FP-Experiment E112 Protokoll Zeeman- und Paschen-Back-Effekt

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1 FP-Experiment E112 Protokoll Zeeman- und Paschen-Back-Effekt Dimitri Pritzkau, Niels Räth 4. Dezember 2006 Universität Bonn

2 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Atome in äußeren Magnetfeldern Zeeman-Effekt Paschen-Back-Effekt Optische Übergänge Beobachtete Übergänge Cadmium (Cd) Unaufgelöste Übergänge Helium (He) Optische Geräte Lummer-Gehrcke-Platte Fabry-Pérot-Interferometer Versuchsdurchführung und Auswertung Zeeman-Effekt Aufbau Magnetfeldeichung Messung des Zeeman-Effekts und des Bohrschen Magnetons Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte Paschen-Back-Effekt Aufbau Magnetfeldeichung Messung des Paschen-Back-Effekts und der spezifischen Ladung Analyse der Polarisation einzelner Komponenten

3 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Atome in äußeren Magnetfeldern In äußeren Feldern und speziell in diesem Versuch Magnetfeldern findet eine Aufspaltung der Energieniveaus der Atome statt. Mit Hilfe der Störungstheorie lassen sich solche Effekte gut berechnen. Sei H 0 der Hamilton-Operator der freien Schrödinger-Gleichung und V LS die Störung durch die LS-Kopplung, dann gibt es zwei Grenzfälle für V B, den Störungsterm des Magnetfeldes, die zu betrachten sind. Zeeman-Effekt: Hierfür gilt: V LS V B. Die Aufspaltung der Energieniveaus ist also kleiner als die Feinstrukturaufspaltung Paschen-Back-Effekt: Hier wird der andere Grenzfall betrachtet: V LS V B. Deswegen ist durch das relativ starke Magnetfeld die Spin-Bahnkopplung näherungsweise aufgehoben. Der Übergangsbereich zwischen diesen beiden Effekten ist schwieriger zu beschreiben und wird in diesem Versuch nicht weiter besprochen Zeeman-Effekt Durch die Kopplung des Gesamtbahndrehimpulses L mit dem Gesamtspin S wird der Gesamtdrehimpuls J = L + S definiert. Damit lässt sich der oben erwähnte Störungsterm des Magnetfeldes angeben durch: V B = µ B g J J B (1) und dessen Eigenwert durch: E = V B = µ B g J m J B (2) wobei gilt, dass m J { J, J +1,..., J 1, J}, µ B das Bohrsche Magneton ist und der Landé- Faktor g J sich berechnet durch: g J = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1) 2J(J + 1) Historisch wird zwischen dem normalen Zeeman-Effekt (S = 0) und dem anomalen Zeeman- Effekt (S 0) unterschieden. Physikalisch ist diese Einteilung allerdings nicht sinnvoll da S 0 eher der Normalfall ist Paschen-Back-Effekt Wie oben erwähnt wird bei diesem Grenzfall die Spin-Bahn-Kopplung aufgehoben und es gilt: V B = µ B (g L L + gs S) B (4) woraus sich aus der Störungstheorie dessen Eigenwert durch folgende Gleichung bestimmen lässt: E = V B = µ B (g L m L + g S m S ) B (5) Es gilt dabei g L = 1, g S 2, m L { L, L + 1,..., L 1, L} und m S { S, S + 1,..., S 1, S}. Da die LS-Kopplung mit der Kernladung zunimmt kann dieser Effekt besser bei leichteren Atomen beobachtet werden, da hier die Magnetfelder verhältnismäßig kleiner sein können. 2 (3)

4 1.2 Optische Übergänge In diesem Versuch werden Atome mit Hilfe von Licht angeregt. In diesem Abschnitt sollen die Auswahlregeln für optische Übergänge und Polarisation des Lichtes besprochen werden. Nicht jeder Atomare Übergang ist optisch erlaubt. Da das Photon Spin eins hat müssen Erhaltungssätze berücksichtigt werden. Hierfür stellt die Quantenmechanik eine Reihe Auswahlregeln bereit: J = ±1, 0 aber nicht J = 0 J = 0 m J = ±1, 0 aber nicht m J = 0 m J = 0 wenn J = 0 L = ±1, 0; S = 0 Dabei symbolisiert immer eine Änderung durch den optischen Übergang. Abhängig vom m J ist das Licht unterschiedlich polarisiert, siehe auch Abbildung 1 : m J = +1 Gegen die Richtung des B-Feldes ist dieses Licht zirkular linkspolarisiert, senkrecht zum Magnetfeld ist es linear polarisiert. Dafür benutzen wir die Abkürzung: σ + (σ für senkrecht zum B-Feld). m J = 1 Anders als σ + ist hier das Licht gegen die Richtung des Magnetfeldes zirkular rechtspolarisiert, bzw. senkrecht dazu linearpolarisiert aber antiparalell zu σ +. Diese Strahlen nennen wir σ. m J = 0 Diese Strahlung ist paralell zu Magnetfeldlinien linearpolarisiert. Dafür benutzen wir die Abkürzung π. 3

5 z Magnetfeld σ - σ + σ + σ - y longitudinal π transversal x Abbildung 1: Polarisation des Lichts 1.3 Beobachtete Übergänge Wir beobachten beide Effekte anhand von Linienaufspaltung. Die Energie E eines Photons berechnet sich durch: Zeeman-Effekt: Paschen-Back-Effekt: Cadmium (Cd) E = (g J m J g Jm J)µ B B E = (g L m L g Lm L + g S m S g Sm S)µ B B Die optischen Übergänge für Cd werden in folgenden Termschemata veranschaulicht. Die Grafiken zeigen jeweils nur den relevanten Teil des Termschemas. 4

6 m L m L D S P P σ + π σ - -1 σ + π σ - Abbildung 2: 5 1 D P 1 (rot) Abbildung 3: 6 3 S P 2 (grün) m L 6 3 S P σ + π σ - Abbildung 5: 6 3 S P 0 (violett) Abbildung 4: 6 3 S P 1 (blau) 5 1 D P 1 (rot): Hier ist g J = g J = 1, so dass jeweils drei Linien zusammenfallen und wir nur drei Linien beobachten. 6 3 S P 2 (grün): Hier ist g J = 2 und g J = 3 2, so dass keine Linien zusammenfallen und wir neun Linien erwarten. 6 3 S P 1 (blau): Hier ist g J = 2 und g J = 3 2, so dass wir sieben Linien erwarten. 6 3 S P 0 (violett): Hier ist g L = 2 und der untere Zustand spaltet nicht auf, so dass wir drei Linien erwarten. 5

7 1.3.2 Unaufgelöste Übergänge Nicht alle Übergänge lassen sich mit den von uns benutzten Spektroskopen auflösen. Deshalb kann hier nur eine Aussage über den Linienschwerpunkt gemacht werden. Dieser liegt in der Regel nicht im Mittelpunkt der Linie und muss mit der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Übergänge gewichtet werden. Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die Clebsch-Gordon-Koeffizienten und für die Energieverschiebung gilt dann: E = (m J1 g J1 m J2 g J2 )C 2 µ B B (6) Übergänge wobei C die Clebsch-Gordon-Koeffizienten bezeichnet. Wir definieren zum Schluss noch eine nützliche Abkürzung: Helium (He) E = Gµ B B (7) { Übergänge mit G = (m J 1 g J1 m J2 g J2 )C 2 (8) (m J1 g J1 m J2 g J2 ) Zur Messung des Paschen-Back-Effekt beobachten wir den 2 1 P S 0 -Übergang des He- Atoms und erwarten drei Linien. 2 1 P 1 m L S 0 σ + π σ - 0 Abbildung 6: Aufspaltung der He-Linie 1.4 Optische Geräte Da die Äuflösung normaler optischer Geräte für die in diesem Versuch beobachteten Abstände nicht genügt, verwenden wir die Interferenzoptik als Hilfsmittel. Hierfür verwenden wir die folgenden beiden Interferometertypen Lummer-Gehrcke-Platte Die Lummer-Gehrcke-Platte (LGP) besteht aus einer Glasplatte mit planparallelen Seitenflächen. Der Lichtstrahl tritt durch ein aufgesetztes Prisma derart ein, dass er an den Grenzflächen 6

8 beinahe Totalreflexion erfährt und jeweils nur ein kleiner Strahl unter einem sehr flachen Winkel die LGP verlassen kann. Auf diese Weise entsteht beiderseits ein Bündel paralleler Strahlen, die dann in der Lage sind zu interferieren. Abbildung 7: Lummer-Gehrcke-Platte Der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen beträgt: s = 2dn 2d tan θ cos α cos α = 2d cos θ = 2d n 2 sin 2 α0 (9) 2d n 2 1, da α 90 (10) wobei n den Brechungsindex bezeichnet. Für konstruktive Interferenz muss dann gelten: kλ = 2d n 2 sin 2 α (11) wobei k die Ordnung des Maximums ist. Um Licht zweier Wellenlängen unterscheiden zu können, müssen sich diese um λ unterscheiden. Man nennt λ das Dispersionsgebiet und berechnet dieses wie folgt: λ = λ2 1 2d n 2 1 (12) Ein für den Versuch wichtiger Zusammenhang wird in [Zusatzskript] hergeleitet. Hierbei bezeichnet: δα α = δλ λ (13) α: Winkelabstand zweier Ordnungen δα: Winkelabstand einer aufgespaltenen Linie zur Hauptlinie λ: Dispersionsgebiet der LGP δλ: Wellenlängen abstand der aufgespaltenen Linie zur Hauptlinie 7

9 Damit lässt sich die Energiedifferenz zwischen der aufgespaltenen Linie und der unaufgespaltenen Hauptlinie folgendermaßen schreiben: E = hδν = hc hc δα δλ = λ2 λ 2 α λ = hc 2d δα n 2 1 α Das Auflösungsvermögen der LGP hängt von ihrer Länge l, ihrem Brechungsindex n sowie der Wellenlänge des Lichtes λ ab und bestimmt sich nach [Zusatzskript] durch: (14) A = l λ (n2 1) (15) Fabry-Pérot-Interferometer Das Fabry-Pérot-Interferometer besteht aus zwei planparallelen teildurchlässig verspiegelten Glasplatten die im Abstand d von einander befestigt sind. Der einfallende Lichtstrahl wird zwischen den Platten reflektiert wobei ein Teil des Lichts unter einem fast senkrechten Winkel transmitiert wird. d α α Abbildung 8: Fabry-Pérot-Interferometer Der Gangunteschied beträgt k = 2d cos α. Für konstruktive Interferenz ergibt sich dann: mλ = 2d cos α (16) Mit dem Verhältnis δλ α erhalten wir die Formel für den Energieunterschied zwischen unaufgespaltener und aufgespaltener Linie: λ = δα E = hδν = hc δα 2d cos α α hc δα 2d α (17) 8

10 2 Versuchsdurchführung und Auswertung 2.1 Zeeman-Effekt Aufbau Der Versuchsaufbau für den Zeeman-Effekt besteht aus einem Elektromagneten mit zwei Polschuhen, zwischen denen eine Cadmium-Lampe positioniert ist, deren Licht wir durch eine Lummer-Gehrcke-Platte (LPG) mit einem Fernglas beobachten. Desweiteren befindet sich vor der LGP ein Polfilter, um die π-linie auszublenden. Zusätzlich können Farbfilter zur Extraktion einer speziellen Linie in den Strahlengang gebracht werden. Cd-Lampe Magnet Magnet Interferenzfilter Lummer-Gehrke-Platte Polarisationsfilter Fernrohr Abbildung 9: Versuchsaufbau Zeeman-Effekt Magnetfeldeichung Zur Eichung des Magnetfeldes wurde statt der Lampe eine Hallsonde zwischen den Polschuhen platziert. Es wurde in je zwei Messreihen aufwärts und abwärts die Hallspannung U H bei Variation des Magnetstromes I M gemessen. Anschließend werden die Werte für U H gemittelt und mithilfe von B [T] = 0, U H [Skt] das Magnetfeld errechnet. Als Fehler für I M nehmen wir 0,25 A an, als Fehler für U H 0,5 Skt. 9

11 I M [A] U 1 H [Skt] U 2 H [Skt] U 3 H [Skt] U 4 H [Skt] UH [Skt] B [T] B [T] ,75 0,0073 0, ,5 6 6,625 0,0649 0, ,5 10, ,1077 0, ,5 16,5 17,75 0,1738 0, , ,625 0,2215 0, , ,5 27,5 27,875 0,2729 0, ,3329 0, , ,125 0,3830 0, , ,625 0,4369 0, , ,625 0,4858 0, , ,5 54,5 54,625 0,5348 0, ,5 57, ,25 0,5605 0, ,5874 0, Aufgrund von Sättigungseffekten fitten wir die Werte mit einem Polynomfit dritter Ordnung. 0,6 Messwerte Polynomfit 0,5 0,4 B [T] 0,3 0,2 0,1 0, I M [A] Abbildung 10: Magnetfeldeichung Der Fit lieferte B = 0, , 046 I + 0, I 2 0, I Messung des Zeeman-Effekts und des Bohrschen Magnetons Mithilfe der Farbfilter wählten wir eine Spektrallinie aus und filterten mit dem Polfilter die π-linie heraus. Wir sahen deshalb folgende Linien: Rote Linie Grüne Linie Beide σ-linien waren zu sehen. Die drei σ + -Linien und die drei σ -Linien verschmolzen je zu einer Linie. 10

12 Violette Linie Beide σ-linien waren zu erkennen. Blaue Linie Wieder verschmolzen beide σ-tripletts zu je einer Linie. Jede der Grundlinien spaltet bei Anlegen des Magnetfeldes in je zwei σ-linien auf. Wenn man diese Linien nun äquidistant einstellt, ergibt sich δα α = 1 4. Jeder von uns wiederholte die Einstellung je zweimal, um subjektive Fehler bei der Einstellung zu minimieren. Nach Bestimmung der G-Faktoren nach (8) wurde für jede Linie die Energieaufspaltung E berechnet und daraus mit (14) und (7) das Bohrsche Magneton µ B wie folgt bestimmt: µ B = hc 8d n 2 1GB (18) Linie rot grün violett blau 9,5 8,25 5 5,75 I [A] 10,5 8,25 5,25 5, ,5 5,5 5, ,45 5,5 6 Mittelwert 10 8,3625 5,3125 5,8125 Standardabweichung 0,4082 0,1315 0,2394 0,1250 B [T] 0,5267 0,4557 0,2955 0,3232 B [T] 0,0305 0,0174 0,0225 0,0171 G 1 1,25 2 1,75 µ B [10 24 Am 2 ] 11, ,1944 9, ,2646 µ B [10 24 Am 2 ] 0,6377 0,3893 0,7466 0,5429 Der Mittelwert unserer Messungen beträgt µ B = (10, 3269 ± 0, 5791)Am 2 und liegt damit knapp 10% über dem Literaturwert von µ B = 9, Da alle Messwerte über dem Literaturwert liegen, liegt wohl ein systematischer Fehler vor, etwa durch fehlerhafte Positionierung der Hallsonde, oder durch eine nicht ganz korrekten Formel für Umrechnung der Hallspannung ins Magnetfeld, die aus der älteren Arbeit von [Zusatzskript] entnommen wurde Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte Um das Auflösungsvermögen der LGP zu bestimmen, wurde die rote Linie verwendet und das Magnetfeld so eingestellt, dass die aufgespaltenen Linien gerade noch zu unterscheiden waren. Hier führten wir ebenfalls vier Messungen durch. Das Auflösungsvermögen A = λ δλ ist mit (14) und (12) gegeben durch: hc A = (19) λµ B GB 11

13 3,5 3,3 I [A] 3,7 3,8 Mittelwert 3,575 Standardabweichung 0,2217 B [T] 0,1978 B [T] 0,0216 G 1 A A Das theoretische Auflösungsvermögen A beträgt nach (15) bei einer Länge der LPG von l = 12cm und einer Wellenlänge λ = 644nm A = Der gemessene Wert liegt damit deutlich darunter. Da die theoretische Formel aber weder Streulicht noch das Auflösungsvermögen des menschlichen Auges berücksichtigt, ist es verständlich, dass der gemessene Wert niedriger liegt. 2.2 Paschen-Back-Effekt Aufbau Der Aufbau für den Paschen-Back-Effekt ähnelt dem des Zeeman-Effekts, allerdings handelt es sich hier um eine He-Lampe, die Polschuhe des Magneten sind durchbohrt, um eine Beobachtung in longitudinaler Richtung zu ermöglichen und zur Erzeugung des interferierenden Lichtes wird ein Fabry-Perot-Interferometer (FPI) benutzt. Abbildung 11: Versuchsaufbau Paschen-Back-Effekt 12

14 In longitudinaler Richtung wurde mit dem Farbfilter die gelbe Linie extrahiert und mit dem Polfilter die π-linie ausgeblendet. Für die Beobachtung in transversaler Richtung wurde die Beobachtungsoptik um 90 gedreht und neu justiert. Die Justage wurde dabei mit der Cd- Lampe durchgeführt, da die He-Lampe nur eine begrenzte Brenndauer von 2 Minuten hat. Zur Bestimmung der Polarisationsrichtung der σ-linien wurde zusätzlich das λ 4 -Plättchen eingesetzt Magnetfeldeichung Zunächst wurde wieder eine Eichung des Magnetfeldes durchgeführt. Wir positionierten die Hallsonde zwischen den Polschuhen und nahmen 4 Messreihen auf. I M [A] U 1 H [Skt] U 2 H [Skt] U 3 H [Skt] U 4 H [Skt] UH [Skt] B [T] B [T] ,5 0,0049 0, , ,25 0,1689 0, , ,875 0,3316 0, , , ,625 0,4565 0, ,5 54,5 55,25 0,5409 0, , ,5 60,5 61,25 0,5996 0, ,6364 0, Wieder wählten wir einen Polynomfit dritter Ordnung. 0,7 0,6 Messwerte Polynomfit 0,5 0,4 B [T] 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 I M [A] Abbildung 12: Magnetfeldeichung Der Fit ergab: B = 0, , I 0, 0504 I 2 0, I Messung des Paschen-Back-Effekts und der spezifischen Ladung Es wurde in beiden Beobachtungsrichtungen die Aufspaltung der gelben Helium-Linie gemessen. In transversaler Beobachtungsrichtung wurde mit dem Polfilter die π-linie ausgeblendet. Es 13

15 wurden wieder äquidistante Linien eingestellt, also δα α = 1 4. Aus (17) und (5) sowie der Definition des Bohrschen Magnetons µ B = e 2m e folgt für die spezifische Ladung des Elektrons e m = 2πc δα 1 d α m L B (20) Richtung longitudinal transversal 1,14 1,14 I [A] 1,19 1,07 1,04 1,1 1,05 1,09 Mittelwert 1,105 1,1 Standardabweichung 0,0723 0,0294 B [T] 0,3561 0,3548 B [T] 0,0285 0,0125 e/m [10 11 C/kg] 1,6541 1,6601 e/m [10 11 C/kg] 0,1324 0,0583 Der Mittelwert der beiden Messungen beträgt e m = (1, 6571±0, 0953) 1011 C kg. Der Literaturwert von e m = 1, C kg ([Gerthsen]) liegt damit nur knapp ausserhalb des Fehlerbereiches. Widerrum könnte der Fehler in der Magnetfeldeichung liegen, oder resultiert aus Fehlerhafter Einstellung der Äquidistanz Analyse der Polarisation einzelner Komponenten In transversaler Richtung waren die beiden σ-komponenten wie erwartet senkrecht zum Magnetfeld linear polarisiert, während die π-linie senkrecht linear polarisiert beobachtet werden konnte. In longitudinaler Richtung erscheint die π-linie gar nicht und man kann mit den σ-linien die Richtung des Magnetfeldes bestimmen. Mithilfe des λ/4-plättchens wandelten wir das zirkular polarisierte Licht in linear polarisiertes Licht um und schickten es durch den Polfilter. Durch drehen des Polfilters konnte dann je eine σ-linie ausgeblendet werden und wir beobachteten, dass bei +45 (relativ zur schnellen Achse) die innere Linie bestehen blieb, bei -45 die äußere. Nach (17) wird höherenergetisches Licht stärker abgelenkt, was bedeutet, dass die σ + -Linie (linkszirkular) die höherenergetische ist. Nach Abbildung 1 haben wir gegen die Magnetfeldlinien beobachtet. 14

16 Literatur [Skript] Versuchsbeschreibung zum Versuch E112 [Zusatzskript] Ergänzende Informationen zum Versuch E112 (K. Weber, Staatsexamensarbeit) [Gerthsen] D.Meschede - Gerthsen Physik, 21. Auflage, Springer, 2002, S

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