Brewsterscher Winkel ******

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1 ****** 1 Motivation Dieser Versuch führt vor, dass linear polarisiertes Licht, welches unter dem Brewsterwinkel auf eine ebene Fläche eines durchsichtigen Dielektrikums einfällt, nur dann reflektiert wird, wenn das Licht senkrecht zur Streuebene polarisiert ist. Experiment Abbildung 1: Versuchsaufbau Brewster-Winkel. Eine Kohle-Lichtbogen, eine Polarisationsfolie, eine kleine Kreisblende sowie eine Linse erzeugen einen eng begrenzten Lichtstrahl siehe Abb. 1), der auf eine Glaspyramide mit quadratischen Grundriss und schwarzen Innenseiten fällt. Man führt drei verschiedene Anordnungen siehe Abb. ) vor: a) Unpolarisiertes Licht: Alle vier Pyramidenseiten reflektieren gleichmässig. Mittels einer Polaroidfolie wird gezeigt, dass das reflektierte Licht polarisiert ist. 1

2 b c E E a d E Abbildung : Reflexion an der Glaspyramide: a) Unpolarisiertes Licht, b) Horizontale Polarisation, c) Vertikale Polarisation, d) Vertikal polarisiertes Licht und Metallplatte auf oberem Dreieck der Glaspyramide. b) Polarisiertes Licht erhält man durch Vorschalten eines Polarisationsfilters im Strahlengang. Da im Versuch der Einfallswinkel gleich dem Brewsterschen Polarisationswinkel ist, wird auf den beiden Flächen kein Strahl reflektiert, bei denen der elektrische Feldvektor E in der Einfallsebene liegt. c) Wird eine Pyramidenfläche durch ein glänzendes Metallstück abgedeckt, reflektiert diese unabhängig vom Einfallswinkel. 3 Theorie 3.1 Polarisation Die Amplitude transversaler Wellen hat Freiheitsgrade senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wenn demnach die Welle in z-richtung läuft, ist die Amplitude z.b. der Lichtwelle ein - komponentiger Vektor in der xy-ebene: ) ) Ex Ex E = t) = e ikz ωt) 1) E y E y

3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Vertikale Polarisation Horizontale Polarisation Kombination y x Abbildung 6.1: Lineare Polarisation. Abbildung 3: Lineare Polarisation. Dabei bedeuten E das elektrische Feld, k = π/λ die Wellenzahl und ω die Frequenz der Welle. Falls die Welle stets in einer Ebene schwingt, nennt man sie linear polarisiert siehe Abbn. 3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS und 4). t) x z k y Vertikal polarisierte Welle v x z k t) y Horizontal polarisierte Welle v Abbildung 6.1: 4: Horizontal bzw. vertikal polarisierte Welle. 3

4 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Linkszirkular Rechtszirkular Elliptisch Abbildung 6.1: Zirkulare und elliptische Polarisation. Abbildung 5: Zirkulare und elliptische Polarisation. Durch Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen mit Phasendifferenz δ erhält man elliptisch polarisierte Wellen siehe Abb. 5), bei denen sich die Auslenkung auf einer Ellipse bewegt. Für eine Phasendifferenz von π/ erhält man als Sonderfall davon eine zirkular polarisierte Welle. Je nach Drehrichtung erhält man eine linkszirkulare oder eine rechtszirkulare Welle relativ zur Ausbreitungsrichtung). 3. Brewsterwinkel Licht, das auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechzahlen und n trifft, wird entweder reflektiert oder transmittiert. Das Reflexionsvermögen hängt von den Brechzahlen, com Einfallswinkel und von der Polarisation des Lichts ab. Damit eine in der Einfallsebene gebildet aus der Einfallsrichtung und der Flächennormalen) schwingende vollständig polarisierte Welle nicht reflektiert wird, muss der Einfallswinkel folgende beiden Bedingungen erfüllen: a) Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes muss stetig durch die Grenzfläche hindurchtreten siehe Abb. 6): E 1 cos = E cos ϑ ) b) Die aus dem Medium 1 auf die Grenzfläche einfallende Energie muss ganz in das brechende Medium einströmen. Nach Abb. 7 ist die auf die Fläche A 1 einströmende Energie S 1 A 1 gleich der durch die Fläche A abströmende Energie S A, wobei S 1 und S die Poyntingvektoren des Lichts in den entsprechenden Medien bedeuten: Es gilt Für die Poyntingvektoren gilt Damit folgt S 1 A 1 = S A 3) A 1 cos ϑ = A cos S 1 cos = S cos ϑ 4) S i = n i E i 5) 4

5 y E 1 E tan = n 1 ϑ x E E Abbildung 6: Bedingung für die Erzeugung vollständig polarisierten Lichts Nach Gl. ) ist S 1 S = E 1 n E = cos ϑ cos 6) E 1 E = cos ϑ cos 7) n cos ϑ cos = cos ϑ cos 8) Zum Schluss verknüpfen wir Gl. 9) mit dem Brechungsgesetz cos ϑ cos = n 9) sin = n sin ϑ 10) cos ϑ = sin 11) cos sin ϑ sin = sin ϑ 1) { ϑ = 90 13) Die Lösung = ϑ ist offensichtlich nur möglich für = n, also für die Fortpflanzung des Lichts im Medium. Es verbleibt die Lösung ϑ = 90 14) 5

6 y A 1 tan = n x 1 A Abbildung 7: Vollständiger Energietransport durch die Grenzfläche beim Brewsterwinkel Das bedeutet, dass der reflektierte auf dem gebrochenen Strahl senkrecht steht! Damit lautet die Bedingung dafür, dass eine in der Einfallsebene schwingende, vollständig polarisierte Welle nicht reflektiert wird, 3.3 Reflexion und Transmission tan = n 15) Wir untersuchen im Folgenden die Abhängigkeit von Transmission und Reflexion in Abhängigkeit vom Einfallswinkel und von der Polarisation des Lichts 1. Die Stetigkeitsbedingung für den Energiestrom betrifft seine Komponente senkrecht zur Grenzoberfläche siehe dazu auch Gl. 4)).: S1 S 1 ) cos ϑ1 = S cos ϑ 16) E 1 E ) 1 cos ϑ1 = n E cos ϑ 17) Dabei bedeuten S 1 und E 1 = E 1, E 1 ) den Poyntingvektor bzw. das elektrische Feld der reflektierten Welle, wobei E 1 und E 1 die Feldkomponenten senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene darstellen siehe Abb. 8). Wir betrachten zunächst eine vollständig senkrecht zur Einfallsebene polarisierte Welle, deren elektrisches Feld damit parallel zur Grenzfläche ist. Die Komponente von E parallel zur Grenzfläche ist stetig: E 1 + E 1 = E 18) Wir dividieren Gl. 16) durch Gl. 17) und beachten dabei, dass in diesem Fall Ei = Ei gilt, und erhalten: E1 E 1 ) cos ϑ1 = n E cos ϑ 19) 1 Wir betrachten hier nur Medien mit Permeabilität µ = 1. 6

7 E 1 E 1 E 1 E 1 Abbildung 8: Reflexion einer linear polarisierten Lichtwelle am dichteren Medium. Linkes Bild: Elektrisches Feld E 1 senkrecht zur Einfallsebene. Rechtes Bild: Elektrisches Feld E 1 in der Einfallsebene. Aus Gln. 18) und 19) folgt für die reflektierte Welle: und für die gebrochene Welle: E 1 = cos n cos ϑ cos + n cos ϑ E 1 = sin ϑ ) sin + ϑ ) E 1 0) E = cos cos + n cos ϑ E 1 = cos sin ϑ sin + ϑ ) E 1 1) Für > ϑ, also beim Auftreffen auf das optisch dichtere Medium, hat die reflektierte Amplitude E 1 das zur einfallenden Amplitude entgegengesetzte Vorzeichen; es gibt also eine Phasensprung um π bei der harten) Reflexion. Bei der Reflexion am dünneren Medium sind dagegen E 1 und E 1 gleichgerichtet kein Phasensprung). Für den Übergang von Vakuum auf ein optisch dichteres Medium = 1, n = n > 1) erhält man mithilfe des Brechungsgesetzes, Gl. 10), das Reflexionsvermögen R und das Transmissionsvermögen T siehe Abb. 9): E ) R := 1 cos ) n = sin E 1 cos + ) n sin T := n cos ϑ cos E E 1 ) = 4 cos ϑ 1 n sin cos + ) 3) n sin 7

8 1,0 0,8 R cos n R = sin cos + n sin n cos n R = sin n cos + n sin ) ) 0,6 0,4 R R 0, 0, Abbildung 9: Reflexionsgrad beim Übergang von Vakuum auf Glas n = 1,5) für transversal und für parallel polarisiertes Licht. Als nächstes untersuchen wir den Fall, bei dem die Welle parallel zur Einfallsebene polarisiert ist. In die Stetigkeitsbedingung für das elektrische Feld gehen nur die Komponenten parallel zur Grenzfläche ein: ) E 1 E 1 cos = E cos ϑ 4) Die Stetigkeitsbedingung für den Energiestrom lautet: E 1 E ) 1 cos ϑ1 = n E cos ϑ 5) Wir dividieren Gl. 5) durch Gl. 4) und beachten dabei, dass in diesem Fall Ei = Ei gilt, und erhalten: ) E 1 + E 1 = n E 6) Damit ergibt sich für die Amplituden E 1 = n cos cos ϑ n cos + cos ϑ E 1 = tan ϑ ) tan + ϑ ) E 1 7) 8

9 und E = cos n cos + cos ϑ E 1 = cos sin ϑ sin + ϑ ) cos ϑ ) E 1 8) Für + ϑ = 90 erhält man aus Gl. 7) E 1 = 0, entsprechend dem Brewstergesetz. Für den Übergang von Vakuum auf ein optisch dichteres Medium = 1, n = n > 1) erhält man mithilfe des Brechungsgesetzes, Gl. 10), das Reflexionsvermögen R und das Transmissionsvermögen T siehe Abb. 9): ) E 1 n cos ) n R := = sin E 1 n cos + 9) n sin und T := n cos ϑ cos E E 1 ) = 4n cos n sin n cos + n sin ) 30) 9

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