Modellierung des Kreditrisikos im Portfoliofall

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1 Frankfurt School Workng Paper Seres No. 27 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall von Henz Cremers und Jens Walzner August 2009 Sonnemannstr Frankfurt an Man, Germany Phone: +49 (0) Fax: +49 (0) Internet:

2 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Abstract The current fnancal market crss has mpressvely demonstrated the mportance of an effectve credt rsk management for fnancal nsttutons. At the same tme, the use and the valuaton of credt dervatves has been wdely crtcsed as a result of the crss. Over the past decade, credt dervatves emerged as an mportant part of credt rsk management as these offer a broad range of possbltes to reduce credt rsk through actve credt portfolo management. Ths has represented a quantum leap n the further development of credt rsk management. Credt rsk management wthout usng credt dervatves no longer seems to be an approprate alternatve. However, correct valuaton of these dervatves s stll challengng. The crss has demonstrated that the ssue s less about usng credt dervatves than about developng vald valuaton technques. A sound understandng of already exstng credt prcng models s necessary for such a development. These models are the key focus of ths workng paper. Lterature dstngushes between three dfferent knds of credt prcng models: Asset-Based- Models, Intensty-Based-Models and hybrd models. The prmary purpose of credt rsk modellng s to smulate the default of a defaultable asset. Asset-Based-Models try to model the default by analyzng changes n value of such an asset: f the value of a defaultable asset falls below a defned threshold, the asset defaults. Whle ths s economcally plausble, the modellng of a default n an Intensty-Based-Model s rather random. It s smply the result of a stochastc process. Whle Intensty-Based-Models do not offer any economc ratonale for the default, ther results are surprsngly realstc. Hybrd models are a combnaton of both knd of models. These try to establsh a connecton between the economc ratonale of the Asset-Based-Models and the emprcal valdty of the results of the Intensty-Based-Models. Whle ths paper focuses on the valuaton technques n a portfolo case, Frankfurt School Workng Paper No. 26 concentrates on credt rsk modellng n a sngle asset case. Key words: credt rsk prcng models; asset-based models; asset-value models; structural models; ntensty-based models; reduced-form models; credt dervatves; credt default swap; prcng; valuaton; default spread; rsk management; credt portfolo management JEL classfcaton: C22; G; G2; G2; G32 ISSN: Contact: Prof. Dr. Henz Cremers Frankfurt School of Fnance & Management Sonnemannstrasse 9- D-6034 Frankfurt am Man Germany Phone: +49-(0) E-Mal: Jens Walzner, M.Sc. Dresdner Klenwort Theodor-Heuss-Anlage D Frankfurt am Man Germany Mobl: +49-(0) E-Mal: Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 2

3 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Inhaltsverzechns Abbldungsverzechns...4 Symbolverzechns...5. Enletung...9. Ausgangslage Defnton der Begrffe Kredtrsko, bontätssenstver Fnanzttel und Kredtrskomodell Modellüberblck Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Copula als Abhänggketsmaß Unternehmenswertmodelle Enführung der makroökonomschen Abhänggket anhand des Bernoull- Mschungsmodells Enführung der mkroökonomschen Abhänggket Intenstätsmodelle Enführung der makroökonomschen Abhänggket Enführung der mkroökonomschen Abhänggket Hybrde Kredtrskomodelle Enführung der makroökonomschen Abhänggket Enführung der mkroökonomschen Abhänggket Praxsbespel: Bewertung von Collateralzed Debt Oblgatons Fazt...59 Lteraturverzechns...6 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 3

4 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Tabellenverzechns Tab. : Verlustvertelung be enem homogenen Kredtportfolo...29 Tab. 2: Ausgangsdaten für de Modellerung enes heterogenen Bespelportfolos...33 Tab. 3: Verlustvertelung be enem heterogenen Kredtportfolo...33 Tab. 4: En Szenaro der Monte-Carlo-Smulaton zur Ermttlung des n th -to-default-spreads 45 Tab. 5: Contngent und Premum Leg enes Szenaros der Monte-Carlo-Smulaton...45 Tab. 6: Fare n th -to-default-swap-spreads be.000 durchgeführten Smulatonen...46 Tab. 7: Exemplarsche Berechnung des Spreads ener Mezzanne Tranche enes CDO...55 Tab. 8: Auszahlungsquoten und fare Spreads der enzelnen CDO Tranchen be unterschedlcher Korrelaton...56 Abbldungsverzechns Abb. : Kredtrskomodelle m Überblck...2 Abb. 2: Unkorrelerte Gauß-Copula mt normalvertelten Randvertelungen...9 Abb. 3: Gauß-Copula mt normalvertelten Randvertelungen und Korrelatonskoeffzenten r = 0,9...9 Abb. 4: Gumbel-Copula mt normalvertelten Randvertelungen und Korrelatonparameter r =, Abb. 5: Dchtefunkton be enem homogenen Kredtportfolo...30 Abb. 6: Vertelungsfunkton be enem homogenen Kredtportfolo...30 Abb. 7: Dchtefunkton des heterogenen Bespel-Portfolos...34 Abb. 8: Vertelungsfunkton des heterogenen Bespel-Portfolos...35 Abb. 9: Abhänggket des n th -to-default-spreads von der Basket-Korrelaton...46 Abb. 0: Funktonswese von Collateralzed Debt Oblgatons...49 Abb. : Payoff-Profl enes Investors n ene Mezzanne Tranche enes CDO...5 Abb. 2: Dchtefunkton der Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket von der Asset- Korrelaton...52 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 4

5 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Symbolverzechns [t -,t ] Zetntervall von t - bs t [t -,τ] Zetntervall von t bs τ α A A t a j a r a B b b B 0 F B 0 R B 0 B T c Konfdenznveau Standardserter Frmenwert Kompensator / Ausfalltrend Konstanter Gewchtungsparameter Vektor der konstanten Faktorgewchte des Makro-Faktors X Unterer Trancherungspunkt Standardsertes Nomnal des Fremdkaptals bzw. standardserte Ausfallschranke Konstantes Faktorgewcht des dosynkratschen Faktors Z Oberer Trancherungspunkt Barwert enes ausfallrskobehafteten Fnanzttels Barwert der Rückzahlung ener Forderung, welche zum Zetpunkt T erfolgt Barwert der Recovery-Zahlung, welche be Entrtt enes Ausfalleregnsses zum Zetpunkt τ gelestet wrd Wert enes ausfallgefährdeten Fnanzttels be Fällgket Konstante Couponzahlungen C ( ) Wert ener europäschen Call-Opton C ( u, v) Copulafunkton CB CB 0 CF T Couponbond Barwert enes Couponbonds Cash-Flow zum Zetpunkt T Ga C r Gauss sche Copula mt Korrelatonskoeffzenten r C, t-copula mt Korrelatonskoeffzenten r und w Frehetsgraden t r w Gumbel C r Gumbel-Copula mt Korrelatonskoeffzenten r Clayton C r Clayton-Copula mt Korrelatonskoeffzenten r C Cov CVaR D DB Produkt-Copula Kovaranz Credt-Value at Rsk Ausfalleregns / Defaultndkator Ausfallschwelle (Default Barrer) Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 5

6 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall DF Q E E t EAD EL e F ( x, y) Dskontfaktor Rskoneutraler Erwartungswert bem äquvalenten Martngalmaß Q Marktwert des Egenkaptals zum Zetpunkt t Exposure at Default Expected Loss Eulersche Zahl Vertelungsfunkton F Gemensame Vertelungsfunkton von x und y F p,ρ Grenzverlustvertelung be großen Portfolen f Dchtefunkton G ( x) Vertelungsfunkton von W H ( x) Vertelungsfunkton von Z h j J (t) K k L L n LGD M T M N Bassntenstät bzw. der Intenstät be enem enzelnen bontätssenstven Fnanzttel Sprung-Prozess Ausfallndkatorprozess des Unternehmens / Ratng-Kategore Nomnal des Zerobonds Konstanter Faktor / Anzahl der Ausfälle Quas-Verschuldungsgrad Portfoloverlust Loss Gven Default Hstorsches Tef des Frmenwerts Anzahl alter Akten Zählprozess / (nhomogener) Posson-Prozess / Anzahl neuer Akten P ( ) Wert ener europäschen Put-Opton p p p(x) p n p n kum. Ausfallwahrschenlchket Durchschnttlche Ausfallwahrschenlchket Bedngte Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket von X Bedngte Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket n Abhänggket von Ratngmgratonen Kumulerte bedngte Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket n Abhänggket von Ratngmgratonen p surv Überlebenswahrschenlchket Payoff a, Auszahlung an den Investor be ene CDO-Tranche [ b]( z) Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 6

7 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Q α Q ( x) q(t,t) Rec r S S [a,b] S b s s [ ]( X ) s CDS Alpha-Quantl Vertelungsfunkton von X Bedngte Ausfallwahrschenlchket, welche vom Wssensstand des Investors I zum Zetpunkt t abhängg st, für den Entrtt enes Ausfalleregnsses vor Fällgket T enes Fnanzttels Recovery-Rate Rskoloser (kontnuerlcher) Znssatz / Korrelatonsparameter be Copulae Emssonskurs enes Zerobonds Überlebensantel / Auszahlungsquote a, Bedngter Überlebensantel Credt Spread Duchschnttlcher Credt Spread Credt Spread enes Credt Default Swaps far s CDS Farer Credt Spread enes Credt Default Swaps s mplzt n m s : T τ τ τ 2 U U t UL u V 0 V t V t Var V rsky V rf v W t Implzter Credt Spread Credt Spread enes n th -to-default Swaps mt enem Basket bestehend aus m Tteln Zetpunkt der Fällgket enes Fnanzttels Zufällger Zetpunkt des Entrtts enes Ausfalleregnsses Ausfallzetpunkt bem klassschen optonstheoretschen Ansatz Ausfallzetpunkt bem Frst-Passage Ansatz Unabhängge Zufallsvarable Kontnuerlcher Markow-Prozess Unexpected Loss Realsaton von U / Ausfallzetpunkt m kontnuerlchen Fall Frmenwert zum Zetpunkt t Marktwert enes Unternehmens (Entty-Value) zum Zetpunkt t Krtscher Unternehmenswert, welcher vorhanden sen muss, damt das Egenkaptal ausrechend st, um Couponzahlungen zu gewährlesten Varanz Wert enes rskobehafteten Fnanzttels Wert enes rskofreen Fnanzttels Konstanter Abstand des Frmenwerts vom hstorschen Tef des Frmenwerts Standard-Brownsche Bewegung Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 7

8 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall W w X standardserter Frmenwert Frehetsgrade Zufallsvarable, de den Makro-Faktor beschrebt X syst Systematsches Ausfallrsko enes Unternehmens X x Y y rf Idosynkratsches Ausfallrsko enes Unternehmens Realsaton des Makro-Faktors X Ausfallndkator Rendte ener ausfallrskofreen Anlehe y rsky Rendte ener ausfallrskobehafteten Anlehe Z z λ ~ λ ~ λ FTD Λ ~ ε I t Zufallsvarable, de den unternehmensspezfschen, dosynkratschen Faktor beschrebt Erwarteter Portfoloverlust Intenstät Stochastsche Intenstät Stochastsche Intenstät enes Frst-to-Default-Swaps Ncht-negatve stochastsche Funkton Error -Faktor Wssensstand des Investors zum Zetpunkt t µ Drft-Parameter der geometrschen Brownschen Bewegung π σ P Volatltät des Frmenwertes σ E Volatltät des Marktwert des Egenkaptal ρ ρ j Φ Φ 2 Korrelatonsparameter Korrelaton zweer Frmenwerte zuenander Standardnormalvertelung Bvarate Standardnormalvertelung Φ Inverse der Standardnormalvertelung ϕ ( ) Dchtefunkton R Γ Menge der reellen Zahlen Kovaranzmatrx Mttels Cholesky-Zerlegung ener Korrelatonsmatrx gewonnene untere Dreecksmatrx Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 8

9 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall. Enletung. Ausgangslage De jüngste nternatonale Fnanzkrse ausgelöst durch de sogenannte Subprme-Krse hat dazu geführt, dass sch de Nachfrage und somt glechzetg sowohl de Entstehung von neuen als auch der Handel mt bestehenden, komplexen Kredtprodukten stark reduzert hat. In desem Zusammenhang wrd mmer weder der Ruf nach ener strengeren staatlchen Regulerung von Ratng-Agenturen und Kredtnsttuten laut. 2 Oftmals steht herbe auch de fehlerhafte Anwendung oder de Manpulaton von Kredtrskomodellen n der Krtk. Bespelswese werden der Ratng-Agentur Moody s Fehler n der Modellberechnung von Constant Proporton Debt Oblgatons (CPDOs) vorgeworfen. 3 We deses Bespel zegt und de Krse endrucksvoll verdeutlcht, gehen mt der Modellerung von reellen Zusammenhängen Rsken enher, welche ncht zu vernachlässgen snd. Darüber hnaus hat de Fnanzkrse unter Anderem aufgrund deser Rsken das Bewusstsen über de Notwendgket enes fortschrttlchen Rskomanagements geschärft. Auch der Ensatz von Kredtdervaten m Rahmen enes aktven Rskomanagements mt dem Zel ene optmale Rskoallokaton zu errechen, st weterhn snnvoll. De Identfkaton und Quantfzerung von Rsken spelt dabe ene maßgeblche Rolle. Nur durch de Kenntns rskoadäquater Prcng- und Bewertungsmethoden st es möglch ene funderte Entschedung darüber zu treffen, ob und welche Rsken engegangen oder abgeschert werden sollen. De Grundlage dessen blden de m Rahmen deser Arbet vorgestellten Kredtrskomodelle..2 Defnton der Begrffe Kredtrsko, bontätssenstver Fnanzttel und Kredtrskomodell Kredtrsko. Das Kredtrsko entsteht dem Gläubger ener Forderung aus der Unscherhet über de Zahlungsfähgket oder wllgket senes Schuldners. Es beschrebt de Gefahr, dass de Forderung ncht, nur telwese oder verspätet zurückbezahlt wrd. Als Forderungen gelten unter Anderem Zns- und Tlgungslestungen aus Kredten und Anlehen, aber auch Forderungen aus dem postven Marktwert enes dervatven Geschäfts. 4 Im Hnblck auf de potentelle Verlustursache lässt sch das Kredtrsko n de Telkomponenten (Adressen-/ Kontrahenten-)Ausfallrsko (Default Rsk) und Bontätsänderungsrsko (Spread- Wdenng Rsk) dfferenzeren. 5 Unter dem Ausfallrsko versteht man de Gefahr enes Vgl. Handelsblatt: Sturm über Wall Street. Ausgabe vom Vgl. Handelsblatt: De Aufseher zehen de Zügel an. Ausgabe vom Vgl. Handelsblatt: Neutraltät ncht garantert. Ausgabe vom Vgl. Müller, Frank: Kredtdervate und Rskomanagement. Frankfurt am Man: Bankakademe-Verlag GmbH, S. 7 5 Vgl. Burghof, Hans-Peter et al.: Kredtdervate Handbuch für de Bank und Anlagepraxs. Stuttgart: Schäffer- Poeschel Verlag, S. 774 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 9

10 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall konkreten Ausfalls bespelswese durch Insolvenz des Kredtnehmers. 6 Demgegenüber wrd der Wertverlust ener Poston, welcher durch ene Erhöhung der Wahrschenlchket oder des Ausmaßes enes möglchen Ausfalls bedngt wrd, als Bontätsänderungsrsko bezechnet. 7 Im Rahmen deser Arbet legt der Fokus auf dem Ausfallrsko. Sofern ncht explzt etwas anderes benannt st, werden de Begrffe Kredtrsko und Ausfallrsko synonym behandelt. Bontätssenstver Fnanzttel. Unter enem bontätssenstven Fnanzttel wrd jedes Fnanznstrument verstanden, welches kredtrskorskobehaftet st. Da m Rahmen deser Arbet Ausfallrsken m Vordergrund stehen, bezechnet der Begrff bontätssenstver Fnanzttel grundsätzlch en ausfallrskobehaftetes Fnanznstrument. Unter ausfallrskobehafteten Fnanznstrumente werden n deser Arbet nsbesondere Kredte, Anlehen und Dervate verstanden, wobe de gewonnenen Erkenntnsse auch auf jedes andere ausfallrskobehaftete Fnanznstrument angewendet werden können. Kredtrskomodell. Betrachtet man bespelswese en Kredtnsttut, so st es für deses von größtem Interesse über de Wertentwcklung nnerhalb des egenen Kredtportfolos nformert zu sen. Herbe nteresseren zum Enen de Gewnnmöglchketen, um de potentellen Rendten auf das engesetzte Kaptal enschätzen zu können, und zum Anderen das nhärente Verlustrsko, um ausrechende Egenkaptalreserven zu Deckung der Verluste beretstellen zu können. Da de Wertentwcklung der Enzelttel sowe des aggregerten Kredtportfolos des Kredtnsttuts unter Umständen von exstenteller Wchtgket sen kann, st es notwendg de Wertentwcklung aufgrund des nhärenten Kredtrskos präzseren, dfferenzeren und quantfzeren zu können. 8 Herfür denen sogenannte Kredtrskomodelle. Unter enem Modell wrd m Allgemenen ene strukturgleche bzw. strukturähnlche Abbldung enes Realtätsausschntts verstanden. 9 Durch de Redukton der Komplextät der Realtät sollen wesentlche Ursache-Wrkungs-Zusammenhänge aufgezegt werden. De zur Redukton der Komplextät notwendgerwese zu treffenden Annahmen können unter Umständen jedoch zu realtätsverzerrenden Modellergebnssen führen. In der Regel werden zur Quantfzerung der Kredtrsken nnerhalb enes bestmmten Zethorzonts dem sogenannten Rskohorzont mathematsche Modelle verwendet. Herbe steht nsbesondere de Vorwegnahme der zukünftgen Entwcklung der kredtrskobehafteten Fnanzttel m Vordergrund. En alternatver Ansatz zu den mathematschen Modellen stellt de Übertragung emprscher Beobachtungen von Verglechstteln auf de gegebene Problemstellung dar. Im Folgenden werden nur de mathematschen Kredtrskomodelle berückschtgt sowe dese 6 Vgl. Burghof, Hans-Peter et al.: Kredtrsken und Kredtmärkte, n: Burghof, Hans-Peter et al.: Kredtdervate Handbuch für de Bank und Anlagepraxs. Stuttgart: Schäffer-Poeschel Verlag, S. 5f. 7 Vgl. Cremers, Henz et al.: Rskosteuerung mt Kredtdervaten unter besonderer Berückschtgung von Credt Default Swaps. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper Seres No. 80, Frankfurt, S.9 8 Vgl. Martn, Marcus R.W. et al.: Kredtdervate und Kredtrskomodelle Ene mathematsche Enführung. Veweg Verlag: Wesbaden, S.0 9 Vgl. Jortzk, Stephan: Sem-analytsche und smulatve Kredtrskomessung synthetscher Collateralzed Debt Oblgatons be heterogenen Referenzportfolos. Dssertaton an der Unverstät Göttngen, Unverstät Göttngen: Göttngen, S. 59 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 0

11 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall auf hre emprsche Tauglchket analysert. Für de Vorwegnahme der zukünftgen Entwcklung der kredtrskobehafteten Fnanzttel müssen alle möglchen Umweltzustände bzw. Enflussfaktoren berückschtgt werden, welche während des Zethorzonts auf den Wert der Fnanzttel enwrken können. De für das Kredtrsko relevanten Enflussfaktoren werden auch als Kredtrskofaktoren bezechnet. Dese Kredtrskofaktoren müssen dentfzert werden und auf geegnete Wese mt dem Wert der kredtrskobehafteten Fnanzttel verknüpft werden, so dass unter sonst glechen Bedngungen ene Änderung des Kredtrskofaktors ene möglchst realtätsnahe Änderung des Werts der kredtrskobehafteten Fnanzttel nach sch zeht. En wesentlcher Bestandtel be deser Verknüpfung st de Berückschtgung der Entrttswahrschenlchketen der jewelgen Umweltzustände. Als Ergebns enes Kredtrskomodells erhält man ene Wahrschenlchketsvertelung des Portfolowerts nnerhalb des Rskohorzonts. 0 Anhand deses Ergebnsses können Handlungsalternatven, we bespelswese der Kauf oder Verkauf von kredtrskobehafteten Fnanztteln, abgeletet werden. Bevor jedoch ene derartge Entschedung auf Bass enes Kredtrskomodells getroffen wrd, sollten de getroffenen Annahmen sowe de Ergebnsse krtsch hnterfragt werden. 0 Vgl. Jortzk, Stephan: Sem-analytsche und smulatve Kredtrskomessung synthetscher Collateralzed Debt Oblgatons be heterogenen Referenzportfolos. Dssertaton an der Unverstät Göttngen, Unverstät Göttngen: Göttngen, S. 59f. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27

12 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall 2. Modellüberblck Im Folgenden soll en Überblck über verschedene Bewertungsansätze für bontätssenstve Fnanzttel anhand der n der Lteratur verbreteten Untertelung zwschen Unternehmenswert- ( Asset Value- oder Asset-Based-Models ) und Intenstätsmodellen ( Intensty-Based- Models ) gegeben werden. Unternehmenswertmodelle, welche oftmals auch als strukturelle Modelle ( Structural Models ) bezechnet werden, modelleren das Ausfallrsko enes Unternehmens über de zetabhängge Entwcklung von dessen Frmenwert m Verhältns zu dessen Fremdkaptal. Be den Intenstätsmodellen, welche auch als Reduced-Form-Models bezechnet werden, wrd der Ausfall enes Unternehmens dagegen durch enen exogenen Intenstätsprozess gesteuert. Darüber hnaus exsteren hybrde Kredtrskomodelle, welche ene Mschung aus Unternehmenswertmodellen und Intenstätsmodellen darstellen. Dese bauen m Wesentlchen auf Unternehmenswertmodellen auf, wobe de hybrden Kredtrskomodelle mest de für Unternehmenswertmodelle bedeutende Annahme vollständger Informaton fallen lassen und gezelt Informatonsdefzte berückschtgen. Kredtrskomodelle Unternehmenswertmodelle Hybrde Kredtrskomodelle Intenstätsmodelle Abb. : Kredtrskomodelle m Überblck Unternehmenswertmodelle. We berets beschreben, bldet de Überlegung, dass letztlch der Wert der Aktva enes Unternehmens maßgebend dafür st, ob de Frma dazu n der Lage st hre Verbndlchketen be Fällgket zurückzuzahlen, de Kerndee der Unternehmenswertmodelle. Ist der Wert der Aktva be Fällgket des Fremdkaptals gernger als de Forderung, so fällt dese n Höhe des Dfferenzbetrags zwschen Aktva und dem Rückzahlungsbetrag des Fremdkaptals zumndest telwese aus. Be dem hstorsch ältesten Unternehmenswertmodell, dem klassschen optonstheoretschen Ansatz nach Merton, wrd herbe davon ausgegangen, dass das Fremdkaptal enes Unternehmens ledglch aus enem enzgen ausfallrskobehafteten Zerobond besteht. 2 Darüber hnaus werden de Vollkommenhet des Kaptalmarktes, de Gültgket des Modglan-Mller Theorems, ene konstante und flache Znsstruktur, de Möglchket kontnuerlchen Handels und ene Egene Darstellung 2 Vgl. Merton, Robert C.: On the prcng of corporate debt: The rsk structure of nterest rates, n: Journal of Fnance Vol. 29, 974. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 2

13 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall geometrsch Brownsche Bewegung für de Entwcklung des Frmenwerts angenommen. 3,4 De velen restrktven Annahmen deses Ausgangsmodells boten zahlreche Möglchketen zur Weterentwcklung des Ansatzes von Merton. So wurden m Zetverlauf nsbesondere de Annahmen ener flachen und konstanten Znsstruktur, de Unmöglchket enes Ausfalls vor der Fällgket des Fremdkaptals, das Bestehen enes Zerobonds als enzge Fremdkaptalkomponente sowe de Modellerung der Frmenwertentwcklung über ene geometrsch Brownsche Bewegung krtsch hnterfragt und telwese aufgehoben. Intenstätsmodelle. We berets erwähnt, erfolgt der Ausfall be Intenstätsmodellen m Gegensatz zu Unternehmenswertmodellen ncht endogen aufgrund ener ökonomsch nachvollzehbaren Bass, sondern exogen über enen Ausfallprozess. Der erste Sprung enes Sprungprozesses, dem Ausfallprozess, entsprcht herbe dem Ausfallzetpunkt. Da der Frmenwert ncht modellert wrd, st be Intenstätsmodellen de Defnton der Ausglechszahlung, der sog. Recovery-Zahlung, be Entrtt enes Ausfalleregnsses relevant. Herbe st sowohl ene Annahme über de Höhe als auch über den Zetpunkt der Recovery- Zahlung zu treffen. Dese wrd n der Regel entweder drekt bem Entrtt des Ausfalleregnsses ( Recovery at Default ) oder am Ende der Laufzet des bontätssenstven Fnanzttels ( Recovery at Maturty ) gelestet. Als Höhe der Recovery-Zahlung kann en fester Betrag, der Austausch des Zahlungsanspruchs der Gläubger gegen enen exogen vorgegebenen Antel enes ausfallrskofreen Fnanzttels mt ansonsten glechen Spezfkatonen, en Prozentsatz des Nomnals des ausfallrskobehafteten Fnanzttels oder en Antel des Marktwertes des bontätssenstven Fnanzttels drekt vor dem Ausfallzetpunkt defnert werden. 5 Auch de Intenstätsmodelle baseren auf mehreren Annahmen, wobe de Anzahl der Annahmen aufgrund des zugrundelegenden nchtökonomsch begründeten Modells deutlch gernger st als be den Unternehmenswertmodellen. Neben den Annahmen über de Recovery-Zahlung muss be Intenstätsmodellen auch ene Annahme über de Modellerung des Znssatzes getroffen werden. Darüber hnaus st es notwendg ene Annahme über de sog. Intenstätsrate, der exogen gegebenen Ausfallrate, zu treffen. Hybrde Kredtrskomodelle. Hybrde Kredtrskomodelle können dverse Ausprägungen haben. Grundsätzlch baseren dese jedoch auf Unternehmenswertmodellen und führen enen Unscherhetsfaktor en, welcher mest n enem Informatonsdefzt begründet st. Durch desen Informatonsdefzt kann dem Ausfallzetpunkt ene stochastsche Intenstät zugeordnet werden und betet somt ene ökonomsche Rechtfertgung für Intenstätsmodelle. 6 Deser 3 De Annahme enes vollkommenen Marktes benhaltet z.b. de Abwesenhet von Transaktonskosten und Steuern, de belebge Telbarket aller Fnanzttel, ene atomstsche Marktstruktur, enen dentschen Soll- und Habenznssatz und de Möglchket von Leerverkäufen. 4 Vgl. Grundke, Peter: Modellerung und Bewertung von Kredtrsken. Dssertaton an der Unverstät zu Köln. Der Deutsche Unverstätsverlag: Wesbaden, S. 8f. 5 Vgl. ebd., S. 7 6 Vgl. ebd., S. 20 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 3

14 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Informatonsdefzt kann bespelswese n der Höhe der Ausfallschranke, dem Frmenwert oder aber dem Entrtt ener zukünftgen Verbndlchket n unbekannter Höhe legen. Alle dre Modelltypen können sowohl zur Modellerung des Kredtrskos enes enzelnen bontätssenstven Fnanzttels als auch m Portfolofall engesetzt werden. Im Folgenden wrd ausschleßlch auf de Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall engegangen. Hnschtlch der Modellerung des Kredtrskos enes enzelnen bontätssenstven Fnanzttels wrd auf das Frankfurt School Workng Paper No. 26 verwesen. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 4

15 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall 3. Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Zelsetzung der Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall st es das gemensame Ausfallverhalten mehrerer Kredtnehmer zu analyseren, um darüber bespelswese Verlustvertelungen ermtteln oder Kredtdervate, welche sch auf mehrere Kredtnehmer bezehen, bewerten zu können. Herzu st es von besonderer Bedeutung de gemensame Ausfallwahrschenlchket von mehreren Kredtnehmern zu quantfzeren. Ene separate Betrachtung des Portfolofalls st notwendg, da das Ausfallrsko mehrer Kontrahenten ncht addtv mtenander verknüpft werden kann. Velmehr müssen m Portfolofall Ausfallabhänggketen bzw. Ausfallkorrelatonen der ndvduellen Kredtnehmer zuenander berückschtgt werden. En möglcher Ansatz zur Modellerung der Ausfallabhänggket zwschen mehreren Kredtnehmer besteht darn das Verhalten von m smpelsten Fall zwe Kredtnehmern zuenander zu analyseren und anhand dessen ene Abhänggketsstruktur zu schätzen. Dese Vorgehenswese soll m Folgenden als drekte Bestmmung der Ausfallabhänggket bezechnet werden. Drekte Bestmmung der Ausfallabhänggket. Dese könnte bespelswese über de Beobachtung zweer Unternehmen über enen langen Zetraum unter sch ncht ändernden Rahmenbedngungen erfolgen. Dabe würde für jede Perode das relevante Ergebns ( Ausfall oder ken Ausfall ) festgehalten und anhand dessen de Ausfallabhänggket geschätzt werden. We deses Bespel verdeutlcht, lässt sch des n der Praxs ncht umsetzen, da es enersets an den Anforderungen genügenden Zetrehen mangelt und anderersets der Ausfall enes Unternehmens dazu führt, dass deses ncht mehr exstent st und somt kene Möglchket besteht wetere Daten n den Folgejahren zu erheben. 7 Man behlft sch be desem Problem bespelswese dadurch, dass Gruppen glechartger Unternehmen, d.h. zum Bespel glechartg hnschtlch des Sektors, der Ratngklasse, etc., untersucht werden. Offenschtlch führt dese Alternatve n der Praxs zu verglechbaren Problemen hnschtlch der Erstellung entsprechender Zetrehen. Ene wetere Möglchket dese Problematk zu beheben, besteht darn, dass anstelle des Versuchs Ausfallabhänggketen und somt Ausfallkorrelatonen zu schätzen, ene Korrelaton von Größen, de n drektem Zusammenhang mt der Bontät der betrachteten Unternehmen stehen und relatv lecht am Markt beobachtbar snd, zu bestmmen. 8 Derartge Korrelatonen werden dementsprechend als Asset-Korrelatonen bezechnet und snd strkt von den Ausfallkorrelatonen abzugrenzen. En weterer Ansatz legt n der ndrekten Bestmmung der Ausfallabhänggket. Indrekte Bestmmung der Ausfallabhänggket. Da emprsche Untersuchungen belegen, dass en Zusammenhang zwschen der wrtschaftlchen Lage und der Ausfallrate von Unternehmen besteht, versucht man sch des m Rahmen der Modellerung von Abhänggketsstrukturen von enzelnen Kredtnehmern zuenander zu nutzen zu machen. We 7 Vgl. Martn, Marcus R.W. et al.: Kredtdervate und Kredtrskomodelle Ene mathematsche Enführung. Veweg Verlag: Wesbaden, S Ebenda. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 5

16 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall derartge Studen zegen, führt ene schlechte konjunkturelle Lage etwas zetversetzt zu ener Stegerung der Ausfallrate und ene gute konjunkturelle Lage zu zukünftg snkenden Ausfallraten. 9 Dese Abhänggket wrd als sog. systematsche Ausfallabhänggket bezechnet. Da jedoch ncht alle Unternehmen glechermaßen von den Enflüssen ener schlechten konjunkturellen Lage betroffen snd, exstert offenschtlch neben deser nachgewesenen Abhänggket ene unternehmensspezfsche Resstenz gegenüber dem makroökonomschen Umfeld, welche je nach Unternehmen mehr oder wenger stark ausgeprägt st und als dosynkratsche Ausfallabhänggket bezechnet wrd. Für de Modellerung bedeutet des, dass enersets de systematsche Ausfallabhänggket durch de Enführung von makroökonomschen Schocks bzw. Umweltzuständen, welche alle Unternehmen glechermaßen betreffen, und anderersets de dosynkratsche Ausfallabhänggket für jedes Unternehmen ndvduell modellert wrd. 20 Durch de Modellerung deser beden Abhänggketen, welche kene drekten Abhänggketen zwschen verschedenen Unternehmen darstellen, wrd ndrekt auch de Abhänggket zwschen verschedenen Unternehmen modellert. In den n desem Kaptel behandelten Modellen erfolgt de Modellerung der Abhänggket entweder durch ene Kombnaton der drekten mt der ndrekten Modellerung (m Rahmen der Unternehmenswertmodelle) oder ledglch durch ene ndrekte Modellerung (m Rahmen der Intenstätsmodelle). Dementsprechend werden de beden grundlegenden Modelltypen sowe de hybrden Kredtrskomodelle m Folgenden separat analysert. Makroökonomsche und mkroökonomsche Abhänggket. Da be der ndrekten Bestmmung der Ausfallabhänggket de Abhänggket gegenüber dem makroökonomschen Umfeld m Vordergrund steht, soll m Folgenden dese Abhänggket als makroökonomsche Abhänggket bezechnet werden. In der englschsprachgen Lteratur wrd dese mest als cyclcal dependence bezechnet. Neben deser makroökonomschen Abhänggket versuchen neuere Modelle zusätzlch de besondere Abhänggketsstruktur enzelner Unternehmen zu bestmmten anderen Unternehmen enzubezehen. Unter besondere Abhänggketsstruktur wrd verstanden, dass der Ausfall enes Unternehmens durch besondere Faktoren, we bespelswese durch (Handels-)Kredtbezehungen oder durch jurstsche Bezehungen (z.b. Mutter-Tochter-Verhältns), de Ausfallwahrschenlchket enes anderen Unternehmens beenflusst. So kann bespelswese der Ausfall des Hauptabnehmers enes Leferanten dazu führen, dass selbger ebenfalls ausfallgefährdet st. Derartge Abhänggketen sollen m Folgenden als mkroökonomsche Abhänggketen bezechnet werden. Aufgrund des negatven Effekts, den en Ausfall auf en oder mehrere andere Unternehmen haben kann, wrd dese Abhänggket n der englschsprachgen Lteratur oftmals als contagon effect bezechnet. 2 Darüber hnaus st offenschtlch, dass der, durch 9 Vgl. Martn, Marcus R.W. et al.: Kredtdervate und Kredtrskomodelle Ene mathematsche Enführung. Veweg Verlag: Wesbaden, S Vgl. Gesecke, Kay: A Smple Exponental Model for Dependent Defaults, n: Journal of Fxed Income Vol. 3, S. 3f. 2 Vgl. Gesecke, Kay et al.: Cyclcal Correlatons, Credt Contagon, and Portfolo Losses. Ithaca, USA: Cornell Unversty sowe Berln: Technsche Unverstät Berln, S. 2f. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 6

17 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Veränderungen des makroökonomschen Umfelds, ausgelöste Effekt durch de mkroökonomsche Abhänggket verstärkt werden kann. 22 Da de Berückschtgung der mkroökonomschen Abhänggket mest drekt n de Modelle, welche de makroökonomsche Abhänggket modelleren, mplementerbar st, sollen m Rahmen deses Kaptels verschedene Möglchketen zur Enbezehung der mkroökonomschen Abhänggket aufgezegt werden, wobe jedoch der Fokus auf de Beschrebung der Modellerung der makroökonomschen Abhänggket gelegt wrd. 3. Copula als Abhänggketsmaß Als Maß für de Ausfallabhänggket zwschen mehreren Unternehmen kann de (lneare) Korrelaton denen. Obwohl dese enersets ntutv verständlch und relatv lecht bestmmbar st, st deren Verwendung zur Abbldung ncht-lnearer Zusammenhänge, we se be der Modellerung von Ausfallabhänggketen wahrschenlch snd, ncht geegnet. De Modellerung ncht-lnearer Abhänggketen erfolgt über sog. Copulae. Da dese de Grundlage für de Modellerung von Ausfallabhänggketen darstellen, sollen dese m Vorfeld zu der Modellerung der Abhänggketen m Rahmen der enzelnen Modelltypen näher betrachtet werden. Copula. De Copula st en Abhänggketsmaß, welches n der Lage st ncht-lneare Zusammenhänge zu erfassen, Aussagen über Abhänggketen m äußeren Berech der Vertelungen zu treffen und sogar ene konkrete Modellerung der Randvertelungen erlaubt. Letzteres st be der Modellerung extremer Eregnsse, we be der Betrachtung von gemensamen Ausfallwahrschenlchketen n enem Kredtportfolo, von besonderem Interesse. 23 Während de gemensame Ausfallwahrschenlchket mehrerer Unternehmen sowohl de ndvduellen Ausfallwahrschenlchketen der Unternehmen als auch de Wahrschenlchket enes gemensamen Ausfalls umfasst, ermöglchen Copulae de Abhänggketsstruktur möglcher Ausfälle solert zu betrachten. Ene Copula-Funkton entsprcht somt exakt der Funkton, welche den Zusammenhang der ndvduellen Ausfallwahrschenlchketen p zu der gemensamen Ausfallwahrschenlchket p herstellt. Ist p kontnuerlch, so exstert nur ene Copula. 24 Formal glt für ene Copula C also: () p ( T, T ) = C( p ( T ) p ( T )) 2, 2 2 Be ener gegebenen gemensamen Ausfallwahrschenlchket p kann de Copula über de generalserte Inverse der ndvduellen Ausfallwahrschenlchket ermttelt werden: 22 Vgl. Gesecke, Kay et al.: Cyclcal Correlatons, Credt Contagon, and Portfolo Losses. Ithaca, USA: Cornell Unversty sowe Berln: Technsche Unverstät Berln, S. 2f. 23 Vgl. Schwarz, Chrstan: Ene grupperte ellptsche Copula und hre Anwendung m Kredtrskomanagement. Dplomarbet an der Technschen Unverstät München - Zentrum Mathematk. München, S. 65f. 24 Vgl. Cherubn, Umberto et al.: Copula Methods n Fnance. Chchester: John Wley & Sons Ltd., S. 49ff. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 7

18 ( ) Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall (2) C( u, v) = p p ( u) p ( v) mt u und v [ 0,], Grundsätzlch exstert ene Velzahl von Copulae. De mesten Copulae berückschtgen jedoch nur den bvaraten Fall. De Menge an multvaraten Copulae st demgegenüber relatv gerng. Typsche Probleme be der Betrachtung von Kredtportfolen lassen sch jedoch ncht durch Abbldung des bvaraten Zusammenhangs lösen, weshalb m Folgenden multvarate Copulae verwendet werden, auch, wenn dese zur besseren Überschtlchket m bvaraten Fall dargestellt werden sollen. 26 Darüber hnaus kann man Copulae n zwe Hauptklassen untertelen de sogenannten ellptschen Copulae und de archmedschen Copulae. Ellptsche Copulae tragen hren Namen, da mt hnen nur symmetrsche Zusammenhänge abgebldet werden können, während mt archmedschen Copulae auch asymmetrsche Abhänggketen n den Rändern der Vertelungen abgebldet werden können. 27 Ellptsche Copulae. De wohl bekannteste Copula st de sogenannte Normal- oder Gauß- Copula, welche zur Famle der ellptschen Copulae gehört. Deser legt de Standard- Normalvertelung zugrunde. Im bvaraten Fall st de Gauß-Copula defnert über: ( ) Ga (3) C ( u, v) Φ r, Φ ( u), Φ ( v) r ( u ) Φ ( v ) Φ = 2 = 2π r 2 e 2 2rxy x y 2 2 ( r ) 2 dxdy mt Korrelatonsparameter r. Ene wetere ellptsche Copula st de sog. t-copula, welcher de t-vertelung zugrunde legt. In bvarater Form ergbt sch dese durch: ( ) t (4) C ( u, v) t r, w, t ( u), t ( v) r, w w ( u) t ( v) t w = 2 w w = 2π r 2 e 2 x 2rxy+ y + 2 w( r ) w dxdy mt Korrelatonsparameter r und w Frehetsgraden. Der wesentlche Untersched zwschen der Gauß-Copula und der t-copula legt darn, dass be der t-copula de Abhänggket n den Rändern be wengen Frehetsgraden deutlch stärker ausgeprägt st als be der Gauß-Copula. Nachfolgende Abbldungen sollen am Bespel der Gauß-Copula de Modellerung der Abhänggketsstrukturen be ellptschen Copulae graphsch veranschaulchen: 25 Vgl. Gesecke, Kay: Credt Rsk Modelng and Valuaton: An Introducton. Ithaca, USA: Cornell Unversty, S. 7; hnschtlch ener Enführung n Copulae vgl. Nelson, Roger: An Introducton to Copulas. New York: Sprnger Verlag, Vgl. Kozol, Phlpp: Auswahl von Copulas zur Bewertung von Basketkredtdervaten. Vallendar, S Vgl. Beck, Andreas et al.: Copulas m Rskomanagement, n: Zetschrft für das gesamte Kredtwesen Ausgabe 4, S. 4 Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 8

19 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Abb. 2: Unkorrelerte Gauß-Copula mt normalvertelten Randvertelungen Abb. 3: Gauß-Copula mt normalvertelten Randvertelungen und Korrelatonskoeffzenten r = 0,9 De obgen Abbldungen machen deutlch, dass ellptsche Copulae, we de Gauß-Copula, ausschleßlch de Smulaton lnearer Abhänggketen n den Rändern der Vertelungen ermöglchen. Archmedsche Copulae. In der Klasse der archmedschen Copulae snd nsbesondere de Gumbel- und de Clayton-Copula zu nennen. De Gumbel-Copula ergbt sch n bvarater Form anhand: Gumbel (5) C ( u v) r ( ) r r ( ) + ( ) r log u log v, = e mt Korrelatonsparameter r. De Clayton-Copula st m bvaraten Fall defnert durch: (6) Clayton ( ) u, v = max ( u r + v r ) C r, 0 r mt Korrelatonsparameter r > 0. Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No. 27 9

20 Modellerung des Kredtrskos m Portfolofall Nachfolgende Abbldung soll am Bespel der Gumbel-Copula de Modellerung der Abhänggketsstrukturen be archmedschen Copulae graphsch veranschaulchen: Abb. 4: Gumbel-Copula mt normalvertelten Randvertelungen und Korrelatonparameter r =,5 De stärkere Korrelaton der Zufallsvarablen n der lnken oberen Ecke als n der rechten unteren Ecke macht deutlch, dass archmedsche Copulae m Gegensatz zu ellptschen Copulae de Smulaton asymmetrscher Abhänggketen n den Rändern der Vertelungen ermöglchen. Spezalfälle von Copulae. Als Spezalfälle von Copulae snd darüber hnaus de sog. Produkt-Copula sowe de Hoeffdng-Fréchet-Grenzen zu nennen. De Hoeffdng-Fréchet- Grenzen blden de beden extremsten Abhänggketsstrukturen de perfekt negatve Abhänggket ( Kontramonotone ) sowe de perfekt postve Abhänggket ( Komonotone ) ab. Der Spezalfall, welcher n der Mtte deser beden Extrema legt, entsprcht der Unabhänggket der Vertelungen vonenander. Wenn de Vertelungen unabhängg vonenander snd, wrd deser Zusammenhang durch de Produkt-Copula beschreben. De Produkt-Copula trägt hren Namen, wel de gemensame Vertelung der Zufallsvarablen durch smple Multplkaton der enzelnen Vertelungsfunktonen errecht werden kann. Dementsprechend glt für de Produkt-Copula m bvaraten Fall: (7) C ( u v) u v, = bzw. für de gemensame Vertelungsfunkton der Vertelungen H(x) und G(x): (8) F ( x, y) = C ( G( x), H ( y) ) Für de gemensame Vertelungsfunkton be Kontramonotone (Hoeffdng-Fréchet- Untergrenze) glt: (9) F ( x, y) = max( G( x) + H ( y),0) Frankfurt School of Fnance & Management Workng Paper No

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