Graphentheorie. Aufgabenblatt 3. Besprechung am 22. November 2018 in den Übungen

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Dorothea Buchholz
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Fbri Inormti Wintrsmstr 018/19 Pro. Dr. Ptr Br Grpntori Augbnbtt 3 Bsprung m. Novmbr 018 in dn Übungn Augb 1 Anngswrtprobm) Lösn Si di ogndn Anngswrtprobm: ) n = n 1 + 3 n mit 0 = 0 und 1 = 1.

1 Fbri Inormti Wintrsmstr 018/19 Pro. Dr. Ptr Br Grpntori Augbnbtt 3 Bsprung m. Novmbr 018 in dn Übungn Augb 1 Anngswrtprobm) Lösn Si di ogndn Anngswrtprobm: ) n = n n mit 0 = 0 und 1 = 1. b) b n = 7b n 1 15b n + 9b n 3 mit b 0 = 0, b 1 = 1 und b = 19. Lösung: ) Ds rtristis Poynom ist Dmit rtn wir s Nustn P λ) = λ λ 3. λ 1, = 1 1 ± = 1 ± 4 = 1 ±. Di Lösung ds Anngswrtprobms t dmit di Form 1 + ) n 1 ) n n = α + β. Zur Bstimmung von α und β stzn wir n = 0 und n = 1 in. Dmit rtn wir 1+ α + ) β = 0 β = 1. ) α + 1 Aus dr rstn Giung rtn wir β = α. Dis stzn wir in di zwit Giung in. Dmit rgibt si: 1 + ) 1 ) α α = 1 α = 1 Dmit rtn wir s Lösung ür ds Anngswrtprobm ) n n = α = 1. ) n ), n N 0. 1

2 b) Ds rtristis Poynom utt wobi wir dn Ftor 1) 3 ignorirn. Es git P λ) = λ 3 7λ + 15λ 9, P 1) = = 0. Aso ist λ 1 = 1 in Nust ds rtristsin Poynoms. Poynomdivision irt: Für ds Poynom λ 6λ + 9 rtn wir: Aso ist 3 in zwi Nust und s git λ 3 7λ + 15λ 9 : λ 1 = λ 6λ + 9. λ,3 = 3 ± 9 9 = 3. P λ) = λ 1)λ 3). Di Lösung ds Anngswrtprobms t dmit di Form n = α1 n + β3 n + γn3 n. Zur Bstimmung von α, β, γ stzn wir n = 0, n = 1, n = in und rtn α + β = 0 α + 3β + 3γ = 1 α + 9β + 18γ = 19 Lösung diss inrn Giungssystms ist α = 4, β = 4, γ = 5. Dmit utt di Lösung ds Anngswrtprobms n = 4 1 3n ) + 5 n3n. Augb Tin- und Britnsu) Ggbn si dr ognd Grp: b d g i ) Gbn Si ür dn obign Grpn di Tinsunummrn tv) sowi di Mng B dr Bumntn n, di si bi dr Tinsu rgbn. Strtn Si di Su bi Knotn. Di Adznzistn dr Knotn sin pbtis sortirt. b) Gbn Si ür dn obign Grpn di Britnsunummrn bv) sowi di Mng B dr Bumntn n, di si bi dr Britnsu rgbn. Strtn Si di Su bi Knotn. Di Adznzistn dr Knotn sin pbtis sortirt.

3 Lösung: ) v b d g i tv) b d g i b) v b d g i bv) b d g i Augb 3 Anwndung Tinsu) Au dr Hompg dr Vorsung indn Si Bispiprogrmm ür di Tin- und di Britnsu. Pssn Si ds Bispiprogrmm ür di Tinsu so n, dss Si dmit di Anz dr Zusmmnngsomponntn ins Grpn brnn önnn. As Tstdtn indn Si u dr Hompg di Adznzist ins Grpn mit 500 Knotn V = {0,..., 499}). Wi vi Zusmmnngsomponntn t disr Grp? Lösung: Di Anz dr Zusmmnngsomponntn ist 18. Progrmm si Hompg. Augb 4 Anwndung dr Britnsu) Zur Erinnrung: Di Läng ins Kntnzugs ist dinirt s di Anz dr Kntn ds Kntnzugs. Es si G = V, E) in zusmmnängndr Grp. Wir dinirn s Abstnd dv, w) zwir Knotn v, w V von G ds Minimum dr Längn r Kntnzüg von v n w. Dr Durmssr dimg) von G ist dr größt Abstnd zwisn zwi Knotn, so dimg) = mx dv, w). v,w V Pssn Si ds Bispiprogrmm zur Britnsu so n, dss Si dmit dn Durmssr ins Grpn brnn önnn. Au dr Hompg indn Si inn Lin zu inm zusmmnängndn Bispigrpn mit 150 Knotn. Brnn Si ür disn Grpn dn Durmssr. Lösung: Dr Durmssr ds Grpn bträgt 5. Progrmm si Hompg. 3

4 Augb 5 Topoogiss Sortirn) Ermittn Si ür dn ogndn grittn Grpn G = V, A) in topoogis Sortirung dr Knotn. G b d g i Lösung: Wir wndn Agoritmus 3.16 n, um in topoogis Ordnung dr Knotn zu bstimmn. v Q 0 {, b,, } 1 {b,, } b {, } 3 {g, } 4 g {, i, } 5 {, i, } 6 {d, i, } 7 d {i, } 8 i {, } 9 {, } 10 {} 11 {} 1 {}, b,, g,,, d, i,,,, ) ist dmit in von vin mögin topoogisn Ordnungn. Augb 6 Anz topoogisr Sortirungn) Di DAGs G n = V n, A n ) sind ür n N dinirt dur V n = {1,..., n} { 1, 1} A n = {i, ), i 1, )) i =,..., n und = 1, 1} {i, 1) i ), i 1, 1) i 1 )) i =,..., n} ) Zinn Si Digrmm ür di DAGs G 1 bis G 3. b) Es si A n di Anz n topoogisn Sortirungn ds G n. Zign Si: A 1 =, A = 5 und A n = A n 1 + A n. ) Litn Si in Form ür A n r. Lösung: 4

5 ) 1.0 b) n = 1: Für dn G 1 önnn di bidn Knotn in bibigr Rinog ngordnt wrdn. Dr gibt s zwi mögi topoogis Sortirungn: 1, 1), 1, 1) und 1, 1), 1, 1). n = : Es gibt zwi Knotn mit Eingngsgrd 0:, 1) und, 1). Wnn wir s rsts, 1) wän, muss, 1) s zwits gwät wrdn. Dmit sind insgsmt zwi topoogis Sortirungn mögi:, 1),, 1)1, 1), 1, 1) und, 1),, 1)1, 1), 1, 1). Wnn wir s rsts, 1) wän, önnn wir dn, 1) odr 1, 1) wän. Für, 1) s zwits Emnt ntstn di topoogisn Sortirungn, 1),, 1), 1, 1), 1, 1) und, 1),, 1), 1, 1), 1, 1). Wän wir s zwits Emnt 1, 1), dnn muss, 1) ds dritt und 1, 1) ds virt Emnt sin. Es ntstt so, 1), 1, 1),, 1), 1, 1). Dmn gibt s insgsmt ün topoogis Sortirungn. n, n 1 n: O.B.d.A. si n grd, dr ungrd F ist symmtris dzu. Wir gn nog zum F n = vor. Es gibt zwi Knotn mit Eingngsgrd 0: n, 1) und n, 1). Wnn wir s rsts n, 1) wän, muss n, 1) s zwits gwät wrdn. Jtzt bibt dr G n 1 übrig, ür dn s A n 1 vi topoogis Sortirungn gibt. Wnn wir s rsts n, 1) wän, önnn wir dn n, 1) odr n 1, 1) wän. Für n, 1) s zwits Emnt ntstt widr dr G n 1 mit A n 1 topoogisn Sortirungn. Wän wir n 1, 1) s zwits Emnt, müssn wir nsißnd n, 1) und dn n 1, 1) wän. Es ntstt dr G n mit A n vin topoogisn Sortirungn. ) Insgsmt gibt s so A n = A n 1 + A n vi topoogis Sortirungn ür dn G n. Aso P λ) = λ λ 1 λ 1, = 1 ± A n = α1 + ) n + β1 ) n. Jtzt müssn wir us dn Anngswrtn no α und β bstimmn. Wnn wir di Fog dur A 0 = 1 ünsti rwitrn, git u ür A = A 1 + A 0. Dmit ntstt ds inr GLS α + β = )α + 1 )β =. 5

6 Stzn wir β = 1 α in di zwit Giung in, ntstt 1 + )α + 1 )1 α) = α = 1 + α = 1 + β = 1. Aso: A n = ) n+1 1 ) n+1). 6

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