zeitreihe bestimmen die Metrumswahrnehmung. Man unterscheidet verschiedene Akzenttypen: 1. Phänomenale (physikalische) Akzente (Betonung, Lautstärke, Klangfarbe) 2. Strukturakzente (z.b Harmoniewechsel) 3. Metrische Akzente 4. Melodische Akzente 5. Temporale Akzente 6

8 Rhythmusanalyse: Grundlagen Man hat einige Zeitkonstanten der Rhythmuswahrnehmung und -produktion beobachtet: 1. Gleichzeitigkeit: 2 5 ms 2. Reihenfolgeunterscheidung: ms 3. Schnellste Bewegung: 80 ms 4. Spontanes Tempo: ms 5. Subjektive Präsenzzeit: ms Es gibt eine anthropologische/physiologische Hierarchie der Zeitskalen. 7

9 Rhythmusanalyse: Grundlagen Man findet verschiedene Ebenen zu verschiedenen Zeitskalen der musikalischrhythmischen Organisation. Bezeichnung Tatum oder Puls, kleinste Zeiteinheit Tactus oder Beat (Puls, Grundschlag) Metrum, Hypermetrum, Formeinheiten Größenordnung 10 1 s 10 0 s 10 1 s Das führt uns auf die Definition von Zeitgitter und metrischer Hierachie. 8

10 Rhythmusanalyse: Zeitgitter Definition 2 (Zeitgitter) Sei T > 0 eine reelle, positive Konstante, die Zeitbasis. Dann heißt die Menge G T = {nt, n N 0 } ein Zeitgitter. Für k < p N 0 ist das (k, p)-untergitter von G die Menge mit Phase k und Periode p. Der Wert G T (k, p) = {(k + np)t, n N} Θ = 1 pt heißt Tempo des (Unter-)gitters. Jede Teilmenge R G T eines Zeitgitters heißt regulärer Rhythmus. 9

11 Rhythmusanalyse: Metrische Hierarchie Definition 3 (Metrische Hierarchie) Sei G T ein Zeitgitter, M = {m i m i > 1, 1 i N} eine Menge natürlicher Zahlen. Definiere p n = n i=1 m i und sei k eine natürliche Zahl. Das Untergitter G T (k, p n ) Γ(k, n) heißt Untergitter mit Level n und Phase k mod p n. Eine reguläre (divisible) metrische Hierarchie zur Phase k < p N ist dann die Menge aller Untergitter zum Level n N: M(k; p 1, p 2... p N ) = {Γ(k, n), 1 n N} (1) 10

12 Rhythmusanalyse: Metrische Hierarchie Beispiel: Metrische Hierarchien des 12/8-Taktes. Schwarz Zeitgitter G T Blau M(1; 3, 6, 12) Rot M(2; 2, 4, 12) 11

13 Rhythmusanalyse: Quantisierung Problem 1 (Quantization) Sei R = {t i } 0 i N ein gemessener Rhythmus und ɛ > 0. Die Aufgabe der Quantisierung ist es, eine Zeitkonstante T und ein Satz von Quantisierungszahlen {n i N 0 } zu finden, so dass (t i t 0 ) n i T < ɛ, i (2) Die Abbildung Q(t i ) = n i T heißt eine Quantisierung von R. Es ist klar, dass diese Aufgabe nicht immer lösbar ist, entweder nicht zu gegebener Genauigkeit ɛ oder prinzipiell nicht (z.b. Accelerando) 12

14 Rhythmusanalyse: Beat- und Metrumextraktion Problem 2 (Beat- and Metrumextraktion) Seien R die gemessenen Onsets einer rhythmischen Ausführung. Weiterhin nehmen wir an, dass eine Vpn. gebeten wurde gleichmäßig dazu mitzutappen und das die Onsets des Tappens gemessen wurden, bezeichnet mit T (R). Die Aufgabe der Beatextraktion ist es, eine Quantisierung für T (R) aus R herzuleiten. Falls die Vpn. darüberhinaus gebeten wurde, eine Eins zu markieren, gemessen in einem weiteren Rhythmus M(R), dann ist das Problem der Metrumextraktion eine Quantisierung von M zu finden und deren relative Position zum extrahierten Beat. Schwarz: R, Blau: T (R), Rot: Q(T (R)) 13

15 Rhythmusanalyse: Metrische Hierarchie Algorithmus Sei R = {t i } 0 i N ein gemessener Rhythmus, z.b. von einer MIDI-Einspielung oder eines Onsetdetectionsystems Der Metrische Hierarchie Algorithmus (MHA): 1. Erstelle eine Gaußifikation G(R) 2. Berechne die Autokorrelationsfunktion A G. 3. Bestimme die Maximumsstellen M von A G 4. Bestimme Beatkandidaten T B i und Zeitbasen T j aus M(A G ) 5. Erstelle Liste möglicher Metren p i mit Phasen ϕ i und Gewichten w i durch Kreuzkorrelation. 14

16 Rhythmusanalyse: Gaußifikation Definition 4 (Gaußifkation) Sei R = {t i } 1 i N eine Menge von Zeitpunkten (ein Rhythmus) und {ψ i } 1 i N eine Menge (reeller) Koeffizienten. Dann heißt eine Gaußifikation von T. g T (t) = 1 2πσ 2 N i=1 ψ i e (t t i )2 2σ 2 Eine Gaußifikation ist also eine Superposition von zeitverschobenen Gaußfunktionen und ähnelt den GMM (Gaussian Mixture Models), ist aber keine Wahrscheinlichkeitverteilung im engeren Sinne. Die exakten Onsets werden durch die Gaußfunktionen verschmiert und wir erhalten dadurch eine Funktion, die man differenzieren und integrieren kann. Statt den Gaußfunktionen sind auch andere Funktionen denkbar. 15

17 Rhythmusanalyse: Gaußifikation Die Koeffizienten ψ i sind als Akzentgewichte gedacht. Zunächst nur simple, temporale Akzentregeln ( a MIN, a MAJ freie Parameter) 1. INITIALISIERUNG Setze ψ i = 1, ψ 1 = a MIN, ψ N = a MIN 2. SCHWACHER AKZENT Falls ( t i+1 2σ)/ t i > 1 dann ψ i = a MIN 3. STARKER AKZENT Falls ( t i+1 + σ)/ t i > 2 dann ψ i = a MAJ 16

18 Rhythmusanalyse: Gaußifikation Beispiel für eine Gaußifikation. Mit 66 Jahren von Udo Jürgens. (Amateur-MIDI- Einspielung der Gesangsmelodie). 3.5 Mit 66 Jahren

19 Rhythmusanalyse: AKF der Gaußifikation Proposition 1 Sei T τ : G(t) G(t + τ) der Zeitverschiebungsoperator. Dann ist das zeitverschobene Skalarprodukt zweier Gaußfikationen G 1, G 2 die Kreuzkorrelationsfunktion C G1 G 2 : C G1 G 2 (τ) := G 1, T τ G 2 = 1 2σ π N 1,N 2 i,j=1 ( t12 ij τ)2 ψ i φ j e 4σ 2 mit t 12 ij = t(1) i t (2) j. Die Autokorrelationsfunktion A G (τ) einer Gaußifikation G ist gegeben durch: A G (τ) := G, T τ G = 1 2σ π N i,j=1 ψ i ψ j e ( t ij τ)2 4σ 2 18

20 Rhythmusanalyse: AKF der Gaußifikation Beispiel für die AKF einer Gaußifikation. Mit 66 Jahren von Udo Jürgens (Amateur- MIDI-Einspielung der Gesangsmelodie). 1.2 AKF Mit 66 Jahren

21 Rhythmusanalyse: Bestimmung des Beatlevels Die AKF wird nur für einen Zeitspanne berechnet, die ungefähr der subjektiven Präsenzzeit entspricht (2-3s), freier Parameter des Modells. Beatlevel am stabilsten wird zuerst bestimmt. Idee: Beatlevel ergibt Maximum der AKF im Bereich des spontanen (bevorzugten) Tempos. Tempopräferenzfunktion nach Parncutt: w(t) = e β log2 2 t Ts, T s ist das spontanes Tempo. Freier Parameter des Modells, sollte um die 500 ms ( = 120 bpm) sein. Es gilt w(2t s ) = w(t s /2) 20

22 Rhythmusanalyse: Bestimmung des Beat-Levels Die Kandidaten für den Tactus T B werden wie folgt bestimmt T B = {arg max A G (t)w(t)} b = 0.25 b = 0.5 b = 0.75 b = Tempopräferenzfunktionen zu verschiedenen Parametern β. 21

23 Rhythmusanalyse: Bestimmung des Beat-Levels AKF-Methode hat Probleme bei punktierten Rhythmen. Punktierter Rhythmus AKF

24 Rhythmusanalyse: Bestimmung von Metrum und Phase Für einen gegebenen Tactus können nun Metren und zugehörige Phasen bestimmt werden durch Kreuzkorrelation mit gaußifizierten idealen metrischen Mustern. Periode Relative Akzente 2 {2,0} 3 {2,0,0} 4 {2,0,1,0} Ist G p die Gaußifikation eines metrischen Musters mit Periode p, dann sind der match -Wert m p und die beste Phase ϕ p gegeben durch: m p = max C Gp G(τ) ϕ p = argmax C Gp G(τ) 23

25 Rhythmusanalyse: Bestimmung von Metrum und Phase Das Gewicht dieses Metrum/Phasenpaars ergibt sich aus dem Matchwert und dem entsprechenden Wert der AKF: w p = A g (pt B )m p 1.4 2/4 KKF Mit 66 Jahren Kreuzkorrelation C G2 G (2/4) von Mit 66 Jahren. 24

26 Rhythmusanalyse: Bestimmung von Metrum und Phase Beispiel: Das beste 2/4-, 3/4- und 4/4-Metrum für Mit 66 Jahren Mit 66 Jahren 2/4 3/4 4/

27 Rhythmusanalyse: MHA Evaluation Testset: 586 Luxemburgische Volkslieder, quantisiert, 120bpm. Vorkommende Metren 2,3,4, und 6. 80% der Lieder hatten Auftakt. Eher simple Rhythmik (synkopenfrei...) Getestet mit verschiedenen Akzentkonfigurationen. Trotz bester Bedingungen lag Tactusfehlerquote bei 12%! Oktav- und Quintfehler. 26

28 Rhythmusanalyse: MHA Evaluation Benutzte Maße: c m1 : Korrekte Periode (%) c m2 : Korrekte Periode bis auf Vielfache (%) c m3 : Korrekte absolute Taktlänge (%) c ϕ : Korrekte absolute absolute Phase (%) (a min, a maj ) c m1 c m2 c m3 c ϕ c (1,1) 0,41 0,78 0,48 0,32 0,50 (1,2) 0,46 0,82 0,55 0,62 0,61 (2,1) 0,43 0,80 0,50 0,27 0,50 (2,2) 0,45 0,81 0,55 0,50 0,58 (2,3) 0,47 0,80 0,58 0,64 0,62 (2,4) 0,44 0,77 0,57 0,64 0,61 27

29 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Beispiel: Die ersten 15 s eines Pygmäenlieds ( Song of rejoicing after returning fram a hunt, Lied 5) Hindewhu (Pfeife) und Gesang, virtuelle Polyphonie, mit starken Offbeats der Flöte. Onsets mit einem Audioeditor von Hand extrahiert. Analyse der beginnenden 10 s, der folgenden 5 s und des ganzen Ausschnitts. (Nach 10 s findet Beschleunigung statt.) 28

30 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Autokorrelation der ersten 10s von Lied 5. Beatlevel (T=750ms, Θ = 80 bpm), asymmetrischer 3er Tactus. Metrische Level bei 2T und 3T. 1.2 "pygmy a uto.dat"

31 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Autokorrelation von Sekunde 10-15s von Lied 5. Beatlevel (T=694ms, Θ = 86 bpm), klarer 4er Tactus 1.8 "pygmy a uto.dat"

32 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Autokorrelation von Sekunde 0-15s von Lied 5. Beatlevel (T=696ms, Θ = 86 bpm) mit 4er Tactus oder Beatlevel (T=454s, Θ = 132 bpm) mit 3er Tactus Impliziter 2:3-Kreuzrhythmus! 1 "pygmy a uto.dat"

33 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Timeline und bester 2/4-Takt für Sekunde 0-10s von Lied 5. Algorithmus nimmt ersten Pfeifenton als 1! 3 "pygmy t ime.dat" "pygmy dat"

34 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Timeline und bester 3/4-Takt für Sekunde 0-10s von Lied 5. Die 1 liegt diemal beim Gesang. 2.5 "pygmy t ime.dat" "pygmy dat"

35 Rhythmusanalyse: MHA Beispiel Timeline und bester 2/4-Takt (T=464ms) für Sekunde 0-15s von Lied 5. Phase ist wieder verschoben. 2.5 "pygmy t ime.dat" "pygmy dat"

36 Rhythmusanalyse: Ausblick Semigute, aber vielversprechende erste Ergebnisse... Mehrere Beatkandidaten, mehrere Phasenkandidaten pro Metrum Fensterung, Polyrhythmik Akzentregeln aus anderen musikalischen Dimension. Bessere Gewichtung durch Metrumspräferenzfunktion. Mehr Evaluation. 35

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