E 7. Ergänzungen zu Kapitel 7

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1 E 7. Ergänzungen zu Kapitel 7 1 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) 2 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

2 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) E 7.1 Ising Spin-1/2 Sytem (D = 1) Gegeben: Hamiltonfunktion H = J ij si s j H m Spineinstellungen s i = ±1 (diskretes Modell) eindimensionale Kette, N Spins, periodische Randbedinungen: s N+1 s 1 externes Feld H m im folgenden mit H bezeichnet i s i Gesucht: thermodynamische Eigenschaften G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

3 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) H = J ij si s j H i s i N = J s i s i+1 1 N 2 H (s i + s i+1 ) i=1 i=1 Berechnung der Zustandssumme Z mit β = 1/(k BT ) Z = Z(T, H, N) = exp( βh) s 1 =±1 s N =±1 = { } N exp β [Js i s i+1 + (1/2)H(s i + s i+1 )] s 1 =±1 = s N =±1 s 1 =±1 s N =±1 i=1 Π N i=1 exp {β [Js i s i+1 + (1/2)H(s i + s i+1 )]} G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

4 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) jeder der Faktoren, exp {β [Js i s i+1 + (1/2)H(s i + s i+1 )]} nimmt für die verschiedenen Möglichkeiten der Spineinstellungen (s i = ±1 und s i+1 = ±1) vier Werte an, die man zu einer Matrix T (die s.g. Transfermatrix) mit Elementen T si,s i+1 = exp {β [Js i s i+1 + (1/2)H(s i + s i+1 )]} zusammenfassen kann: exp[β(j + H)] exp[ βj] }{{}}{{} s i =1,s i+1 =1 s i =1,s i+1 = 1 T = exp[ βj] }{{} s i = 1,s i+1 =1 exp[β(j H)] }{{} s i = 1,s i+1 = 1 somit kann man die Zustandssumme folgendermaßen schreiben: Z(T, H, N) = T s1,s 2 T s2,s 3 T sn 1,s N T sn,s 1 s 1 =±1 s 2 =±1 s N =±1 Interpretation dieses Ergebnisses: die inneren (N 1) Summen innerhalb der runden Klammern entsprechen einem Matrixprodukt von N T -Matrizen; dieser Klammerausdruck ist somit ( T N) s 1,s 1 die äußere Summe über s 1 = ±1 entspricht dann der Spur über T N G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

5 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) man erhält schließlich für die kanonische Zustandssumme: Z(T, H, N) = Sp(T N ) da T offensichtlich eine symmetrische 2 2 Matrix ist, besitzt sie zwei reelle Eigenwerte, λ 1 und λ 2: [ ] λ 1,2 = exp(βj) cosh(βh) ± cosh 2 (βh) 2 exp( 2βJ) sinh(2βj) damit erhält man und Z(T, H, N) = (λ N 1 + λ N 2 ) [ ] G(T, H, N) = k BT ln λ N 1 + λ N 2 sei λ 1 > λ 2, dann folgt G = k BT ln [ ] [ ( )] λ N 1 + λ N 2 = k BT ln λ N (λ 2/λ 1) N }{{} <1 mit N strebt die innere, runde Klammer gegen 1, somit ist G(T, H, N) extensiv, also g(t, H) = lim G/N = kbt ln λ1 < N G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

6 Hinweis: die Transfermatrixmethode ist für viele magnetische Modellsysteme anwendbar; dabei ist das Theorem von Perron-Frobenius von Relevanz. Transfermatrizen gehören zu einer Gruppe von Matrizen, für die folgendes gilt: es gibt einen größten, reellen Eigenwert λ 1; weiters gilt: λ 1 > λ 2 >, wobei die λ i für i 2 nicht reell sein müssen (vgl. Ref. [1.7]) G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12 E 7.1 Ising Spin-1/2 System (D = 1) aus G (bzw. g) erhält man im thermodynamischen Grenzwert (also für N ) für die Magnetisierung pro Teilchen, m = M/T ( ) (G/N) sinh(βh) m(t, H) = = H T sinh 2 (βh) + exp[ 4βJ] m(h,t) T 1 T 2 Magnetisierung pro Teilchen für ein eindimensionales Ising-Modell als Funktion von H (in willkürlichen Einheiten) für zwei verschiedenen Temperaturen T 1 und T 2, mit T 1 < T 2; aus Ref. [1.8] H schließlich lassen sich auch Korrelationsfunktionen mit Hilfe dieses Algorithmus relativ leicht berechnen (vgl. Ref. [1.7])

7 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) (a) analytische Lösung Gegeben: Hamiltonfunktion H = J ij si s j Spineinstellungen s i = ±1 (diskretes Modell) quadratisches Gitter, N = n 2 Spins, periodische (toroidale) Randbedinungen kein Feld!! Gesucht: thermodynamische Eigenschaften G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

8 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) Ergebnisse (ohne Rechnung; vgl. Ref. [1.4, 1.5, 1.8]): freie Enthalpie β 1 1 G = ln[2 cosh(2βj)] N 2π innere Energie π β 1 κ dκ E = 2J tanh(2βj) + N 2π dβ kritischer Punkt mit kritischer Temperatur T c 0 k B T c 2.269J [ 1 ( ) ] dφ ln κ 2 2 sin 2 Φ π 0 dφ sin2 Φ (1 + ) für die Wärmekapazität C gilt bei T T c 1 C(T ) 2 ( ) 2 [ 2J ln k B π k B T c 1 T ( ) kb T ( c + ln 1 + π ) ] T c 2J 4 (1) mit κ = 2 [cosh(2βj) coth(2βj)] 1 = 1 κ 2 sin 2 Φ G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

9 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) (spezifische) Magnetisierung m ähnlich wie für D = 1 (nur mit erheblich mehr Rechenaufwand) ergibt sich die Magnetisierung pro Spin, m = M/N, zu [ ] (1 + x 2 )(1 6x 2 + x 4 ) 1/2 1/4 m(t ) = mit x = exp[ 2βJ] (2) (1 x 2 ) 2 G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

10 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) (b) Ergebnisse von Monte Carlo Simulationen aus der Projektarbeit von Thomas Garschall (Ref. [1.8]): Magnetisierung und Wärmekapazität analytic 20x20 40x40 80x80 100x x x approx 20x20 40x40 80x80 100x x x400 m(t) c(t) T T Magnetisierung pro Spin, m(t ), für ein zwei-dimensionales Ising Spin-Modell als Funktion der Temperatur T. Ergebnisse von Monte Carlo Simulationen für verschiedene Ensemblegrößen (wie angegeben); strichlierte Linie: analytisches (exaktes) Ergebnis vgl. Gleichung (2). Wärmekapazität pro Spin, c(t ), für ein zwei-dimensionales Ising Spin-Modell als Funktion der Temperatur T. Ergebnisse von Monte Carlo Simulationen für verschiedene Ensemblegrößen (wie angegeben); strichlierte Linie: Näherungsausdruck der analytischen Lösung vgl. Gleichung (1). G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

11 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) Spinkonfigurationen Spinkonfigurationen eines zwei-dimensionalen Ising Spin-Modells aus einer Monte Carlo Simulation nach jeweils 500 Simulationsschritten für drei verschiedene Temperaturen: T = 2.4J/k B (links), T = 3.0J/k B (Mitte) und T = 5.0J/k B (rechts). Systemgröße: Spins. Weiße und schwarze Kästchen entsprechen Spins mit gegensätzlicher Orientierung. G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12

12 E 7.2 Ising Spin-1/2 System (D = 2) Literatur 1.1 H.E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Clarendon Press (Oxford, 1971). 1.2 C. Kittel, Elementary Statistical Physics, Wiley (New York, 1958). 1.3 E. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925). 1.4 L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944). 1.5 K. Huang, Statistical Mechanics, Wiley (New York, 1987), 2. Auflage. 1.6 R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press (London, 1989). 1.7 J.M. Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions Clarendon Press (Oxford, 1992). 1.8 T. Garschall, Projektarbeit aus Statistischer Physik, TU Wien (2009); (vgl. G. Kahl & F. Libisch (E136) Statistische Physik I Erg. zu Kapitel 7 7. Juni / 12