DYNAMIK (für B.Sc. Mechatronik) Probeklausur Sommersemester Name: Vorname: Matr.-Nr.: Platz-Nr.:

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1 DYNAMIK (für B.Sc. Mechatronik) Prof. Dr.-Ing. Hartmut Hetzler Probeklausur Sommersemester Name: Vorname: Matr.-Nr.: Platz-Nr.: Bewertung: Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Gesamt: Allgemeine Hinweise: ˆ Verwenden Sie dokumentenechte Stifte (keine Bleistifte). ˆ Verwenden Sie NICHT die Korrekturfarbe GRÜN! ˆ Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Beschriften Sie falls möglich einseitig. ˆ Jedes abgegebene Blatt und das Deckblatt muss mit Name und Matrikelnummer gekennzeichnet sein. Heften Sie am Ende der Klausur bitte alle Blätter zusammen. ˆ Halten Sie bitte Ihren Studenten- und Lichtbildausweis für die Anwesenheitskontrolle bereit. ˆ Die Verwendung jeglicher elektronischer Hilfsmittel und Kommunikationsgeräte ist untersagt. ˆ Als Hilfsmittel zugelassen sind Stifte und eine handschriftliche Formelsammlung (2 DIN A4 Seiten, beidseitig handschriftlich beschrieben). Auÿerdem sind wichtige Formeln unter den allgemeinen Hinweisen angegeben. ˆ Jeglicher Täuschungsversuch wird entsprechend der Regelungen der Prüfungsordnung geahndet. Dies umfasst u.a. die Bewertung mit nicht bestanden und Meldung des Vorfalls an die Prüfungskommission. Insbesondere wird jegliche Kontaktaufnahme zu Kommilitonen während der Klausur als Täuschungsversuch aller Beteiligten gewertet. 1

2 ˆ Eine schriftliche Bearbeitung vor dem oziellen Beginn oder eine fortgeführte Bearbeitung nach dem oziellen Ende der Bearbeitungszeit wird ebenfalls als Täuschungsversuch gewertet. ˆ Ergebnisse ohne nachvollziehbaren Lösungsweg werden nicht gewertet. Sie dürfen die Klausuraufgaben erst nach Auorderung durch den Saalassistent einsehen. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Zuvor wird Ihnen eine 10-minütige Einlesezeit gewährt. Während der Einlesezeit darf keine Bearbeitung erfolgen. Ebenso sind Notizen und Textmarkierungen nicht erlaubt. Eine vorzeitige Abgabe ist bis spätestens 15 Minuten vor Ende der Bearbeitungszeit möglich. Viel Erfolg! Evtl. hilfreiche Formeln: Additionstheorem: sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) 1 = cos 2 (x) + sin 2 (x) 2

3 Aufgabe 1 (17 Punkte) Gemischte Fragen zu verschiedenen Themengebieten 1. Abbildung 1 zeigt einen Ausschnitt aus einem Modell für ein Planetenradgetriebe (dargestellt sind nur die Wälzkreise, die Verzahnungen sind nicht dargestellt). Das System führt ebene Bewegungen aus. Das Sonnenrad im Inneren dreht wie dargestellt mit der Winkelgeschwindigkeit ω S, das äuÿere Hohlrad mit ω H. Die Zahnräder können als ideale zylindrische Körper betrachtet werden, die schluprei auf ihren Wälzkreisen in den Kontaktpunkten A bzw. B abrollen. Die Tangentialgeschwindigkeiten v A und v B des Planetenrades in den Punkten A und B sind gegeben. Zeichnen Sie das momentane Prol v y (x) der Tangentialgeschwindigkeiten in Abhängigkeit von der radialen Position x für Sonnen- und Planetenrad in die gegebene Grak ein. Eine Rechnung ist nicht erforderlich. (3 Punkte) Abb. 1: Planetenradgetriebe 3

4 2. Der in Abb. 2 dargestellte Punkt P bewegt sich entlang einer gegebenen ebenen Bahn b(s). An der momentanen Position wir das natürliche Koordinatensystem N = (O, { e t, e n }) eingeführt. Die Position ist durch die Bogenlänge s gegeben, der lokale Krümmungsradius der Bahn ist ρ und der Betrag der momentanen Geschwindigkeit des Punktes ist v. Im Folgenden sind mehrere Alternativen für seine Beschleunigung bzgl. dieses Koordinatensystems aufgeführt. Wählen Sie die richtige aus! (2 Punkte) r = v e t + s e n r = v s ρ e t + ρ 2 ṡ e n r = v e t s ρ e n r = v e t + v2 ρ e n Abb. 2: Massepunkt auf Bahn 3. Untersucht wird die Bewegung eines idealen mathematischen Pendels (Masse m, Länge l, Erdbeschleunigung g siehe Abb. 3) ohne jegliche Dissipation. Es wird zum Zeitpunkt t = 0 aus dem Anfangswinkel 0 < ϕ(0) < π aus der Ruhe losgelassen Nehmen Sie eine energetische Betrachtung vor, um die Winkelgeschwindigkeit ϕ(ϕ) des Pendels bei ϕ = 0 zu ermitteln. In welchen Lagen ϕ max/min erreicht es die betragsmäÿig maximale bzw. minimale Geschwindigkeit? (6 Punkte) Abb. 3: Mathematisches Pendel. Ergebnis: ϕ = ± 2 g l (1 cos ϕ 0). 4

5 4. Starrer Körper im dreidimensionalen Raum a) Wieviele Freiheitsgrade hat allgemein ein starrer Körper im dreidimensionalen Raum? (1 Punkt) b) Gegeben ist nun der in den Abbildungen 4 a) und b) dargestellte Körper in einer spielfreien Lagerung. Wieviele Freiheitsgrade hat dieser geführte Körper? (1 Punkt) c) Die Freiheitsgrade des Körpers bzgl. des kartesischen Koordinatensystems K : (O, { e x, e y, e z }) seien durch die Koordinaten {x, y, z} (Abstand des Schwerpunkts S zum Ursprung), sowie den Winkeln {ϕ x, ϕ y, ϕ z } (Verdrehung um die jeweiligen Achsen) beschrieben. Geben Sie die Bindungsgleichungen für das System an. (4 Punkte) Abb. 4: Starrer Körper in zylindrischer Lagerung 5

6 Aufgabe 2 (14 Punkte) Abb. 5: Fliehkraftpendel Abbildung 5 zeigt ein Minimalmodell für ein sogenanntes Fliehkraftpendel. Es besteht aus einer starren Schwungscheibe (Massenträgheitsmoment J bzgl. O) und einem Pendel aus einer masselosen Stange (Länge r) und einem Massepunkt (Masse m). Zur Beschreibung werden das inertiale Koordinatensystem K : (O, { e x, e y, e z }) sowie das körperfest auf der Schwungscheibe xierte System N : (O, { e ξ, e η, e z }) verwendet. Die Drehungen von Schwungscheibe und Pendel um die e z Achse werden durch den Absolutwinkel ϕ bzw. den Relativwinkel α beschrieben. Das System führt ebene Bewegungen aus. Die Schwungscheibe ist reibungsfrei um die e z -Achse drehbar im Punkt O gelagert und an ihr greift das Moment M an. Im Abstand R vom Koordinatensystemursprung O bendet sich der Fuÿpunkt der Stange (Länge r), an deren Ende der Massepunkt m befestigt ist. An der Stange des Fliehkraftpendels ist eine Drehfeder der Steigkeit c D angebracht, durch die sich das Pendel gegen die Scheibe abstützt. Die Drehfeder sei für α = 0 entspannt. Der Einuss der Gewichtskraft ist zu vernachlässigen. Von jeglicher Dissipation kann abgesehen werden. Im Folgenden soll die Bewegungsgleichung mittels der Lagrange' schen Gleichungen zweiter Art hergeleitet werden. 1. Wieviele Freiheitsgrade hat das System? (1 Punkt) 2. Bestimmen Sie die kinetische Energie T des Systems (Hinweis: Verwenden Sie die gegebenen Additionstheoreme zur Vereinfachung der Ausdrücke.) (5 Punkte) 3. Bestimmen Sie die potentielle Energie V des Systems. (1 Punkt) 4. Bestimmen Sie die generalisierten Kräfte Q i, die nicht im Potential berücksichtigt wurden. (1 Punkt) 6

7 Für eine spezielle Parameterwahl lautet die Lagrange-Funktion L = mρ [15 2 ϕ ] 2 ( ϕ + α)2 + 9 ϕ ( ϕ + α) cos(α) 2cα 2 und die virtuelle Arbeit der potenziallosen Kräfte δw = Mδϕ, wobei m eine Masse, ρ eine Länge, c eine Drehsteigkeit und M eine Drehmoment sind. Verwenden Sie das angegebene L und δw für die folgenden Berechnungen. 5. Nutzen Sie die Lagrangeschen Gleichungen 2.Art um die Bewegungsgleichungen des Systems herzuleiten. (6 Punkte) Ergebnisse: 4) L = 1 2 J ϕ m(ẋ2 m + ẏ2 m ) = 1 2 (J + mr2 ) ϕ mr2 ( ϕ + α) 2 + mrr ϕ( ϕ + α) cos α 1 2 c Dα 2 Q ϕ = M, Q α = 0 5) mρ 2 [30 ϕ + 3( ϕ + α) + 9(2 ϕ + α) cos(α) 9 α(2 ϕ + α) sin(α)] = M mρ 2 [3( ϕ + α) + 9 ϕ cos(α) 9 α ϕ sin(α) + 9 ϕ ( ϕ + α) sin(α)] + 4cα = 0 7

8 Aufgabe 3 (19 Punkte) Abb. 6 Das in Abbildung 6 a) und b) dargestellte System besteht aus 4 starren masselosen Stangen und zwei Massepunkten P 1 und P 2 der Massen m und 2m. Abb. 6 a) zeigt eine Seitenansicht, Abb. 6 b) die zugehörige Draufsicht. Das Problem wird durch das inertiale Koordinatensystem K : (O, { e x, e y, e z }) und das körperfeste Koordinatensystem N = (O, { e ξ, e η, e z }) beschrieben. Die Drehung des Systems um die e z -Achse wird durch die Winkelkoordinate ϕ beschrieben. Die Grundstange ist parallel zur e z -Achse, hat eine Länge 2l und ist im Lagerpunkt A reibungsfrei gelagert, sodass sie sich nur um ihre Längsachse drehen kann. An ihrem Ende ist symmetrisch eine horizontale Querstange befestigt, welche ebenfalls die Länge 2l aufweist. An ihren Enden sind weitere Stangen parallel zur e z -Achse angebracht, deren Längen jeweils l betragen. An den Enden dieser Stangen sind die Massenpunkte P 1 und P 2 befestigt. Die Erdbeschleunigung g wirkt in negative e z Richtung. Es kann von jeglicher Dissipation abgesehen werden. Alle Berechnungen sollen im körperfesten Koordinatensystem N getätigt werden. Im Folgenden sollen die Lagerreaktionen mit Hilfe des Impulssatzes und des Drehimpulssatzes bestimmt werden. 1. Bestimmen Sie die Ortsvektoren r 1 und r 2 zu den Massepunkten P 1 und P 2. (1 Punkt) 2. Berechnen Sie die Beschleunigungen r 1 und r 2 der Massepunkte. (2 Punkte) 3. Bestimmen Sie den Trägheismatrix J (A) bzgl. des Lagerpunktes A im körperfesten System N. (3 Punkte) 4. Schneiden Sie das System (i.s. von Newton und Euler) frei und zeichnen Sie alle wirkenden Kräfte und Momente ein. (4 Punkte) 5. Bestimmen Sie die Lagerreaktionskräfte und -reaktionsmomente im Lagerpunkt A. (9 Punkte) Ergebnis: F ξ = ml ϕ 2 F η = ml ϕ F z = 3mg M ξ = 5ml 2 ϕ M η = 5ml 2 ϕ 2 mgl 8

9 Aufgabe 4 (19 Punkte) Abb. 7: Garagentor mit Dämpfer und Feder Abbildung 7 zeigt das Modell eines Garagentores, das aus einem starren Tor (Länge l, Masse m, Massenträgheitsmoment J (S) bzgl. dem mittigen Schwerpunkt S) besteht. Es wird das inertiale Koordinatensystem K : (O, { e x, e y, e z }) eingeführt. Zur Beschreibung werden die Koordinaten {x, y, ϕ} verwendet. Hierbei bezeichnen x, y die Position des Schwerpunktes, ϕ den Winkel bzgl. der Horizontalen. Das Tor wird in einer L-förmigen Schienen reibungsfrei geführt. Der obere Lagerpunkt ist mittels einer linear elastischen Feder (Steigkeit c) mit der Umgebung verbunden. Diese ist für ϕ = 0 entspannt. Der untere Lagerpunkt ist über einen viskosen Dämpfer (Dämpferkonstante d) mit der Umgebung verbunden. Von jeglicher weiteren Dissipation kann abgesehen werden. Die Erdbeschleunigung g wirkt in negative e y Richtung. Das Tor führt eine ebene Bewegung aus. Verwenden Sie q = ϕ als Minimalkoordinate. Im Folgenden soll die Bewegungsgleichung des System mittels dem Prinzip von d'alembert in der Fassung von Lagrange hergeleitet werden. ( xy ) 1. Stellen Sie den kinematischen Zusammenhang zwischen r = und q auf. Berechnen Sie ϕ hieraus ṙ, r und δr. (5 Punkte) 2. Fertigen Sie einen Freischnitt im Sinne von d'alembert des Systems an. (3 Punkte) 3. Stellen Sie die generalisierten Trägheitskräfte f T in Abhängigkeit von q auf. (3 Punkte) 4. Stellen Sie die generalisierten eingeprägten Kräfte f e auf. (4 Punkte) 5. Verwenden Sie das Prinzip von d'alembert in der Fassung Lagrange um die Bewegungsgleichung anzugeben. (4 Punkte) Ergebnis: ] [m l2 4 + J (S) q + dl 2 cos 2 (q) q + cl 2 sin(q) ( 1 cos(q) ) l mg cos(q) = 0 2 9