Praxisgerechte Ermittlung der Messunsicherheit

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1 Prasgerehte Ermttlg der Messsherhet Grdlage d orgeheswese für efahe Modelle ohe Korrelato Letfade DKD-Fahasshss MESSUSICHERHEIT erso. Febrar 0

2 Ihaltsverzehs orwort... Eletg... Begrffsdeftoe d omeklatr.... Defto der Messsherhet.... Wetere Deftoe d Amerkge... orgeheswese Modell zr Bestmmg der Messsherhet Utermodelle Smme-/Dfferezmodell Prodkt-/Qotetmodell Egagsgröße..... Ermttlg vo Ketsse über de Egagsgröße..... Idetfzere d Qatfzere der Eflssgröße.... Bespel für ee Usherhetsblaz.... Usherhetsaalyse d Messsherhetsblaz Epktkalbrerg / Epktmessg Mehrpktkalbrerg / Mehrpktmessg salserg der Blaz Ergebsgröße Erweterte Messsherhet Egedeferte Spezfkato salserg des Kalbrerergebsses Ewertagabe als Kalbrerergebs Usherhetsagabe für ee Bereh... Zsammefassg... Shrfttm... AHÄGE... 6 A Erwartg araz d Kovaraz vo Wahrshelhketsvertelge... 6 B Aalytshe d mershe Bestmmg vo Empfdlhketskoeffzete... C erefahg drh Festlegg vo Umgebgsbedgge... 6 D erefahg drh erwedg vo Korrektosfaktore... 8 E Bespel für de Zerlegg ees shwerge Modells Utermodelle... 9 F orgeheswese be Abwehge vo Kalbrerbedgge... G Agabe vo egedeferte Spezfkatoe für htkorrgerte Shätzwerte...

3 orwort Der Gde to the Epresso of Uertaty Measremet [] ershe 99 bzw. gergfügg korrgerter Form 008 d wrde vom DI 99 detsher Sprahe veröffetlht []. Deser Letfade zr Agabe der Usherhet bem Messe st das theoretshe Fdamet der Bestmmg der Messsherhet. Bem Kalbrere st ah GUM vorzgehe. Der GUM wrd aber ah der aalytshe Cheme agewedet [] d zehmed bem qattatve Prüfe []. Der GUM vollzeht ee Paradgmewehsel vo der Fehlerrehg zr mttlerwele weltwet akzepterte Usherhetsberehg. As desem Grde st er für de Praktker mahe Tele komplzert wel mest verdekt alte d ee Shtwese parallel dsktert werde. Des spegelt sh ah der derzetge Fassg des Iteratoales Wörterbh der Metrologe [] wder. Es gbt hlfrehe Shrfte [6-9] de dem Praktker de orgeheswese allgeme erläter. Der GUM stellt dre grdlegede Forderge: es st e Modell für de Bestmmg der Messsherhet afzstelle das alle relevate Größe ethält de zm Ergebs der Messg eer Größe (Asgagsgröße) betrage für alle als relevat erkate Größe (Egagsgröße) sd Ketsse z sammel de otwedg sd m de beste Shätzwert d de desem bezordede Usherhet bestmme z köe we das Modell d de beste Shätzwerte d de dese bezordede Usherhete für alle Egagsgröße bekat sd st e Stadardverfahre azwede das mahmal shwerge Mathematk erfordert De EA (Eropea o-operato for Aredtato d der DKD der Mtgled der EA st gebe für vele Messafgabe Rhtle heras de das geegete Modell oder zmdest Hlfestellg für desse Afstellg bete. I de sho erwähte Shrfte der EA ([6] eglsher Sprahe) d des DKD ([7-9] detsher Sprahe) fdet ma vele asgearbetete Bespele de de Umsetzg der ebe geate Forderge des GUM erlehter. Aber we sho gesagt de praktshe Umsetzg führt mmer oh af Probleme. Um Abhlfe z shaffe hat der DKD de Fahasshss Messsherhet (FA-MU) gegrüdet desse Mtgleder der Regel ertreter der adere Fahasshüsse sd. Der FA-MU hat de Afgabe alle Fahasshüsse m DKD Frage der Messsherhet z terstütze. Des gesheht eersets drh Beratg d Mtarbet a Rhtle d aderersets drh de Erarbetg vo Shrfte we der her vorlegede de spezelle Shwergkete be der Umsetzg des GUM behadel. Dese Shrft stellt krz d büdg de Shtwese des GUM dar d zegt we ma e komplzertes Modell zr Aswertg der Usherhet mt efahe Methode de kee komplzerte Mathematk erforder so mforme ka dass de der Asgagsgröße bezordede Usherhet efah berehet werde ka we ma de Usherhet ermttelt we ma e kalbrertes Messmttel ter adere als de Referezbedgge betrebt we ma mttels graphsher Darstellg de Modellbldg erlehter ka d z eer klare d übershtlhe Darstellg der Ergebsse kommt d we ma verefaht Kalbrerergebsse für ee Wertebereh agebe ka (Berehskalbrerg) Dabe wrd mest strkt ah GUM vorgegage aber a ege Stelle vorgeshlage ter Ikafahme größerer Usherhete detlhe erefahge z errehe. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

4 Eletg I eshlägge orme d Shrfte [-8] wrd be Messge de Agabe ees vollstädge Messergebsses gefordert das as dem Messwert y (bester Shätzwert der Messgröße) d der begeordete erweterte Messsherhet U p mt eer gewählte Überdekgswahrshelhket p besteht. I der Kalbrerpras wrd mestes p = 09 gewählt d das Sbskrpt p weggelasse: y U () De Ehet st ebefalls stets azgebe. Aßerdem st de Messgröße krz aber vollstädg z beshrebe. Bespel ees vollstädge Messergebsses: Der gemessee Wert des 0 kwderstades be eer Messtemperatr vo C d eem Messstrom vo 00 µa beträgt ( ). Agegebe st de erweterte Messsherhet für ee Überdekgswahrshelhket vo 9%. Amerkg: Der geae Tet ka ah vorgeshrebe se sehe DKD-. De erweterte Messsherhete sd otwedg für ee Etshedg bzgl. der Überestmmg oder htüberestmmg mt Spezfkatoe z. B. der Überestmmg oder htüberestmmg ees Werkstükes mt eer vorgegebee Toleraz oder ees Messgerätes mt de Greze der größte zlässge Abwehg (Koformtätsassage ah DI E ISO [7] bzw. ahwes der Prüfprozessegg ah DA- [8]). De Ermttlg der Messsherhet ersetzt ht de Qalfkato d Erfahrg des Messtehkers z. B. be der Aswahl des geegete Messverfahres Gestaltg des Messafbas Drhführg der Messge Aswertg der Messge De Aswahl der Messverfahre wrd wesetlh vom gewählte Messprzp d der Messmethode bestmmt. Bede köe z Messabwehge führe. Ege whtge Qelle vo Messsherhete sd Tabelle beshrebe. Tabelle : Bespele für Qelle vo Messsherhete bem Messe elektrsher Größe [] Messgeräte Qelle Umgebgsbedgge Shaltgs- d ershsafba Beobahter Ursahe Messabwehg tere d etere Abglehe Aflösg Rashe Drfte Shtzshrmtehk Umgebgstemperatr Lftdrk relatve Lftfehte Magetfeld brato Stöße mgebedes Medm etzstörge EM (elektromagetshe Felder) E- d Asgagsmpedaze Letgs- d Kotaktübergagswderstäde Isolatoswderstäde Letgsführg Shrmg d Erdg Thermospage ersorggsspage Awesehet des Beobahters (Temperatrstrahlg elektrostatshe Afladg Ateewrkg) Erfahrg Große Sorgfalt st otwedg m Fehler (Shreb- Ablese- oder Rehefehler) z vermede. We möglh solle valderte Reheprogramme verwedet werde. Egee Programme sd sorgsam z prüfe d z dokmetere. Es st selbstverstädlh dass kee Messgeräte zm Esatz komme dere Kalbrerfrst abgelafe st. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

5 Im Abshtt fde sh Begrffsdeftoe d ee Erläterg der üblhe Beege (omeklatr). Abshtt det daz orgeheswese darzstelle de de Bestmmg der Messsherhet der Pras verefahe köe d ege Methode zr salserg vo Kalbrerergebsse vorzstelle. Abshtt ethält ee Zsammefassg. Mathematshe Detals d Abletge für besoders teresserte Leser sd Ahäge dargestellt. Der Hapttet st sh abgeshlosse de Ahäge mss ma ht bedgt lese se dee überweged der Darstellg der Grdlage für dara teresserte Leser. Ee detallerte Ihaltsagabe fdet ma vor Ahag A. Begrffsdeftoe d omeklatr. Defto der Messsherhet Messsherhet st ah IM [] e dem Messergebs zgeordeter htegatver Parameter der de Streg der Werte kezehet de der Messgröße af der Grdlage der betzte Iformato begeordet st. De Usherhet eer zsammegesetzte Größe ka für leare Modelle mttels des Gaßshe Fortpflazgsgesetzes ermttelt werde. De der Pras gebrahte erweterte Messsherhet mss zsätzlh zr Stadardmesssherhet bestmmt werde (s. Abshtt ).. Wetere Deftoe d Amerkge Der GUM verwedet lateshe krsve Großbhstabe für (Mess-)Größe d lateshe krsve Klebhstabe für de beste Shätzwerte vo Größe. So werde de Egagsgröße mt d hre beste Shätzwerte mt de Asgagsgröße mt Y d hr bester Shätzwert mt y bezehet. De Asgagsgröße wrd ah Ergebsgröße geat. I der Pras empfehlt es sh aber de m Fahgebet üblhe Symbole z verwede. Mest geht as dem Kotet klar hervor ob de Größe oder der Wert gemet st. Im Zwefelsfall sollte ma klarstelle was gemet st. Für das erstäds der Begrffe Shätzwert Stadardmesssherhet d erweterte Usherhet st es whtg z wsse dass ma afgrd vollstädger Ketsse über de Wert eer Größe r ee Wahrshelhketsdhtefkto (PDF ) agebe ka de das Maß des ertraes de afgrd deser Ketsse realstsherwese möglhe Werte asdrükt. Es gbt feste Regel s. Abshtt. ah dee ma de Wahrshelhketsvertelg für ee Größe ahad vorlegeder Ketsse bestmme ka. Ma sprht vo eer PDF für ee Größe. I deser Iterpretato st der beste Shätzwert für de Wert eer Größe der Erwartgswert der PDF für de (Mess-)Größe st de Wrzel as der araz deser PDF d. h. hre Stadardabwehg de Stadard(mess)sherhet d legt der Größewert mt eer Überdekgswahrshelhket vo üblherwese 9% m Überdekgstervall [y U y + U]. I der Pras hat ma mestes leare oder learserte Modelle (s. Abshtt.) sodass ma ht mt Wahrshelhketsvertelge rehe mss. Es geügt de Erwartgswerte d de araz der Wahrshelhketsvertelg für ee Größe z kee. I de meste Fälle ka ma aehme dass ma für de Asgagsgröße ee ormalvertelg (ah Gaß) erhält da hat der Erwetergsfaktor k für ee 9% Überdekg de Wert (gerdeter Wert geaer Wert: 96). Im Eglshe verwedet ma de Asdrk probablty desty fto (PDF) wörtlh Wahrshelhketsdhtefkto. Der ame letet sh oft as der Form der Dhte ab z.b. Rehtekvertelg. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

6 Tabelle : Begrffe d Formel zr Ermttlg der erweterte Messsherhet für leare oder learserbare Modelle für ht korrelert Egagsgröße. Modellfkto f beshrebt de Asgagsgröße als Fkto der Egagsgröße Y f (... ) Stadardmesssherhet Empfdlhketskoeffzet (Sestvtätskoeffzet) Usherhetsbetrag (Komberte) Messsherhet dem beste Shätzwert der Egagsgröße begeordete Stadardmesssherhet Übertraggsfaktor für de f Äderg des Wertes vo af de Wert vo Y (Detals: Ahag B) y Zwsheshrtt der Messsherhets-Blaz y y dem Wert der Asgagsgröße begeordete Messsherhet y y Erwetergsfaktor k Mltplkator k Erweterte Messsherhet U Das Itervall [yu y+u] überdekt de Messwert mt Wahrshelhket p U ky (a) (b) () Systematshe KG wrd für ee Kalbrergegestad Messabwehg (d) (KG) drh ergleh mt eem ormal festgestellt Zfällge Bespel: edlhe Aflösg bem Messabwehg (d) Ablese azegeder Istrmete = KG ormal = ID + (a) De Stadardmesssherhet st de Wrzel as der araz der Wahrshelhketsvertelg d st dem beste Shätzwert begeordet. Als bester Shätzwert wrd der Erwartgswert geomme. Mathematsh erhält ma de Erwartgswert dem ma über das Prodkt as Wahrshelhketsdhte d möglhem Wert über alle möglhe Werte tegrert. Ma verwedet dafür ah de Shrebwese = E[]; wobe her der Shätzer für de Größe st. I deser Shrebwese ka ma ah de Usherhet darstelle: () = E[() ] = ar[] (b) We de partelle Abletg z shwerg wrd da ka ma de Empfdlhketskoeffzete mersh bestmme z. B. drh folgede Formel: f f wobe ee klee Zahl st. Ahag B verdetlht deses orgehe. () Der Wert k = glt we für de Messgröße ee ormalvertelg ageomme wrd d ee Überdekgswahrshelhket vo 9% gefordert st. We kee ormalvertelg ageomme werde ka müsse de Greze des Überdekgstervalls as der Wahrshelhketsvertelg berehet werde. Der Erwetergsfaktor ergbt sh da as dem erhälts der halbe Wete deses Itervalls d der Usherhet. (d) Ma tershedet systematshe d zfällge Messabwehge. Es gbt kee edetge Festlegg für de Wahl des Symbols. Wr empfehle für drh Kalbrere ermttelte Messabwehge d asoste z verwede. Der GUM verlagt przpell de Berükshtgg erkater Messabwehge m Modell zr Aswertg. Ee bem Kalbrere festgestellte Messabwehg ees Messmttels st deshalb als Korrekto dem Modell hzzfüge (s. a. Amerkg z Abshtt.). Amerkg: As praktshe Grüde werde oft relatve Messsherhete verwedet. Dabe werde de Parameter U drh de Parameter w W ersetzt d es gelte de Bezehge: w(y) = (y)/y d W = U/y; wobe Betrag bedetet (s. a. Abshtt..). DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 6 / /

7 Ee asführlhe d prasgerehte Dsksso zr Bestmmg des Erwetergsfaktors fdet ma Abshtt 7 Referez []. Mathematshe Detals zm Rehe mt Wahrshelhketsvertelge fdet der teresserte Leser Ahag A. Tabelle fasst de whtgste Begrffe zsamme. De Begrffe Modell d Sestvtätskoeffzet oder syoym Empfdlhketskoeffzet werde Abshtt egeführt d erlätert. orgeheswese. Modell zr Bestmmg der Messsherhet De Usherhetsaalyse erfolgt grdsätzlh ah dem der Shrft DKD- [7] beshrebee Ablaf. De dar verwedete Begrffe d Berehgsvorshrfte sd z berükshtge. Es st ee zetrale Forderg des GUM e Modell zr Bestmmg der Messsherhet afzstelle das de Ketsse über de Eflss der Egagsgröße af de Asgagsgröße wderspegelt. Das Modell verküpft also de Egagsgröße mt der Asgagsgröße. Das Modell mss alle relevate Egagsgröße behalte. Dabe köe aber ezele Egagsgröße selbst zsammegesetzte Größe se s. Abshtt... Ma ka de Modellfkto (s. Tabelle ) ah für de afgrd der vorhadee Ketsse möglhe Werte betze d de beste Shätzwert für de Asgagsgröße drh Esetze der beste Shätzwerte d. h. der Erwartgswerte für de Egagsgröße bestmme: y f... () Mt Hlfe der Empfdlhketskoeffzete (s. Tabelle d für mathematshe Detals Ahag B) erhält ma e leares Modell für de möglhe Werte; s. a. Amerkg am Ede deses Abshtts. Uter der orassetzg dass kee relevate Korrelatoe z berükshtge sd glt: y... DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 7 / / () We Korrelatoe zwshe de Egagsgröße vorlege st ah Ahag D DKD- [7] vorzgehe. I der Pras ka de Ermttlg der Empfdlhketskoeffzete shwerg se. Häfg ka ma aber das Problem drh geshktes Zsammefasse vo Egagsgröße verefahe. Des wrd Abshtt.. erlätert. Ferer wrd de Berehg der Empfdlhketskoeffzete zwe häfg vorkommede Soderfälle de Abshtt.. d.. besprohe werde besoders efah d ee efahe Usherhetsaalyse st da ohe ED-Programm-Uterstützg möglh. Ahag B erlätert de mathematshe Grdlage der Berehg vo Empfdlhketskoeffzete. Amerkg : Bem Kalbrere ees azegede Kalbrergegestades (KG) wrd ee Messabwehg festgestellt se st gleh dem gemessee Wert ms Bezgswert z. B. E[ ]=E[ KG ormal ]. We der KG her e Spagsmessgerät eer Messafgabe verwedet wrd da mss de Messabwehg m Modell zr Aswertg der Messsherhet als Korrekto beahtet werde. ah IM [] st ee Korrekto e algebrash zm berhtgte Messergebs adderter oder mltplzerter Wert. Deshalb hat de Korrekto das mgekehrte orzehe m Falle der Addto oder aders asgedrükt de festgestellte Messabwehg st abzzehe. De agezegte Wert kezehet ma mt dem Sbskrpt ID her also KG = ID. Amerkg : We e Modell ht lear st d.h. we z.b. Prodkte oder erhältsse vo Egagsgröße aftrete st geerell z prüfe ob de leare Appromato asreht. I der Kalbrerpras hat ma aber fast mmer so klee relatve Usherhete dass ma af höhere

8 Ordge verzhte ka. Als Bespel betrahte wr dass ee rehtekge Flähe A als Prodkt zweer ht korrelerter Läge L d L gegebe se. Ma fdet für das leare d das volle A L L L L d A A L L sehe. Ma seht dass das Modell l voll l leare Modell asrehed gea st solage A L L l. Amerkg : ht alle Eflssgröße müsse eplzt als Egagsgröße behadelt werde. Des glt sbesodere für de Umgebgsbedgge we Temperatr Drk oder Fehte. Be Rotemessge vo Größe de vo solhe Eflssgröße beeflsst werde ka es sehr afwedg se städg dese Eflssgröße z messe. I eem solhe Fall ka es svoll se verüftg gewählte Shwakgsbrete festzlege d dese de Usherhetsberehg ezbezehe. Ahag C erörtert e Bespel... Utermodelle We sho erwäht ka ma drh geshktes Zsammefasse vo Egagsgröße ee erefahg der otwedge Berehge errehe. Zsammegefasste Egagsgröße köe als Utermodell behadelt werde. Zm Bespel habe azegede Messgeräte stets ee edlhe Aflösg d es st mest ah ee Messabwehg z berükshtge. Bespel: Bestmmg des Wertes ees elektrshe Wderstades Wr verwede dgtale Messgeräte zr Messg vo Strom d Spag. De abgelesee Werte I ID d ID gehe als Kostate das Modell zr Aswertg e. Reale Messgeräte habe aber der Regel ee edlhe Aflösg sowe ee Messabwehg de wr drh de Größe I d sowe I d m Modell berükshtge. Der Aflösg ordet ma ee Rehtekvertelg mt dem Erwartgswert ll z dere Halbwete gleh dem halbe Wert der letzte ablesbare Stelle st. Dese Wert ee wr a. Der beste Shätzwert für de Aflösg st ll d de begeordete Usherhet a/. De beste Shätzwerte für I d d de he begeordete Usherhete etmmt ma de etsprehede Kalbrershee oder Herstelleragabe; Abshtt. erlätert asführlh we ma de beste Shätzwerte d de he begeordete Usherhete ermttelt. Das Modell für de Wderstad st da: ID δ Δ R () I δi ΔI ID De bezordede Usherhet st gegebe drh: R δ Δ δi ΔI () δ Δ δi ΔI wobe wr zr erefahg der Shrebwese (R) () sw. statt (E[R]) d (E[]) sw. shrebe d we egags erlätert de üblhe Symbole sowohl für de Größe selbst we ah für de beste Shätzwert betze we as dem Kotet klar erkebar st was gemet st. We Glehg () demostrert st es whtg dass de Idzes der Empfdlhketskoeffzete klar erkee lasse af welhe Größe se sh bezehe hre Ehet ergbt sh as der Dvso der Ehet der Asgagsgröße d der Größe ah der abgeletet wrde. Es st sho e erheblher Afwad otwedg m de ver Empfdlhketskoeffzete für de Berehg vo (R) mttels Glehg () drh partelle Abletge des Modells Glehg () z bestmme. Dese Afwad ka ma detlh redzere dem ma für de Strom I d de Spag Utermodelle eführt. Für de Strom erhalte wr: I I EΔI d I δi ΔI I I δi ΔI E (6a) ID ID wel de Empfdlhketskoeffzete I d I de Wert - habe s. a. Abshtt... Aaloge Bezehge erhalte wr für de Spag : ID δ Δ E EΔ d δ Δ wobe wr de Tatsahe tze dass E[I] d E[] de Wert 0 habe. ID ; (6b) E Gegebespel be dem ma de. Ordg braht wrd Ahag B erlätert. A L L A L L A L L d A L L A L L. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 8 / /

9 Glehge () d () verefahe sh jetzt z: R d R I I (7) I A deser Stelle berehe wr d I oh ht wel wr Abshtt.. (s. Glehg (6)) zege we ma dese ohe rehe z müsse erhalte ka. De Betzg vo Utermodelle ermöglht es zwshe de physkalsh relevate Egagsgröße her Spag d Strom d wetere Eflssgröße z tershede d damt de Aswertg übershtlher z gestalte. Es empfehlt sh für jede relevate Egagsgröße de mttels Utermodell behadelt wrd ee separate Blaz z erstelle we es ah gte Aswerteprogramme vorgesehe st; z.b. Zwshegröße GUM-Workbeh (Metrodata GmbH). Amerkg: Ee whtge Eshräkg st aber dass kee deser Eflssgröße mehr als eer relevate Egagsgröße aftaht wel dese da korrelert se köe. Betrahte wr zr erdetlhg de Ramtemperatr T als Eflssgröße d ehme a dass se mttels ees kalbrerte Thermometers gemesse wrd. Wr kee T (T) T d (T). We dese Temperatr zwe relevate Egagsgröße aftaht z. B. für zwe elektrshe Wderstäde da sd dese über de systematshe Messabwehg T korrelert. Des glt ah da we der beste Shätzwert für T vershwdet d.h. we E[T] = 0 C. Allerdgs ka ma dese Korrelato verahlässge we (T) detlh kleer st als (T). De Aflösg T st ee zfällge Messabwehg se verrsaht kee Korrelato. Des glt m strege Se r für dgtale Azege. De erzelte Aflösg bem Ablese eer Skala köte korrelert se we e Beobahter systematsh falsh ablest zm Bespel wel see Brlle ht Ordg st. We ma we ebe erlätert as gtem Grd ee Korrelato verahlässgt da soll ma das der Blaz ter Agabe des Grdes vermerke... Smme-/Dfferezmodell I der Regel führe de ebe egeführte Utermodelle af de Soderfall Smme- /Dfferezmodell ; das sh allgeme shrebe lässt als: p... p Y p p (8) wobe alle Größe de glehe Dmeso habe müsse. De Empfdlhketskoeffzete sd da detsh mt de Faktore p. Daras folgt: y p y p p... p p d (9) wobe alle Terme p (Kostate mal Shätzwert) de glehe Ehet habe müsse; zr Ererg: e Shätzwert d de hm begeordete Usherhet habe mmer de glehe Ehet. We sho erwäht de p sd hts aderes als de Empfdlhketskoeffzete. We was häfg der Fall st alle p bzw. alle r de Werte aehme da glt: y Deses Ergebs das r glt we kee Korrelato vorlegt habe wr berets Glehg (6) für das Utermodell für de Egagsgröße Strom betzt. Deses Modell eget sh besoders für Kalbrergegestäde mt egeer Azege Ehete der physkalshe Größe. Dabe werde de Messsherhete ebefalls der Ehet der physkalshe Größe agegebe. Bespel für e Smme-/Dfferezmodell Modell zr Ermttlg der Messabwehg der Azege ees Federmaometers oder elektrshe Drkmessgerätes. Wr verwede je e Utermodell für de vom Kalbrergegestad (KG) d de vom verwedete ormal () agezegte Drk. Ma fdet je ah Fall jewels mehrere Eflssgröße z. B.: DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 9 / / (0)

10 p p KG p p ID IDKG δ p δ p ID IDKG Δp δp δp llpkta bwehg KG Höhedfferez δp δp Wederholp räzsokg Korrekto... δp Umkehrspae KG Alle agegebee Größe sd Drüke se werde der Ehet Pa (Pasal) agegebe. Ma verbessert de Übershtlhket dem ma de beste Shätzwerte d de he begeordete Usherhet für de zwe Utermodelle getret aswertet d dafür ah Uterblaze erstellt da erhält ma e efahes Model d ka ah Glehg (8) d Glehg (9) vorgehe: Δp KG Δp p p... p p d () KG KG KG Häfg wrd e ormal vershedee Kalbrerafgabe verwedet da st es besoders vortelhaft dafür e Utermodell z habe... Prodkt-/Qotetmodell Der zwete Soderfall st das Prodkt-/Qotetmodell. Das allgemee Modell latet: p p p p Y q... q () wobe de Epoete p belebge reelle Zahle sd d der Koeffzet q ee Kostate st. De partelle Abletge vo Y ah sd de Empfdlhketskoeffzete. Ma erhält desem Fall de partelle Abletge dem de betreffede Größe mt hrem Epoete also p mltplzert d der Epoet m vermdert wrd: Y q p p. p p p Y y p p () I desem Fall st es güstg de relatve Usherhet s. Amerkg am Ede vo Tabelle z bestmme: y y w y p... p p w () De p sd wederm hts aderes als Empfdlhketskoeffzete we alle p r de Werte aehme da glt we kee Korrelato vorlegt: w y w () Als Bespel dee das Glehg (7) afgestellte Modell. Ma fdet: R I I R R w R w w I I Oft hat ma e Modell be dem ma für de physkalsh relevate Egagsgröße e Prodkt-/Qotetmodell hat aber es sd wetere Eflssgröße z berükshtge. Um de ortele des Prodkt-/Qotetmodell deoh tze z köe ka ma Korrektosfaktore eführe. We ma ee erefahg drh de erwedg vo Korrektosfaktore erreht wrd Ahag D erlätert d drh Bespele demostrert. Das Prodkt-/Qotetmodell eget sh besoders für Kalbrergegestäde ohe egee Azege ter der orassetzg dass relatve (bezogee) Messsherhete verwedet werde köe d. h. y 0. Relatve Messsherhete habe de Dmeso. Drh erwedg geegeter Utermodelle ka ma fast mmer errehe dass alle p de I (6) Ma bezehet de Empfdlhketskoeffzete mt dem ma de relatve Usherhet w( ) * * de relatve Usherhetsbetrag w (y) mrehet mt. Es glt. I der Blaz sd de y * azgebe m de Eflss der etsprehede Größe z dokmetere (s. Tabelle ). DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 0 / /

11 Werte aehme. Ah das efahe Modell mss selbstverstädlh de physkalshe orgag der Messg/Kalbrerg korrekt beshrebe. Kompleere Zsammehäge müsse eem geegete Modell dargestellt werde. Häfg ka ma sh de Arbet sehr erlehter we ma deses we m Ahag E a eem kompleere Bespel demostrert Utermodelle zerlegt.. Egagsgröße Es st ee zetrale Forderg des GUM für alle als relevat erkate Größe (Egagsgröße) Ketsse z sammel de otwedg sd m ee beste Shätzwert d de desem bezordede Usherhet bestmme z köe. Der GUM tershedet as hstorshe Grüde zwe Methode de m Abshtt.. krz erlätert werde; ee asführlhe Darstellg fdet ma [6 7]. I Abshtt.. werde zwe graphshe Methode dsktert de be der Idetfzerg vo Eflssgröße hlfreh sd. Es st otwedg zähst alle Eflüsse afzlste de das Messergebs erfahrgsgemäß beeflsse köe. I der Regel müsse ht alle dese Größe m Modell zr Aswertg ershee. Das Weglasse solher Größe sollte ma aber der Aswertg shrftlh begrüde. Bespel: De Abhäggket des Lägeasdehgskoeffzete vo der Temperatr wrde verahlässgt. Ee Abshätzg hat gezegt dass deser Betrag weger als 0% zr komberte Stadardsherhet beträgt... Ermttlg vo Ketsse über de Egagsgröße De Ermttlgsmethode für de de Egagsgröße begeordete Messsherhete werde zwe Kategore egetelt: Typ A: Be der Ermttlg des Wertes d der hm begeordete Stadardmesssherhet werde Aalysemethode der Statstk für Messrehe ter Wederholbedgge agewedet. Das arthmetshe Mttel der gemessee Werte st der beste Shätzwert für de Wert der Größe d de hm bezordede Usherhet (emprshe Stadardabwehg des Mttelwertes) st gleh der Wrzel as der araz der Messwerte (emprshe Stadardabwehg) dvdert drh de Qadratwrzel as der Zahl der Messge: s s d s s wobe de Azahl der Wederholgsmessge st. We < 0 st da mss e Erwetergsfaktor k > verwedet werde (Detals s. Ahag E DKD- [7]). Es st mmer sorgfältg z überlege welhe Eflüsse ma drh Wederholgsmessge erfasst. Es gbt Messafgabe be dee ma magels Wsses (Kompletät der Zsammehäge) oder ah as ökoomshe Grüde ht alle Eflssgröße detfzere ka. I desem Falle st ma af Wederholgsmessg agewese m Ketsse z sammel. Dabe st da sherzstelle dass ma dese Eflüsse drh ee geegete Messpla ah erfasse ka. Typ B: De Ermttlg des Wertes d der hm begeordete Stadardmesssherhet berht af adere Erketsse d ka as folgede Iformatoe egeshätzt werde: Date d Ergebsse as voragegagee Messge allgemee Ketsse d Erfahrge über de Egeshafte d das erhalte vo Messstrmete d Materale Herstelleragabe Kalbrershee oder adere Zertfkate DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / / (7)

12 Referezdate as Hadbüher De Ermttlgsmethode Typ B kommt der Pras be wetem häfger vor als de Methode Typ A. Se ka aber r für klar detfzerte Eflssgröße agewedet werde über de ma geüged Ketsse hat. We ma z. B. as frühere egee oder adere Messge oder as Tabelle (z. B. für de Fallbeshlegg) de beste Shätzwert d de hm begeordete Usherhet ket werde dese verädert überomme d ma mmt für de möglhe Werte ee Gaßvertelg a de oft ah ormalvertelg geat wrd. Das bedetet dass ma we mmer de Erwartgswert als beste Shätzwert mmt d dass de hm begeordete Usherhet gleh der Wrzel as der araz der ertelg st. I vele Fälle lässt sh für de Wert eer Größe r de Ober- d Utergreze a + d a agebe wobe alle Werte erhalb der Greze als gleh wahrshelh agesehe werde köe. Deser Sahverhalt wrd mt eer rehtekförmge Wahrshelhketsdhte beshrebe d es glt: a a a (8) d a a wobe a a a de Halbwete st. We ee Egagsgröße für de ma ee Rehtekvertelg ageomme hat domered zr Usherhet der Asgagsgröße beträgt da hat der Erwetergsfaktor für ee Überdekgswahrshelhket vo 9 % m güstgste Fall de Wert k = 6 geaer: 09. De Rehtekvertelg wrd bespelswese ageomme: we Kalbrer- d Ehshee oder Herstellerdokmetatoe Fehlergreze (MPE) agegebe sd we Temperatrgreze gegebe sd zr Beshrebg der Aflösg eer Skala oder dgtale Azege oder als efahes Modell m ee möglhe zetlhe Drft z berükshtge Lege de Werte mt größerer Wahrshelhket der Mtte des Berehes da st de Aahme eer dreekförmge ertelg svoll: a a a (9) 6 6 d a a wobe wederm a a a de Halbwete st. Mathematsh ergbt sh de Dreekvertelg as der Smme oder Dfferez zweer Rehtekvertelge mt gleher Halbwete d es glt: a Dreek = a Rehtek d ( Dreek ) = ( Rehtek ). E weterer Soderfall st de trapezförmge ertelg de sh as der Smme oder der Dfferez zweer Rehtekvertelge mt tershedlher Halbwete ergbt. De Trapezvertelg kommt Pras selte vor Detals sehe [8 9]. We be harmoshe Shwgge hts über de Phase bekat st da st für de Phase ee Rehtekvertelg azehme. Mathematsh folgt daras für de Ampltde ee U-förmge ertelg. Für ee U-ertelg glt: a (0) wobe a her gleh der Ampltde A 0 st z. B. A() = A 0 s. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

13 Als letztes Bespel se de Possovertelg geat. Für dese glt: () wobe de Azahl der Eregsse st. Her st es svoll de relatve Usherhet z betrahte se st gegebe drh /. De Possovertelg st ht symmetrsh aber für große Werte vo geht se ee ormalvertelg über. Ee Possovertelg wrd bespelswese ageomme für de Azahl der Zerfälle eer radoaktve Sbstaz eem Zettervall vo Eregsse eem Telhedetektor Mahmal mss mehr als ee Agabe berükshtgt werde d es st ht edetg welhe Wahrshelhketsvertelg ma wähle soll. Bespel: Übertraggsfaktor r der be der drekte Messg der Spag eer Spagsqelle mt eem Dgtalvoltmeter aftrtt; sehe ah Abbldg. Ma fdet de Herstelleragabe: der Asgagswderstad R O der Spagsqelle st kleer als 0 d der Egagswderstad R I des Dgtalvoltmeters st größer als 0 M. Daras ka ma shleße dass das erhälts des Wderstadswertes des Asgagswderstades R O der Spagsqelle zm Wderstadswert des Egagswderstad R I des Spagsmessgerätes m Bereh 0 bs 0 6 legt. Wr ehme zähst obwohl es ht gaz korrekt st ee Rehtekvertelg mt dem Erwartgswert 0 6 d der Stadardabwehg a d. h. de Itervallmtte d de halbe Itervallbrete dvdert drh. ormalerwese st der Betrag der dem Wert des Übertraggsfaktor r bezordede Ushersherhet kle. Da st dese äherg akzeptabel. We ht müsste ma detallerte Ketsse beshaffe d ggf. de Wahrshelhketsvertelg für de Übertraggsfaktor berehe. Im GUM Spplemet [] Tabelle werde wetere Bespele gegebe de dargestelle we as vorhadee Iformatoe eer Typ B Egagsgröße af dere Wahrshelhketsdhtefkto (PDF) geshlosse werde ka. As deser Kets lässt sh da de für dese Egagsgröße beötgte Messsherhet ermttel... Idetfzere d Qatfzere der Eflssgröße Bevor de Eflssgröße qatfzert werde sollte se zähst afgelstet bzw. oh besser eer Grafk dargestellt werde. Geeget sd dafür das Fshgräte-Dagramm (Ishkawa-Dagramm) das Blokshaltbld oder das Ersatzshaltbld as der Elektrotehk. Bezgsormal Kolbemaometer Drkmessgerät Kalbrershe (Referezbedgge) Therm. Lägeasdehgskoeffzet Deformatoskoeffzet Fallbeshlegg Temperatr Korrektoe (Awedgsbedgge) Umkehrspae erglehpräzso Wederholpräzso llpktabwehg Afehmer Kalbrershe Aflösg Asgeber Kalbrershe Apasser Drk Höhebestmmg Fallbeshlegg Dhtedfferez Rdg Asglehsfkto Höhekorrekto Aswertg Abbldg : Fshgräte-Dagramm für de Kalbrerg ees Drkmessgerätes mt eem Kolbemaometer. Ma ka ablese was de Messg der Zelgröße Drk (Asgagsgröße) DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

14 beeflsse ka. Dabe wrd zähst alles berükshtgt. Im Modell zr Aswertg der Usherhet köe weger Größe aftahe we sh herasstellt dass m Dagramm gezegte Größe ht sgfkat betrage. Abbldg zegt e Bespel ees Fshgräte-Dagramms das es gestattet alle relevate Größe d hre Bezg zr Zelgröße afzzege der drekt oder drekt vorlege ka. E Blokshaltbld eget sh m de Ursahe-Wrkgs-Kette beged mt eer deale Messg zehmed realstsher darzstelle d da das Modell abzlese. Des st Abbldg vsalsert. Bad t Bad ergleh t ID Bad t Bad t Bad Kalbrergegestad t Kalbrergegestad t ergleh t ID ormal t IDS t BadS t S ormal t IDS t = t ID t IDS t = t ID t IDS t Bad + t BadS + t CS Abbldg : Kalbrere ees Flüssgketsthermometers m Wasserbad. Lks: deale Messg; her st de Messabwehg gleh der Dfferez der Azege vo Kalbrergegestad d ormal (Stadard). Rehts realstshere Darstellg der Messg; her wrd sho beahtet dass de Badtemperatr am Ort des Kalbrergegestad d des ormals tershedlh se ka d dass ah das ormal ee Messabwehg habe ka. oh ht gezegt sd wetere Eflüsse we z. B. de Aflösg bem Ablese der Thermometer t ID d t IDS. Qelle: PTB-DI-Krs zr Umsetzg des GUM de Pras I der elektrshe Messtehk st es oft hlfreh mt eem dealserte Ersatzshaltbld z bege m da ebefalls shrttwese z eer realstshe Ersatzshaltg z gelage. As eem Ersatzshaltbld lasse sh da de Bezehge zwshe de betelgte Größe ablese m daras de Modellglehg afzstelle. Des st Abbldg vsalsert. SCR TRAS ISTR ID r ID Abbldg : Das lke Telbld stellt e efahes Ersatzshaltbld für ee drekte Messg dar her Ermttlg eer elektrshe Spag mt eem Dgtalvoltmeter. Der Asgagswderstad R OUT der Spagsqelle d der Egagswderstad R I des Dgtalvoltmeters sowe de agezegte Spag ID see bekat. Das rehte Telbld zegt de Ursahe-Wrkgs-Kette de sh daras ergbt. Der Übertraggsfaktor r st das erhälts des Wderstadswertes des Asgagswderstades R O der Spagsqelle zm Wderstadswert des Egagswderstad R I des Spagsmessgerätes (Dgtalvoltmeter). Für verwede wr das Utermodell: = ID ISTR ID d lese ab dass de Bezehg = (+r) glt. Damt habe wr sho de gesamte allerdgs oh ht gaz realstshe Modellglehg: = ( ID ISTR ID ) (+r) zr erfügg. Qelle: PTB-DI-Krs zr Umsetzg des GUM de Pras DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

15 Größe Bester Shätzwert Halbwete der ertelg Teler Wahrshelhketsvertelg Stadardmesssherhet Empfdlhketskoeffzet Usherhetsbetrag Ehet araz. Bespel für ee Usherhetsblaz De ortele der erwedg vo Utermodelle d de Rükführg af e Smme- /Dfferezmodell oder Prodkt-/Qotetmodell werde asführlh Ahag E a eem komplee Bespel demostrert. Her behadel wr das Modell für de hydrostatshe Drk ormal d. h. ohe Utermodelle. Wr betze deses Bespel ah m de möglhe Darstellg eer Blaz Tabelleform z zege. Das Modell für de hydrostatshe Drk latet: Δ p hyd gh () Fl a Des bedetet wr habe ver Egagsgröße (vgl. Tab. ) Dhte des Drkmedms Dhte der Lft de Fallbeshlegg d de Höhedfferez über de wr Ketsse sammel müsse (s. a. Abshtt.) m jewels de beste Shätzwert d de hm begeordete Usherhet z erhalte. Ferer müsse wr de Empfdlhketskoeffzete bestmme dem wr de Modellfkto partell ah de etsprehede Größe ablete: Δp hyd Fl Δp gh hyd al Δp gh g hyd Δp hyd h d g Fl d dese Abletge de beste Shätzwerte für de Größe esetze. We ma dese Abletge bldet st Ahag B beshrebe. Tabelle : Usherhetsaalyse der Korrekto für de hydrostatshe Drk a h Fl a () a g y y FL a Rehtek FL Lftdhte a a Rehtek a Dhte des Drkmedms Fallbeshlegg g a g Rehtek a FL a a a g gh gh a g a FL gh a a gh ( Fl a )h Fl a h Pa Pa Fl a y y Pa y g Höhedfferez h a h Rehtek a h a h ( Fl a )g Fl a g Pa y h Y=p hyd y=e[p hyd ] y y y y y Fl a g h Der Efahhet halber ehme wr für alle Egagsgröße Rehtekvertelge a. I Wrklhket komme ah adere ertelge vor. Es st hlfreh ht r de ertelg azgebe soder zsätzlh hre Egeshafte. Im Falle eer Rehtekvertelg shrebt ma deshalb de Halbwete af d otert de Teler der de Usherhet as der Halbwete bestmmt. Ebeso geht ma be eer Dreek- Trapez- oder U-ertelg vor. Im Falle eer DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

16 ormalvertelg gbt ma de Stadardabwehg a der Teler st her. We ma für ee Egagsgröße ee Typ A Aswertg (s. Abshtt..) drhgeführt hat otert ma ah de m es vermderte Zahl der Wederholgsmessge de ma Frehetsgrad et d mt dem Bhstabe symbolsert. Der ähste Shrtt st de Usherhete mt de etsprehede Empfdlhketskoeffzete z mltplzere m de etsprehed gewhtete Betrag z der dem Wert der Asgagsgröße bezordede Usherhet d. h. (y) z erhalte. Ferer st bedgt de Ehet der jewelge Größe azgebe; das Prodkt as Empfdlhketskoeffzet d Usherhet für ee Größe mss mmer de glehe Ehet habe we de möglhe Werte der Asgagsgröße Y. ah Esetze der Zahlewerte de Glehge für y d (y) ka das vollstädge Messergebs we folgt agegebe werde: Der ermttelte Wert des hydrostatshe Drks beträgt ( 00yy) Pa. Agegebe st de erweterte Messsherhet für ee Überdekgswahrshelhket vo 9%. De erweterte Messsherhet für de hydrostatshe Drk ergbt sh drh Mltplkato mt dem Erwetergsfaktor k = ; des glt für ee ormalvertelg der möglhe Werte des hydrostatshe Drks. Amerkg : We ma für de ver Egagsgröße jewels ee Rehtekvertelg ageomme hat d we de Beträge der de beste Shätzwerte deser Egagsgröße begeordete Usherhete etwa gleh groß sd da st de Aahme eer ormalvertelg für de Asgagsgröße gerehtfertgt. Amerkg : Für Messmttel de ter Referezbedgge egesetzt werde sd de beste Shätzwerte d de erweterte Messsherhete dem Kalbrershe z etehme. Bem Esatz ter Awedgsbedgge de vo dese Referezbedgge abwehe sd a de Werte bezüglh der relevate Eflssgröße Korrektoe azbrge dee wederm ee Messsherhet bezorde st. E Bespel herfür wrd Ahag F behadelt. Tabelle fasst dese orgeheswese zsamme.. Usherhetsaalyse d Messsherhetsblaz De Ketsse über de Egagsgröße werde m Rahme der Usherhetsaalyse vorzgswese eer Tabelle zsammegestellt. Be der Epktkalbrerg st dese Tabelle ahez detsh mt der Messsherhetsblaz das z. B. mt hadelsüblhe Tabellekalklatosprogramme erzegt werde ka. Be der Mehrpkt- bzw. Berehskalbrerg fde zwe getrete Tabelle erwedg... Epktkalbrerg / Epktmessg Um alle beötgte Iformatoe darzstelle wrd empfohle de de eshlägge Shrfte dargestellte Stadardtabelle m de Spalte Halbwete der ertelg Wahrshelhketsvertelg Teler z erweter; Halbwete be Rehtek- d Dreekvertelge. Damt der gesamte Formalsms trasparet wrd sollte de Tabelle m de Spalte araz für de Betrag der -te Egagsgröße zr araz der Asgagsgröße erwetert werde. I Abhäggket davo we de Egagsformatoe vorlege ka es svoll se de zgehörge Ehete mtzführe. Aßerdem sd wetere Ergebszele otwedg de de Berehgsablaf vo der arazsmme über de Stadardmesssherhet d de erweterte Messsherhet bs zm vollstädge Messergebs zege. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 6 / /

17 Tabelle verdetlht deses orgehe ahad ees Aszgs as eer Messsherhetsblaz. Der blae Pfel zegt de Berehg des beste Shätzwertes d de rote Pfele de Berehg der desem Shätzwert begeordete Usherhet a. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 7 / /

18 lfd. r. Größe Bester Shätzwert Halbwete der ertelg Teler Stadardmess -sherhet Wahrshelhketsvertelg Empfdlhketskoeffzet Usherhetsbetrag Ehet araz lfd. r. Größe Bester Shätzwert Halbwete der ertelg Teler Wahrshelhketsvertelg Stadardmesssherhet Empfdlhketskoeffzet Usherhetsbetrag araz Tabelle : Messsherhetsblaz be der Epktkalbrerg traspareter Ablaf drh Erweterge der Stadardtabelle * a g w( ) w (y) w (y) F 00 0E-0 0E-0 0E-06 l H m 0E-0 R 8E-0 8E-0 E K Bedeer 0E-0 R 8E-0 8E-0 E-0 Y TS 860 m/ Rel. Stadardmesssherhet w bzw. araz w = 7E-0 7E-0 Y TS 860 m/ Relatve erweterte Messsherhet W (k=) = E- Agabe des vollstädge Messergebsses Y = 860 ( ± %) m/.. Mehrpktkalbrerg / Mehrpktmessg De Ketsse über de Egagsgröße werde zähst we Tabelle gezegt als Usherhetsaalyse zsammegefasst. Es wrd empfohle de Ehet der Usherhetsbeträge mtzführe (Ehet der physkalshe Größe Azegeehet Dmeso et.) Tabelle : Zsammestellg der Ketsse über de Egagsgröße Usherhetsaalyse a g y a y Pa y Pa a y Pa y De Ermttlg der Messsherhet hat jedoh für jede Kalbrerwert oder Messwert z erfolge. Für ee übershtlhe Darstellg det Tabelle 6. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 8 / /

19 Atel Tabelle 6: Messsherhetsblaz be der Berehskalbrerg (z. B. ah Gl.(0)) Drk Messabwehg Stadardmesssherhet (y) Erweterte Messsherhet Usherhetstervall Betrag... Betrag U (k=) U Pa Pa Pa Pa Pa p m y y U y U y y pm pm p m pm pm... p ma y y y U y U y pma pma p ma pma pma.. salserg der Blaz Das Erstelle eer Messsherhetsblaz sollte ah als ützlhes Aalysewerkzeg gesehe werde. salsert ma de Usherhetsbeträge (araze) eem Säledagramm wobe de Beträge abstegeder Rehefolge sortert werde (ah Pareto-Dagramm geat) so erket ma edrksvoller Wese be welhe Eflssgröße Maßahme ergrffe werde müsse we de Messsherhet ht akzeptabel st. Abbldg zegt e Bespel. Eflssgröße köe kostate d messwertabhägge Usherhetsbeträge lefer. Sd kostate Usherhetsbeträge vorhade so varere de relatve (prozetale) arazatele der dem Ergebs begeordete Gesamtvaraz bezüglh der Stfe erhalb des Kalbrerberehes. Des lässt sh am beste eem dredmesoale Dagramm verashalhe we es als Bespel Abbldg gezegt wrd. % arazatel der Eflssgröße abstegede Sorterg 0% % 0% % 0% Eflssgröße Abbldg : salserg der Messsherhetsblaz (Pareto-Dagramm) Abbldg : Dredmesoales Säledagramm zr salserg der arazatelvarato. Ergebsgröße.. Erweterte Messsherhet De der Ergebsgröße bezordede erweterte Messsherhet st für de Soderfälle des Smme-/Dfferezmodells oder des Prodkt-/Qotetmodells gegebe we Tabelle 7 gezegt. s. Abshtt.. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 9 / /

20 Tabelle 7: Ermttlg der erweterte Messsherhet für de Soderfälle Smme-/Dfferezmodell Prodkt-/Qotetmodell s. Gl. (0) w y w y s. Gl. () U ky W kw y We für de ertelg der möglhe Werte der Ergebsgröße (aäherd) ee ormalvertelg ageomme werde ka da lege 9% der möglhe Werte m zgeordete Wertetervall y U wobe U = k (y) d der Erwetergsfaktor k = st. Be adere ertelge d be der Berükshtgg der t-ertelg be Beträge vom Typ A ka der Erwetergsfaktor adere Werte aehme (s. [7] Ahag E d [9] Bespel S9. S0. S.)... Egedeferte Spezfkato Grdsätzlh sd ah GUM alle bekate systematshe Abwehge z korrgere. I der messtehshe Pras wrd des jedoh telwese ht geta m de Aswertg für de Roteawedg z verefahe. Stattdesse gbt ma verefahter Form de dem ht berhtgte Wert begeordete Usherhet a. Um klarzstelle dass ma mehr ht de ormale GUM-koforme Usherhet betrahtet wrd der Begrff egedeferte Spezfkato (tere Spezfkato) SIt egeführt. Egedeferte Spezfkatoe werde we Fehlergreze terpretert. Des bedetet dass wr für de möglhe Werte z. B. des Drks p oder des Übertraggsfaktors S Rehtekvertelge aehme; Tabelle 8 fasst de Ergebsse zsamme d Ahag G letet dese her. E Bespel für ee Übertraggsfaktor fdet ma Ahag D. Tabelle 8: Agabe vo egedeferte Spezfkatoe SIt Smme-/Dfferezmodell Prodkt-/Qotetmodell SIt U Δp SItRelatv W ΔS S we p Δ p bezehgswese we w S ΔS S.6 salserg des Kalbrerergebsses Für ee bessere erstädlhket d ee shelle Überblk ka das Kalbrerergebs ah grafsher Form mtgetelt werde. Es gbt grdsätzlh dre Möglhkete der Darstellg: Agabe der Abwehg d der Messsherhet der Ehet der physkalshe Größe Agabe der Abwehg d der Messsherhet bezoge af de Edwert des Messberehs bzw. de Messspae Agabe der Abwehg d der Messsherhet bezoge af de Messwert DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 0 / /

21 Abwehg mt erw. Messsherhet (k = ) bezoge af de Messwert Usherhetstervall bezoge af de Messwert Abwehg mt erw. Messsherhet (k = ) bezoge af de Messspae Usherhetstervall bezoge af de Messspae Abwehg mt erw. Messsherhet (k = ) bar Usherhetstervall bar De bede erste Forme sd bs af ee Skalergsfaktor (Edwert des Messberehs) detsh. De edwertbezogee Darstellg der Abwehg ermöglht de ergleh mt Dateblattagabe der Hersteller. Da de Messsherhet dem Messwert begeordet wrd st de edwertbezogee Darstellg der Messsherhet ht svoll. Whtg st de Agabe des Gültgketsberehes der Kalbrerergebsse da deser Bereh de agegebee Kewerte (z. B. mamale Werte der Abwehg Umkehrspae sw.) zgrde legt. Deser Bereh ethält zähst alle Belastgsstfe (vom kleste bs zm größte Wert) ka aber ter Berükshtgg vo Spezfkatosgreze egeshräkt werde; üblherwese wrd de tere Gültgketsgreze z größere Werte vershobe was. d. R. z kleere Werte der Spezfkatosgreze führt. De Abbldge 6-8 demostrere des am Bespel ees Federmaometers der Klasse Pos. Überdrk bar Abw ehg Messsherhet Spezfkatosgreze Gültgketsgreze Pos. Überdrk bar Usherhetstervall Spezfkatosgreze Gültgketsgreze Abbldg 6: Darstellg der Ehet der physkalshe Größe 0% 0% 00% 00% 00% 000% -00% 00% 000% -00% -00% -0% Pos. Überdrk bar Abw ehg Messsherhet Spezfkatosgreze Gültgketsgreze -0% Abbldg 7: Darstellg bezoge af de Messspae (Edwert be Berehsafag ll) -00% Pos. Überdrk bar Usherhetstervall Spezfkatosgreze Gültgketsgreze 00% 07% 00% 07% 00% 0% 000% -0% -00% -07% -00% Pos. Überdrk bar Abw ehg Messsherhet Spezfkatosgreze Gültgketsgreze 00% 0% 000% -0% -00% -07% -00% Pos. Überdrk bar Usherhetstervall Spezfkatosgreze Gültgketsgreze Abbldg 8: Darstellg bezoge af de Messwert.7 Ewertagabe als Kalbrerergebs Usherhetsagabe für ee Bereh Ee Messsherhet wrd grdsätzlh eem Messwert begeordet. Be Kalbrerge mt vershedee d der Regel äqdstat vertelte Werte erhalb ees Berehes erhält ma somt Ergebstabelle (s. o.). Der Aweder des Kalbrergegestades arbetet DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

22 Übertraggskoeffzet mt erw. Messsherhet (k = ) m/ / bar Usherhetstervall m/ / bar Übertraggskoeffzet mt erw. Messsherhet (k = ) m/ / bar Usherhetstervall m/ / bar dagege häfg r mt eem Wert für de gesamte Gültgketsbereh der Kalbrerg der sog. Ewertagabe. Dese Ewertagabe st z. B. der Übertraggskoeffzet (Empfdlhket) ees Messgrößeafehmers der be vele Messgrößeafehmer ah drh de Hersteller af der erpakg agegebe wrd. Für dese Ewertagabe ka aber ah de Regel des GUM kee Messsherhet agegebe werde; a hre Stelle trtt ee Koformtätsassage. Herfür st das Bestmme vo Spezfkatosgreze ter Berükshtgg der systematshe Abwehg (der Ezelwerte vo der Ewertagabe) d der (de Ezelwerte) begeordete erweterte Messsherhete otwedg. Dabe werde de obere d tere Spezfkatosgreze a das größte Usherhetstervall (Smme as systematsher Abwehg d erweterter Messsherhet) ageähert; vorzgswese mt eem klee Sherhetsabstad so dass sh glatte Zahlewerte ergebe. De so ermttelte selbstbestmmte Spezfkatosgreze st als Messsherhetsbetrag (mt eer Rehtekvertelg) der Messsherhetsblaz der Awedg z berükshtge. Bespel: Übertraggskoeffzet ees Drkafehmers s. Glehg (D) Ahag D Pos. Überdrk bar Übertraggskoeffzet Ew ertagabe Gültgketsgreze Messsherhet Selbstbestmmte Spezfkatosgreze Abbldg 9: Darstellg der Ehet der Ergebsgröße kostate selbstbestmmte Spezfkatosgreze Pos. Überdrk bar Usherhetstervall Selbstbestmmte Spezfkatosgreze Gültgketsgreze Übertraggskoeffzet Ew ertagabe Gültgketsgreze Pos. Überdrk bar Messsherhet Selbstbestmmte Spezfkatosgreze Abbldg 0: dto. af de Messspae bezogee selbst bestmmte Spezfkatosgreze Pos. Überdrk bar Usherhetstervall Selbstbestmmte Spezfkatosgreze Gültgketsgreze DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

23 Zsammefassg Dese Aletg stellt krz d büdg de Shtwese des GUM dar d demostrert de Stadardvorgeheswese ahad veler Bespele. Im Tet selbst wrde daraf geahtet r allgeme bekate Mathematk z verwede. I de Ahäge werde aber für de teresserte Leser mathematshe Grdlage so zr erfügg gestellt dass er kee Fahbüher z Rate zehe mss. Daher ka dese Aletg sbesodere für eesteger hlfreh se wel ma zähst dem Hapttet das Wesetlhe etehme d be Iteresse später de Ahäge lese ka. De Aletg geht strkt ah GUM vor zegt aber für de Pras relevate ah Bespele dafür we ma ter Ikafahme größerer Usherhete detlhe erefahge errehe ka. De besodere Bedetg des vom GUM geforderte Modells zr Ermttlg der Messsherhet wrde betot wel r e hrehed realstshes Modell z eer glabwürdge komberte Stadardsherhet führt. Modelle sd daher mahmal zähst sehr komple. Deshalb hat dese Aletg Methode zr formale erefahg solher Modelle vorgestellt. Wr zehe de Shlssfolgerg dass de Shwergkete de be der Ermttlg d Bewertg der Messsherhet ah dem m GUM beshrebee erfahre aftrete besetgt oder zmdest detlh redzert werde köe we Folgedes beahtet wrd: das Modell ethält de Ketsse über de Messg d det der Bestmmg des Ergebsses d es st de Bass für de Usherhetsbestmmg we möglh st das Modell gegebeefalls ter erwedg vo Utermodelle af de Soderfälle Smme-/Dfferezmodell oder Prodkt-/Qotetmodell zrükzführe für jedes Utermodell st ee Blaz afzstelle de Eflssgröße sollte grafsh dargestellt werde z. B. eem Fshgräte- oder Ursahe-Wrkg-Dagramm be Messgrößeafehmer erstärker Messkette sw. sd mdestes dre Eflssgröße vorhade: Messergebs eshleßlh Messsherhet as dem Kalbrershe Temperatreflss ter Awedgsbedgge d Lagzetstabltät as der Prüfmttelüberwahg trasparete Darstellg der Berehg eer erweterte Blaztabelle Mtführe vo Ehete ah zr ermedg vo Fehler salsere der Messsherhetsblaz drh Darstellg der araze eem Säledagramm d. h. tzg als Aalysewerkzeg erwede vo Messsherhetsagabe für Berehe z. B. der Fehlergreze be geormte Lägemessmttel oder eer selbstbestmmte Spezfkatosgreze we der größere Messsherhetsbetrag ht stört De Messsherhetsblaz mfasst de Ketsse über de Messprozess zm Zetpkt des Erstelles. Dese sd der Pras seltee Fälle mfassed so dass es für ee erglehbarket der Messsherhetsagabe abdgbar st de detfzerte Eflssgröße mt de für de Bewertg der Messsherhet otwedge Parameter mtztele. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

24 Shrfttm Tehshe Regel [] ISO Gde 98-: Gde to the Epresso of Uertaty Measremet (GUM) 008 ISO Geeva CH [] DI E 00: Letfade zr Agabe der Usherhet bem Messe Beth erlag Berl 999 (Detshe Übersetzg des GUM) [] EURACHEM / CITAC Gde: Qatfyg Uertaty Aalytal Measremet Seod Edto 000 pp. 0 [] EA-/6: EA gdeles o the epresso of the ertaty qattatve testg Eropea o-operato for Aredtato Deember 00 7 p. [] DI: Iteratoales Wörterbh der Metrologe. Aflage 00 Beth erlag GmbH [6] EA-/0 (früher EAL-R): Epresso of the Uertaty of Measremet Calbrato ldg spplemet ad Eropea o-operato for Aredtato Deember p. [7] DKD-: Agabe der Messsherhet be Kalbrerge (Detshe Fassg der Pblkato EA-/0: Epresso of the Uertaty of Measremet Calbrato") Detsher Kalbrerdest DKD Brashweg Asgabe 00 [8] DKD--E: Agabe der Messsherhet be Kalbrerge Ergäzg Bespele (Detshe Fassg der Pblkato EA-/0-S: Epresso of the Uertaty of Measremet Calbrato Spplemet -Eamples) Detsher Kalbrerdest DKD Brashweg Asgabe [9] DKD--E: Agabe der Messsherhet be Kalbrerge Ergäzg -Zsätzlhe Bespele- (Detshe Fassg der Pblkato EA-/0-S: Epresso of the Uertaty of Measremet Calbrato Spplemet -Eamples) Detsher Kalbrerdest DKD Brashweg Asgabe 00 [0] DI 9-: Grdlage der Meßtehk Tel : Aswertg vo Messge eer ezele Meßgröße Meßsherhet Beth erlag Berl 996 [] DI 9-: Grdlage der Meßtehk Tel : Aswertg vo Messge Meßsherhet Beth erlag Berl 999 [] DI/DE 60: Ushere Messge d hre Wrkg af das Messergebs Beth erlag Berl Etwrf Dezember 998 [] DI/DE/DGQ/DKD 68: Prüfmttelüberwahg Awesge zr Überwahg vo Messmttel für geometrshe Größe Blatt.: Messsherhet Beth erlag Berl Dezember 00 [] DI/DE/DGQ/DKD 6: Kalbrere vo Messmttel für elektrshe Größe Blatt : Methode zr Ermttlg der Messsherhet Beth erlag Berl Ma 00 DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

25 [] EA-0/0: Calbrato of Pressre Balaes Eropea o-operato of Aredtato Jly [6] DKD-R 6-: Kalbrerg vo Drkmessgeräte Detsher Kalbrerdest DKD Brashweg Asgabe 00 [7] DI E ISO : Geometrshe Prodktspezfkato (GPS) Prüfg vo Werkstüke d Messgeräte drh Messe Tel : Etshedgsregel für de Feststellg vo Überestmmg oder htüberestmmg mt Spezfkatoe Beth erlag Berl März 999 Beblatt : Letfade zr Shätzg der Usherhet vo GPS-Messge be der Kalbrerg vo Messgeräte d be der Prodktprüfg Beth erlag Berl Ma 000 [8] DA-: Qaltätsmaagemet der Atomobldstre Bad : Prüfprozessegg erbad der Atomobldstre e.. (DA). Aflage 00 Lteratr [9] Wese K.. Wöger W.: Ee Bayesshe Theore der Meßsherhet Berht PTB-- PTB Brashweg d Berl Agst 99 [0] Wese K.. Wöger W.: Messsherhet d Messdateaswertg CH Wehem 999 ISB [] Wöger W.; Kessel W.; Sommer K.-D.; Sebert B.R.L.; Kd D.: Themeshwerpkt Messsherhet Soderdrk as Heft d Heft der PTB-Mttelge (00) [] DI-Berhte d 97: Messsherhet prasgereht bestmme DI/DE-Gesellshaft für Mess- d Atomatsergstehk Tagge Oberhof/Thürge d Erfrt DI erlag GmbH Düsseldorf 00/00/006 [] Themehefte Messsherhet tm Tehshes Messe /00 /00 d 0/007 [] Adka F.: Meßsherhete Theore d Pras lka-erlag Esse 000 ISB bzw. DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. / /

26 AHÄGE orbemerkg: De Ahäge solle daz dee dass e teresserter Leser de mathematshe Grdlage ahlese ka ohe af vershedee Shrfte d Fahbüher zrükgrefe z müsse. Des betrfft sbesodere de Ahäge A d B. Ahag A erlätert was ee Wahrshelhketsvertelg st d we ma damt rehe ka d legt dabe ah dar wa ma ee Modellfkto als lear betrahte ka d we e gegebees Modell für das Stadardverfahre learsert wrd. Ahag B erlätert we ma Empfdlhketskoeffzete aalytsh oder mersh berehe ka d dsktert e Bespel be dem ma ee htleare Betrag beahte mss. dass asführlhe Bespele zr erfügg stehe de m Hapttet de Übershtlhket beeträhtge würde. Des betrfft sbesodere Ahag E der zegt dass ma zähst shwerge Modelle Utermodelle zerlege ka so dass ma vele Fälle de Empfdlhketskoeffzete ht eplzt berehe mss. dass ma de Begrüdg für erefahge de m Hapttet vorgeshlage werde ahlese ka d wetere Bespele zr erfügg hat. Des betrfft sbesodere de Ahäge C D F d G. Ahag C erlätert we ma Rotemessge verefahe ka dem ma ee festgesetzte Shwakgsbrete für Umgebgsgröße festlegt d dese de Usherhetsermttlg ebezeht. Ahag D ethält zsätzlhe Bespele zr erefahg drh erwedg vo Korrektosfaktore. Des maht es möglh e Modell e Prodkt-/Qotetmodell mzformlere für das de Ermttlg der Usherhet besoders efah wrd. Ahag F zegt dass ma der Pras oft efah de zsätzlhe Usherhet bestmme ka de as eer Abwehg zwshe Kalbrer- d Awedgsbedgge resltert. Ahag G beshrebt de Festlegg egedeferter Spezfkatoe zr erefahg vo Koformtätsassage. A Erwartg araz d Kovaraz vo Wahrshelhketsvertelge Der GUM verlagt für alle als relevat erkate Größe (Egagsgröße) Ketsse z sammel de otwedg sd m de beste Shätzwert d de desem bezordede Usherhet bestmme z köe. Dese Ketsse werde drh Wahrshelhketsvertelge wedergegebe de das Maß des ertraes de afgrd deser Ketsse realstsherwese möglhe Werte asdrüke. Das folgede Bespel verdetlht das Kozept eer Wahrshelhketsvertelg. Bespel: Azege ees Dgtalvoltmeters De Azege se 9 m. Daras ka ma r shleße dass alle Werte der Spag de größer als 8 m d kleer als 9 m sd gleh wahrshelh sd. We alle Werte gleh wahrshelh sd sprht ma vo eer Rehtekvertelg. Dese folgt as dem Przp der Mamale (Iformatos-)Etrope mmer da we ma r de Kets hat dass de möglhe Werte größer sd als e klester Wert (tere Greze) d kleer sd als e größter Wert (obere Greze) s. z. B. Referez [0] d de Betrag vo W. Wöger [] letzterem fdet ma ah ee Abletg der t-ertelg de der Pras mest als de ertelg möglher Mttelwerte eer klee Sthprobe ageomme werde ka. Welhe der am häfgste der Kalbrerpras vorkommede Wahrshelhketsvertelg jewels aszwähle st fdet ma Abshtt... De meste der Kalbrerpras beötgte Wahrshelhketsvertelge sd koterlhe Fktoe. Um de Begrff Wahrshelhketsvertelg z erläter st es aber hlfreh zähst r edlh vele dskrete möglhe Werte z betrahte. Wr ehme a dass für ee Größe Werte j möglh see d bezehe de Wahrshelhket mt der wr de j-te Wert afgrd serer Ketsse erwarte mt p j. De Wahrshelhket dafür dass eer gegebee Messg rgedeer der Werte vorlegt mss gleh se also: DKD-FA MU: Messsherhet für de Pras S. 6 / /

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