3 Invertierbare Matrizen Die Inverse einer (2 2)-Matrix Eigenschaften invertierbarer Matrizen... 18

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik 2 Dr. Thomas Zehrt Vektoren und Matrizen Inhaltsverzeichnis Vektoren(Wiederholung bzw. Selbststudium 2. Linearkombinationen Länge eines Vektors Das Skalarprodukt Orthogonalität von Vektoren Geraden und Ebenen Matrizen 2. Gleichheit zweier Matrizen Addition und Subtraktion Multiplikation mit einer reellen Zahl Produkt einer Matrix mit einem Vektor Produkt zweier Matrizen Die Transponierte einer Matrix Invertierbare Matrizen 7 3. Die Inverse einer (2 2-Matrix Eigenschaften invertierbarer Matrizen *Mathematische Modellierung von mehrstufigen Produktionsprozessen durch Matrizen* 9 4. Grundlagen Problem Lösung Typische Fragen und Antworten Vorbereitende Übungsaufgaben 23 6 Übungsaufgaben 24

2 2 Vektoren(Wiederholung bzw. Selbststudium Ein Vektor mit zwei oder drei (oder auch mehr Komponenten v = kann geometrisch gedeutet werden: ( u u 2 u = v v 2 v 3 als Punkt P in der Ebene bzw. im 3-dimensonalen Raum als,,pfeil vom Ursprung 0 nach P als Klasse der,,pfeile der entsprechenden Länge und Richtung (freie Vektoren P

3 3. Linearkombinationen Streckung um k k R, u = ( u u 2 ( ku ku = ku 2 k u k2u u u k > Streckung 0 < k 2 < Stauchung k = Spiegelung Addition von zwei Vektoren ( ( ( u v u + v u =, v =, u + v = u 2 v 2 u 2 + v 2 u+v v u

4 4 Linearkombinationen gegeben: u, v Vektoren und a, b R w = au + bv heisst Linearkombination der Vektoren u und v. v au u w bv ( ( 2 Beispiel. Seien u =, v = Vektoren, a = 2 und b = 4 reelle 3 ( 4 ( ( Zahlen. Dann gilt au + bv = = ( 2 ( Definition. gegeben: Vektoren u, u 2,..., u k und reelle Zahlen a, a 2,..., a k z = k i= a i u i = a u + a 2 u a k u k heisst Linearkombination der Vektoren u, u 2,..., u k.

5 5.2 Länge eines Vektors Definition.2 Durch u sei die Länge oder der Betrag des Vektors u bezeichnet. u = ( u u 2 y u 2 u u x u = u u 2 u 3 u 2 = u 2 + u 2 2 u = u 2 + u 2 2 z u u 3 d u y u 2 x d 2 = u 2 + u 2 2 u 2 = u d 2 u 2 = u 2 + u u 2 3 u = u 2 + u u 2 3

6 6 u = u u 2. u n u 2 = u 2 + u u 2 n u = u 2 + u u 2 n Beispiel.2 Der Vektor u = u = ( 3 hat die Länge u 2 + u 2 2 = 2 + ( 3 2 = 0

7 7.3 Das Skalarprodukt u = ( u u 2, v = ( v v 2 Definition.3 Das Skalarprodukt der Vektoren u und v ist u v = u v + u 2 v 2 Satz Mit dem Winkel γ zwischen den beiden Vektoren u und v gilt: u v = u v cos(γ u 2 y u γ v 2 v u v x α β Beweis: cos(γ = cos(α β = cos(α cos(β + sin(α sin(β u v cos(γ = u {}}{ u cos(α v {}}{ v cos(β + u sin(α }{{} u 2 v sin(β }{{} v 2

8 8.4 Orthogonalität von Vektoren Für zwei Vektoren u 0 und v 0 gilt u v u v = 0 cos(γ = 0 u γ v Beispiel.3 Die beiden Vektoren u = gilt ( 3 ( 6, v = 2 sind orthogonal, denn es u v = 6 + ( 3 2 = 6 6 = 0.

9 9.5 Geraden und Ebenen Vektorielle Darstellung einer Geraden g u Ortsvektor eines Punktes auf g und v Vektor in Richtung von g g = u + tv t R z g u v y x Beispiel.4 Die beiden Vektoren u = g = ( x y ( 3 = (, v = 2 ( 3 ( + t 2 definieren die Gerade Im letzten Semester haben wir Geradengleichungen der Gestalt y = mx + n kennengelernt und wir wollen das als Kooordinatendarstellung einer Geraden bezeichnen. Wie hängen nun vektorielle Darstellung und Kooordinatendarstellung zusammen? Die oben beschriebene Gerade in vektorieller Darstellung kann auch zeilenweise gelesen werden: x = + t oder t = x y = 3 + t 2 Lösen wir nun eine der beiden Gleichungen nach t auf und setzen das in die andere Gleichung ein, erhalten wir die Koordinatendarstellung der selben Geraden: y = 3 + t 2 = 3 + (x 2 = 3 + 2x 2 = 2x 5

10 0 Vektorielle Darstellung einer Ebene E u Ortsvektor eines Punktes auf E und v, w zwei nicht in einer Geraden liegende Vektoren der Ebene E E = u + t v + t 2 w t, t 2 R z u v y w x

11 2 Matrizen Definition 2. Ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen a a 2... a n a 2 a a 2n A = a ij a m a m2... a mn heisst Matrix. Am Eintrag a ij bezeichnet der Index i die Zeilennummer und der Index j die Kolonnen- oder Spaltennummer Bezeichnungen: A = A mn = A m n = (a ij Spezialfälle: A m = x = x x 2. x m x m ist Kolonnen- oder Spaltenvektor. A n = y T = (y, y 2,..., y n, y n ist Zeilenvektor. 2. Gleichheit zweier Matrizen Zwei Matrizen A und B heissen gleich, wenn folgendes gilt: sie haben gleiche Zeilenzahl, sie haben gleiche Kolonnenzahl und die entsprechenden Elemente sind gleich: A m n = B m n wenn a ij = b ij für alle i und alle j. 2.2 Addition und Subtraktion Zwei Matrizen gleicher Dimension (d.h. mit gleicher Zeilen- und Kolonnenzahl können addiert und subtrahiert werden: a ± b a 2 ± b 2... a n ± b n a 2 ± b 2 a 22 ± b a 2n ± b 2n A m n ± B m n = a ij ± b ij a m ± b m a m2 ± b m2... a mn ± b mn

12 2 2.3 Multiplikation mit einer reellen Zahl Jede Matrix kann (von links mit einer reellen Zahl (einem sogenannten Skalar multipliziert werden: c A m n = c a c a 2... c a n c a 2 c a c a 2n c a ij c a m c a m2... c a mn Distributives Gesetz (Skalar mal Matrix c (A ± B = c A ± c B 2.4 Produkt einer Matrix mit einem Vektor Seien A = A m n eine (m n-matrix x = x n ein (n -Vektor. Dann ist das Produkt Ax ein (m -Vektor Ax = a a 2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn x x 2. x n = a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n. a m x + a m2 x a mn x n Beispiel = + 2 ( ( 3 ( ( + 3 ( = 3 7

13 3 2.5 Produkt zweier Matrizen Das Produkt AB zweier Matrizen kann gebildet werden, wenn die Anzahl der Kolonnen der ersten gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten ist. A m n B n p = C m p wobei für alle i =,..., m und alle j =,..., p gilt: c ij = n k= a ik b kj = a i b j + a i2 b 2j a in b nj Multiplikationsschema b b 2 b b j 2j b b p 2p b n b nj b np a a 2 a n a i a i2 a in c ij a a a m m2 mn Beispiel 2.2 = = ( ( ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3 3 ( ( 2 ( + 3 ( 4 (

14 4 Eigenschaften der Matrizenmultiplikation. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ Beispiel: ( ( 2 2 A = B = ( ( AB = BA = Im Allgemeinen: AB BA 2. Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ ( ( 2 2 Beispiel: A 2 2 =, B = 3 4 ( ( AB = (ABC = ( ( 4 24 BC = A(BC = 0 0 Im Allgemeinen: und C 3 2 = (ABC = A(BC 3. Die Nullmatrix Die (m n-matrix 0 m n, deren sämtliche Einträge 0 sind, heisst Nullmatrix. 0 m n = Im Allgemeinen: A m n + 0 m n = 0 m n + A m n = A m n

15 5 4. Die Einheitsmatrix Gibt es eine quadratische Matrix, die die Rolle der Eins übernimmt, d.h. eine Matrix I, so dass AI = A und IA = A für alle quadratischen Matrizen A gilt? Ja! I heisst Einheitsmatrix. 5. Es gibt Nullteiler! I = Für reelle Zahlen a und b gilt die Regel: ab = 0 a = 0 oder b = 0 Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für Matrizen! ( ( ( A =, B = und AB = A und B heissen Nullteiler. Im Allgemeinen: = 0 AB = 0 A = 0 oder B = 0 6. Für reelle Zahlen gilt die Regel: Aus cd = ce, c 0 d = e Diese Regel gilt im Allgemeinen nicht für Matrizen! ( ( ( C = D = E = ( 5 8 CD = CE = 5 24 aber D E! Im Allgemeinen: CD = CE D = E

16 6 2.6 Die Transponierte einer Matrix Die Transponierte einer (m n-matrix A = A m n = a... a n a 2... a 2n a m... a mn. ist die (n m-matrix A T = A T n m = a a 2... a m a n a 2n... a mn Erfüllt eine (quadratische Matrix A die Bedingung A = A T, so heisst A symmetrisch.. (A T T = A 2. (A + B T = A T + B T 3. (AB T = B T A T

17 7 3 Invertierbare Matrizen Definition 3. Es sei eine (quadratische (n n-matrix A gegeben. Falls es eine (n n- Matrix A mit der Eigenschaft AA = A A = I gibt, so nennt man A die Inverse von A und A heisst invertierbar. Achtung: Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse! Der direkte Weg zur Bestimmung der Inversen einer Matrix A ist leicht zu verstehen. Wir wollen das an einem einfachen Beispiel erläutern. Beispiel 3. Wir suchen die Inverse für A = ( 0 Wir wissen, dass AA = I gelten muss, also: ( ( ( 0 e f e f = g h e + g f + h und machen den Ansatz A = = ( 0 0. ( e f g h. Aus dieser Matrizengleichung können wir Komponentenweise 4 lineare Gleichungen für die 4 Unbekannten e, f, g, h auslesen e = f = 0 e + g = 0 f + h =. Die eindeutige Lösung ist e =, f = 0, g = und h =, also ist A = ( Die Inverse einer (2 2-Matrix Das Vorgehen in obigem Beispiel kann auch für eine allgemeine (2 2-Matrix angewendet werden. Die (2 2-Matrix A = ( a b c d besitzt eine Inverse, falls ad bc 0 und diese ist dann gegeben durch A = ad bc ( d b c a.

18 8 3.2 Eigenschaften invertierbarer Matrizen. (A = A 2. (AB = B A Beweis von 2. Sei C die gesuchte Inverse von AB. Dann gilt CAB = I B A v. rechts CA } BB{{ } A = IB A =I = B A C } AA{{ } = B A =I C = B A

19 9 4 *Mathematische Modellierung von mehrstufigen Produktionsprozessen durch Matrizen* Bei mehrstufigen Produktionsprozessen werden aus Rohstoffen Zwischenprodukte und leztendlich Endprodukte hergestellt. Solche Prozesse lassen sich elegant und übersichtlich mit Matrizen beschreiben, was wir am Beispiel eines zweistufigen Produktionsprozesses erläutern wollen. Wir verwenden durchgängig die Abkürzung ME für Mengeneinheiten. 4. Grundlagen R Z Z 2 E R 2 Z 3 R 3 E 2 Z 4 Aus den drei Rohstoffen R, R 2 und R 3 werden vier Zwischenprodukte Z, Z 2, Z 3 und Z 4 hergestellt. Dabei benötigt man für Z : ME von R 7 ME von R 3 für Z 2 : 8 ME von R 3 ME von R 2 5 ME von R 3 für Z 3 : 2 ME von R 2 8 ME von R 3 für Z 4 : 0 ME von R 3

20 20 Zur Herstellung der Endprodukte E und E 2 benötigt man für E : 5 ME von Z 3 ME von Z 2 6 ME von Z 3 für E 2 : 3 ME von Z 2 ME von Z 3 0 ME von Z Problem Wir wollen die Zusammenhänge zwischen Rohstoffen, Zwischenprodukten und Endprodukten durch geeignete Matrizen beschreiben. 4.3 Lösung Abkürzungen Zunächst führen wir die folgenden Abkürzungen ein: r i bezeichne die ME der benötigten Rohstoffe R i (i =, 2, 3 z j bezeichne die ME der Zwischenprodukte Z j (j =, 2, 3, 4 e k bezeichne die ME der Endprodukte E k (k =, 2 Daraus konstruieren wir die folgenden drei Vektoren: r = r r 2 r 3 den Rohstoffvektor. z z = z 2 z 3 den Zwischenproduktvektor. z 4 ( e e = den Endproduktvektor. e 2 Für den Zusammenhang zwischen Rohstof- Die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix fen und Zwischenprodukten gilt zunächst: r = z + 8z 2 + 0z 3 + 0z 4 r 2 = 0z + 3z 2 + 2z 3 + 0z 4 r 3 = 7z + 5z 2 + 8z 3 + 0z 4 bzw. in Matrizenschreibweise:

21 2 r = r r 2 r 3 = }{{} =: A z z 2 z 3 z 4 Die Matrix A trägt den Namen Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix und es gilt r = Az Die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix Entsprechend gilt für den Zusammenhang zwischen Zwischenprodukt und Endprodukt: z = 5e + 3e 2 z 2 = 3e + 0e 2 z 3 = 6e + 2e 2 z 4 = 0e + 0e 2 bzw. in Matrizenschreibweise: z = z z 2 z 3 z 4 = } {{ } =: B ( e e 2 Die Matrix B trägt den Namen Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix und es gilt z = Be Setzt man nun beide linearen Beziehungen inein- Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix ander ein, erhält man: r = Az = A(Be = }{{} AB e =: C mit der Rohstoff-Endprodukt-Matrix C = AB. Es ist C = AB = =

22 22 und allgemein r = Ce 4.4 Typische Fragen und Antworten Mit dieser mathematischen Modellierung kann man nun typische Fragen schnell beantworten. Frage Wieviele ME benötigt man von jedem Rohstoff, um 20 ME des Erzeugnisses E und 25 ME des Erzeugnisses E 2 herzustellen? Antwort auf Frage Der Endproduktvektor e = ( ist gegeben und wir suchen den zugehörigen Rohstoffvektor r. Es gilt: ( 2405 r = Ce = = Also werden vom Rohstoff R 2405 ME, vom Rohstoff R ME und vom Rohstoff R ME benötigt. Frage 2 Wieviele ME benötigt man von jedem Zwischenprodukt, um 0 ME des Erzeugnisses E und ME des Erzeugnisses E 2 herzustellen? Antwort auf Frage 2 Der Endproduktvektor ist e = ( 0 und wir müssen mit der Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B arbeiten um den zugehörigen Zwischenproduktvektor z zu berechnen. Es gilt: 5 3 ( 83 z = CBe = = Also werden vom Zwischenprodukt Z 83 ME, vom Zwischenprodukt Z 2 30 ME, vom Zwischenprodukt Z 3 82 ME und vom Zwischenprodukt Z 4 0 ME benötigt.

23 23 5 Vorbereitende Übungsaufgaben Das folgende Übungsblatt enthält Aufgaben zur Vektorrechnung, die Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse aus der Schule lösen können sollten. Dieses Übungsblatt wird in den Übungsstunden nicht besprochen.. Es seien die beiden Vektoren x = Sie x y, x, y und x + y. 2. Es seien die beiden Vektoren x = und y = und y = (a Berechnen Sie die Längen der beiden Vektoren gegeben. Berechnen gegeben. (b Bestimmen Sie einen Einheitsvektor n, der senkrecht auf beiden Vektoren x und y steht. 3. Es seien die beiden Vektoren x = 3 und y = 0 gegeben. Bestimmen 2 2 Sie einen zu x und y senkrechten Vektor der Länge Bestimmen Sie die Schnittmenge von jeweils zwei der drei folgenden Geraden. 2 g : 2 + r 3 g 2 : g 3 : s + t Wir wissen bereits, dass sich Ebenen auch in der so genannten Koordinatendarstellung schreiben lassen, d.h. in der Form z = ax + by + c mit bestimmten reellen Zahlen a, b und c. (a Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung der Ebene 2 4 E : 5 + r 0 + s 3 (b Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Ebene E : 2x 3z = 4..

24 24 6 Übungsaufgaben. Gegeben sind die folgenden Matrizen: A = ( B = ( 3 2 I = ( 0 0 C = ( D = Berechnen Sie A B, I A, AB, BA, B 2, CD, C T C, CC T. 2. Gegeben ist die Matrix D = Bestimmen Sie D 2, D 3 und D Gegeben sind die Matrix A = Sie (I 2A und Ab. ( und der Vektor b = ( 5 7. Berechnen 4. Berechnen Sie für die Matrizen A = den Vektor c = ( 0 0 den Vektor x = ABc , B = und ( ( Gegeben sind die Matrizen A = und B = 0 Matrix X, so dass AX = B gilt. Ist die Lösung eindeutig?. Gesucht ist eine 6. Lösen Sie unter Anwendung der Rechenregeln für Matrizen die folgenden Matrizengleichungen nach der Matrix X auf. Beachten Sie insbesondere, dass Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist. Versuchen Sie die Lösung in möglichst einfacher Form darzustellen. (a A T I + X T = [A(I + B] T (b X(A + I = I + A (c (XA + IX T = A T + I (d 5(BA T T + 3A T + X = 3A T + I T AB T (A T + 5I + XI

25 25 Lösungen der vorbereitenden Übungsaufgaben. 3, 3, 6 und 5 2. Musterlösung a Die Längen der beiden Vektoren können über den Satz von Pythagoras bestimmt werden. Es ist x = = 4 y = ( 2 + ( 5 2 = 42 b Zur Berechnung des gesuchten Vektors n gehen wir direkt vor. Falls Ihnen das sogenannte Kreuzprodukt von Vektoren und dessen Eigenschaften bekannt sind, können Sie auch dieses nutzen. Die drei Eigenschaften des Vektors n übersetzen sich nun wie folgt in drei Gleichungen. Mit dem allgemeinen Ansatz n = n senkrecht zu x n x = 0 n senkrecht zu y n y = 0 n hat die Länge n n = n n 2 n 3 heisst das I 0 = n x = n + 3 n n 3 II 0 = n y = 4 n n 2 5 n 3 III = n n = n n + n 2 n 2 + n 3 n 3 Nun bestimmen wir zunächst alle Vektoren, die die Gleichungen I und II erfüllen. Dazu lösen wir die erste Gleichung nach n auf und setzen das in die zweite Gleichung ein. 0 = 4 n n 2 5 n 3 = 4 ( 3 n 2 2 n 3 n 2 5 n 3 = 3 (n 2 + n 3 Damit folgt, dass n 2 = n 3 =: a gelten muss und für die erste Komponente des gesuchten Vektors folgt dann mit Gleichung I die Beziehung n = 3 a 2 a = a. Setzen wir diese Komponenten nun in die Gleichung III ein, ergibt sich: also a = 3 oder a = = a a + ( a ( a + a a = 3a 2 3 und die zwei verschiedenen Lösungsvektoren sind

26 26 3. ± g g 2 = a 3x y + 4z = 3 n = ± 3, g 2 g 3 =, g g 3 =. b E : r s.5 0 oder 0 0 4/3 + r 0 2/3 + s 0 0 Hinweis: Eine gegebene Ebene besitzt natürlich unendlich viele Darstellungen und je nach dem welchen Lösungsweg man einschlägt, erhält man auch andere Darstellungen der selben (Lösungsebene.

27 27 Lösungen einiger Übungsaufgaben Allgemeine Hinweise: Die algebraischen Operationen (+, und sind für folgende Matrizen erlaubt: Lösungen der Aufgaben ( 0. A B = 4 4 ( 5 6 B 2 = D 2 = , I A =, CD = ( (I 2A = x = Musterlösung, D 3 = gegeben: A = A 2 3 = A m n + B m n = C m n A m n B m n = C m n A m n B n o = C m o ( ( ( , AB =, BA = ( , C 4 6 T C = 3 2, CC T =, Ab = ( 3 9 ( 0 0, D 4 = gesucht: Matrix X, so dass A 2 3 X?? = B und B = B 2 2 = ( 2 0., ( Lösung: An den Dimensionen der Matrizen A und B erkennt man, dass die gesuchte Matrix X genau 3 Zeilen und 2 Spalten haben muss. Wir machen daher den allgemeinen Ansatz X = x x 2 x 2 x 22 x 3 x 32. Die Gleichung schreibt sich damit als ( x 0 x 2 x 0 2 x 22 = x 3 x 32 = ( x + 0 x 2 + x 3 x x 22 + x 32 0 x x 2 + x 3 0 x 2 x 22 + x 32 ( x + x 3 x 2 + x 32 x 2 + x 3 x 22 + x 32 = = ( 2 0 ( 2 0 ( 2 0

28 28 Das sind genau 4 Gleichungen für die 6 gesuchten Unbekannten. I x + x 3 = 2 II x 2 + x 32 = 0 III x 2 + x 3 = IV x 22 + x 32 = Wir können 2 = 6-4 Parameter frei wählen, also z.b. x 3 = a und x 32 = b. Hinweis: Man hätte hier auch eine andere Wahl treffen können, also z.b. x = a und x 2 = b. Das Resultat wäre eine auf den ersten Blick andere Lösungsbeschreibung. Dann sind die restlichen Parameter eindeutig bestimmt. I x + a = 2 x = 2 a II x 2 + b = 0 x 2 = b III x 2 + a = x 2 = a IV x 22 + b = x 22 = b Die (natürlich nicht eindeutig bestimmte Lösung lautet damit X = 2 a b a b a b für alle a, b R. 6.?