Physik für Biologen und Zahnmediziner
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- Reinhold Dittmar
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1 Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 4: Messfehler und Vektoren Dr. Daniel Bick 25. Oktober 2013 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
2 Organisatorisches Folien zum Propädeutikum: daniel/vorlesung/ Am 08. November werde ich Frau Hagner vertreten und statt der Vorlesung Übungsaufgaben für die Klausur mit Ihnen rechnen. Bitte schicken Sie mir Aufgaben, mit denen Sie Probleme haben vorab per an damit ich leserliche Folien vorbereiten kann. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
3 Inhalt 1 Wiederholung 2 Differentiation 3 Messfehler 4 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
4 Übersicht 1 Wiederholung 2 Differentiation 3 Messfehler 4 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
5 Logarithmen Gegeben: a x = b mit bekanntem b x kann durch den Logarithmus bestimmt werden: Allgemein: x = log a b Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zu Exponetialfunktionen y = a x Logarithmusfunktion f(x) = y = log a x Achtung: da wir die Umkehrfunktion betrachten, schreiben wir x nun als Variable in die Funktion. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
6 Logarithmus allgemein f(x) = log a x x Logarithmus von x zur Basis a y-achse ist Asymptote, schneidet x-achse bei x = 1 Besondere Basen: log 10 (x) = lg(x) und log e (x) = ln(x) lg(x) ln(x) log 2 (x) b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
7 Ableitung Die Ableitung an einem Punkt P der Funktion f(x) gibt die Steigung der Tangente an f(x) im Punkt P an. Mathematisch definiert durch den Differentialquotienten df(x) dx Im Differentialquotienten sind die Differenzen infinitesimal klein. Man schreibt: = dy dx f (x) = y y = lim x 0 x = dy dx = d dx f(x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
8 Wichtige Funktionen und ihre Ableitungen f(x) y = f (x) c 0 x n n x n 1 sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) e x e x ln(x) 1 x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
9 Übersicht 1 Wiederholung 2 Differentiation 3 Messfehler 4 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
10 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = df du du dx = f (u) u (x) Innere Ableitung mal äußere Ableitung Beispiel: f(x) = e x2 u(x) = x 2 und f(u) = e u f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
11 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = df du du dx = f (u) u (x) Innere Ableitung mal äußere Ableitung Beispiel: f(x) = e x2 u(x) = x 2 und f(u) = e u f (x) = 2xe x2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
12 Ableitungsregeln 1 Konstanter Faktor y = f(x) = c u(x) f (x) = c u (x) 2 Summenregel y = f(x) = u(x) + v(x) f (x) = u (x) + v (x) 3 Produktregel y = f(x) = u(x) v(x) f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) 4 Quotientenregel y = f(x) = u(x)/v(x) f (x) = (u (x) v(x) u(x) v (x))/v 2 5 Kettenregel y = f(x) = f(u(x)) f (x) = f (u) u (x) Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
13 Beispiele für Ableitungen f(x) = 5 x 3 + x 2 + 3/x f (x) = f(x) = 5 x 3 f (x) = f(x) = x 5 ln(x) f (x) = f(x) = sin(x 3 x 2 ) f (x) = f(x) = ln(x)/(x + 1) f (x) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
14 Beispiele für Ableitungen f(x) = 5 x 3 + x 2 + 3/x f (x) = 15 x x 3/x 2 f(x) = 5 x 3 f (x) = 3/( 5 x 2 ) f(x) = x 5 ln(x) f (x) = x 4 (5 ln(x) + 1) f(x) = sin(x 3 x 2 ) f (x) = (3 x 2 2 x) cos(x 3 x 2 ) f(x) = ln(x)/(x + 1) f (x) = (1 + 1/x ln(x))/(x + 1) 2 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
15 Übersicht 1 Wiederholung 2 Differentiation 3 Messfehler 4 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
16 Ursachen für Messunsicherheiten/Fehler Systematische Fehler Falsche Eichung Fehlerhaftes Messgerät Nährungen Längenänderung durch Temperatur... Zufällige Fehler Ablesefehler statistische Schwankungen Spiel bei Mikrometerschraube... Zufällige Fehler lassen sich durch Wiederholung der Messung verringern! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
17 Messergebnisse Messergebnis = Messwert ± Fehler Absoluter Fehler Relativer Fehler L = (5,63 ± 0,05) m L = 5,63 m ± 0,9% Fehler = Zufallsfehler + systematischer Fehler L = (5,63 ± 0,03 (stat.) ± 0,04 (sys.)) m Der wahre Wert ist mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Fehlerintervall enthalten. Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
18 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
19 Mittelwert Um zufällige Fehler zu verringern wird mehrfach gemessen. Wie erhält man nun die beste Schätzung für den wahren Wert? Arithmetisches Mittel Mittelwert µ = x = 1 N N i=1 x i = x 1 + x 2 + x x n N Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
20 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] Fehler des Mittelwerts Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
21 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung s = σ = 1 N (x i x) 2 N 1 Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] i=1 Fehler des Mittelwerts x = s N Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
22 Standardabweichung Mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung Standardabweichung Ein Messwert x i liegt mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x s, x + s] Fehler des Mittelwerts Wahrer Wert mit 68% Wahrscheinlichkeit im Intervall [ x x, x + x] Je häufiger ich messe, desto kleiner wird der Fehler des Mittelwerts! Um Ihn zu halbieren brauche ich 4 mal so viele Messwerte! Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
23 Beispiel. Abb. 1.8 Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin Beobachtungsgruppe von 28 Patienten und : zwei Mitglieder der Beobachtungsgruppe Blaue Kreise: Mittelwert der Werte aller Patienten Die blauen Fehlerbalken geben die Standardabweichung an Aus: Harten Physik für Mediziner. Abb Diagramm mit Streubalken. Trombelastogramm während einer Behandlung mit Heparin als Beispiel für ein Diagramm mit Fehlerbalken (in diesem Zusammenhang spielen das Messverfahren Daniel Bickund die medizinische Physik Bedeutung für Biologender und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
24 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
25 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
26 Normalverteilung Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
27 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ 2σ +2σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% x f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
28 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ 2σ +2σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% x f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
29 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ 2σ +2σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% x f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
30 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ 2σ +2σ 95,5% 3σ x +3σ 99,7% x f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
31 Gaußsche Glockenkurve Häufigkeitsverteilung für reine Zufallsfehler 0.4 f(x) % σ +σ σ +2σ 95,5% 0 3σ x +3σ 99,7% x Analog: 68% in [ x x, x + x] 95,5% in [ x 2 x, x + x] 99,7% in [ x 3 x, x + 3 x] f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 Mittelwert µ = x = x 68% im Intervall [µ σ,µ + σ] 95,5% in [µ 2σ,µ + 2σ] 99,7% in [µ 3σ,µ + 3σ] Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
32 Gaußverteilung realistischer Messungen N 25 Messung Entries 100 Mean RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
33 Gaußverteilung realistischer Messungen N 25 Messung Entries 100 Mean RMS Constant ± 2.44 Mean ± 0.56 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
34 Gaußverteilung realistischer Messungen N 220 Messung 200 Entries 1000 Mean RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
35 Gaußverteilung realistischer Messungen N Messung 220 Entries 1000 Mean RMS Constant ± 7.9 Mean ± 0.16 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
36 Gaußverteilung realistischer Messungen N Messung Entries Mean 50 RMS x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
37 Gaußverteilung realistischer Messungen Messung Entries Mean 50 RMS N Constant 1.978e+04 ± 7.627e+01 Mean ± 0.02 Sigma ± x Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
38 Protokollführung und Auswertung Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i x i /[x] (x i x)/[x] (x i x) 2 /[x] 2 1. n. i x i =..... i (x x)2 =... Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
39 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
40 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe 222,7 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
41 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 2 35,5 3 36,8 4 38,1 5 37,8 6 37,2 Summe 222,7 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
42 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 2 35,5-1,6 3 36,8-0,3 4 38,1 1,0 5 37,8 0,7 6 37,2 0,1 Summe 222,7 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
43 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 0, ,5-1,6 2, ,8-0,3 0, ,1 1,0 1, ,8 0,7 0, ,2 0,1 0,01 Summe 222,7 4,19 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
44 Beispiel Protokollführung Messe 6 mal eine Länge Lfd. Nr Messwert Abweichung Quadrat der vom Mittelwert Abweichung i l i /cm (l i l)/cm (l i l) 2 /cm ,3 0,2 0, ,5-1,6 2, ,8-0,3 0, ,1 1,0 1, ,8 0,7 0, ,2 0,1 0,01 Summe 222,7 4,19 Mittelwert: l = 1 n n i=1 l i = l 1+l 2 +l 3 +l 4 +l 5 +l 6 n = 222,7 6 = 37,1167 Fehler: l = 1 n (n 1) n i=1 (l i l) 2 = ,13 cm2 = 0,3737 cm Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
45 Ergebnis l = (37,1 ± 0,4) cm Achtung: Es wird nur die erste fehlerbehaftete Stelle (gerundet) angegeben Relativer Fehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
46 Ergebnis l = (37,1 ± 0,4) cm Achtung: Es wird nur die erste fehlerbehaftete Stelle (gerundet) angegeben Relativer Fehler l = 37,1 cm ± 0,4 37,1 100% = 37,1 cm ± 1,1% Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
47 Fehlerfortpflanzung Messgröße setzt sich aus mehreren fehlerbehafteten Größen zusammen Nur die Fehler der einzelnen Größen sind bekannt Wie groß ist der Gesamtfehler? Zwei Fälle Addition der Größen Multiplikation der Größen Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
48 Fehlerfortpflanzung Addition Beispiel: Messung einer Länge l = l A + l B : Zwei Einzelmessungen l A und l B mit Fehler l A und l B Gesamtfehler: Summe der absoluten Einzelfehler Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
49 Fehlerfortpflanzung Addition Beispiel: Messung einer Länge l = l A + l B : Zwei Einzelmessungen l A und l B mit Fehler l A und l B Gesamtfehler: Summe der absoluten Einzelfehler l = l A + l B Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
50 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: Größter Wert von v: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
51 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: s s v min = t + t Größter Wert von v: s + s v max = t t Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
52 Fehlerfortpflanzung Multiplikation Vereinfachte Schätzung des Gesamtfehlers Beispiel: Messung der Geschwindigkeit v = s t Bestimmung von v durch Messen des Weges s und der benötigten Zeit t. Kleinster Wert von v: s s v min = t + t Größter Wert von v: s + s v max = t t v liegt etwa in der Mitten von [v min,v max ]. Die größere der Differenzen v v min bzw. v max v ist der Fehler v Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
53 Beispiel: Rechteck Gemessen: Kantenlänge a = (120,0 ± 0,2) cm Kantenlänge b = (90,0 ± 0,1) cm Fläche (Mittelwert): Ā = ā b = 120 cm 90 cm = cm 2 Fehlergrenzen: Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
54 Beispiel: Rechteck Gemessen: Kantenlänge a = (120,0 ± 0,2) cm Kantenlänge b = (90,0 ± 0,1) cm Fläche (Mittelwert): Ā = ā b = 120 cm 90 cm = cm 2 Fehlergrenzen: F max = (ā + ā)( b + b) = ā b + ā b + b ā + ā b }{{} klein ā b + ā b + b ā F min ā b ā b b ā Es folgt für den Fehler: F F max F F F min ā b + b ā F F ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
55 Fehler von Produkten Allgemeine Regel F F ā ā + b b Der relative Fehler von Produkten (hier F = a b) und Quotienten von Messwerten ist gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
56 Zusammenfassung: zwei Regeln Zwei Größen a = ā + ā und b = b + b Addition oder Subtraktion: c = a + b bzw. c = a b Werden a und b addiert oder subtrahiert, so addieren sich die absoluten Fehler zum absoluten Gesamtfehler: c = ā + b Multiplikation oder Division: c = a b bzw. c = a/b Werden a und b multipliziert oder dividiert, so addieren sich die relativen Fehler zum relativen Gesamtfehler: c c = ā ā + b b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
57 Einschub: Raumwinkel r A Winkel in 2D: Öffnung zwischen zwei Geraden Raumwinkel Ω: räumliche Öfnungswinkel eines Kegels A: Durchstoßfläche des Kegels durch die Kugeloberfläche mit Radius r Ω = A r 2 Einheit Steradiant (sr) Gesamter Raumwinkel: 4π Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
58 Übersicht 1 Wiederholung 2 Differentiation 3 Messfehler 4 Vektoren Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
59 Skalaren und Vektoren Skalare Größen unabhängig von einer Richtung, z.b.: Masse m Zeit t Volumen V Ladung Q Vektoren Größen mit Richtung, z.b.: Geschwindigkeit v Kraft F Impuls p Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
60 Eigenschaften von Vektoren Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre Länge und Richtung identisch sind Ein Vektor ändert sich nicht, wenn er beliebig parallel verschoben wird Die Länge eines Vektors gibt eine physikalische Größe wieder (Zahl + Einheit) Verschiedene Schreibweisen üblich: P 1 P 2, a, a,... Wir verwenden a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
61 Darstellung von Vektoren Meistens 3-dimensionales kartesisches Koordinatensystem 3 Achsen x, y und z stehen senkrecht aufeinander Einheitsvektoren Vektor der Länge 1 entlang (parallel) der entsprechenden Achse e x, e y, e z Länge der Projektion auf die Achsen a x, a y, a z Vektor zusammengesetzt aus seinen Komponenten a = a x e x + a y e y + a z e z a x a = (a x,a y,a z ) = a y a z Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
62 Graphische Darstellung (Hier: 2D Vekoren) 10 y 9 b = (2,8) 8 c = (9,7) c x 3 2 a = (3,1) 1 e y x e x c y Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
63 Rechnen mit Vektoren Addition Komponentenweise Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) wird auf jede Komponente angewendet Betrag (Länge) Zum Merken: Pythagoras in 3D Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
64 Rechnen mit Vektoren Addition Komponentenweise c = a + b = (a x + b x, a y + b y, a z + b z ) Multiplikation mit einer Zahl (Skalar) wird auf jede Komponente angewendet Betrag (Länge) k a = (k a x, k a y, k a z ) a = a = Zum Merken: Pythagoras in 3D a 2 x + a 2 y + a 2 z Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
65 Graphische Darstellung Rechnen 10 y b = (2,6) a = (3,1) x Gegeben: a = (3,1) b = (2,6) Gesucht: c = a + b d = 3 a + b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
66 Graphische Darstellung Rechnen y c = a + b = (5,7) b = (2,6) a = (3,1) x Gegeben: a = (3,1) b = (2,6) Gesucht: c = a + b d = 3 a + b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
67 Graphische Darstellung Rechnen y c = a + b = (5,7) b = (2,6) a = (3,1) d = 3 a + b = (11,9) 3 a = (9,3) x Gegeben: a = (3,1) b = (2,6) Gesucht: c = a + b d = 3 a + b Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
68 Skalarprodukt Skalare Multiplikation zweier Vektoren a b = a x b x + a y b y + a z b z = c b Projektion von a auf b multipliziert mit b ϕ a Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeineander, wenn gilt: a b = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
69 Skalarprodukt Skalare Multiplikation zweier Vektoren a b = a x b x + a y b y + a z b z = c b Projektion von a auf b multipliziert mit b ϕ b a a c = b a a = b a cos(ϕ) Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeineander, wenn gilt: a b = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
70 Skalarprodukt Skalare Multiplikation zweier Vektoren a b = a x b x + a y b y + a z b z = c b Projektion von a auf b multipliziert mit b a b ϕ a Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeineander, wenn gilt: a b = 0 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
71 Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Vektorielle Multiplikation zweier Vektoren a a y b z a z b y b = c = a z b x a x b z a x b y a y b x Das Kreuzprodukt gibt einen Vektor c, der senkrecht zu a und b steht. Die Länge von c ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten 17 Parallelogramms 1 Richtung von c: b ϕ a räumlichen. Abb. Daniel Rechte-Hand-Regel: Bick Vektorprodukt A Physik B = C; A für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
72 Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Vektorielle Multiplikation zweier Vektoren a a y b z a z b y b = c = a z b x a x b z a x b y a y b x Das Kreuzprodukt gibt einen Vektor c, der senkrecht zu a und b steht. Die Länge von c ist gleich der Fläche des von a und b aufgespannten 17 Parallelogramms 1 Richtung von c: b b sin ϕ ϕ a c = a b sin ϕ räumlichen. Abb. Daniel Rechte-Hand-Regel: Bick Vektorprodukt A Physik B = C; A für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
73 Beispiele: Rechnen mit Vektoren a e x = 4 a 1 2 a = ( a b) a = ( a b) b = ( 3 ( ) ( )) /10 = 6 3 ( a b)/( a b) = Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
74 Beispiele: Rechnen mit Vektoren a e x = a x 4 a 1 2 a = 3,5 a ( a b) a = c a = c a sin ϕ = 0 da c a ( a b) b = c b = c b sin ϕ = 0 da c b ( ( ) ( ) 60 /10 = 0 ( ) ( 6 0 )) /10 = = 6 e x (( ) ( )) /10 = ( a b)/( a b) = a b sin(ϕ)/a 2 = b sin(ϕ)/a Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 25. Oktober / 41
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