Working Paper Series: Finance & Accounting, Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt a. M., No. 49

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1 econstor Der Open-Access-Publiationsserver der ZBW Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft The Open Access Publication Server of the ZBW Leibniz Information Centre for Economics Wahrenburg, Mar; Niethen, Susanne Woring Paper Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle Woring Paper Series: Finance & Accounting, Johann Wolfgang Goethe-Universität Franfurt a. M., No. 49 Provided in Cooperation with: Faculty of Economics and Business Administration, Goethe University Franfurt Suggested Citation: Wahrenburg, Mar; Niethen, Susanne (2000) : Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle, Woring Paper Series: Finance & Accounting, Johann Wolfgang Goethe-Universität Franfurt a. M., No. 49, urn:nbn:de:hebis: This Version is available at: Nutzungsbedingungen: Die ZBW räumt Ihnen als Nutzerin/Nutzer das unentgeltliche, räumlich unbeschränte und zeitlich auf die Dauer des Schutzrechts beschränte einfache Recht ein, das ausgewählte Wer im Rahmen der unter nachzulesenden vollständigen Nutzungsbedingungen zu vervielfältigen, mit denen die Nutzerin/der Nutzer sich durch die erste Nutzung einverstanden erlärt. Terms of use: The ZBW grants you, the user, the non-exclusive right to use the selected wor free of charge, territorially unrestricted and within the time limit of the term of the property rights according to the terms specified at By the first use of the selected wor the user agrees and declares to comply with these terms of use. zbw Leibniz-Informationszentrum Wirtschaft Leibniz Information Centre for Economics

2 JOHANN WOLFGANG GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT AM MAIN FACHBEREICH WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN Mar Wahrenburg / Susanne Niethen Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle No.49 April 2000 WORKING PAPER SERIES: FINANCE & ACCOUNTING

3 Mar Wahrenburg 1 / Susanne Niethen 2 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle No.49 April 2000 ISSN Johann Wolfgang Goethe-Universtät Franfurt 2 McKinsey & Company, Inc.

4 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle Kurzfassung In den letzten Jahren wurden verschiedene Modelle entwicelt, um das Ausfallrisio von Banen unter Berücsichtigung von Portfolioeffeten zu quantifizieren. Bisher hat sich ein Ansatz als allgemein azeptierter Standard durchsetzen önnen. Da die Modelle grundlegende onzeptionelle Unterschiede aufweisen und unterschiedliche empirische Inputdaten verwenden, hat die Auswahl eines Kreditrisiomodells unter Umständen einen erheblichen Einfluß auf die Kreditportfoliosteuerung der Ban. In diesem Beitrag soll deshalb gelärt werden, ob die Modelle systematisch abweichende Value-at-Ris-Werte berechnen und worin die Ursachen für auftretende Abweichungen liegen. Zunächst wird gezeigt, daß die bestehenden Kreditrisiomodelle in zwei grundlegende Klassen eingeteilt werden önnen: Assetwert-basierte Modelle und auf Ausfallraten basierende Modelle. Am Beispiel eines Musterportfolios von Krediten an deutsche Baufirmen werden zwei Vertreter der Modelllassen (CreditMetrics und CreditRis + ) verglichen und der Effet der unterschiedlichen empirischen Inputparameter auf die Risioergebnisse abgeschätzt. Die Analyse zeigt erhebliche Unterschiede zwischen den Modellen. Eine Analyse der Abweichungsursachen ergibt allerdings, daß der Grund für die großen Value-at-Ris-Unterschiede in erster Linie in den unterschiedlichen empirischen Inputdaten liegt, welche zu unterschiedlichen impliziten Korrelationsannahmen führen. Es wird gezeigt, wie die Modellparameter gewählt werden müssen, um identische Korrelationen zu erzeugen. Bei onsistenten Korrelationsannahmen stimmen die Ergebnisse beider Modelle weitgehend überein. Keywords: Credit Ris Models, credit ris correlation JEL-Classification: G21

5 1. Einleitung Die derzeit disutierten Kreditrisiomodelle wie CreditMetrics 3, CreditRis 4, Credit Portfolio View 5 und das KMV-Modell 6 sind omplexe Werzeuge, die sich in vieler Hinsicht unterscheiden. Die Unterschiede önnen sinnvoll in drei Teilbereiche eingeteilt werden: Risiodefinition, technische Konzeption und empirische Datenbasis. Die Risiodefinition bestimmt, welche Risien modelliert werden. Während alle Modelle den Verlust durch Kreditausfälle abbilden, berücsichtigen einige Modelle zusätzlich das Risio von Veränderungen des Portfoliowertes aufgrund von Ratingverbesserungen und -verschlechterungen sowie zusätzliches Risio aufgrund stochastischer statt onstanter Wiedergewinnungsraten (Recovery Rates) im Insolvenzfall. Die technische Konzeption umfaßt die Verteilungsannahmen des Modells, die Berechnungsverfahren (Simulation oder analytische Ableitung) und eventuelle Approximationsverfahren. Die empirische Datenbasis bestimmt die Inputdaten, die für die Schätzung der im Modell benötigten Parameter Verwendung finden. Erste Vergleichsrechnungen mit Anleiheportfolios haben deutliche Unterschiede zwischen den Modellen aufgezeigt 7. Dabei wurde aber ein Versuch unternommen, den Ursachen für die Risiounterschiede auf den Grund zu gehen. Das Anliegen dieses Artiels besteht in einer detaillierten Analyse der einzelnen Abweichungsursachen. In der atuellen Disussion um die Zulassung von internen Modellen für die regulatorische Eigenapitalunterlegung gewinnen die Ursachen für systematische Abweichungen des Value-at-Ris große Bedeutung. Eine Zulassung interner Modelle ist erst dann zu erwarten, wenn die verschiedenen Modelle vergleichbare Ergebnisse liefern und Transparenz über Ausmaß und Ursache der verbleibenden Abweichungen besteht. Im folgenden soll ein Vergleich am Beispiel zweier Kreditrisiomodelle, CreditMetrics und CreditRis +, erfolgen. Dazu wird zunächst eine einheitliche Risiodefinition unterstellt, indem lediglich das Ausfallrisio in die Betrachtung einfließt. Denn im Gegensatz zu den anderen Modellen berücsichtigt CreditRis + lediglich Verluste, die von Ausfällen verursacht werden. Außerdem wird eine onstante Wiedergewinnungsrate unterstellt, da in CreditRis + stochastische Wiedergewinnungsraten nicht modelliert werden önnen. Die zentrale, im folgenden zu lärende Frage ist, inwieweit unter dieser identischen Risiodefinition die Abwei- 3 Credit Metrics Technical Document, J.P. Morgan CreditRis + Technical Document, Credit Suisse Financial Products Credit Portfolio View, Approach Document und User s Manual, McKinsey 1998, und Wilson (1997a/b) 6 Kealhofer (1995a/b) und Crouhy und Mar (1998a) 7 Crouhy und Mar (1998b)

6 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 5 chungen des Value-at-Ris auf die technische Konzeption oder die empirische Datenbasis zurüczuführen sind. Dazu wird in Abschnitt 2 zunächst gezeigt, daß die existierenden Kreditrisiomodelle hinsichtlich ihrer Konzeption in zwei Klassen eingeteilt werden önnen. Als Vertreter für die Klassen werden im dritten Abschnitt CreditMetrics und CreditRis + vorgestellt. Abschnitt 4 zeigt für ein Musterportfolio von Krediten an deutsche Bauunternehmen, daß bei der Standardalibrierung der Modelle mit empirischen Zeitreihen, d.h. Atienrenditen im Fall von CreditMetrics und Ausfallzeitreihen im Fall von CreditRis +, die Ergebnisse der Modelle sehr star voneinander abweichen. Im fünften Abschnitt wird gezeigt, daß diese Abweichung fast ausschließlich auf die empirische Datenbasis zurüczuführen ist. Dazu wird die Value-at-Ris-Berechnung mit Parameterwerten wiederholt, die jeweils onsistente Werte für die (implizite) Korrelation von Kreditausfällen in den beiden Modellen gewährleisten. Für diese Parameter verschwinden die Value-at-Ris-Unterschiede weitgehend. Daraus ann geschlossen werden, daß weder Verteilungsannahmen noch Approximationsfehler einen wesentlichen Beitrag zur Erlärung der divergierenden Modellergebnisse liefern. 2 Eine Klassifizierung von Kreditrisiomodellen Die in der Literatur vorgeschlagenen Kreditrisiomodelle unterscheiden sich onzeptionell vor allem hinsichtlich der Verteilungsannahmen für Ausfälle und Wiedergewinnungsraten sowie der Konzepte zur Berücsichtigung der Korrelation von Kreditausfällen. Im folgenden wird gezeigt, daß die Modelle in zwei grundlegende Klassen eingeteilt werden önnen: Asset-Value-Modelle Ausfallraten-Modelle Die folgende Vergleichsanalyse des Artiels beschränt sich deshalb auf je einen Vertreter der Klassen, CreditMetrics und CreditRis +. Die Asset-Value-Modelle gehen auf Merton (1974) zurüc, in dessen Ansatz der Kreditnehmer mit Aufnahme des Kredits gleichzeitig eine Putoption auf sein Unternehmen erhält, so daß der risiobehaftete Kredit mit dem Blac/Scholes-Kalül bewertet werden ann. In diesen Ansätzen ist das Underlying der Wert der Ativa des reditnehmenden Unternehmens, für deren Wertentwiclung eine geometrische Brownsche Bewegung angenommen wird. Der Ausfall tritt ein, wenn der Wert der Ativa am Laufzeitende geringer als der fällige Kreditrüczahlungsbetrag ist. In diesem Fall übergibt der Kreditnehmer das Unternehmen" anstatt den Kredit zurüczuzahlen; er übt seine Putoption aus. Der Merton-Ansatz beruht auf restritiven Annahmen über die Zinsentwiclung, die Fremdapitalstrutur und den Insolvenzzeitpunt. Der risiofreie Zins wird als onstant unterstellt, und es besteht nur eine Klasse Fremdapital. Ein Konurs vor Laufzeitende des Kredits ist ausgeschlossen. Der Basisansatz von Merton wurde durch verschiedene Autoren weiterentwicelt, um Konurse vor Laufzeitende, z.b. aufgrund von Liquiditätsproblemen, zu modellieren, omplexe Kapital-

7 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 6 struturen zu berücsichtigen und die stochastische Entwiclung des risiofreien Zinses zu integrieren. 8 Allen diesen Ansätzen ist gemeinsam, daß das Ausfallrisio eines Kredits in erster Linie von der stochastischen Entwiclung des Wertes der Ativa des Kreditnehmers abhängt. Dieses Konzept liegt den Asset-Value-Modellen zugrunde. Hauptvertreter dieser Modellategorie sind das KMV-Modell und CreditMetrics. Das KMV-Modell nutzt den Merton-Ansatz in leicht abgewandelter Form, um das Risio eines Kreditportfolios zu bestimmen. 9 Dazu wird die vom Merton-Modell implizierte Ausfallwahrscheinlicheit durch Annahme eines Default Point unterhalb der Totalverbindlicheiten modifiziert, da das Merton-Modell z.t. unrealistische Ausfallwahrscheinlicheiten produziert. Eine umfangreiche Datenbasis dient dazu, das Modell so zu alibrieren, daß die berechneten Ausfallwahrscheinlicheiten mit den empirisch beobachteten weitgehend übereinstimmen. Zur Bestimmung des Value-at-Ris werden mögliche zuünftige Renditen der Ativa simuliert bzw. berechnet, die Ausfälle und auch die Erhöhung oder Verringerung des Ausfallrisios einzelner Positionen bedeuten. Die Portfolioeffete werden hierbei über die Korrelationsstrutur der Atienrenditen berücsichtigt. Anschließend wird das Portfolio neu bewertet. Die hierzu notwendigen Spreads berechnen sich aus den reditnehmerspezifischen Ausfallwahrscheinlicheiten, die aus den simulierten Renditen der Ativa bestimmt werden. CreditMetrics unterscheidet sich vom KMV-Ansatz hauptsächlich durch die Klassifizierung von Ausfallwahrscheinlicheiten nach Ratinglassen. Während KMV reditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlicheiten berechnet, werden in CreditMetrics einheitliche Ausfall- und Migrationswahrscheinlicheiten innerhalb von Ratinglassen angenommen. Durch Simulation von orrelierten, normalverteilten Renditen der Ativa werden in CreditMetrics gemeinsame Wertveränderungen von Krediten generiert. Die Neubewertung des Portfolios erfolgt mit einheitlichen Spreads innerhalb der Ratinglassen. In den Ausfallraten-Modellen wird der Prozeß der Kreditausfälle diret modelliert, anstatt einen stochastischen Prozeß für Unternehmenswerte zu definieren, der indiret die Ausfälle verursacht. In diesen Modellen önnen in jedem disreten Zeitintervall Ausfälle bzw. Ratingveränderungen auftreten; es wird lediglich spezifiziert, wie hoch die Wahrscheinlicheit für das Auftreten eines solchen Kreditereignisses ist. Typischerweise wird angenommen, daß die Wahrscheinlicheiten nicht onstant sind, sondern in Abhängigeit von Hintergrundfatoren schwanen. Die Ausfallraten werden somit anders als in CreditMetrics oder im KVM-Modell nicht als Konstante, sondern als stochastische Variable angenommen. Die Ansätze fußen auf einer neuen Literatur zur Bewertung reditrisiobehafteter Finanzierungstiteln (Intensity-based Models), in denen der Ausfall als Jump-Diffusion-Prozeß 8 So z.b. Blac, Cox (1976), Longstaff, Schwarz (1995), Briys, de Varenne (1997). 9 CreditMonitor berechnet reditnehmerspezifische Ausfallwahrscheinlicheiten, die Grundlage für das Portfoliomodell sind. Daneben liefert KMV auch Module zur Bewertung von Krediten.

8 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 7 modelliert wird. 10 Vertreter dieser Klasse von Kreditrisiomodellen sind CreditRis + und Credit Portfolio View. Korrelation zwischen Kreditereignissen wird in diesen Modellen dadurch erzeugt, daß die Ausfallraten verschiedener Kredite von gemeinsamen Hintergrundfatoren abhängen. Obwohl die Kreditausfälle bei einer vorgegebenen Ausfallwahrscheinlicheit als jeweils unabhängige Ereignisse modelliert werden, führt der gemeinsame Hintergrundfator zu gleichgerichteten Schwanungen der Ausfallwahrscheinlicheiten einzelner Kreditnehmer. Daher sind Kreditausfälle im Ergebnis nicht unabhängig, sondern weisen eine von Null verschiedene Korrelation auf. CreditRis + modelliert den Hintergrundfator implizit, indem Kreditnehmer einzelnen oder mehreren Setoren zugeordnet werden. Es wird angenommen, daß die Ausfallwahrscheinlicheiten in einem Setor von genau einem Hintergrundfator, z. B. einem maroöonomischen Fator, verursacht werden. Um dies abzubilden, werden die Ausfallwahrscheinlicheiten für alle Kreditnehmer eines Setors aus derselben Verteilung gezogen. Dies entspricht der anschaulichen Vorstellung von gleichartigen Schwanungen der Ausfallwahrscheinlicheiten der Unternehmen eines Setors über Zeit. Die Verteilungsannahmen von CreditRis + erlauben eine analytische Berechnung der Verlustverteilung. Credit Portfolio View modelliert die Hintergrundfatoren dagegen explizit, indem zufällige maroöonomische Szenarien generiert werden, die die Verteilung der Ausfall- und Migrationwahrscheinlicheiten bestimmen. 11 Im Gegensatz zu CreditRis + ann das Kreditrisio nach Credit Portfolio View nur mit einem Simulationsverfahren berechnet werden. 3 CreditMetrics und CreditRis + Als Vertreter der beiden Modellategorien wurden für die Vergleichsanalyse CreditMetrics sowie CreditRis + ausgewählt. Die Vergleichsanalyse soll anhand eines einfachen Musterportfolios von N homogenen Krediten an Unternehmen eines Setors (der deutschen Bauindustrie) durchgeführt werden. 3.1 CreditRis + CreditRis + erzeugt in einem analytischen Berechnungsverfahren eine disrete Verteilung von Verlusten, die ausschließlich durch Ausfälle der Kreditnehmer verursacht werden. Die Verlusthöhe eines Portfolios ist in diesem Modell durch zwei Elemente bestimmt: Anzahl der ausgefallenen Kreditnehmer Höhe des Verlustes der einzelnen Ausfälle Um die Anzahl der Ausfälle zu bestimmen, wird in CreditRis + eine zweifache Stochasti unterstellt: im ersten Schritt wird eine (zufällige) setorspezifische Ausfallwahrscheinlicheit 10 Z. B. Jarrow, Turnbull (1995), Jarrow, Lando, Turnbull (1997), Das, Tufano (1995), Duffie, Singleton (1995). 11 Der Zusammenhang zwischen den maroöonomischen Variabeln und den setorspezifischen Ausfallwahrscheinlicheiten ergibt sich dabei aus einer Regressionsanalyse der historischen Setorausfallraten.

9 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 8 bestimmt, im zweiten Schritt wird die (zufällige) Anzahl der Ausfälle innerhalb des Setors für die vorgegebene Ausfallwahrscheinlicheit ermittelt, wobei nun Unabhängigeit der einzelnen Ausfallereignisse unterstellt wird. Bei vorgegebener einheitlicher Ausfallwahrscheinlicheit der Kreditnehmer in einem Portfolio verteilen sich die Ausfälle unter Annahme der Unabhängigeit binomial. Bei der Berechnung in CreditRis + wird für die Ausfälle jedoch eine Poissonverteilung unterstellt. Diese Verteilung liefert für leine Ausfallwahrscheinlicheiten eine sehr gute Approximation der Binomialverteilung. Für ein Portfolio von N Krediten ergibt sich zunächst ein Erwartungswert der Ausfälle in Höhe von µ = = pi. Die Wahrscheinlicheit für n Ausfälle berechnet sich dann approximativ als: P(n Ausfälle) = e µ n µ n! Die zweite Stochasti ergibt sich nun aus der Unsicherheit über die Ausfallwahrscheinlicheiten p i bzw. den Setor-Erwartungswert µ, die oben als onstant angenommen wurden. Dieser Erwartungswert wird in CreditRis + wiederum als stochastische Variable aufgefaßt, dessen Verteilung um den Mittelwert µ von Hintergrundfatoren, z.b. Länderrisien und maroöonomische Fatoren, beeinflußt wird. Es wird angenommen, daß die Ausfallwahrscheinlicheit innerhalb eines Setors von genau einem Hintergrundfator getrieben ist und daher die Ausfälle in unterschiedlichen Setoren voneinander unabhängig sind. Den Erwartungswert µ für die Anzahl der Ausfälle im Setor faßt man nun in der zweiten Stochasti als gammaverteilte Zufallsgröße auf, d.h. die Anzahl der Setorausfälle schwant zufällig um einen Mittelwert mit der Standardabweichung σ. Die Gammaverteilung ist eine Zweiparameterverteilung, die durch Angabe des Mittelwertes und der Standardabweichung vollständig bestimmt ist. Jeder Kreditnehmer wird schließlich einem oder anteilig mehreren Setoren zugeordnet, so daß sich die Summe der anteiligen Wahrscheinlicheiten wieder zu p i addiert. Für die Kalibrierung des Modells önnen der Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ aus historischen Ausfallzeitreihen eines Setors bestimmt werden. Um die Verteilung der Ausfälle innerhalb eines Setors zu berechnen, muß nun die Setor- Gammaverteilung mit der Poissonverteilung ombiniert werden. Nach einigen Umformungen ann gezeigt werden, daß die resultierende Verteilung der Ausfälle als negative Binomialverteilung für den -ten Setor beschrieben ist: 12 n + α P ( n Ausfälle in Setor ) = ( 1 p α 1 n ) p n 2 2 mit α = µ σ und p = σ ( σ + µ ). 2 2 Die Ausfallverteilung für das gesamte Portfolio ergibt sich nun diret aus den Setorverteilungen unter Annahme der Unabhängigeit. N i 1 pi µ 12 Siehe Technisches Doument, Seite 45

10 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 9 Im Fall eines Portfolios homogener, also gleich großer Kredite ann die Ausfallverteilung unmittelbar in die für die Kreditrisioschätzung relevante Verlustverteilung überführt werden, indem einem einzelnen Ausfallereignis eine (deterministische) Verlusthöhe zugewiesen wird. (CreditRis + rechnet mit deterministischen Wiedergewinnungsfatoren.) Wenn das Kreditportfolio dagegen Kredite verschiedener Größe aufweist, muß im zweiten Schritt die Höhe der Verluste, die aus diesen Ausfällen resultieren, berechnet werden. Hierzu werden die Kredite in Größenlassen eingeteilt. Alle Exposures L i müssen als ganzzahliges Vielfaches einer Einheit L, ggf. nach Rundung, ausgedrüct werden: L i = υ L. i Dann ann die Verlustverteilung eines Setors mit Hilfe der wahrscheinlicheitserzeugenden Funtion beschrieben werden. Diese hat die Gestalt G ( z) = n= 0 P( Verluste = nl) z n Diese Funtion hat die Eigenschaft, daß der n-te Koeffizient die Wahrscheinlicheit für einen Verlust von n Exposureeinheiten L darstellt. Auf Basis der negativen Binomialverteilung der Ausfälle und unter Berücsichtigung der Größenlassenverteilungen önnen diese Koeffizienten reursiv berechnet werden, so daß die Verlustverteilung analytisch bestimmbar ist CreditMetrics Im Gegensatz zu CreditRis + berücsichtigt CreditMetrics nicht nur das Ausfallrisio, sondern bestimmt die Verteilung möglicher Forward-Portfoliowerte am Risiohorizont. Hierbei werden neben dem Ausfallrisio auch Ratingveränderungen und stochastische Wiedergewinnungsraten simuliert. CreditMetrics ist ein Asset-Value-Modell, da orrelierte Renditen der Ativa für alle Kreditnehmer simuliert werden, die zu einer Neubewertung der Kredite am Risiohorizont führen. Die Ativarenditen werden dann intervallweise in Ratinglassen übersetzt. Dabei sind die Intervalle so gewählt, daß die Ausfall- bzw. Ratingmigrationswahrscheinlicheiten an eine vorgegebene Migrationsmatrix angepaßt werden. Dem Modell liegt entsprechend die Annahme zugrunde, daß alle Kreditnehmer einer Ratinglasse homogen in bezug auf ihre Ratingmigrations- und Ausfallwahrscheinlicheit sind. Nach Zuordnung der Kreditnehmer zu einer Ratinglasse und Spezifizierung der Migrationswahrscheinlicheiten sowie des Erwartungswertes und der Volatilität produtspezifischer Wiedergewinnungsraten erfolgt die Simulation der Portfoliowertverteilung in drei Schritten: 1.) Simulation von Renditen: Je Simulationslauf werden für alle Kreditnehmer orrelierte Renditen der Ativa aus einer Normalverteilung gezogen. Die Korrelationsstrutur ergibt sich aus der Zuordnung der einzelnen 13 Für eine detaillierte Herleitung siehe Technisches Doument, Seiten 46-49

11 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 10 Kreditnehmer zu Atienindizes. Das heißt die Unternehmenswertrendite R eines Kreditnehmers wird ausgedrüct als: R = ω 1 R1 + ω 2R ω nrunsyst., ω i 0 wobei R Renditen von Atienindizes und R unsyst. den unsystematischen Anteil des i Renditerisios bezeichnen. Die Gewichte ω i önnen so normalisiert werden, daß ohne Einschränung der Allgemeinheit eine Standardnormalverteilung für R angenommen werden ann. Die Renditen zweier Kreditnehmer sind orreliert, falls sie mindestens einem systematischen Fator zugeordnet sind. 14 Die Renditeorrelation ann aus den Gewichten und der Korrelation der Atienindizes mit Standardmethoden der Portfoliotheorie berechnet werden. In den folgenden Abschnitten wird die Renditeorrelation diret angegeben, statt sie über Zuordnungen zu Indizes indiret zu erzeugen. 2.) Übersetzung in Ratinglassen: Den simulierten Renditen werden im zweiten Schritt Ratingveränderungen bzw. das Ausfallereignis zugeordnet. Hierzu wird die Standardnormalverteilung so in Abschnitte unterteilt, daß die entsprechenden Wahrscheinlicheiten (das Integral unter dem entsprechenden Abschnitt der Dichtefuntion) exat den vorgegebenen Migrations- und Ausfallwahrscheinlicheiten der Ratinglasse entsprechen. Die Abbildung 1 zeigt als Beispiel die standardisierte Renditeverteilung für einen Kreditnehmer der Ratinglasse BB. Langjährige durchschnittliche Migrationsmatrix in % Zusammenhang zwischen Rendite und Rating für BB -Unternehmen AAA BB C AAA AA D 90,81 8,33 0 0,03 0,14 1,0 0, ,7 Ausfall CCC B Bleibt BB BBB A AA AAA -2,3-2,04-1,23 0 1,37 2,39 3,43 2,93 Abb. 1: Renditeschranen für ein Unternehmen mit Rating BB 14 Unter der Annahme, daß systematische Fatoren miteinander orreliert sind.

12 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 11 Ausgehend vom jeweiligen Anfangsrating ann aus der entsprechenden Verteilung für jede simulierte Rendite abgelesen werden, ob der Kreditnehmer in eine neue Ratinglasse migriert oder sogar ausgefallen ist. 3.) Neubewertung des Portfolios: Schließlich werden die Kredite entsprechend der neuen Ratinglasse bewertet. Im Fall von Ausfällen wird eine zufällige Wiedergewinnungsrate simuliert. Die Neubewertung am Risiohorizont t 1 basiert auf ratinglassenspezifischen Forward-Rates f ( t, t 1, ), wobei die -te Ratinglasse bezeichnet. Der Forward-Wert eines Kredits, der am Risiohorizont der Ratinglasse zugeordnet ist, berechnet sich als Gegenwartswert der ausstehenden Cash-flows PV C = N t t= t ( 1+ f ( t, t1, )) 1 t Falls die simulierte Rendite den Ausfall des Kreditnehmers anzeigt, wird aus einer betaverteilten Grundgesamtheit eine zufällige Wiedergewinnungsrate mit oben definiertem Erwartungswert und Volatilität gezogen. Diese gibt den neuen Kreditwert am Risiohorizont. Durch eine große Anzahl von Simulationen werden viele verschiedene zufällige Szenarien von Ratingveränderungen bzw. Ausfällen im Portfolio generiert und jeweils ein neuer Portfoliowert berechnet. Die unterschiedlichen Portfoliowerte mit den entsprechenden Häufigeiten ergeben dann die Forward-Wertverteilung in CreditMetrics. Das Value-at-Ris ergibt sich im letzten Schritt als Quantil der simulierten Verteilung. 4 Vergleich von CreditMetrics und CreditRis + mit empirischer Schätzung der Korrelationen C t : Im folgenden soll für ein einfaches repräsentatives Musterportfolio das Kreditrisio nach CreditMetrics und CreditRis + berechnet werden. Um die Analyse überschaubar und transparent zu halten, wird ein sehr einfaches Portfolio von N homogenen Krediten untersucht, die alle einem Setor (der deutschen Bauwirtschaft) angehören. Die Kredithöhe wird für alle Kreditnehmer identisch angenommen, um Größenonzentrationseffete auf den Value-at-Ris- Schätzer zu vermeiden. Für die Schätzung der verwendeten Inputparameter wurde die Insolvenzzeitreihe des Statistischen Bundesamtes für das Baugewerbe ( ) 15 sowie die Atienrenditen der Bauunternehmen im Dax 100 herangezogen. 4.1 Annahmen für einen fairen Vergleich Da onzeptionelle Unterschiede hinsichtlich der Risiodefinition, der Modellierung von Ausfallwahrscheinlicheiten und der Korrelationen bestehen, werden für einen aussagefähigen Vergleich von CreditMetrics und CreditRis + folgende Annahmen getroffen: 15 Ab 1995 tritt ein Struturbruch wegen Umstellung der Branchenschlüssel auf.

13 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 12 Risiodefinition: Um in CreditMetrics eine mit CreditRis + vergleichbare Risiodefinition zu gewährleisten, werden lediglich die durch Ausfälle entstehenden Verluste berücsichtigt und dabei eine onstante Wiedergewinnungsrate unterstellt, die zur Vereinfachung auf Null gesetzt wird. Ausfallwahrscheinlicheiten: Während in CreditMetrics jedem Kreditnehmer über seine Ratinglasse eine Ausfallwahrscheinlicheit zugeordnet ist, wird in CreditRis + innerhalb eines Setors eine einheitliche Ausfallwahrscheinlicheit für alle Kreditnehmer angenommen. Um beide Modelle mit onsistenten Ausfallwahrscheinlicheiten zu schätzen, werden deshalb in CreditMetrics alle Kreditnehmer einer einzigen Ratinglasse zugeordnet. Als erwartete Ausfallwahrscheinlicheit wird im folgenden der Mittelwert der Insolvenzzeitreihe des Baugewerbes von 1980 bis 1994 (0,0122) festgelegt. Die für CreditRis + notwendige Standardabweichung wird ebenso aus dieser Zeitreihe geschätzt und ergibt 0, In CreditMetrics wird die Ausfallwahrscheinlicheit durch die Renditeschwelle R bestimmt, deren Unterschreitung den Ausfall induziert. Fällt die normalverteilte Zufallsrendite unter diese Schwelle, dann fällt der Kreditnehmer aus. Um in beiden Modellen eine äquivalente Ausfallwahrscheinlicheit zugrunde zu legen, berechnet sich die Renditeschwelle für die Kreditnehmer des Musterportfolios aus: Φ 1 (0,0122) = 2,25, wobei Φ die Verteilungsfuntion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Korrelationen: In CreditMetrics werden die Renditen der Ativa aus einer multivariaten Normalverteilung mit vorgegebener Korrelationsmatrix gezogen. Für deren empirische Ableitung wurde die Korrelationsmatrix der im Dax100 enthaltenen Bauatien auf Basis der logarithmierten monatlichen Renditen von 1985 bis 1998 ermittelt. Die Renditeorrelationen streuen nur schwach und betragen im Durchschnitt (siehe Abb.2). Für das Musterportfolio wird vereinfachend unterstellt, daß die Renditeorrelationen paarweise onstant sind. Im folgenden wird ein im Vergleich zur Empirie etwas onservativerer Wert von 0,50 angenommen Die Abschätzung bedingter Volatilitäten aus Insolvenzzeitreihen würde zu einer leichten Abweichung führen, vgl. Gordy (1998). 17 Hierdurch entsteht eine leichte Unterschätzung des Value-at-Ris.

14 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 13 Bilfinger + Berger 1 Dycerhoff 0,49 1 Heidelb. Zement 0,55 0,48 1 Hochtief 0,73 0,48 0,58 1 Holzmann 0,67 0,49 0,52 0,58 1 Abb. 2: Korrelationen der Bauatien im Dax100, Kursreihen Durchschnitt: 0,557 In CreditRis + ergibt sich die Korrelation von Ausfällen implizit durch die Annahme der Gammaverteilung für die Ausfallrate des Baugewerbes, deren Parameter oben bereits spezifiziert wurden. Durch die oben beschriebenen Annahmen sind die Modelle mit Ausnahme der Korrelationsonzepte vergleichbar parametrisiert. Lediglich die Inputparameter, die das gemeinsame Ausfallverhalten der Kreditnehmer bestimmen (die Renditeorrelation in CreditMetrics und die Volatilität der Gammaverteilung in CreditRis + ), basieren auf unterschiedlichen empirischen Größen, ohne daß die Konsistenz der Korrelationsannahmen überprüft wurde. 4.2 Ergebnisse der Vergleichsanalyse mit empirischer Schätzung der Korrelationen Entsprechend der in 4.1 beschriebenen Annahmen und Parameter wurde das Value-at-Ris zum 95%- und 99%-Perzentil mit CreditMetrics und dem CreditRis + berechnet. Dabei wurden unterschiedlich große Kreditportfolios zugrunde gelegt, indem die Anzahl der Kreditnehmer zwischen 10 und 1000 variiert wurde. Die Ergebnisse weichen star voneinander ab, wobei CreditMetrics systematisch ein höheres Value-at-Ris als CreditRis + liefert. Bei 95%-Konfidenzniveau weisen die Modelle lediglich bei einem Portfolio von 10 Bauunternehmen ein einheitliches Value-at-Ris von einem ausgefallenen Kredit auf. Bei 1000 Kreditnehmern ist das CreditMetrics-Ergebnis etwa dreimal höher als der CreditRis + -Wert bei gleichem Konfidenzniveau. Zum 99%-Konfidenzniveau übersteigt das CreditMetrics Value-at-Ris die Vergleichswerte in Abhängigeit von der Kreditnehmeranzahl sogar um das drei- bis neunfache. 95% Konfidenz 99% Konfidenz Anzahl CM CR + CM CR Abb. 3: Value-at-Ris nach CreditMetrics (CM) und CreditRis + (CR + ) bei empirischer Schätzung der Korrelationen

15 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 14 Da die Abweichungen mit der Portfoliogröße überproportional ansteigen, ist eine Salierung der Modelle über einen linearen Fator nicht möglich. Bei empirischer Schätzung der Korrelationen berechnen die Modelle somit star abweichende Value-at-Ris-Werte, die nicht ineinander überführbar sind. Die Ergebnisse lassen weiterhin vermuten, daß die Höhe der Abweichungen für ein reales Portfolio mit einer Vielzahl von Setoren (Branchen oder sonstigen Kreditnehmergruppen) star von der Segmentierung des Portfolios abhängen wird. 5 Kalibrierung mit onsistenten Korrelationen Im folgenden wird untersucht, inwiefern die technische Konzeption, d.h. Verteilungsannahmen und Berechnungsverfahren, das obige Ergebnis verursachen, oder ob die Abweichung durch die unterschiedliche empirische Datenbasis zur Kalibrierung der Modelle verursacht wurde. Da die Ausfallwahrscheinlicheiten in beiden Modellen identisch angesetzt wurde, ann die empirische Datenbasis nur die in den Modellen implizite Größenordnung der Korrelation von Ausfällen beeinflussen. Um diesen Effet von dem Einfluß der technischen Konzeption zu isolieren, muß zunächst untersucht werden, wie die unterschiedlichen Korrelationsonzepte von CreditMetrics und CreditRis + ineinander überführt werden önnen, um dann in einem weiteren Schritt eine Vergleichsanalyse mit onsistenten Korrelationsannahmen durchzuführen. 5.1 Bestimmung onsistenter Korrelationen Die Korrelationsonzepte der Modelle sind nicht diret miteinander vergleichbar. Im CreditMetrics-Modell beeinflussen die Renditeorrelationen der Ativa indiret die Wahrscheinlicheit eines gemeinsamen Ausfalls von zwei Kreditnehmern und steuern dadurch die Korrelation von Ausfällen. Dagegen fließen Korrelationen in CreditRis + in Form der gemeinsamen Stochasti der erwarteten Ausfallrate zweier Kreditnehmer ein. Je höher die erwarteten Ausfallraten orreliert sind, desto höher ist die Wahrscheinlicheit eines gemeinsamen Ausfalls zweier Kreditnehmer. Um die Korrelationsonzepte vergleichen zu önnen, muß ein einheitliches Maß für die Korrelation gewählt werden, das über die Inputparameter der Modelle onsistent eingestellt werden ann. Als ein solches Maß bietet sich die Ausfallorrelation an. Die Ausfallorrelation ist als Korrelation zweier Zufallsvariablen A und B definiert, die jeweils den Wert 1 (bei Kreditausfall) oder den Wert 0 (bei Rüczahlung des Kredits) annehmen. Nach der Standardformel zur Berechnung von Korrelationen ist ρ definiert als: ρ = E( AB) E( A) E( B) VAR( A) VAR( B) Dabei gilt für die Zufallsvariablen A, B:

16 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 15 Kreditereignis Wert von A bzw. B Wahrscheinlicheit Ausfall 1 p Kein Ausfall 0 1-p Es ann nun gezeigt werden, daß bei geeigneter Wahl der Inputparameter beide Modelle identische Ausfallorrelationen erzeugen. Mittelwert und Varianz von A bzw. B berechnen sich als E ( A) = E( B) = VAR( A) = VAR( B) = p(1 p) p Einsetzen in die Formel der Ausfallorrelation ergibt 2 p{ A B } p ρ = bzw. p(1 p) p 2 { A B } = p + ρ p(1 p) Dabei bezeichnet p{ A B } die Wahrscheinlicheit für den gemeinsamen Ausfall. Unter der Annahme einer identischen Ausfallwahrscheinlicheit zweier Kreditnehmer p zeigt diese Formel, daß die Ausfallorrelationen in beiden Modellen genau dann identisch sind, wenn die Wahrscheinlicheit für den gemeinsamen Ausfall zweier Kreditnehmer übereinstimmt. Diese Wahrscheinlicheiten sind nun für die beiden Modelle analytisch abzuleiten. Die gemeinsame Ausfallwahrscheinlicheit wird in CreditMetrics durch die Renditeorrelation bestimmt, die die Form der bivariaten Normalverteilung festlegt. Je höher die Renditeorrelation R ρ gewählt wird, desto mehr Wahrscheinlicheitsmasse findet sich über der Fläche von den negativen Renditen, die den Ausfall beider Kreditnehmer bedeuten.

17 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 16 r 1 r 2 Ein Kredit fällt aus Beide Kredite fallen aus Abb. 4: Bivariate Normalverteilung zu einer Renditeorrelation von 50% Die gemeinsame Ausfallwahrscheinlicheit ann über die bivariate Normalverteilungsfuntion berechnet werden: p R R = exp 2 2 r ρ 2 2π 1 ρ 2 (1 R ) R π ρ + r { A B } ( 1 R ) 1 2 Dies bedeutet, daß zu jeder beliebigen vorgegebenen Ausfallorrelation r r 2 dr dr * ρ, insbesondere also der impliziten CreditRis + -Ausfallorrelation, eine Renditeorrelation ρ R gefunden werden ann, so daß die gemeinsame Ausfallwahrscheinlicheit mit dem entsprechenden Wert aus CreditRis + übereinstimmt: p 2 * { A B } = p + ρ p(1 p) Für das CreditRis + Modell ann die implizite Ausfallorrelation innerhalb eines Setors näherungsweise berechnet werden als: 18 2 ρ = p σ p Bei vorgegebener Ausfallwahrscheinlicheit p ann die Ausfallorrelation in CreditRis + somit durch die Volatilität der Ausfallwahrscheinlicheiten variiert werden. Für eine Zielorrelation * ρ muß σ = ρ * p gewählt werden. 18 Die Formel ergibt sich als Spezialfall der allgemeinen Darstellung der Ausfallorrelation im Technischen Doument, Seite 57, Formel (138)

18 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 17 Damit önnen bei gleicher mittlerer Ausfallwahrscheinlicheit p jeweils Kombinationen aus der CreditMetrics Renditeorrelation ρ R und der CreditRis + Volatilität σ bestimmt werden önnen, die identische Ausfallorrelationen in beiden Modellen erzeugen Volatilität Renditeorrelation (%) Abb. 5: Kombinationen von Renditeorrelationen und Volatilitäten mit identischer Ausfallorrelation (mittlere Ausfallwahrscheinlicheit 1,22%) Abbildung 5 zeigt für die angenommene Ausfallwahrscheinlicheit der Kreditnehmer des Musterportfolios von 1,22% diejenigen Kombinationen von Renditeorrelationen und Volatilitäten, die eine identische Ausfallorrelation erzeugen. 5.2 Ergebnisse der Vergleichsanalyse mit onsistenter Korrelation In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß die abweichenden Meßergebnisse aus Abschnitt 4.2 in erster Linie auf die empirische Kalibrierung und nicht auf die Unterschiede in der technischen Konzeption der Modelle zurüczuführen sind. Wie im vorangegangenen Abschnitt dargestellt, müssen dafür zunächst die Ausfallorrelationen der Modelle auf einen einheitlichen Wert gesetzt werden. Für das Musterportfolio von N homogenen Bauunternehmen wurde in Abschnitt 4.2 eine Renditeorrelation von 0,50 für CreditMetrics und eine Volatilität der Ausfallrate in Höhe von 0,26% für CreditRis + bei einer gemeinsamen mittleren Ausfallwahrscheinlicheit von 1,22% angenommen. Mit diesen Parametern ergibt sich die gemeinsame Ausfallwahrscheinlicheit von je zwei Bauunternehmen in CreditMetrics als: Gemeinsame Ausfallwahrscheinlicheit = Biv. Normalverteilungft. ( 2.25, 2.25, 50%) 0.17% Daraus berechnet sich folgende Ausfallorrelation: % 1,22% Ausfallorrelation = = %(1 1.22%) Die Ausfallorrelation nach CreditRis + ergibt sich als:

19 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 18 0,26% Ausfallorrelation = 1.22% 1.22% 2 = Die Ausfallorrelation von CreditMetrics übertrifft demnach die implizite CreditRis + - Korrelation um das 200-fache, wenn die Inputparameter aus empirischen Atienurszeitreihen (CreditMetrics) bzw. der historischen Ausfallzeitreihe (CreditRis + ) des Statistischen Bundesamtes für das Baugewerbe abgeleitet werden. Um zu überprüfen, ob die unterschiedlichen Korrelationsannahmen verantwortlich für die hohen Value-at-Ris-Unterschiede sind, wurde eine zweite Vergleichsanalyse mit identischen Ausfallorrelationen durchgeführt. Hierbei wurde zunächst die Renditeorrelation in CreditMetrics so gewählt, daß die Ausfallorrelation mit der in CreditRis + (0,0006) übereinstimmt. Dazu muß der Korrelationsoeffizient der Renditen auf 0,016% gesetzt werden. In einer zweiten Berechnung wurde die Standardabweichung so festgelegt, daß in CreditRis + eine Ausfallorrelation von 0,1287 impliziert wurde, die der Renditeorrelation von 0,50 in CreditMetrics entspricht. Hierzu muß eine Standardabweichung etwa 0,04 gewählt werden. Die Abbildung 6 zeigt die Ergebnisse der Simulationen bzw. Berechnungen zum 95%- und 99%- Konfidenzniveau in Abhängigeit von der Anzahl der Bauunternehmen. Empirische CR + -Ausfallorrelation (0,0006) Empirische CM-Ausfallorrelation (0,1287) 95% Konfidenz 99% Konfidenz 95% Konfidenz 99% Konfidenz Anzahl CM CR + CM CR + CM CR + CM CR Abb. 6: Value-at-Ris nach CreditMetrics (CM) und CreditRis + (CR + ) bei onsistenter Schätzung der Korrelationen (Baugewerbe) in Abhängigeit von der Anzahl der Unternehmen im Portfolio Das Value-at-Ris der beiden Modelle, welches jeweils in Krediteinheiten gemessen wurde, zeigt nur geringe Unterschiede ab 100 Kreditnehmern. Die Abweichungen betragen 1 bis 9 Krediteinheiten, was einer Differenz von bis zu 2% des Kreditvolumens entspricht. Diese Abweichung ist auf die unterschiedliche technische Konzeption der Modelle oder aber den zufälligen Simulationsfehler der Monte-Carlo-Simulation von CreditMetrics zurüczuführen. Die Vergleichsanalyse zeigt, daß Value-at-Ris-Unterschiede fast ausschließlich durch die empirische Kalibrierung verursacht werden. Wenn die Parameter für die Kreditrisiomodelle so gewählt werden, daß identische Ausfallorrelationen vorliegen, stimmen die Value-at-Ris-Ergebnisse weitgehend überein. Allerdings muß für CreditMetrics eine extrem geringe Renditeorrelation (0,016) gewählt werden, um die CreditRis + -Ausfallorrelation abzubilden. Empirische Atienurszeitreihen würden tendenziell wesentlich höhere Renditeorrelationen

20 Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisiomodelle 19 und damit Ausfallorrelationen nahelegen. Die Frage, ob Asset-Value-Modelle oder auf Ausfallraten basierende Modelle das Kreditrisio besser abbilden, hängt somit eng mit der Frage zusammen, wie hoch Ausfallorrelationen in Realität tatsächlich einzuschätzen sind. Um die Robustheit der Ergebnisse in bezug auf die verwendete Datenbasis zu untersuchen, wurde die Analyse für eine andere Ausfallzeitreihe mit erheblich größerer Volatilität wiederholt: die Speculative Grade Ausfallzeitreihe von Moody s im Zeitraum Als Speculative Grade zählen Unternehmen mit einem Rating von BB und darunter. Diese Unternehmen zeigen eine mittlere Ausfallrate von 3,31%, die Volatilität der Ausfallraten beträgt 2,66%. Die Ausfallorrelation, die aus dieser Stichprobe mit dem CreditRis + -Konzept geschätzt wird, beträgt etwa 0,02, was einer Renditeorrelation für CreditMetrics von ca. 0,10 entspricht. Auch mit diesen Parametern ergeben sich nur minimale Abweichungen des Value-at-Ris von maximal 2 Krediteinheiten: 95% Konfidenz 99% Konfidenz Anzahl CM CR + CM CR Abb. 7: Value-at-Ris nach CreditMetrics (CM) und CreditRis + (CR + ) bei onsistenter Schätzung der Korrelationen (Moody s Speculative Grade)

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