Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3

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1 Semiar i Salzburg, HLW Aahof srdp orietierte Fiazmathematik mit TI 82 stats Ihalt: I Display ud Screeshots 2 II Grudbegriffe 3 III Eifache Verzisug 3 IV Ziseszis 4 VI Äquivalezprizip 4 VII Uterjährige Verzisug 5 VIII Rete 7 IX Schultilgug 9 Ahag: Leotief Modell 12 Brigitte Wesseberg, April

2 I Sichtbarmachug des Displays ud Screeshots a) GRAPH Lik diet für Übertraguge auf PC mittels Kabel ud dazu mitgelieferter Software, z.b. TI Coect: (dowload vo der TI Seite möglich.) Bei TI coect ka ma das Display, das ma zeige oder i adere dokumete eibaue will, relativ eifach gewie. scree capture aklicke. Sie erhalte das aktuelle Bild. Dieses lässt sich speicher oder kopiere ud i aderes Dokumet übertrage. Ma ka am Recher weiterreche ud we ma ei weiteres Bild habe möchte auf STRG G klicke. Geht rasch ud eifach. die Bilder ka ma eizel als Dateie speicher. TI b)ti 84 smart view We ma keie Graph lik hat, so gibt es die Möglichkeit, de Recher TI 84 zu simuliere, der eie ähliche Führug wie TI 82stats hat. Ma erhält das Programm ebefalls über TI Lehrermaterial. Das Programm hat de Vorteil, dass ma die eizele Tastefolge vorzeige ka. Ma ka screeshots mache, diese speicher oder kopiere ud die Tastefolge auch als Skript aufehme ud mit gewählter Geschwidigkeit abspiele lasse. 90 Tage freie Testmöglichkeit. Hier Fiace / TVM Solver ) Eiige Grudaufgabe ud Zusammestelluge zum Teil vo Jutta Gut, * 2

3 II Grudbegriffe 1. Kompetezliste zur Fiazmathematik Ihalt A B C D B6_3.2 Das Bildugsgesetz vo geometrische Folge verstehe ud argumetiere x x B6_3.3 Die Summeformel für edliche geometrische Reihe awede x x B6_3.4 B6_3.5 B6_3.6 B6_3.7 Ziseszis auf Grudlage der geometrische Folge modelliere ud iterpretiere, sowie Berechuge durchführe ud die Ergebisse argumetiere Reterechuge auf der Grudlage geometrischer Reihe modelliere, ausführe ud iterpretiere köe, Sparforme mathematisch modelliere, bereche, dokumetiere ud iterpretiere Kredite ud Schuldtilgug mathematisch modelliere, bereche, dokumetiere ud iterpretiere x x x x x x x x x x x x x x x x 2. Begriffe, die i diesem Zusammehag auftrete Quotiet eier geometrische Folge, Glieder eier geometrische Folge; Geometrische Reihe Ziseszise Afagskapital, Edkapital aufzise, abzise, Zissatz Eigabe: i Prozet (bei TVM immer) bzw Dezimalzahl, z.b. i = 5% = 0,05. dekursive Verzisugsart omieller Jahreszissatz (im Zusammehag mit uterjähriger Verzisug) relativer uterjähriger Zissatz koformer(= äquivaleter) uterjähriger Zissatz p.a., p.s., p.q., p. m. pro ao, pro semestro, pro quartale, pro mese Aufzisugsfaktor, Abzisugsfaktor Barwert, Edwert Verzisugsperiode Vor ud achschüssige Reterate Zeitliie Tilgugspla: Tilgugstermi; Auität; Tilgugsquote; Restschuld (Schulderest) 3. Verzisugsarte We ei Kapital für eie gewisse Zeitraum ausgeliehe wird, muss ma dafür Zise zahle. Es gibt verschiedee Möglichkeite, die Zise zu bereche: Eifache (lieare) Verzisug: Die Zise werde für die gesamte Laufzeit berechet (proportioal zur Laufzeit). Ziseszise (expoetielle Verzisug): Nach jeder Zisperiode (z.b. am Ede des Jahres) werde die aufgelaufee Zise dem Kapital zugeschlage ud trage vo da a selbst wieder Zise. Dekursive Verzisug Die Zise werde vom Afagskapital berechet ud dem Kapital am Ede der Laufzeit bzw. der Zisperiode zugeschlage. (Atizipative Verzisug, wo die Zise vom Edkapital berechet werde ud zu Begi abgezoge werde, hat heute praktisch keie Bedeutug mehr.) 3

4 4. Bezeichuge: hädisches Reche TVM Solver i TI82 K 0 : Barwert (Afagskapital) PV (Preset value) K : Edwert (Kapital ach Jahre) FV (Fial value) i: Zissatz (iterest rate) I% (Jahreszis oder koformer ZS i Prozet) : Laufzeit N (Zahl d. Jahre oder Zisperiode oder Zahl der Rate) R: Rete PMT (Paymet) P/Y (regelmäßige Zahluge pro Jahr) C/Y ( Verzisugsperiode pro Jahr) solve: Tastefolge im TVM Solver: Mit dem Cursor auf die gesuchte Größe ud ALPHA ENTER III Eifache Verzisug Ei Kapital K 0 wird Jahre zum Jahreszissatz i agelegt. Die Zise betrage K 0 i, das Edkapital ist daher K = K 0 (1 + i) Wir erhalte also eie lieare Fuktio der Zeit. Die eifache Verzisug wird ur für Zeiträume uter 1 Jahr agewedet, ist icht für TVM geeiget. Beispiele , werde 5 Moate zum Zissatz i = 6% agelegt. K = 400 (1 + 5 / 12 0,06) = 410, 2. Welche Betrag muss ma auf ei Sparbuch mit 4% Verzisug eizahle, we ma i 9 Moate 800, abhebe will? 800 = K 0 (1 + 9 / 12 0,04) = K 0 1,03 K 0 = 800/1,03 = 776,70 IV Ziseszise Die agelaufee Zise werde am Ede jeder Zisperiode dem Kapital hizugefügt. Das Kapital wächst also pro Jahr um de Aufzisugsfaktor r = 1 + i, ud der Edwert beträgt K = K 0 r, wobei r = 1 + i Das Edkapital hägt also expoetiell vo der Zeit ab. Eisatz des TVM Solvers möglich. Beispiele für grudlegede Fuktioe 3. Auf welche Betrag wächst ei Kapital vo 100, i 8 Jahre bei eier Verzisug vo i = 5%? K = 100 1,05 8 = 147,75 TVM: FV (N = 8, I% =5, PV = 100, PMT = 0, FV= solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 4. Wie hoch war ei Kapital, we es i 5 Jahre bei eier Verzisug vo i = 3% auf 742, agewachse ist? 742 = K 0 1,03 5 K 0 = 742/1,03 5 = 640, TVM: PV (N = 5, I% =3, PV = solve, PMT = 0, FV = 742, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 4

5 5. Jemad leiht sich 4.000, aus ud zahlt ach 4 Jahre zurück. Welchem Zissatz etspricht das? 4500 = 4000 r 4 r = 4 (4500/4000) 1,03, i 3% TVM: I% (N = 4, I% = solve, PV = 4000, PMT = 0, FV = 4500, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 6. Wie lage dauert es, bis ei Kapital vo 1.500, bei eier Verzisug vo 4,5% auf 2.000, awächst? 2000 = ,045 = log(2000/1500)/log(1,045) 6,5 Jahre TVM: N (N = solve, I% = 4,5; PV = 1500, PMT = 0, FV = 2000, P/Y = 1, C/Y= 1, END) V Das Äquivalezprizip der Fiazmathematik Zahluge dürfe ur da vergliche / addiert / subtrahiert werde, we sie zuvor auf deselbe Stichtag auf oder abgezist wurde! Eie mögliche srdp Teilaufgabe für Teil B 7. a) Für eie Immobilie liege zwei Agebote vor: A bietet sofort ud i 3 Jahre; B bietet je i eiem Jahr ud i 2 Jahre. Bereche Sie, welches Agebot bei eier jährliche Verzisug vo 5% für de Verkäufer güstiger ist. Deskriptor 3 B Solche Aufgabe veraschaulicht ma am beste durch eie Zeitliie: Wir köe beispielsweise alle Zahluge auf das Ede des 3. Jahres aufzise: A: , = B: , ,05 = Agebot A ist also für de Verkäufer etwas güstiger. (Dasselbe Ergebis hätte wir erhalte, we wir eie adere Bezugszeitpukt, z.b. de Afag des 1. Jahres, gewählt hätte.) A: FN (N = 4, I% =5, PV = , PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) B: FN (N = 2, I% =5, PV = , PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) FN (N = 1, I% =5, PV = , PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) Additio i der Zeile durchführe: A ist für de Verkäufer güstiger. Eie dazu passede Teilaufgabe, die icht Operiere ethält, Reterechug, köte zb so laute: b) Für de Kauf der Immobilie wird ei Kredit K aufgeomme. Die folgede Zeitliie veraschaulicht zwei mögliche gleichwertige Rückzahlugsarte bei i%. Beschreibe Sie die beide Zahlugsweise verbal ud argumetiere Sie, ob die agegebee Gleichug de Wert vo R richtig beschreibt. R = R (1+r³), wobei r = 1+i bedeutet. Deskriptor 3,C,D 5

6 VI Uterjährige Verzisug Oft werde die Zise mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlage (halbjährlich, vierteljährlich oder moatlich). Für die Berechug des uterjährige Zissatzes i m (m ist die Azahl der Zisperiode pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeite: Relativer uterjähriger Zissatz: i m = i/m Der omielle Jahreszissatz wird durch die Azahl der Zisperiode m geteilt. Dabei ergibt sich allerdigs ei höherer jährlicher Effektivzisatz. r eff = 1+ i eff = 1 Bsp.: K 0 = 100, i = 12%, = 1 halbjährlich: i 2 = 6% K 1 = 100 1,06 2 = 112,36 i eff = 12,36% vierteljährlich: i 4 = 3% K 1 = 100 1,03 4 = 112,55 i eff = 12,55% moatlich: i 12 = 1% K 1 = 100 1,01 12 = 112,68 i eff = 12,68% Vierteljährig mit TVM Solver bei relativem Zissatz FN (N = 1, I% =12, PV = 100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 4, END) 112,55 Koformer (äquivaleter) uterjähriger Zissatz i m r om = 1 + i = (1 + i m ) m i m = m rom 1 i m wird so bestimmt, dass sich der omielle Jahreszissatz ergibt. Betrachte wir wieder das Beispiel i = 12%: halbjährlich: (1 + i 2 ) 2 = 1,12 i 2 = 5,83% (statt 6% relativer Zissatz) vierteljährlich: (1 + i 4 ) 4 = 1,12 i 4 = 2,87% (statt 3% relativer Zissatz) moatlich: (1 + i 12 ) 12 = 1,12 i 12 = 0,95% (statt 1% relativer Zissatz) Vierteljährig mit TVM Solver bei koforme Zissatz i %! i Vierteljahre. FN (N = 4, I% =100(1,12^0,25 1), PV = 100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 112 Ma kommt also ur zu widerspruchsfreie Ergebisse, we ma de koforme uterjährige Zissatz verwedet! i m ist immer etwas kleier als i relativ. Beispiele: 8. Ei Kapital vo 4.000, soll bei halbjährlicher Verzisug mit 2,75% auf ei Edkapital vo 5.000, gebracht werde. Bereche Sie die Verzisugsdauer , = Gleichugssolver = 4,11 Jahre FN (N = solve, I% =2,75 2, PV = 4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 2, END) 4,11268 Besoderheit: We der uterjährige Zissatz bekat ist, da wird I% mit Multiplikatio zu Jahreszis berechet! Wer das icht so mag, ka auch mit Halbjahre reche FN (N = solve, I% =2,75, PV = 4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 1, END) 8,22537 Halbjahre 9. Ei Kapital vo 3.500, soll bei eiem omielle Jahreszissatz vo 5% halbjährlich verzist werde. Bereche Sie, wie hoch der Betrag ach der 1. Verzisug ist r 2 = 3586,43 FN (N =1, I% =100(1,05^0,5 1), PV = 3500, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 3586,43 Besoderheit: Hier ist der Jahreszissatz gegebe ud ma beötigt de Halbjahreszissatz, es ka ur der koforme Zissatz eigegebe werde. 6

7 VII Reterechug Eie Reihe vo gleichhohe Zahluge (Rate) i regelmäßige Zeitabstäde bezeichet ma als Rete. Bezeichuge: R: Rate E: Edwert (Wert am Ede des Retezeitraums) B: Barwert (Wert am Begi des Retezeitraums) Reteperiode: Zeitraum zwische zwei Rate Nachschüssige Rete: Zahluge am Ede jeder Reteperiode Vorschüssige Rete: Zahluge am Begi jeder Reteperiode Wir ehme zuächst a, dass Reteperiode ud Zisperiode übereistimme, ud bestimme de Edwert eier malige, achschüssige Rete. (Die Reteperiode sei ei Jahr.) Wir zise alle Rate, begied mit der letzte, auf de Tag der letzte Zahlug auf: E = R + R r + R r R r 1 = R (1 + r + r r 1 ) r 1 E R r 1 Um de Edwert eier vorschüssige Rete zu erhalte, muss ma diese Betrag och durch ei Jahr aufzise, weil das Ede des Retezeitraums ei Jahr ach der letzte Zahlug liegt. De Barwert erhält ma, idem ma de Edwert durch Jahre abzist. Ma verwedet für r 1 häufig auch die Abkürzug v Abzisugsfaktor. Daher ergebe sich folgede Formel: Edwert: Barwert: achschüssig r 1 E R r 1 E 1 r v 1 B R R v r r 1 v 1 vorschüssig Ev R r r 1 r 1 Ev 1 r v 1 Bv R r R r r 1 v 1 We Reteperiode ud Zisperiode icht gleich lag sid, muss ma mit dem äquivalete Zissatz reche, z.b.: moatliche Zahluge, Jahreszissatz i = 5%: r 12 = 1,05= 1,0041 zweijährige Zahluge, Jahreszissatz i = 5%: r² = 1,05 2 = 1,1025 7

8 Beispiele: Teilaufgabe für die srdp 10. a) Frau A. zahlt 15 Jahre lag am Ede jedes Jahres ei (i = 4%). Vo dem ersparte Geld will sie 20 vorschüssige Jahresrate behebe, die 5 Jahre ach der letzte Eizahlug begie. Bereche Sie die Höhe der Rate. (3B) Wert 5 Jahre ach der letzte Eizahlug: Edwert (achschüssig), aufgezist durch 5 Jahre ,04 5 (1, )/0,04= ,76 Das ist der Barwert der eue Rete (vorschüssig): ,76 = R 1,04 (1 1,04 20 )/0,04 R = 1 723,64 FN (N = 15, I% = 4, PV = 0, PMT = 1000, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) ,5876 1,04^5=24 361,76 FN (N =20, I% = 4, PV =24 361,76, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Begi) 1 723,64 Amerkug: Ma ka im TVM Solver Zahle verschiebe: Die Zahle sid i de Variable gespeichert: Fiace/Vars Ma gibt die Zahlevariable i die Zeile ei, i die ma sie verschiebe möchte. Bei dieser Aufgabe möchte ma die Zahl , 76 icht ochmals eigebe, daher gibt ma bei PV die Variable FV aus VARS ei! (So köte eie weitere Teil B Teilaufgabe aussehe) b) Frau A hat isgesamt eie Betrag B agespart ud möchte diese Betrag i vorschüssige Moatsrate i der Höhe vo R abhebe. Stelle Sie eie Formel auf, die die Zahl der Moatsrate agibt, die a Frau A ausgezahlt werde. (i = Jahreszissatz) (3A) 11. a) Frau B. immt eie Kredit vo , mit eier Laufzeit vo 10 Jahre auf, de sie i achschüssige Moatsrate zurückzahle will (i = 8%). Bereche Sie die Höhe der Rate. (3 B) De Aufzisugsfaktor erhalte wir aus dem koforme Moatszissatz: r = 1 + i 12 = 12 1,08 = 1,0064 Die Kreditsumme ist der Barwert, es sid 120 achschüssige Rate zu zahle: = R (1 1, )/0,0064 R = 179,79 FN (N = 120, I% =8, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 179,79 Y ist das Jahr oder auch i Moate mit koforme Zissatz, Y ist ei Moat FN (N = 120, I% =100(1,08^(1/12) 1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 179,79 b) Frau B ka eie Kredit K mit moatliche vorschüssige Rate vo 170 i 10 Jahre bei 8% Jahreszise begleiche. Die Bak ädert die Ziskoditio ach der folgede Grafik: Argumetiere Sie, was sich äder muss, we die Rückzahlug trotzdem zu gleiche Zeit beedet sei soll. Erkläre Sie, welcher mathematische Asatz zu geaue Berechuge vo geäderte Werte führt. (3 D;A) 8

9 12 a) Herr N. muss 20 achschüssige Quartalsrate vo 300,00 zahle. Er will diese Verpflichtug durch zwei omiell gleich hohe Beträge Z sofort ud am Ede des 3. Jahres ablöse. Bereche Sie die Höhe dieser Beträge (Jahreszissatz i = 6%). (3 B) 5 Z 1, Z 1,06 2 1, 06-1 = 300 0,25 1,06-1 Z = 2 808,84 FN (N = 20, I% =6, PV = 0, PMT = 300, FV = solve, P/Y = 4, C/Y= 1, END) 6914,87/(1,06^5+1,06^3) 2 808,84 b) Die Grafik zeigt die Etwicklug eies Kapitals E, das Herr N. durch jährliche gleichbleibede Rate R bei 10 % Ziseszis aspart. Etehme Sie der Grafik die ugefähre Jahresrate R ud gebe Sie mit Hilfe der Formel der Reterechug die Fuktiosgleichug a. (3 C,A) Lösugsmöglichkeit: Jahresrateablesug: der jährliche Sparbetrag Betrag wird mit 250, abgelese (Ugeauigkeit wird toleriert) 1 r 1 Ma ka R bei t = 1 ablese, weil E1 R R r 1 Mit dem TR sucht ma die Fuktiosgleichug am beste, idem ma eiige Pukte abliest. Die allgemeie Edwertformel für achschüssige Rete ergibt de jeweilige Spargesamtbetrag r 1 E R r 1 E(t) = 250 ( 1,1 t 1) / 0,1 = t 2500 VIII Schuldtilgug Es gilt das Äquivalezprizip der Fiazmathematik! Begriffe: Auität: Jährliches Gesamterforderis a eie Schulder Tilgugsquote: Betrag, um de die Schuld i diesem Jahr vermidert wird Restschuld (besser Schuldrest) ist jee verbleibede Schuld, die ach Abzug aller bisherige Tilgugsquote übrigbleibt. Tilgugsdauer: Zeitraum für die gesamte Tilgug der Schuld Tilgugspla Tabelle, wo für jedes Jahr eie Zeile gilt mit Agabe vo: Zeileummer Auität Zise der Restschuld Tilgugsquote Restschuld A bekat Z = 0,01p R vorjahr T = A Z R = S T Beispiel: Kredit vo ,00 bei 4 % Jahreszis ud gegebee Auitäte ,04 = = = ,04 = = = usw 9

10 Mögliche Matura Teilaufgabe: 13 a) Deskriptor 3 B Es wird ei Kredit vo ,00 aufgeomme, der mit achschüssige jährliche Rückzahlugsrate (Auitäte) bei eier jährliche Verzisug vo 3,75% i 8 Jahre zurückgezahlt werde soll. Stelle Sie de Tilgugspla für die erste 2 Jahre auf. Zuächst wird die Auität (koforme jährliche Eizahlug) berechet: FN (N = 8, I% =3,75, PV = 10000, PMT =solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 1 469,98.. = A... jährliche Forderug a de Schulder! Zeileummer Auität Zise d.restschuld Tilgugsquote Restschuld Nr A berechet Z = 0,0366 R Vorjahr T = A Z R = S T , , , ,5 333, , ,97 usw Eizelberechuge: ach Fragestellug die Zeile ausfülle bal(k) Restschuld ach K Zahluge (balace) Fiace /9 Pr(K, M) Summe der Tilguge der Zahluge K bis M (pricipal) Fiace /0 It(K, M) Summe der Zise der Zahluge K bis M (iterest) Fiace /alpha A Im Hauptschirm: bal (1) 8905,02. Restschuld im Jahr 1 Pr(1, 1) = 1 094,98 Tilugsrate im Jahr 1 It(1, 1) = 375 Zise im Jahr 1 b) Deskriptor 3 D Argumetiere Sie ohe Rechug, was sich i eiem Tilgugspla verädert, we der Kreditehmer mit dem Kreditgeber vereibart, dass er ei Jahr lag die Rückzahluge eistelle ka, trotzdem aber i der gleiche Zeit de Kredit zurückzahle möchte. 3 D Für dieses Jahr fällt die Auität aus (A = 0). Dadurch komme die Zise zur Restschuld dazu, die Tilgugsquote ist egativ ( Z). Damit ma de Kredit im gleiche Zeitraum zurückzahle ka, müsse die Auitäte aschließed eu berechet werde ud falle etspreched höher aus. Tilgugspla komplett mit TI 82 stats. 14) Eie Schuld vo S soll i 10 Jahre bei eiem Zissatz i = 5 % zurückgezahlt werde. Erstelle Sie eie komplette Tilgugspla! Mit dem TVM Solver köe die Date eigegebe ud die Auität berechet werde, sie beträgt ,46. Mit Hilfe vo Liste ud Folge ka der komplette Tilgugspla im Zusammehag mit de Solverwerte erstellt werde. Folge gibt ma mit seq ei 10

11 Lists / OPS/ 5 seq (Ausdruck, Variable, Afagswert, Edwert [,Schrittweite]) ergibt eie Liste über die Berechug des Ausdrucks mit x für die Variable x, vo Begi bis Ede, Schrittweite ka ma auch eigebe) Ma defiiert vier Liste über das Meü STAT > 1:Edit > INS > Name folgedermaße: JR="seq(X,X,1,N) Ausdruck ist x, Variable = x, 1 ist Begi, N ist Ede ZS="seq( It(X,X),X,1,N) TG="seq( Pr(X,X),X,1,N) RT="seq(bal(X),X,1,N) die Laufzeit N muss aus dem Meü [FINANCE] > VARS > 1:N. eigegebe werde. Durch die Aführugszeiche " bleibt die Eigabe als veräderbare Formel erhalte, durch das egative Vorzeiche bei ZINS ud TILG erhalte wir positive Beträge. [STAT] > 1:Edit durch Scrolle sieht ma de Tilgugspla. I der Tabelle köe ur 5 sigifikate Stelle ausgegebe werde, aber i der Azeige i der utere Zeile ka der exakte Wert erfragt werde, etwa ZINS(5)=3286,63. Äderuge der Variable N, PV, I% ud PMT passe de Tilgugspla u automatisch a. Soll beispielsweise die Schuld vo bei 5 % durch Auitäte i der Höhe vo getilgt werde, lässt ma vom TVM Solver die Laufzeit bereche. Es ergebe sich 14 volle ud eie Rest Auität. Schaltet ma u zu [STAT] > 1:Edit um, so fidet ma hier de agepasste Tilgugspla. Visualisierug: Die Etwicklug der Zise ud der Tilguge ka mit Statistik Plots grafisch dargestellt werde. Im Meü [STAT PLOT] > 1:Plot 1 defiiert ma als Xlist das Jahr, als Ylist de Zis, i 2:Plot 2 als Ylist die Tilgug. Dazu müsse die Liste JAHR, ZINS ud TILG aus dem Meü [LIST] > NAMES aufgerufe werde. (Bild 13) Nu muss über [WINDOW] ei geeigeter Ausschitt defiiert werde, etwa das Itervall [0, 10] für die X Werte ud [0, 15000] für die Y Werte. Mit [GRAPH] köe u Zise ud Tilguge grafisch d (Diese Aleitug stammt vo Markus Paul, HAK Isbruck) 11

12 Ahag: Leotief Modell auf dem TI 82stats Drei Abteiluge R, S ud T sid ach dem Modell vo Leotief miteiader verflochte. Es ist die Iputmatrix der Ware bekat: A = a) Ergäze Sie die fehlede Zahle der Iputmatrix. Iterpretiere Sie, was A über de Eigeverbrauch der 3 Abteiluge aussagt ud wie viel der Ware vo R i die Abteiluge S ud T für dere Produktio fließe. 2,C,D b) Im vergagee Quartal produzierte R Ware im Wert vo 800 GE, S im Wert vo 1000 GE ud T im Wert vo 500 GE. Zeige Sie durch Berechug, wie Sie zur gegebee Tabelle komme, die sowohl die Lieferuge der Abteiluge utereiader, als auch die Lieferuge i de extere Kosum wiedergibt. Dokumetiere Sie die eizele Recheschritte. 2,B vo für R S T N X R S T c) Erstelle Sie de Gozitographe der Güterströme gemesse i GE aus de Date der Tabelle i B ud iterpretiere Sie die Grafik 2A,C Lösug mit eiem TI82stats a) De Eigeverbrauch liest ma i der Hauptdiagoale ab: R beötigt 55 % der Produktio selber, S 80% ud T 55 %. R S 25%, R T 20 % b) Es gilt der folgede Zusammehag: Produktio (X) = Nachfrage (N) + iterer Verbrauch (A X) X = N + A X X A X = N (E A) X = N E ist die Eiheitsmatrix. bekat ist: X = Nachfrage N = (E A) X Die Nachfrage erhält ma mit der folgede Eigabe: A ist i [A] gespeichert X wird i [B] editiert: Matrix/ Edit [B] 3x1 eigebe ud QUIT 12

13 (Matrix/Math Idetity (3) [A])* [B] eigebe Die eizele Ware mit de Geldwerte (= Leotief Matrix) erhält ma, we ma die Zeileelemete der Iputmatrix jeweils mit de Spalteelemete der Produktio multipliziert: Ma ka das mittels Matrizerechug so ausführe: Zusammefassug i der Leotief Tabelle: Iput i de Spalte für R S T Nachfrage Produktio vo R S T Output i de Zeile c) Aussage: Gozitograf der Güterströme gemesse i Geldeiheite. R produziert Ware im Wert vo 800 GE R braucht selber R Ware im Wert vo 440 GE R gibt a S Ware im Wert vo 250 GE = 25% der S Produktio R gibt a T Ware im Wert vo 100 GE = 20 Prozet der T Produktio ud gibt i de Kosum de Warewert = 10 GE S produziert Ware im Wert vo 1000GE S beötigt selber S Ware im Wert vo 800 GE = 80 Prozet der S Produktio S gibt a R Ware im Wert vo 160 GE = 20 % der R Produktio S gibt vo T ichts S gibt i de Kosum de Warewert vo = 40 GE T produziert Ware im Wert vo 500 GE T beötigt davo selber Ware im Wert vo 275 GE = 55% der T Produktio T gibt a R Ware im Wert vo 80 GE = 10% der R Produktio T gibt a S Ware im Wert vo 100 GE = 10% der S Produktio T gibt i de Kosum de Warewert vo = 45 GE 13

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