Inhaltsverzeichnis. Experimentalphysik III WS 2013/ Grundlagen 2. 3 Wasserstoffatom 7. 4 Größere Atome 9. 2 Quantenmechanik 5

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1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Wahrscheinlichkeit/Zerfall Photoelektrischer Effekt De-Broglie-Wellenlänge Compton-Effekt Polarisation Schwarzer Körper Rayleigh-Jeans Strahlungsgesetz Plancksches Strahlungsgesetz Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz Boltzmann-Statistik Quantenmechanik Wellenfunktion als Zustandsbeschreibung Schrödingergleichung Potential Harmonischer Oszillator Quantenmechanische Operatoren Bosonen/Fermionen Wasserstoffatom Modelle Energieniveaus Quantenzahlen Elektronische Übergänge Drehimpuls und magnetisches Moment Linienaufspaltung Termschema, Termsymbolik Größere Atome Pauli-Prinzip Hund sche Regel Auswahlregeln für optische Übergänge Zeeman-Effekt Stark-Effekt Vektormodell Carlo Michaelis Seite 1 von 12

2 Die Definitionen und Herleitungen entsprechen evtl. nicht in jedem Fall der nötigen mathematischen Strenge. Das Dokument ist lediglich als Überblick über die wichtigsten Inhalte des Moduls angedacht. 1 Grundlagen 1.1 Wahrscheinlichkeit/Zerfall Normalverteilung Eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung. Ihr Dichtefunktion lautet wie folgt: Φ(x) = 1 [ b σ exp 1 ( ) ] 2 x µ dx 2π 2 σ a Dabei ist µ der Mittelwert und σ die Standardabweichung. Durch Lösung des Integrals in einem bestimmten Bereich kann die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in diesem Bereich bestimmt werden. Zur Normierung wird der z-wert verwendet: z = x µ σ Zerfall Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall pro Sekunde ist gegeben durch: P n = An n! e A Dabei ist A... (?) und n die Anzahl der Zerfälle. Die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall pro Sekunde wäre entsprechend: P 1 = A e A 1.2 Photoelektrischer Effekt Der photoelektrische Effekt bezeichnet eine durch Licht induzierte Elektronenemission. Die emittierten Elektronen werden als Photoelektronen bezeichnet. Dabei gilt: Die kinetische Energie der Photoelektronen ist nur von der Frequenz ν des Lichts abhängig, nicht von seiner Intensität Die Zahl der Photoelektronen ist proportional zur Lichtintensität Jedes absorbierte Photon gibt seine Energie h ν ollständig an ein Elektron ab. Die kinetische Energie eines Photoelektrons ergibt sich durch: E max kin = e U 0 = h ν W a (U 0 < 0) W a = 1 2 m ev 2 Dabei ist U 0 diejenige Gegenspannung, die nötig ist, damit der Photonenstrom I ph gerade 0 ist. Mit dessen Hilfe kann die Austrittsarbeit W a bestimmt werden. Carlo Michaelis Seite 2 von 12

3 Im Zeitintervall t aufgenommene mittlere Energie: W = P L N F λ t = I L N λ t Dabei ergibt sich die Lichtleistung P L durch die auf eine Fläche F auftreffende Lichtintensität I L, somit: P L = I L F N ist dabei die Dichte der Leitungselektronen im Metall in m 3. Außerdem gilt: P = E t = n E p t mit E p = h ν 1.3 De-Broglie-Wellenlänge Die de-broglie-wellenlänge beschreibt den Wellencharakter von Teilchen mit einer Masse m. Mit λ = h p = h m v E kin = 1 2 mv2 = p2 2m ergibt sich außerdem: λ = h 2m Ekin 1.4 Compton-Effekt Der Compton-Effekt beschreibt ein Phänomen, bei dem sich die Wellenlänge eines Photons durch einen Stoß mit einem Elektron verändert, da Stoßenergie an das Elektron abgegeben wird. h ν 0 + e h ν + e (E kin ) Compton-Streuformel: ( λ s λ 0 = 2λ C sin 2 ϕ ) 2 bzw. ν 0 ν s = h m 0 c 2 ν 0 ν s (1 cos ϕ) Compton-Wellenlänge: λ C = Für λ gilt: λ = h m e c 2, m h (1 cos θ) m e c Aus λ s = λ + λ 0 ergibt sich somit: hc E = h hc (1 cos θ) + m e c E 0 Carlo Michaelis Seite 3 von 12

4 1.5 Polarisation Gelangt unpolarisiertes Licht durch einen Polarisationsfilter, so halbiert sich die Intensität: I 1 = 1 2 I 0 Gelangt polarisiertes Licht durch einen Polarisationsfilter, so ändert sich die Intensität abhängig vom Winkel des Filters in Bezug auf die Polarisationsrichtung des Lichtes. I 2 = cos 2 (φ) I 1 Werden drei Filter in jeweils 45 -Drehung zueinander aufgestellt, so ist am Ende noch Lichtintensität übrig. Werden jedoch nur zwei Filter in 90 -Drehung zueinander aufgestellt, so ist die Intensität vollständig erloschen. Dieses scheinbare Paradoxon lässt sich damit erklären, dass die Welle an jedem Filter wieder neue horizontale und vertikale Komponenten erzeugen. Dies betrifft in der 45 -Variante den zweiten Filter. An diesem wird eine schräge linear-polarisierte Welle erzeugt, welche in horizontale und vertikale Richtungen eine (geschwächte) Komponente besitzt. Am dritten Filter wird dann zwar die Intensität erneut gemindert, es bleibt jedoch noch eine der beiden Komponenten übrig. Der Filter beeinflusst also die elektromagnetische Welle. 1.6 Schwarzer Körper Ein Schwarzer Körper zeichnet sich durch ein Absorptionsvermögen von A = 1 aus. Realisiert werden kann dies durch einen Hohlraum mit absorbierenden Innenwänden. Eine kleine Öffnung des Hohlraums bildet dann einen schwarzen Körper mit A 1. Werden jedoch die Wände des Hohlraums erhitzt, so wirkt die Öffnung als Strahlungsquelle, welche - verglichen mit allen Körpern gleicher Temperatur - maximales Emissionsvermögen besitzt. 1.7 Rayleigh-Jeans Strahlungsgesetz Das Rayleigh-Jeans Strahlungsgesetz gibt die Energiedichte in Abhängigkeit der Frequenz für kleine Frequenzen ν an. Je nach Temperatur kann damit die Energie in einem Bereich bestimmt werden. w ν (ν) dν = 8πν2 c 3 kt dν 1.8 Plancksches Strahlungsgesetz Das Rayleigh-Jeans Strahlungsgesetz gilt nur für kleine Frequenzen ν. Bei größeren Frequenzen kommt es zu großen Diskrepanzen mit gemessenen Werten. Die Energiedichte würde nach diesem Gesetz unendlich groß werden (Ultraviolett-Katastrophe). Das Plancksche Strahlungsgesetz korrigiert diesen Fehler, indem dort Energiequanten angenommen werden. w ν (ν) dν = 8πhν3 c 3 dν e hν /kt Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz Das Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz gibt den Strahlungsleistungsdruck an. M = P A = σ T 4 ɛ (Schwarzkörper: ɛ = 1) E = P t = M A t Dabei ist σ 5, W m 2 K 4 die Stefan-Boltzmann-Konstante. Carlo Michaelis Seite 4 von 12

5 1.10 Boltzmann-Statistik Die Boltzmann Verteilung gilt im thermischen Gleichgewicht. N i = g ( i exp E ) i E k = g ( i exp hν ) N k g k kt g k kt Dabei ist g = 2J + 1. N(t) = N 0 e λt mit λ = 1 τ 2 Quantenmechanik 2.1 Wellenfunktion als Zustandsbeschreibung Die Wellenfunktion ψ(x, y, z, t) ist abhängig vom Zeitpunkt t und vom Ort r, also einem Systemzustand. Sie beschreibt Teilchen durch Materiewellen. Wird das Betragsquadrat gebildet, so bildet dies die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort zu finden. Innerhalb eines Volumenelementes dv lässt sich dies ausdrücken durch: W (x, y, z, t) dv = ψ(x, y, z, t) 2 dv Somit bildet ψ(x) 2 eine Wahrscheinlichkeitsdichte (im eindimensionalen zeitunabhängigen Fall) mit deren Hilfe die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen in einem Bereich zwischen x 1 und x 2 zu finden errechnet werden kann: P (x 1, x 2 ) = x2 x 1 ψ(x) 2 dx 2.2 Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung ist eine grundlegende Gleichung der Quantenmechanik, ihre Lösung ergibt die Wellenfunktion ψ(x, y, z, t). Die Randbedingungen der Schrödingergleichung müssen für jeden Spezialfall angepasst werden. Für den stationären Fall lässt sich ein Separationsansatz durchführen. Ausgangspunkt ist die Wellengleichung der Form: 2 ψ x 2 = 1 2 ψ u 2 t 2 Die dreidimensionale stationäre ortsabhängige Schrödingergleichung lautet dann: 2 2m ψ + E potψ = E ψ Die dreidimensionale stationäre zeitabhängige Schrödingergleichung lautet: 2 2m ψ( r, t) = i ψ( r, t) t Für zeitabhängige potentielle Energie E pot ( r, t) gilt die von Schrödinger postulierte Gleichung: 2 2m ψ( r, t) + E ψ( r, t) pot( r, t)ψ( r, t) = i t Carlo Michaelis Seite 5 von 12

6 2.3 Potential Kommt ein Teilchen an eine Potentialstufe und ist die Energie des Teilchens kleiner, als die potentielle Energie der Stufe, so kann das Teilchen die Stufe zwar nicht überwinden, es tritt jedoch bis zu einem gewissen Bereich noch in die Stufe ein. Nach einer Strecke von x = 1 /2α ist die Eindringwahrscheinlichkeit auf 1 /e abgesunken. Ist die Energie des Teilchens jedoch höher, als die der Potentialstufe, so wird ein Teil reflektiert und ein teil transmittiert. Hat eine Potentialstufe eine endliche breite, deren Energie jedoch höher ist, als die des Teilchens, so gibt es eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen trotzdem die Potentialstufe durchdringt. Dieses Phänomen wird als Tunneleffekt bezeichnet. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich durch T e 2κb mit dem Transmissionskoeffizient κ und der Breite der Potentialbarriere (Wanddicke) b: 8π2 m(e 0 E) κ = h 2 Ist ein Teilchen eingeschlossen von zwei unendlich großen Potentialen, so befindet sich dieses Teilchen in einem Potentialkasten. In einem Potentialkasten bilden sich stehende Wellen, wobei die Welle mit der geringsten Energie E 1 immer noch höher ist als 0. Daher wird E 1 auch als Nullpunktsenergie bezeichnet. Da nur stehende Wellen möglich sind, ist die Energie innerhalb des Potentialkastens gequantelt. Die möglichen Wellenlängen sind: λ n = 2d n Die möglichen Energiewerte ergeben sich über: E n = h2 8md 2 n2 = 2 π 2 2md 2 n2 Dabei ist d die Breite des Potentialkastens. 2.4 Harmonischer Oszillator Ein harmonischer Oszillator entsteht, wenn sich ein Teilchen in einem Parabelpotential befindet. Das Potential hat die Energie: E pot = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 x Die rücktreibende Kraft ist: F = grade pot = kx Das Teilchen schwingt mit einer Frequenz von: k ω = m Und somit ist k: k = ω 2 m Für quantenmechanische Systeme ergibt sich abhängig von der Quantenzahl n der Energiewert: ( E(n) = n + 1 ) ( ω = n + 1 ) hf 2 2 Für die Nullpunktsenergie ergibt sich somit: E(0) = 1 2 ω Carlo Michaelis Seite 6 von 12

7 2.5 Quantenmechanische Operatoren Grundsätzlich ist ein Operator eine Vorschrift, die jedem Vektor einen anderen Vektor eindeutig zuordnet. In der Quantenmechanik wird jeder messbaren Größe ein Operator zugeordnet. Ein Beispiel ist der Hamiltonoperator. Er gibt die Gesamtenergie eines quantenmechanischen Systems an. H ψ(r, t) = i ψ(r, t) t 2.6 Bosonen/Fermionen Bosonen sind Teilchen, die der Bose-Einstein-Statistik genügen. Sie besitzen einen ganzzahligen Spin (z.b. 0, 1, 2, etc.). Zu ihnen gehören z.b. die Photonen. Fermionen sind Teilchen, die der Fermi-Dirac-Statistik genügen. Sie besitzen einen halbzahligen Spin (z.b. 1 2, 3 2, etc.). Zu ihnen gehören z.b. die Elektronen. 3 Wasserstoffatom 3.1 Modelle Das Rutherford-Atommodell korrigierte das thomsonsche Atommodell, bei dem noch von einer positiven Masse ausgegangen war, in der die Elektronen (wie Rosinen in einem Kuchen) eingestreut sein sollten. Nach Rutherford bewegen sich die Elektronen jedoch auf einer Kreisbahnen um einen kleinen positiv geladenen Kern. Im Kern konzentriert sich die Masse des Atoms. Die Fliehkraft der Elektronen und die Coloumbkraft zwischen Kern und Elektron gleichen sich nach diesem Modell aus. Dabei ist die kinetische Energie gegeben durch: E kin = p2 2m Die potentielle Energie ergibt sich durch: E pot = 1 e 2 4πɛ 0 r Da kreisende und somit beschleunigte Ladung nach Maxwell ständig Energie abstrahlt, müsste das Elektron nach diesem Modell spiralförmig in den Kern stürzen. Außerdem konnten die Spektrallinien mit dem Modell nicht erklärt werden. Das Bohrsche Atommodell erweiterte das Rutherford-Atommodell um die Annahme von Energieniveaus, auf denen sich die Elektronen im Kreis bewegen. Der Drehimpuls L = mrv = n der Elektronen kann nur ganzzahlige Vielfache von mit der Quantenzahl n annehmen. Damit konnten die Spektrallinien erklärt werden. Das Problem des Energieverlustes wurde mit dem Bohrschen Atommodell jedoch noch nicht geklärt. Zu jeder erlaubten Quantenbahn lässt sich eine Bindungsenergie formulieren: E n = R y Z 2 n 2 Außerdem lässt sich für jede Bahn ein Radius bestimmen, wobei a 0 dem Bohrschen Radius entspricht. Dieser bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand. r n = a 0 n 2 mit a 0 = 4πɛ 0 2 m e e 2 Für eine exakte Lösung muss die dreidimensionale stationäre Schrödingergleichung gelöst werden. Aus der Lösung ergeben sich dann die erlaubten Energiewerte und die zugehörigen Wellenfunktionen, aus denen sich dann die Orbitale ergeben. Die Orbitale geben dann (im Gegensatz zur präzisen Bahn nach Rutherford und Bohr) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Elektronen an. Carlo Michaelis Seite 7 von 12

8 3.2 Energieniveaus Das Elektron in einem Atom befindet sich in einem Potentialkasten. Da im Potentialkasten nur bestimmte Schwingungsmoden (Quantenzahl n) möglich sind, bewegen sich die Elektronen somit auf diskreten Energieniveaus. Die möglichen Energiewerte im Wasserstoff-Atom sind: E n = me4 8ɛ 2 0 h2 1 n 2 = 13, 6eV 1 n Quantenzahlen Die Hauptquantenzahl n wurde bei den Energieniveaus bereits erwähnt und bezeichnen die Schalen, zu der ein entsprechendes Elektron gehört. Sie hängt mit dem Radialanteil der Wellenfunktion zusammen. Je höher die Hauptquantenzahl, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit das Elektron weiter außen anzutreffen. Die Drehimpulsquantenzahl l beschreibt die Form der Wellenfunktion und gibt somit das Orbital an. Der Betrag des Drehimpulses errechnet sich durch: L = l(l + 1) Die Magnetquantenzahl m l gibt die Orientierung des Orbitals an. Die Spinquantenzahl m s ist eine zusätzliche Eigenschaft eines Elektrons, die sich wie ein Drehimpuls verhält. 3.4 Elektronische Übergänge Um ein Elektron in ein höheres Energieniveau bringen zu können, muss ein Photon mit passender Energiedifferenz hν 12 = E 2 E 1 absorbiert werden. Für eine Ionisierung muss die Bindungsenergie überwunden werden, d.h. hν = E E 1. Fällt ein Elektron auf ein niedrigeres Energieniveau, so wird ein Photon mit entsprechender Energie emittiert. Für das Wasserstoffatom gilt: ( 1 E = hν n1,n 2 = Ry n 2 1 ) 1 n 2 (Wasserstoff-Spektrum) 2 ( 1 1 = R y λ n1,n 2 n 2 1 ) 1 n 2 2 wobei R y 1, m 1 der Rydberg-Konstanten und R y 13, 6eV der Rydberg-Energie entspricht Für wasserstoffähnliche Atome (z.b. He +, Li 2+ ) gilt: ( 1 1 = Z 2 R y λ n1,n 2 n 2 1 ) 1 n Drehimpuls und magnetisches Moment Ohne äußeres Magnetfeld gibt es keine Richtung an der sich die Orbitale unterschiedlich ausrichten könnten. Wenn also alle Wellenfunktionen mit der Hauptquantenzahl n die selbe Energie E n besitzen, so spricht man von Entartung. Das Elektron, welches sich um den Kern bewegt, erzeugt durch seine Bewegung jedoch ein magnetisches Moment. Zum einen durch seine Bahn (Bahnmoment), zum anderen durch seinen Spin (Spinmoment). µ L = µ B L (magnetisches Bahnmoment) Carlo Michaelis Seite 8 von 12

9 µ S = 2µ B S (magnetisches Spinmoment) Dabei ist µ B = e 2m 5, ev T das Bohrsche Magneton. Der Gesamtdrehimpuls J des Elektrons ergibt sich durch: J = L + S Und der gesamte magnetische Moment ergibt sich über: µ = µ L + µ S 3.6 Linienaufspaltung Die Feinstruktur ist eine Aufspaltung der Energieniveaus innerhalb einer Hauptquantenzahl n. Sie entsteht durch die Spin-Bahn-Kopplung (Wechselwirkung des magnetischen Moments des Bahndrehimpulses L des Elektrons mit dem magnetischen Moment des Elektronenspin S) und durch relativistische Effekte (relativistische Massenverschiebung). Die Hyperfeinstruktur entsteht durch eine Wechselwirkung von einem vom Kernspin erzeugten magnetischen Moment und vom Elektron erzeugten magnetischen Moment. Das magnetische Kernmoment ergibt sich dabei aus dem Kernspin I: µ I = g I µ K I Dabei ist µ K = e 2m p 5, J T das Kernmagneton, analog zum Bohrschen Magneton. Die Lamb-Verschiebung ist eine weitere, noch feinere Aufspaltung. Sie entsteht durch die Berücksichtigung des Strahlungsfeldes (äußere elektromagnetische Strahlung). Das Strahlungsfeld führt zu einer geringen Veränderung des Coulombfeldes und somit zu einer Ausfpaltung der Energien. 3.7 Termschema, Termsymbolik Die möglichen Energieniveaus (Terme) eines Atoms und deren möglichen Übergänge werden in einem Termschema dargestellt. Auf der y-achse liegen die Energieniveaus, auf der x-achse werden Elektronen aufgetragen. Von den Energieniveaus aus können dann Übergänge (als Pfeile gezeichnet) eingetragen werden. So können die Serien (z.b. Balmer-Serie) aufgetragen werden. Das Termsymbol wird verwendet um ein Energieniveau zu beschreiben. Dabei wird angegeben: Gesamtbahndrehimpuls L Gesamtspin S und Multiplizität 2S + 1 Gesamtdrehimpuls J Angegeben wird das Termsymbol in der Form: 2S+1 L J 4 Größere Atome 4.1 Pauli-Prinzip Das Pauli-Prinzip besagt, dass innerhalb eines Atoms die selben Quantenzahlen nur von einem Elektron besetzt sein können. Es kann also keine zwei oder mehr Elektronen geben, die die selben Quantenzahlen besitzen. Dieses Prinzip gilt für alle Fermionen. Carlo Michaelis Seite 9 von 12

10 4.2 Hund sche Regel Die Hund schen Regeln geben an, in welcher Konfiguration die Elektronen in den Orbitalen eines Atoms im Grundzustand vorliegen. Volle Schalen und Unterschalen haben den Gesamtdrehimpuls Null (Vollbesetzte innere Schalen liefern keinen Beitrag und müssen nicht beachtet werden) Im Grundzustand koppeln die Elektronenspins so, dass der größtmögliche Wert resultiert (Zuerst werden alls Up-Spins besetzt, danach werden die freien Plätze der Paare mit Down-Spins besetzt) Erlaubt das Pauli-Prinzip mehrere Konstellationen mit maximalem Gesamtspin S, dann werden die Unterzustände mit der Quantenzahl m l so besetzt, dass der Gesamtbahndrehimpuls L maximal wird. (Die m l werden von groß nach klein vergeben und addiert: 2 (2), 1 (3), 0 (3), 1 (2), 2 (0)) Ist eine Unterschale weniger als zur Hälfte gefüllt, dann ist der Zustand mit minimaler Gesamtdrehimpulsquantenzahl J am stärksten gebunden. Bei mehr als halbvollen Unterschalen ist es umgekehrt. (Weniger als halbvoll J = L S, mehr als halbvoll J = L + S) 4.3 Auswahlregeln für optische Übergänge l = l i l k = ±1 Übergänge von Singulett in Triplett sind verboten: S = 0 J = 0, ±1, aber nicht J = 0 J = 0 M = 0 Linear polarisiertes Licht M = ±1 Zirkular polarisiertes Licht 4.4 Zeeman-Effekt Der Zeeman-Effekt ist eine Verschiebung der Energieniveaus unter Einfluss eines äußeren Magnetfeldes. Beim anormalen Zeeman-Effekt wird (im Gegensatz zum normalen Zeeman-Effekt, das nur für Singulett-Niveaus gilt) zusätzlich der Spin des Elektrons berücksichtigt, was zu einer feineren Aufspaltung führt. Der Zeeman-Effekt wird durch eine Interaktion zwischen dem Bahndrehimpuls und dem äußeren Magnetfeld ausgelöst. Für eine geschlossene Bahn ergibt sich das durch den Bahndrehimpuls erzeugte Magnetfeld durch das Biot-Savart-Gesetz: B = µ 0I 4π d s r r 3 Dabei ist r der Radius des Elektrons und d s ein Stück auf dem Kreis. Ist zusätzlich der magnetische Moment µ I bekannt, so kann die Energie bestimmt werden. Das magnetische Moment ergibt sich durch: L µ I = g l µ = g e l L 2m e Dabei ist µ B Bohrsche Magneton und g der Landé-Faktor (gyromagnetischer Faktor), der für den Bahndrehimpuls g l 1 beträgt. Für den Spin eines Elektrons liegt dieser bei g e 2 liegt. L ist der Drehimpuls. Die Energie kann nun bestimmt werden mit: E = µ I B e = g l L B 2m e Carlo Michaelis Seite 10 von 12

11 Da der Drehimpuls in Richtung des Magnetfeldes geht und der Landé-Faktor mit g l 1 bekannt ist, vereinfacht sich die Gleichung auf: E = e LB = em l B = em l B 2m e 2m e 2m e Mit L = m l, da L nur Werte von m l annehmen kann. Beim anomalen Zeeman-Effekt wird zusätzlich der Spin des Elektrons berücksichtigt. Dieser führt zu einer feineren Aufspaltung. Dabei wird unterschieden zwischen einer eher schwachen anliegenden Feldstärke und einer sehr starken anliegenden Feldstärke (dann auch Paschen-Back-Effekt). Die Energie bzgl. dem Niveau ergibt sich über: E mj = m j g j µ B B Und der Abstand zwischen den Linien ist gegeben durch: E mj,m j±1 = g j µ B B Wobei g j der gyromagnetische Faktor ist, mit: g j = 1 + j(j + 1) l(l + 1) + s(s + 1) 2j(j + 1) Bei schwacher Feldstärke bleibt die LS-Kopplung erhalten und nur der Gesamtdrehimpuls J stellt sich zum Magnetfeld ein. Es ergeben sich (2J + 1) äquidistante Zeeman-Niveaus. Bei starker Feldstärke wird die LS-Kopplung aufgebrochen. Spin und Bahndrehimpuls stellen sich unabhängig voneinander zum Magnetfeld ein. Sie verursachen wegen ihrer gleichen Größe entsprechend gleiche Niveauaufspaltungen. E P B = (g l m l + g s m s ) µ B B 4.5 Stark-Effekt Der Stark-Effekt ist analog zum Zeeman-Effekt eine Aufspaltung der Energieniveaus durch ein äußeres Feld. Beim Stark-Effekt wird jedoch ein elektrisches Feld angelegt. Es wird unterschieden zwischen dem linearen Stark- Effekt, bei Wasserstoff und wasserstoffähnlichen Atomen und dem quadratischen Stark-Effekt, bei Atomen, die im Grundzustand kein permanentes elektrisches Dipolmoment besitzen. 4.6 Vektormodell Im Vektormodell werden der Bahndrehimpuls l und der Spin s als Vektoren betrachtet, die zum Gesamtdrehimpuls j addiert werden können. Dabei gilt entsprechend: j = l + s (1) mit den Beträgen: j = j(j + 1) l = l(l + 1) s = s(s + 1) Carlo Michaelis Seite 11 von 12

12 Beispiel Zusammenhang l/s Durch Quadrieren von (1) erhält man: j 2 = l 2 + s l s 1 ( l s = j 2 2 l 2 s 2) 1 ( l s = 2 2 j(j + 1) l(l + 1) 2 s(s + 1) 2) Damit kann dann zum Beispiel der Winkel zwischen den Vektoren bestimmt werden, mittels: cos α = a b a b Und somit für die Drehimpulse: cos α = l s l s = 1 ( 2 j(j + 1) l(l + 1) 2 s(s + 1) 2) = 1 2 l(l + 1) s(s + 1) 2 ( j(j + 1) l(l + 1) 2 s(s + 1) 2) l(l + 1) s(s + 1) Carlo Michaelis Seite 12 von 12

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