Fortgeschrittenenpraktikum im WS 02/03 E112: Zeeman- und Paschen-Back-Effekt. Christian Sandow & Iris Rottländer Gruppe 7

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1 Fortgeschrittenenpraktikum im WS 02/03 E112: Zeeman- und Paschen-Back-Effekt Christian Sandow & Iris Rottländer Gruppe 7 Universität Bonn, 24. Oktober 2002

2 Inhaltsverzeichnis 1 Thema des Versuchs 2 2 Theoretische Grundlagen Prinzip der quantenmechanischen Störungsrechnung Zeeman-Effekt Auswirkungen auf das Cadmium-Spektrum Paschen-Back-Effekt Auswirkungen auf das Helium-Spektrum Übergangsgebiet Auswahlregeln und Polarisation Linienschwerpunkt und Clebsch-Gordon-Koeffizienten Verwendete Geräte Lummer-Gehrke-Platte Fabry-Pérot-Interferometer λ/4-plättchen Interferenzfilter Hallsonde Versuchsaufbau Messung des Zeeman-Effekts Messung des Paschen-Back-Effekts Versuchsdurchführung Messung des Zeeman-Effekts Messung des Paschen-Back-Effekts Versuchsauswertung Zeeman-Effekt Eichkurve der Magnetfeldstärke Bestimmung des Bohr schen Magnetons Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrke-Platte Paschen-Back-Effekt Eichkurve der Magnetfeldstärke Analyse der Polarisation & Bestimmung der Magnetfeldrichtung.. 20 Bohr sches Magneton µ B und die spezifische Ladung e m Berechnung der spezifischen Ladung Literaturverzeichnis 23 1

3 1 Thema des Versuchs Ziel des Versuches ist die Beobachung des Zeeman-Effekts an Cadmium-Linien und des Paschen-Back-Effekt an Helium-Linien einschließlich der jeweiligen Polarisationen. Daraus soll das Bohr sche Magneton und die spezifische Elektronenladung e m bestimmt werden. Darüberhinaus wird das Auflösungvermögen der verwendeten Lummer-Gehrke-Platte experimentell abgeschätzt. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Prinzip der quantenmechanischen Störungsrechnung In der zeitunabhängigen Störungstheorie betrachtet man die stationäre Schrödingergleichung H n >= E n n > (1) für einen Hamilton-Operator aus zwei Anteilen: H = H 0 + λh 1 (2) Dabei seien die Eigenwerte E0 n und die Eigenfunktionen n 0 > des H 0 -Operators bereits bekannt. H 1 kennzeichnet die Störung, die durch eine entsprechende Wahl von 0 λ 1 sozusagen ein- und ausgeschaltet werden kann. Die Störung muß klein im Vergleich zu H 0 sein. Man nimmt an, das folgende Entwicklungen nach λ möglich sind: E n = En 0 + λen 1 + λ 2 En (3) n >= n 0 > +λ n 1 > +λ 2 n 2 > +... (4) Setzt man diese Entwicklungen in (1) ein und führt Koeffizientenvergleiche durch, erhält man Näherungslösungen in der entsprechenden Ordnung. Es muß beachtet werden, daß für entartete Zustände eine besondere Vorgehensweise nötig ist, um während der Herleitung der Näherungslösungen eine Division durch 0 zu vermeiden. Dies ist für die Herleitung des Zeeman- und Paschen-Back-Effekt wichtig, da dort die Energieeigenwerte von H 0 teilweise entartet sind. 2.2 Zeeman-Effekt Der Zeeman-Effekt tritt für schwache Magnetfelder auf, genauer gesagt muß der Beitrag des Magnetfeldes zum Hamilton-Operator vernachlässigbar gegenüber der Spin-Bahn-Kopplung sein. Bei der Spin-Bahn-Kopplung koppelt der Vektor des Bahndrehimpulses und der Vektor des Spins zum Gesamtdrehimpuls. l + s = j (5) Dadurch sind l,m l,s und m s nicht mehr separat erhalten, statt dessen aber j und m j. Bezüglich dieser Größen kann der Hamilton-Operator also diagonalisiert werden. Für das entsprechende Potential dieser Kopplung im Hamilton-Operator gilt: V ls ( l s) (6) Sie ist für die Feinstrukturaufspaltung der Spektrallinien verantwortlich. Durch ein schwaches äußeres Magnetfeld wird die Spin-Bahn-Kopplung nur wenig gestört, der Vektor des Gesamtdrehimpulses präzidiert lediglich um die Feldrichtung. Darum kann der Einfluß des Magnetfeldes V B hier als kleine Störung angesehen werden und dementsprechend wie in Kapitel 2.1 beschrieben behandelt werden. Es gilt: V B = µ B (g l L ges + g s S ges ) (7) 2

4 he Dabei ist µ B = 2m e das Bohr sche Magneton. Für den g-faktor des Bahndrehimpulses gilt g l = 1, für den des Spins inklusive aller Korrekturen g s 2, 003. Der Zeeman-Effekt führt zu einer Aufspaltung aller entarteten Energieniveaus. Wird die Aufspaltung nur durch den Bahndrehimpuls bestimmt, spricht man aus historischen Gründen vom normalen, ansonsten vom anormalen Zeeman-Effekt. Als Ergebnis erhält man für die Energieaufspaltung wobei g j der Landé-g-Faktor ist: E = µ B g j m j B (8) g j = 1 + J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1) 2J(J + 1) (9) Man sieht sofort, daß für den normalen Zeeman-Effekt (S = 0,J = L) g j = 1 und damit unabhängig von L ist. Die Aufspaltung ist dann für alle Niveaus äquidistant. Für den anormalen Zeeman-Effekt ist die Aufspaltung hingegen abhängig von L. Die beobachteten Spektrallinien entsprechen natürlich den Differenzen der Energien der beiden beteiligten Zustände. Wie man sofort erkennen kann, gilt für diese: E = (m j1 g j1 m j2 g j2 )µ B B (10) Daraus kann man mit E = hν direkt auf Frequenz und Wellenlänge der emittierten Strahlung schließen. Auswirkungen auf das Cadmium-Spektrum Im Versuch wird der Zeeman-Effekt an vier verschiedenen Cadmium-Linien betrachtet. Diese sind im Folgenden aufgeführt. Die für die Zustände verwendete Notation entspricht n 2s+1 L J. 5 1 D P 1 Diese Linie liegt im roten Bereich bei 644, 0nm. Da beide beteiligten Zustände s = 0 haben, liegt hier normaler Zeeman-Effekt vor mit g 1 = g 2 = 1. Die Größe der Aufspaltung ist in beiden Niveaus identisch, so daß je drei Linien die gleiche Energie aufweisen. Deshalb sind nur drei Spektrallinien zu sehen. Selbstverständlich sind nur solche Übergänge vorhanden, die den Auswahlregeln entsprechen. 3

5 6 3 S P 2 Diese Linie liegt im grünen Bereich bei 508, 7nm. Hier gilt g 1 = 2 und g 2 = 1, 5. Wegen des Spin-Beitrags haben wir hier anormalen Zeeman-Effekt. Die Aufspaltung ist für beide Niveaus unterschiedlich groß, es haben also keine zwei Linien dieselbe Energie. Darum werden 9 Linien erwartet. 6 3 S P 1 Diese Linie liegt im blauen Bereich bei 480, 1nm. Hier gilt ebenfalls g 1 = 2 und g 2 = 1, 5. Auch hier liegt anormaler Zeeman-Effekt vor. Wir erwarten 6 Linien. 4

6 6 3 S P 0 Diese Linie liegt im violetten Bereich bei 467, 9nm. Bei der unteren Linie ist der Gesamtdrehimpuls Null, es kommt also zu keiner Entartung bezüglich m j und somit zu keiner Aufspaltung. Es werden demnach nur 3 Linien erwartet. 2.3 Paschen-Back-Effekt Beim Paschen-Back-Effekt ist das Magnetfeld so stark, daß es die Spin-Bahn-Kopplung aufheben kann. In diesem Fall kann die Spin-Bahn-Wechselwirkung also als vernachlässigbare Störung angesehen werden. Dementsprechend kann auch hier die zeitunabhängige Störungstheorie angewendet werden. Die Vektoren l und s präzidieren nun unabhängig voneinander um die Feldrichtung. In diesem Fall sind die z-komponenten von Spin und Bahndrehimpuls erhalten. Der Hamilton-Operator kann also bezüglich dieser Größen diagonalisiert werden. Man erhält für die Energieaufspaltung: E = µ B B(m l + 2m s ) (11) Die Energie, die einer Spektrallinie entspricht, ist offensichtlich: E = (m l1 m l2 )µ B B (12) Da die Spin-Bahn-Kopplung von der Größe der Kernladung abhängt, ist es vorteilhaft, für die Beobachtung des Paschen-Back-Effektes ein Element mit niedriger Kernmasse zu verwenden. Dann wird dieser Bereich auch schon für relativ schwache Felder erreicht. Auswirkungen auf das Helium-Spektrum Im Versuch wird der Paschen-Back-Effekt an einer Helium-Linie beobachtet. Helium wurde wegen der geringen Kernladungszahl ausgewählt. 5

7 2 1 P S 0 Diese Linie liegt im gelben Bereich bei 584, 3nm. Der Erwartung nach sollten die Linien bezüglich m l aufgespalten sein. Das untere Niveau kan also nicht aufspalten. Im Spektrum sollten also drei Linien erscheinen. 2.4 Übergangsgebiet Die Berechnung im Übergangsgebiet ist schwierig, da hier weder das Magnetfeld noch die Spin-Bahn-Kopplung gegeneinander vernachlässigbar sind. Man kann also nur dann Störungstheorie anwenden, wenn man die Summe beider Beiträge als Störterm betrachtet. Allerdings ist hier nur noch die Größe m = m l + m s erhalten. Dies ist klar, da da dies die einzige Erhaltungsgrösse ist, die in beiden zuvor behandelten Grenzfällen vorkommt. Aus diesen Gründen ist die quantenmechanische Betrachtung kompliziert. Während unserer Messungen soll das Übergangsgebiet auch nicht betrachtet werden. 2.5 Auswahlregeln und Polarisation Nicht jeder kombinatorisch denkbare Übergang zwischen zwei Zuständen findet sich auch im Spektrum wieder. Das liegt daran, daß nur solche Übergänge optisch erlaubt sind, die gewissen Auswahlregel gehorchen. Quantenmechanisch bedeutet dies, das das entsprechende Matrixelement ungleich Null sein muß. Auswahlregeln für optische Übergänge sind: m = 1, 0, +1 l = 1, +1 Die Änderung von Drehimpulsquantenzahlen während eines Übergangs läßt sich dadurch erklären, daß das abgestrahlte Photon die Differenz mit wegträgt. Dies entspricht einer bestimmten Polarisation. Man kann sich alternativ auch mit dem Bild des Hertz schen Dipols argumentieren, um die Polarisationen zu erklären. Eine kleine Tabelle mag die Ergebnisse zusammenfassen: Polarisation Emission m j = 0 π-übergang linear transversal m j = 1 σ -Übergang linear transversal m j = 1 σ -Übergang linkszirkular longitudinal m j = +1 σ + -Übergang linear transversal m j = +1 σ + -Übergang rechtszirkular longitudinal 6

8 Die Tabelle gilt für Beobachtung gegen die Feldrichtung. Dabei entspricht transversale Abstrahlung der Emission senkrecht zum Magnetfeld und longitudinale Abstrahlung der Emission parallel zum Feld. Wird eine dazwischenliegende Richtung gewählt, wird bei den Linien für m j = 1, +1 eine elliptische Polarisation vorgefunden. Außerdem fällt ins Auge, daß der Übergang mit m j = 0 aus longitudinaler Richtung überhaupt nicht beobachtbar ist. 2.6 Linienschwerpunkt und Clebsch-Gordon-Koeffizienten Da die aufgespaltenen Spektrallinien nur sehr geringe Wellenlängenintervalle auseinander liegen können, reicht das Disperionsgebiet der verwendeten interferometrischen Instrumente nicht aus, diese noch zu trennen. In diesem Fall werden die beobachteten Linien wie eine einzige Linie aussehen. Dann ist es experimentell nur möglich, den Schwerpunkt der Linien zu bestimmen. Die Linien können allerdings unterschiedliche Intensitäten beitragen, dies hängt von den entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten ab. Diese wiederum werden durch die Clebsch-Gordon- Koeffizienten (Cqm kj1j2 1m 2 ) 2 angegeben, wie sich mit Hilfe des Wigner-Eckart-Theorems zeigen läßt. Die Koeffizienten können aus dem Versuchsanhang entnommen werden. Gleichung (10) ändert sich dann zu: E = Übergänge (m j1 g j1 m j2 g j2 )(C kj1j2 qm 1m 2 ) 2 µ B B (13) 7

9 3 Verwendete Geräte 3.1 Lummer-Gehrke-Platte Die Lummer-Gehrke-Platte benutzt die Interferenz an planparallelen Platten, um ein hohes Auflösungsvermögen zu erreichen. Sie besteht aus einer Glasplatte mit planparallelen Seiten, auf die ein Umlenkprisma aufgesetzt wurde. Das Prisma hat den Zweck, einen einfallenden Lichtstrahl so in die Lummer-Gehrke-Platte zu lenken, daß er dort annährend unter dem Winkel der Totalreflektion auf die Grenzflächen der Glasplatte trifft. Ein großer Teil des Strahls wird reflektiert, aber ein anderer Teil kann die Platte unter streifendem Ausfall verlassen. Der innerhalb der Lummer-Gehrke-Platte reflektierte Strahl trifft wieder annährend unter dem Winkel der Totalreflektion auf die gegenüberliegende Grenzschicht, ein Teil wird erneut reflektiert, ein anderer Teil kann die Platte verlassen. Man sieht sofort, daß es auf diese Weise zu Vielfachreflexionen innerhalb der Lummer-Gehrke-Platte kommt und daß viele parallele Strahlen die Platte unter streifendem Ausfall verlassen. Benachbarte Strahlen weisen folgenden Gangunterschied auf: γ = 2dn cos θ (14) Dabei ist n der Brechungsindex des Plattenmaterials, d und θ können der Abbildung entnommen werden. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn gilt γ = k λ ist, wobei k eine ganze Zahl sein muß. Die Lummer-Gehrke-Platte besitzt ein bestimmtes Dispersionsgebiet. Dies ist das Gebiet, in dem sich zwei Wellenlängen mit Unterschied λ sich in verschiedene Interferenzstreifen aufspalten lassen. Man kann zeigen, daß für das Dispersionsgebiet gilt: λ = λ2 γ = λ2 2d 1 n2 1 Dafür wurde die Näherung n 2 sin 2 d n 2 1 verwendet, die in der Nähe des Grenzwinkels gültig ist. Der Dispersionsbereich ist wichtig, da nur dort eine Wellenlängenbestimmung vorgenommen werden kann. Im Versuch kommt es darauf an, Wellenlängenänderungen δλ zu messen. Hierzu mißt man den Abstand der Hauptlinie zu der bestimmenden Linie, δα, und den Abstand zweier benachbarter Hauptlinien, α. Dann folgt: (15) δλ = δα λ (16) α 8

10 Für die Frequenzdifferenz gilt δν = c δλ (17) λ2 Das theoretische Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrke-Platte beträgt A = L λ (n2 1) (18) 3.2 Fabry-Pérot-Interferometer Auch das Fabry-Pérot-Interferometer arbeitet mit der Interferenz an planparallelen Platten, um so ein hohes Auflösungsvermögen zu erreichen. Im Gegensatz zur Lummer-Gehrke-Platte fällt das Licht jedoch nicht streifend, sondern annährend senkrecht aus. Außerdem ist der Abstand der planparallelen Ebenen nicht konstant, sondern kann noch verändert werden, z.b. um eine bessere Auflösung zu erreichen. Dafür müssen die Platten aber verspiegelt sein, um eine genügend große Reflektivität zu erreichen, auch wenn nicht in der Nähe des Winkels der Totalreflektion gearbeitet wird. Das Fabry-Pérot-Interferometer besteht also aus zwei verspiegelten Glasplatten, deren Innenflächen planparallel ausgerichtet sind. Die Außenflächen sind häufig absichtlich nicht parallel dazu gebaut, um Störungen durch Reflexionen an diesen zu vermeiden. Innerhalb der Glasplatten befindet sich eine Luftschicht. Wenn nun Licht annährend senkrecht in das Fabry-Pérot-Interferometer einfällt, wird ein Teil des Strahl an der Grenzschicht reflektiert, ein Teil jedoch wird transmittiert und kann austreten. Der reflektierte Anteil kann auch wieder reflektiert oder transmittiert werden u.s.w, also kommt es auch hier zu Vielfachreflektionen und zu vielen parallel zueinander ausfallenen Strahlen, die miteinander interferieren können. Die Bedingung für konstruktive Interferenz ist dieselbe wie für die Lummer-Gehrke- Platte, da der Strahlengang sehr ähnlich ist, jedoch wird der Brechungsindex der Luft im Innern des Fabry-Pérot-Interferometer mit n = 1 angenommen: k λ = 2d cos θ (19) Analog zur Berechnung bei der Lummer-Gehrke-Platte läßt sich zeigen, daß für die Frequenzänderung gilt: δν = δα c (20) α 2d 9

11 Das Auflösungsvermögen des Fabry-Pérot-Interferometer beträgt: A = 2πnd (1 R)λ (21) Dabei ist R der Reflexionsfrad der verwendeten Spiegel. Um ein hohes Auflösungsvermögen zu erreichen, muß die Breite des Luftspaltes genau auf die Wellenlänge abgestimmt sein. Außerdem sollten Spiegel mit möglichst hohem Reflexionsgrad verwendet werden. 3.3 λ/4-plättchen Das λ/4-plättchen beruht auf dem Prinzip der Doppelbrechung, d.h. richtungsabhängigem Brechungsindex, der durch optische Achsen charakterisiert wird. Im Falle eines optisch einachsigen Kristalls wird die Fortpflanzung von senkrecht zur Achse polarisiertem Licht durch den ordentlichen Brechungsindex n o und die von parallel zur Achse polarisiertem Licht durch den außerordentlichen Brechungsindex n e beschrieben. Durch die unterschiedlichen Brechungsindizes pflanzen sich die Strahlen unterschiedlicher Polarisation im Kristall nicht nur verschieden schnell fort, sondern können sogar räumlich getrennt werden. Bei einem λ/4-plättchen liegt die optische Achse parallel zur Eintrittsfläche der Platte. Dadurch wird ausgeschlossen, das die optische Achse parallel zur Ausbreitungsrichtung liegt. In diesem Fall läge nämlich niemals eine Polarisationsrichtung parallel zur Achse, und das λ/4-plättchen könnte nicht funktionieren. Die Dicke des λ/4-plättchen ist gerade so gewählt, daß für eine bestimmte Wellenlänge die Verzögerung der außerordentlichen Komponente gegenüber der ordentlichen Komponente gerade so groß ist, das ein Phasenunterschied von π/2 entsteht. Dadurch wird eine Veränderug der Polarisation des austretenden Lichtes erzeugt. Linear einfallendes Licht mit genau gleichen Polarisationsanteilen parallel und senkrecht zur Achse wird zirkular polarisiert, zirkular polarisiertes Licht wird dementsprechend linear polarisiert. Linear polarisiertes Licht, dessen Polarisationsrichtung ausschlielich parallel oder senkrecht zur Achse liegt, kann natürlich nicht betroffen werden. 3.4 Interferenzfilter Ein Interferenzfilter soll nur für einen schmalen Wellenlängenbereich durchlässig sein. Dies kann dadurch erreicht werden, daß in allen anderen relevanten Wellenlängenbereichen eine hohe Reflektivität erzielt wird. Bei einem dielektrischen Spiegel werden zwei verschiedene Materialien mit verschiedenen Brechungsindizes immer abwechselnd in dünnen Schichten übereinander gelegt. An jeder Grenzschicht kommt es zur Reflexion. Die Dicke der Schichten kann so gewählt werden, das für Licht einer bestimmten Wellenlänge die an den verschiedenen Grenzschichten reflektierten Anteile konstruktiv interferieren. Dann wird eine sehr hohe Reflektivität erreicht. Stellt man mehrere solcher dielektrischen Spiegel für verschiedene Wellenlängenbereichen hintereinander und läßt dabei nur den gewünschten Wellenlängenbereich aus, erhält man einen Interferenzfilter. 3.5 Hallsonde Die Hallsonde dient zur Messung der Magnetfeldstärke. Dabei nutzt sie den Hall- Effekt aus. Bewegte Ladungsträger werden im Magnetfeld durch die Lorentz-Kraft senkrecht zur Flugrichtung und zur Magnetfeldrichtung abgelenkt. Dadurch häufen sich an den Seitenflächen des stromdurchflossenen Leiters unterschiedliche Ladungen 10

12 an, bis das so entstehende rücktreibende elektrische Feld den Einfluß des magnetischen Feldes aufhebt. Aus der an zwischen den Seiten der Hallsonde anliegenden Spannung kann also das Magnetfeld berechnet werden. Die von der im Versuch verwendeten Hallsonde ermittelten Werte müssen zunächst noch mithilfe der Eichkurve in der Staatsexamensarbeit von Weber umgerechnet werden. 11

13 4 Versuchsaufbau 4.1 Messung des Zeeman-Effekts Der verwendete Magnet besteht aus zwei Polschuhen, in deren Mitte die Cadmium- Lampe plaziert ist. Sie kann auch gegen die Hallsonde zur Messung des Magnetfeldes ausgetauscht werden. Die Spannungquelle dient dazu, die Magnetfeldstärke zu regulieren. Für diesen Versuchsteil ist nur Beobachtung in transversaler Richtung möglich. Die Interferenzfilter können auch durch farbige Glasscheiben ersetzt werden. Durch sie kann die jeweils zu betrachtete Linie ausgewählt werden. Durch den Polarisationsfilter kann die störende π-linie ausgeblendet werden. Das Licht fällt auf die Lummer-Gehrke-Platte, dort werden wie in Kapitel 3.1 beschrieben interferenzfähige Strahlenbündel erzeugt. Diese werden mit dem auf unendlich eingestellten Fernrohr beobachtet. 12

14 4.2 Messung des Paschen-Back-Effekts In diesem Versuchsteil ist auch Beobachtung in longitudinaler Richtung möglich. Dazu wurden die Polschuhe entsprechend durchbohrt. Die Cadmium-Lampe dient zur Justierung in horizontaler Richtung, die Helium-Lampe zur Beobachtung des Paschen-Back-Effekts während der Messungen. Sie kann ebenfalls wieder durch die Hallsonde ersetzt werden. Die Spannungsquelle zur Regulierung der Magnetfeldstärke ist in dieser Skizze weggelassen worden. Der Kollimator dient dazu, nur Licht aus dem Inneren des Feldes in die Apparatur fallen zu lassen. In longitudinaler Richtung kann er entfallen, da der Kanal im Polschuh dies ohnehin schon gewährleistet. Der Interferenzfilter dient zur Auswahlt der betrachteten gelben Linie. Die Feldlinse ist so eingestellt, daß sie möglichst viel Licht sammelt und in die Apparatur leitet. Der Polarisationsfilter wird, wie in Kapitel 6.1 beschrieben, zur Analyse der Polarisation benützt. In transversaler Richtung werden mit ihm ebenfalls die π-linien ausgeblendet. In longitudinaler Richtung ist dies nicht nötig, da dort ohnehin nur die σ-linien auftauchen. Das λ/4-plättchen wird nur in longitudinaler Beobachtungrichtung zur Polarisationsanalyse eingesetzt, da wir nur dort zirkulare Polarisationen erwarten. Das Licht fällt dann in das Fabry-Pérot-Interferometer (siehe Kapitel 3.2). Dessen Interferenzbild wird mit dem Fernrohr betrachtet. 13

15 5 Versuchsdurchführung 5.1 Messung des Zeeman-Effekts Vor Versuchsbeginn stellten wir zunächst fest, daß die Knebelschrauben der Magnete fest angezogen waren. Dies ist wichtig, da sonst die Polschuhe des Magneten aufeinander zu gezogen werden und so die Cadmium-Lampe zerstören könnten. Die Justage des Versuchsaufbaus dieses Versuchsteils war nicht sehr aufwendig, da die benötigten Geräte bereits richtig auf der optischen Bank aufgereiht waren. Wir richteten lediglich das Fernrohr so aus, daß wir maximale Intensität erreichten, und setzen den Polarisationsfilter ein. Bei Gebrauch der Interferenzfilter stellten wir fest, daß es wichtig ist, diese senkrecht zum Strahlengang in die Apparatur einzubauen. Sind sie verkippt, ändern sich die in Kapitel 3.4 beschriebenen Interferenzbedingungen, die Durchlässigkeit des Filters verschiebt sich und die Intensität des noch beobachtbaren Lichts nimmt ab. Das stellte jedoch kein Problem dar. Beim Plazieren mit der Hallsonde bei der Messung der Eichkurve achteten wir darauf, daß deren sensitive Spitze genau zwischen den Polschuhen war, dort wo sich später auch die Lampe befinden würde. Vor der Messung stellten wir durch leichtes Wackeln an der Sonde fest, daß dies tatsächlich dem Bereich des maximalen Feldes entsprach. Nachdem wir die Cadmiumlampe wieder eingesetzt hatten, konnten wir beim Hochfahren des Magnetfeldes den Zeeman-Effekt betrachten. Durch Drehen des Polarisators wählten wir eine Einstellung, bei der dieser die π-linie ausblendete, damit diese nicht bei der Messung stören kann. Wir stellten das Magnetfeld stets so ein, das die nun noch sichtbaren σ-linien äquidistant waren, denn dies entspricht einem Verhältnis δα α = 1 4. Wir entschieden uns für dieses Verhältnis, weil es gut zu erkennen und mit dem hier verwendeten Magneten bei jeder Linien zu erreichen ist. Jeder von uns führte stets drei Messungen für jede Linie durch. Dadurch hofften wir, systematische Fehler durch subjektive Empfindungen zu minimieren. Für die Messung des Auflösungsvermögens verwendeten wir die rote Linie. Die π- Linie blendeten wir wieder aus. Dann erhöhten wir das Magnetfeld, bis sich die beiden σ-linien soeben trennen lieen. Auch hier führte jeder von uns drei Messungen durch. 5.2 Messung des Paschen-Back-Effekts In diesem Versuchsteil justierten wir zunächst längere Zeit die optischen Komponenten in longitudinaler Position. Dafür verwendeten wir eine Cadmium-Lampe, da die Helium-Lampe, die nicht länger als zwei Minuten am Stück brennen darf, für diese Aufgabe sehr lästig zu verwenden wäre. Auch setzen wir zunächst die Filter und das λ/4-plättchen nicht mit in den Strahlengang ein. Wir veränderten vor allem die Positionen von Feldlinse und Interferometer. Nach einiger Zeit hatten wir eine Positionierung gefunden, die uns eine gute Intensität aufzuweisen schien. Die Helligkeit nahm aber noch deutlich ab, nachdem wir auch die Filter und das λ/4- Plättchen in den Strahlengang gestellt hatten, sie reichte aber noch aus, um den Paschen-Back-Effekt sehen zu können. Für die Messungen in transversaler Position verschoben wir die gesamte optische Bank vorsichtig, ohne die relativen Positionen der Komponenten zu verändern. Deshalb war keine neue Justage notwendig. In longitudinaler Richtung analysierten wir die Polarisationen der einzelnen Komponenten. Dazu überprüften wir zunächst die Einstellung des Polarisationsfilters. Dieser verfügte leider über keine eindeutigen Beschriftungen, sondern war nur mit zwei Streifen Klebeband markiert worden. Wir stellten den Filter so ein, daß er Licht, daß von dem Glasdeckel einer waagerecht gehaltenen Armbanduhr reflektiert wurde, bestmöglichst abfing. Nach den Fresnel schen Formel entspricht dies 14

16 der Position, in der linear polarisiertes Licht mit horizontaler Schwingungsrichtung herausfiltert. Mit dieser Einstellung setzen wir den Filter in den Strahlengang ein. Leider war die σ + - und die σ -Linien im Interferenzbild für uns von vornherein nicht zu unterscheiden. Darum blendeten wir zunächst eine der Linien aus und betrachteten dann, ob sich die überbleibende Linie bei wachsendem Magnetfeld nach außen oder nach innen bewegt. Das Ausblenden der Linien gelang mithilfe des λ/4-plättchens: Wir stellten dessen schnelle Achse nacheinander auf +45 und 45. Je nachdem, welchen Umlaufsinn die zirkulare Polarisation der Linie aufwies, wurde das Licht durch das λ/4-plättchen in linear polarisiertes Licht mit vertikaler oder horizontaler Schwingungsrichtung umgewandelt und dementsprechend vom Polarisationsfilter durchgelassen oder aufgehalten. Die π-linie ist in longitudinaler Richtung von selbst nicht sichtbar und stört deshalb diese Messung nicht. Für die eigentliche Messung des Paschen-Back-Effektes mußten wir in transversaler Richtung die π-linie wieder mit einem Polarisationsfilter ausblenden. Das λ/4- Plättchen entfernten wir für diesen Teil der Messung, da dieses Intensität kostete. Dann stellten wir wieder äquidistante σ-linien, also δα α = 1 4, ein. In transversaler Richtung war die Helligkeit aber deutlich geringer, da die hier verwendete Lochblende viel Licht aufhielt. Dem trugen wir Rechnung, indem wir in dieser Richtung zwei zusätzliche Messungen durchführten. Trotz der geringen Intensität war die Struktur des Interferenzbildes aber auch in äquidistanter Einstellung noch zu sehen. Ansonsten gingen wir analog zur Messung des Zeeman-Effektes vor. Die Benutzung der Helium-Lampe erforderte besondere Vorsicht, da die Lampe nicht länger als zwei Minuten am Stück brennen durfte, um nicht zu überhitzen. Darüberhinaus wurde sie mit einem Lüfter gekühlt. Wir achteten darauf, die Lampe immer nur so kurz wie nötig anzustellen und genügend lange Abkühlpausen einzuhalten. 15

17 6 Versuchsauswertung 6.1 Zeeman-Effekt Eichkurve der Magnetfeldstärke Folgende Messreihen erhielten wir bei unseren Messungen mit der Hallsonde. Wir führten je zwei aufsteigende und zwei absteigende Messungen durch, um Hystereseeffekte zu berücksichten. Die Skala des Strommeßgerätes verlief nicht linear. Darum haben wir die Fehler für den Magnetstrom I B gestaffelt angenommen. Den Fehler für den Hallstrom haben wir stets mit I H = 0, 5Skt abgeschätzt, da die kleinsten Unterteilungen auf der Hallstromskala 1Skt betrugen. I B [A] I B [A] IH,auf 1 [Skt] I2 H,ab [Skt] I3 H,auf [Skt] I4 H,auf [Skt] I H[Skt] ,5 2 0, ,5 3 0, ,5 4 0, ,5 5 0, ,5 6 0, ,5 7 0, ,5 8 0, ,5 9 0, ,5 9,2 0,1 57 0,5 10 0, ,5 11 0, ,5 12 0, ,5 Die Werte sind in untenstehender Graphik aufgetragen. Man sieht, daß die Eichkurve im oberen Teil nicht mehr linear verläuft. Darum haben wir den unteren Bereich ( 8, 5A) und den oberen Bereich (> 8, 5A) durch 16

18 getrennte Geraden gefittet. Wie man sieht, sind die Fitgeraden in sehr guter Übereinstimmung mit den Werten und können also in ihrem jeweiligen Bereich zur Eichung verwendet werden. Nur in unmittelbarer Nähe des Schnittpunktes der beiden Geraden würde der Fit nicht mehr so gut zu den tatsächlichen Werten des Magnetfeldes passen, da wir in diesem Gebiet aber keine Messpunkte haben, ist dies nicht relevant für die Auswertung. Wir erhalten als Fitparameter: y 0, 8,5A = (1, 0 ± 0, 37)Skt m 8,5A = (6, 43 ± 0, 074)Skt/T y 0,>8,5A = (27 ± 1, 2)Skt m >8,5A = (3, 2 ± 0, 12)Skt/T Aus einer Graphik in der Staatsexamensarbeit von Weber können wir folgende Beziehung zwischen Magnetfeld und Hallstrom entnehmen: ( ) ( ) B IH = 0, 0099 (22) T Skt Laut den Ausführungen der Staatsexamensarbeit ist die Eichung auf T genau. Dieser Fehler ist klein genug, um vernachlässigt zu werden. Bestimmung des Bohr schen Magnetons Bestimmung des Magnetfeldes Wir führten für jede der vier Linien sechs Messungen des Magnetfeldes für ein Verhältnis δα α = 1 4 durch. Die Ergebnisse sind in folgenden Datensätzen wiedergegeben. I B,rot [A] I B,grün [A] I B,blau [A] I B,violett [A] 10,9 8,2 5,6 4,6 10,5 7,8 5,8 4,3 11,6 7,6 5,3 4,9 10,3 7,9 5,1 5,0 11,2 7,6 5,4 4,4 11,8 7,0 5,2 4,1 Diese sechs Werte für den Magnetstrom wurden zunächst gemittelt und mit dem Mittelwert gemäß der Eichkurven das entsprechende Magnetfeld berechnet. Die Fehler des Magnetstroms stellen die jeweiligen Standardabweichungen dar, der Fehler für das Magnetfeld wurde nach Gauss berechnet: λ[nm] Ī B [A] ĪB[A] B[T ] B[T ] rot 644,027 11,1 0,60 0,61 0,025 grün 508,725 7,7 0,40 0,50 0,028 blau 480,125 5,4 0,26 0,35 0,021 violett 467,946 4,6 0,35 0,30 0,025 Berechung des Linienschwerpunkts Bei der grünen und der blauen Cadmium- Linie bestanden die σ-linien nicht aus einer einzelnen Linie, sondern waren in drei bzw. zwei Linien aufgespalten (siehe Kapitel 2.2). Darum war die Berechnung des Linienschwerpunktes durch die Clebsch-Gordon-Koeffizienten gemäßs Abschnitt 2.6 nötig. Die Clebsch-Gordon-Koeffizienten in der Tabelle sind auf die Zusammensetzung eines Zustandes normiert. Da die σ-linien aber aus Beiträgen bestehen, die unterschiedliche Anfangs- und unterschiedliche Endzuständen haben, muß hier noch nachnormiert werden. Wir erhielten für am Beispiel der σ -Linien: 17

19 grüne σ -Linie blaue σ -Linie m j1 m j2 (Cqm kj1j2 1m 2 ) 2 (Cqm kj1j2 1m 2 ) 2 Norm m j 1 m j2 (Cqm kj1j2 1m 2 ) 2 (C kj1j Damit konnten wir den Faktor G = Übergänge (m j 1 g j1 m j2 g j2 )(Cqm kj1j2 1m 2 ) 2 aus (13) erechnen und erhielten: F grün = 5 = 1, 25 4 F blau = 7 = 1, 75 4 Aus Symmetriegründen müssen die gleichen Werte auch für die σ + -Linien gelten. Berechnung des Bohr schen Magnetons Aus (10),(13),(15),(16) und (17) folgt folgende Formel zur Berechnung des Magnetons: qm 1m 2 ) 2 Norm c h µ B = 2d 1 δα n 2 1 B G α Dabei muss G je nachdem, ob die Linie aufgelöst oder unaufgelöst ist, als (23) oder G = m j1 g j1 m j2 g j2 G = (m j1 g j1 m j2 g j2 )(C kj1j2 qm 1m 2 ) 2 angenommen werden. Da die Einstellung von δα α = 1 4 nach Augenmaß erfolgte, haben wir hierfür auch einen Fehler angenommen, und zwar ( δα α) = 0, 01. Wir erhalten: rot grün blau violett µ B [J/T ] 9, , , , µ B [J/T ] 5, , , , Wir bilden das gewichtete Mittel: Dies entspricht: Der Literaturwert beträgt: µ B = (9, 44 ± 0, 66) J/T µ B = (5, 90 ± 0, 41) 10 5 ev/t µ B,Lit = 5, 788eV/T Wie man sieht, sind unsere Meßergebnisse in guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert. Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrke-Platte Für das Auflösungsvermögen wurden die roten σ-linien verwendet. Wir vergrößerten das Magnetfeld nur so lange, bis wir die beiden σ-linien gerade voneinander trennen konnten. Wir erhielten: I B [A] 5,5 4,4 4,0 4,5 4,0 4,5 Wie man sieht, ist der erste Wert recht hoch im Vergleich zu den anderen. Dies könnte daran liegen, daß unsere Augen nach Ausschalten des Licht noch nicht gut an die Dunkelheit adaptiert waren. Im folgenden werden deshalb stets 2 Varianten berechnet: Die Berechung von Werten mit dem Index 1 umfaßt alle sechs Meßwerte, 18

20 bei Werten mit dem Index 2 wurde der erste Wert ausgelassen. Für den Mittelwert des Magnetstroms erhalten wir I B1 = (4, 48 ± 0, 55)A I B2 = (4, 28 ± 0, 29)A Die Fehler stellen dabei wieder die Standardabweichungen dar. Mithilfe der Eichkurven ergibt sich für das Magnetfeld: B 1 = (0, 295 ± 0, 037)T B 2 = (0, 282 ± 0, 019)T Für die Berechnung des Auflösungsvermögens ist zu beachten, daß hier zwei σ-linien betrachtet wurden. Deren Frequenzabstand ist doppelt so groß wie der Abstand von einer σ- zur π-linie (Daher die 2 in der Formel). Damit ergibt sich nach (8) und (17) A = λ δλ = c h (24) 2 λ µ B B Daraus folgt mit unseren Werten: A 1 = ± 7000 A 2 = ± 4000 Das theoretische Auflösungsvermögen nach Formel beträgt nach (18) und mit einer Länge von 12cm laut der Staatsexamensarbeit für die Lummer-Gehrke-Platte ergibt sich überschlagsmäßig für rotes Licht (λ = 644nm): A theoretisch Das von uns gemessene Auflösungsvermögen beträgt nur ein Viertel des theoretisch berechneten. Dies kann unter Umständen an unserem unzureichendem Sehvermögen liegen, bedingt durch nicht allzu gute Dunkeladaption. Aber es können noch andere Faktoren das Auflösungsverögen verringern, wie zum Beispiel Linienverbreiterung durch erhöhte Temperaturen im Inneren der Cadmiumlampe. 6.2 Paschen-Back-Effekt Eichkurve der Magnetfeldstärke Für die Magnetfeldeichung wurde wie im ersten Versuchsteil ebenfalls zwei aufsteigende und zwei absteigende Messungen gemacht, um Hystereseeffekte zu berücksichtigen. Die Skala für I B war auch hier nicht linear, sodaß die Fehler hier ebenfalls gestaffelt angenommen wurden. I B [A] I B [A] IH,auf 1 [Skt] I2 H,ab [Skt] I3 H,auf [Skt] I4 H,ab [Skt] I H[Skt] 0 0, ,5 0,5 0, ,5 0,7 0, ,5 0,9 0, ,5 1,1 0, ,5 1,3 0, ,5 1,5 0, ,5 1,7 0, ,5 1,9 0, ,5 2,1 0, ,5 19

21 Die Abhängigkeit verläuft im oberen Teil auch hier nicht mehr linear. Diese Werte werden deshalb im linearen Fit nicht berücksichtigt (im Graph blau markiert). Dies ist auch nicht nötig, da wir später keine Meßwerte in diesem Bereich haben werden. Ansonsten scheint die lineare Beziehung gut erfüllt zu sein. Als Fitparameter erhalten wir: y 0 = (2, 0 ± 0, 42)Skt m = (29, 2 ± 0, 39)Skt/T Es wurde dieselbe Hallsonde verwendet wie im ersten Versuchsteil. Deshalb kann die Beziehung (22) auch hier zur Eichung verwendet werden. Analyse der Polarisation & Bestimmung der Magnetfeldrichtung Longitudinale Richtung Wie in Kapitel 5.2 beschrieben, stellten wir den den Polfilter so ein, daß er linear polarisiertes Licht, dessen Schwingungsebene horizontal liegt, herausfiltert. Dann stellten wir die schnelle Achse des λ/4-plättchens auf +45 bzw. 45 Abweichung von der vertikalen Richtung ein. So konnten wir jeweils eine der σ-linien mit dem Polarisationfilter ausblenden. Da das λ/4-plättchen so zirkular polarisiertes Licht in linear zirkular polarisiertes Licht verwandelt, zeigt sich damit, daß die σ-linien annährend zirkular polarisiert sein müssen, und zwar mit unterschiedlichem Umlaufsinn. Die bei wachsenden Magnetfeld nach außen wandernde Linie identifizierten wir als die σ -Linie, da diese energiereicher ist und deshalb vom Fabry-Pérot-Interferometer stärker gebrochen werden sollte. Diese Linie wurde war nur sichtbar, wenn die schnelle Achse des λ/4-plättchens auf +45 stand. Bei einer Achsenstellung von 45 verschwand sie. Daraus folgt, daß diese Linie rechtszirkular polarisiert war. Analog ergibt sich für die σ + -Linie eine linkszirkulare Polarisation. Ein Vergleich mit der Staatsexamensarbeit von Weber ergibt, daß dies dann der Fall ist, wenn man in Feldrichtung beobachtet. 20

22 Transversale Richtung Da hier die Linien linear polarisiert sind, kann ihre Polarisation unmittelbar mit dem Polarisationsfilter kontrolliert werden. Wir sehen, daß die π-linien horizontale Schwingungsrichtung besitzen. Die σ-linien hingegen weisen eine vertikale Schwingungsrichtung auf. Alle Polarisationen entsprechen den theoretischen Erwartungen. Bohr sches Magneton µ B und die spezifische Ladung e m Bestimmung des Magnetfeldes Wir führten in longitudinaler und in transversaler Richtung je sechs bzw. acht Messungen des Magnetfeldes für ein Verhältnis δα α = 1 4 durch. Die Ergebnisse sind in folgenden Datensätzen wiedergegeben: I B,long [A] 1,20 1,20 1,20 1,20 1,17 1,15 I B,trans [A] 1,10 1,10 1,10 1,15 1,13 1,18 1,03 1,10 Die Mittelwerte des Magnetstroms in beiden Richtungen und deren Standardabweichungen ergeben sich zu: Ī B,long = (1, 19 ± 0, 022)A Ī B,trans = (1, 11 ± 0, 044)A Mithilfe der oben beschriebenen Eichung folgt damit auch für das Magnetfeld: B long = (0, 363 ± 0, 0088)T B trans = (0, 34 ± 0, 024)T Berechnung des Bohr schen Magnetons Aus den Formeln (12) und (20) folgt folgende Beziehung zur Berechnung des Bohr schen Magnetons: µ B = δα c h α 2d(m l1 m l2 )B Dabei wurde beachtet, daß diesmal ein Fabry-Pérot-Interferometer anstelle einer Lummer-Gehrke-Platte verwendet wurde. Wir erhielten: µ B,long = (8, 55 ± 0, 40) J/T µ B,trans = (9, 10 ± 0, 73) J/T Man sieht, daß der Wert für die longitudinale Messung nicht sehr gut ist, obwohl der Fehler klein ist. (Der Literaturwert beträgt µ B = 9, J/T.) Dies ist besonders verwunderlich, da die Intensität bei longitudinaler Messung eigentlich höher war. Da der Fehler recht klein ist, bedingt durch sehr nahe beieinander liegende Werte für den Magnetstrom, liegt es nah, daß hier ein systematischer Fehler vorliegt, der nur in longitudinaler Richtung vorhanden ist. Was das genau sein könnte, wissen wir aber nicht. Vielleicht haben wir aber auch einfach nur schlechte Meßwerte genommen. Das gewichtete Mittel aus beiden Messungen ergibt: oder µ B = (8, 74 ± 0, 52) J/T µ B = (5, 46 ± 0, 32) 10 5 ev/t Noch einmal zur Erinnerung den Literaturwert: µ B,Lit = 5, 788eV/T Natürlich pflanzt sich der Wert aus der longitudinalen Messng aufgrund des geringen Fehlers stark in den Mittelwert fort. Trotzdem liegt der Mittelwert gerade noch im 1σ-Intervall. Dies ist wohl durchaus akzeptabel. 21

23 Berechnung der spezifischen Ladung Die spezifische Ladung läßt sich aus dem Bohr schen Magneton berechnen nach: e m = 2µ B h Mit dem Meßwert für µ B aus der Paschen-Back-Aufspaltung ergibt sich sofort: Der Literaturwert beträgt: ( e m) e m = (1, 66 ± 0, 099) 1011 C/kg Lit = 1, C/kg Da dieser Wert aus dem vorigen Werten für µ B berechnet wurde, liegt unser Meßwert für e m selbstverständlich ebenfalls gerade noch im 1σ-Intervall, genau wie der Wert, aus dem er berechnet wurde. (25) 22

24 7 Literaturverzeichnis Hecht, Optics, Addison-Wesley 1974 Weber, Staatsexamensarbeit, 1976 Mayer-Kuckuck, Atomphysik, Teubner 1997 Schwabl, Quantenmechanik, Springer 1998 Otten, Repetitorium Experimentalphysik, Springer 1998 Stöcker, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch 1998 Vogel, Gerthsen Physik, Springer 1999 Buse, Skript zur Vorlesung Angewandte Optik,