Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen

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1 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term der Form a a a a ; a, a,, a heißt ei Polyom Ist a, da heißt der Grad des Polyoms Ist a, da heißt das Polyom ormiert Eie reelle Zahl heißt eie Nullstelle des Polyoms, we p ist Polyomdivisio: Feststellug (Divisio eies Polyoms durch eie Liearfaktor): Ist eie reelle Zahl, da gibt es ei (eideutig bestimmtes) Polyom p q p Beispiel: Die Polyomdivisio ergibt Also ist 3 : 3 3 p ei Polyom ud q mit : Der Rest ist der Wert des Polyoms p a der Stelle 3 Folgerug (Abspaltug eies Liearfaktors): Vo eiem Polyom Liearfaktor abspalte, d h es gibt ei Polyom q mit p q, we eie Nullstelle vo Beispiel: p ist 3 : Die Polyomdivisio geht auf, weil Merke: Eie Polyomdivisio p : p ist Satz: Ei Polyom vom Grad hat höchstes Nullstelle p lässt sich geau da ei 3 eie Nullstelle des Polyoms p ist geht geau da auf, we eie Nullstelle vo Beweis: Zu jeder Nullstelle gehört ei Liearfaktor, ud ma ka vo eiem Polyom vom Grad höchstes Liearfaktore abspalte zus_gleichugeudugleichuge /9

2 Für Eperte: Ma ka ei Polyom vom Grad durch ei beliebiges Polyom vom Grad höchstes dividiere Lösugsformel für Gleichuge -te Grades: Fall : Eie lieare Gleichug a a ( a ) bzw m c m c hat geau eie Lösug, ämlich m Fall : Eie quadratische Gleichug a a a bzw a b c bzw (ach Divisio beider Seite durch a) eie ormierte quadratische Gleichug pq hat zwei, geau eie oder keie Lösug, ämlich p p, q Hiweis: Reche mit Brüche ud icht mit Dezimalzahle Bemerkug: Hat eie ormierte quadratische Gleichug gazzahlige Koeffiziete, da ka ma die Nullstelle häufig rate, we diese gazzahlig sid (was ma allerdigs im Voraus icht weiß), siehe ute Fall 3 ud : Es gibt (komplizierte) Lösugsformel Fall 5 : Es gibt keie (allgemeie) Lösugsformel Soderfälle vo Gleichuge -te Grades: Potezgleichuge: a Fall a : Ist gerade, da ist a Ist ugerade, da ist a Fall a : Fall a : Ist gerade, da hat die Gleichug keie Lösug Ist ugerade, da ist a Bemerkug: Die Schreibweise a wäre mathematisch icht korrekt Gleichuge, i dee die Variable ur eimal auftritt: Isoliere die Variable vo auße ach ie Beispiel: Achtug: Nicht ausmultipliziere! 3 Nullprodukt-Gleichuge: Eier der Faktore muss sei Achtug: Nicht ausmultipliziere! zus_gleichugeudugleichuge /9

3 Gleichuge, die durch Ausklammer zu Nullprodukt-Gleichuge werde: We die like Seite eie Summe bzw Differez ist ud i jedem Summade derselbe Teilterm auftritt: Klammere de Teilterm aus Da erhält ma eie Nullprodukt-Gleichug Beispiel: Achtug: Nicht durch oder durch dividiere! 5 Gleichuge, die durch Substitutio zu eier quadratische Gleichug werde: We die like Seite aus drei Summade besteht ud i zwei dieser Summade Teilterme auftrete, wobei ei Teilterm das Quadrat des adere Teilterms ist: Substituiere de Teilterm Da erhält ma eie quadratische Gleichug Beispiel: 3 Substituiere z Allgemeier Fall vo Gleichuge -te Grades: Feststellug: Ei Polyom ugerade Grades hat (midestes) eie Nullstelle Beweis: Eie gazratioale Fuktio f ugerade Grades: f a a aa ( a ) verhält sich für ud für wie die Fuktio a, d h im Fall a gilt: Für strebt f, ud für strebt f ; im Fall a gilt das Umgekehrte Also hat der Graph vo f (midestes) eie Pukt mit der -Achse gemeisam Für Eperte: Streg geomme fehle i diesem Beweis zwei Überleguge: Gazratioale Fuktioe sid stetig Der Nullstellesatz für stetige Fuktioe Bemerkug: Ei Polyom gerade Grades braucht keie Nullstelle zu habe, zum Beispiel das p Polyom Die eizige Möglichkeit, eie eakte Lösug zu fide, ist rate Der folgede Satz schräkt die mögliche Lösuge i viele Fälle etwas ei: Feststellug (ohe Beweis): Sid bei eiem ormierte Polyom p a aa alle Koeffiziete a, a, a gazzahlig, da gilt für eie Nullstelle : Etweder ist irratioal, oder ist gazzahlig ud ei Teiler des kostate Koeffiziete a Beispiel: Die Gleichug ud hat als mögliche ratioale Lösuge,, 3 3 Achtug: Die Feststellug besagt icht, dass eie dieser Zahle tatsächlich eie Lösug ist! zus_gleichugeudugleichuge 3/9

4 Hat ma durch Rate eie Lösug eier Polyomgleichug p gefude, da ergibt eie Polyomdivisio p : q Die weitere Nullstelle vo p (falls vorhade) sid die Nullstelle des Polyoms Liearfaktorzerlegug quadratischer Polyome: Hat ei ormiertes quadratisches Polyom p q zwei verschiedee Nullstelle ud, da ist p q ; geau eie Nullstelle, da ist p q ; keie Nullstelle, da lässt es sich icht i Liearfaktore zerlege q Hat ei ormiertes quadratisches Polyom gazzahlige Koeffiziete, da ka ma die Nullstelle (ud damit die Liearfaktorzerlegug) häufig rate, we das Polyom gazzahlige Nullstelle hat (was ma allerdigs im Voraus icht weiß) Aus p q folgt: Das Produkt der Nullstelle ist der kostate Koeffiziet q, ud die Summe der Nullstelle ist das Negative des Koeffiziete p Beispiel: 3 Das Produkt der Nullstelle ist 3 Also sid die Nullstelle etweder ud 3 oder ud 3 Die Summe der Nullstelle ist Also sid die Nullstelle ud Also hat das Polyom die Liearfaktorzerlegug Liearfaktorzerlegug beliebiger Polyome: We das Polyom icht ormiert ist, da klammert ma de führede Koeffiziete aus ud zerlegt das restliche (ormierte) Polyom i Liearfaktore Die sich ergebede Zerlegug muss da mit dem ausgeklammerte Koeffiziete multipliziert werde Falls möglich: Klammere oder eie -Potez aus 3 Falls möglich: Faktorisiere mithilfe eier biomische Formel Bestimme eie Nullstelle ud mache Polyomdivisio Soderfälle vo Ugleichuge -te Grades: Potezugleichuge : a bzw Fall a : Ist gerade, da hat die Ugleichug a bzw a bzw a die Lösug a oder a ud die Ugleichug a die Lösug a a Ist ugerade, da hat die Ugleichug a bzw a die Lösug a bzw a : Fall a : Ist ugerade, da hat die Ugleichug a bzw a a die Lösug a bzw a zus_gleichugeudugleichuge /9

5 Quadratische Ugleichuge: pq bzw pq Bestimme die Nullstelle der like Seite der Ugleichug Der wichtigste Fall ist, dass es zwei verschiedee Nullstelle ud gibt Der Graph der Fuktio p q ist eie ach obe geöffete Parabel: der Ugleichug ablese zus_gleichugeudugleichuge 5/9 Ma ka die Lösugsmege der Ugleichug ablese: Die Ugleichug p q Die Ugleichug p q hat die Lösugsmege L ; ; hat die Lösugsmege L ; Bemerkug: Ma ka die Lösugsmege eier Ugleichug bzw ; auch dadurch bestimme, dass ma überlegt, für welche Werte vo beide Liearfaktore dasselbe Vorzeiche habe (ud das Produkt positiv ist) bzw beide Liearfaktore verschiedee Vorzeiche habe (ud das Produkt egativ ist) Davo ist abzurate, weil es sehr fehlerafällig ist! Allgemeier Fall vo Ugleichuge -te Grades: Feststellug ud Defiitio: Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms eie größte atürliche Zahl, so dass das Polyom mit eiem Polyom p q q geschriebe werde ka Die Zahl heißt die Vielfachheit der Nullstelle p i der Form p, da gibt es Die Vielfachheit eier Nullstelle gibt also a, wie oft ma de Liearfaktor abspalte ka Feststellug (Beweis siehe Für Eperte ): Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms p, da hat ugerade ist p a der Stelle geau da eie VZW, we die Vielfachheit vo Lösugsverfahre für Polyomugleichuge: Gegebe ist eie Ugleichug mit eiem Polyom p bzw p bzw p bzw p p Zerlege das Polyom p so weit wie möglich i Liearfaktore Notiere die Nullstelle des Polyoms p mit Vielfachheit ud otiere, ob es Nullstelle mit oder ohe VZW sid Dadurch erhält ma die Itervalle, i dee p eiheitliches Vorzeiche hat 3 Bestimme das Vorzeiche vo p i eiem dieser Itervalle Am eifachste ist, ma überlegt das Verhalte der Fuktio p für Skizziere grob (!) de Graphe der Fuktio p Jetzt ka ma die Lösugsmege

6 Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge Bruchgleichuge: Bestimme die Defiitiosmege der Bruchgleichug Das sid alle reelle Zahle, für die kei Neer ist Multipliziere beide Seite der Gleichug mit dem Neer bzw Haupteer 3 Löse die etstehede Gleichug Prüfe, ob die Lösuge i der Defiitiosmege ethalte sid Bruchugleichuge: Mache eie Falluterscheidug, ob der Neer bzw Haupteer positiv oder egativ ist Forme die etsprechede Ugleichug jeweils so um, dass ersichtlich ist, für welche Werte der Variable welcher Fall eitritt Im Fall, dass der Neer bzw Haupteer positiv ist: Multipliziere beide Seite der Ugleichug mit dem Neer bzw Haupteer ud löse die etstehede Gleichug Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aus der Lösug der Ugleichug ud der Bedigug a die Variable, dass der betrachtete Fall eitritt 3 Im Fall, dass der Neer bzw Haupteer egativ ist: Beim Multipliziere beider Seite der Gleichug mit dem Neer bzw Haupteer kehrt sich das Ugleichheitszeiche um Die Lösug der etstehede Ugleichug verläuft aalog Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aalog zur Bestimmug vo L Die Lösugsmege ist L L Feststellug: Quadriere beider Seite eier Gleichug bzw Ugleichug ist eie Äquivalezumformug, we beide Seite der Gleichug bzw Ugleichug ichtegativ sid Beweis: Die Fuktio f mit f ist für streg mooto wachsed Beim Quadriere eier Gleichug, dere Seite uterschiedliche Vorzeiche habe, gilt ur die Implikatio, zum Beispiel Beim Quadriere eier Ugleichug, dere Seite uterschiedliche Vorzeiche habe, gilt im Allgemeie gar ichts, zum Beispiel 3 9 Wurzelgleichuge: Setze voraus, dass höchstes zwei Wurzel auftrete Bestimme die Defiitiosmege der Wurzelgleichug Das sid alle reelle Zahle, für die kei Radikad egativ ist Isoliere die Wurzel bzw eie Wurzel 3 Quadriere beide Seite der Gleichug Es gilt immer die Implikatio: zus_gleichugeudugleichuge 6/9

7 We die rechte Seite der Gleichug ichtegativ ist, da gilt die Äquivalez: Falls die etstehede Gleichug och eie Wurzel ethält: Isoliere die Wurzel ud quadriere ereut 5 Löse die etstehede Gleichug 6 Prüfe, ob die Lösuge i der Defiitiosmege ethalte sid 7 We beim Löse der Gleichug icht ausschließlich Äquivalezumformuge verwedet wurde: Mache mit de Lösuge die Probe i der Ausgagsgleichug Im Zweifelsfall macht ma immer die Probe Wurzelugleichuge: Setze voraus, dass höchstes eie Wurzel auftritt Bestimme die Defiitiosmege der Wurzelugleichug Das sid alle reelle Zahle, für die der Radikad ichtegativ ist Isoliere die Wurzel Da gibt es u a folgede Fälle: a oder a mit eier reelle Zahl a : Quadriere beide Seite der Ugleichug ud löse die etstehede Ugleichug Daraus ud aus der Defiitiosmege ergibt sich die Lösugsmege a mit eier reelle Zahl a : Die Lösugsmege ist gleich der Defiitiosmege a mit eier reelle Zahl a : Die Lösugsmege ist leer Term oder Term : Mache eie Falluterscheidug, ob der Term ichtegativ oder egativ ist Forme die etsprechede Ugleichug jeweils so um, dass ersichtlich ist, für welche Werte der Variable welcher Fall eitritt Im Fall, dass der Term ichtegativ ist: Quadriere beide Seite der Ugleichug Das ist eie Äquivalezumformug Löse die etstehede Ugleichug Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aus der Lösug der Ugleichug ud der Bedigug a die Variable, dass der betrachtete Fall eitritt, ud der Defiitiosmege Im Fall, dass der Term egativ ist: Etweder ist die Lösug der Ugleichug die Defiitiosmege, oder die Ugleichug ist ulösbar Falls die Lösug gleich der Defiitiosmege ist: Bestimme die Teilmege L der Lösugsmege aus der Lösug der Ugleichug ud der Bedigug a die Variable, dass der betrachtete Fall eitritt Die Lösugsmege ist L L Bemerkug: Machmal ergibt sich aus der Defiitiosmege oder aus adere Überleguge, dass ur eier der beide Fälle eitrete ka Defiitio: Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl a b das arithmetische Mittel vo a ud b Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl ab das geometrische Mittel vo a ud b zus_gleichugeudugleichuge 7/9

8 3 Für zwei reelle Zahle a ud b heißt die Zahl ud b a b das harmoische Mittel vo a Die Mittelwerte köe auch für mehr als zwei Zahle defiiert werde, siehe Für Eperte Satz (Ugleichug vom arithmetische ud geometrische Mittel): Für alle reelle Zahle ab, gilt ab ab, ud Gleichheit gilt geau da, we a b ist Beweis: ab ab ab ab Beide Seite sid ichtegativ a abb a ab b ab ab Die letzte Ugleichug ist wahr, ud es gilt Gleichheit geau da, we ab ist, also geau da, we a b ist qed Feststellug (Ugleichug vom geometrische ud harmoische Mittel; ohe Beweis): Für alle reelle Zahle ab, gilt ab, a b ud Gleichheit gilt geau da, we a b ist Betragsgleichuge ud ugleichuge: für Defiitio: für Notiere, a welche Stelle eier der Terme i eiem Betrag sei Vorzeiche wechselt Dadurch erhält ma die Itervalle, i dee die Terme i de Beträge eiheitliches Vorzeiche habe Schreibe die Gleichug bzw Ugleichug für jedes Itervall ohe Betragszeiche zus_gleichugeudugleichuge 8/9

9 Für Eperte Beweis der Feststellug: Ist die reelle Zahl eie Nullstelle des Polyoms a der Stelle geau da eie VZW, we die Vielfachheit vo ugerade ist Beweis: Es ist p q mit q Da q eiheitliches Vorzeiche hat Also hat vo, i der VZW, we ugerade ist a der Stelle p, da hat p q ist, gibt es eie Umgebug p a der Stelle geau da eie eie VZW hat Das ist geau da der Fall, we Streg geomme fehle i diesem Beweis drei Überleguge: Das Polyom q hat ur edlich viele Nullstelle Die Fuktio q ist stetig 3 Der Nullstellesatz für stetige Fuktioe Defiitio: Für reelle Zahle,,, heißt die Zahl das arithmetische Mittel vo,, Für ichtegative reelle Zahle,,, heißt die Zahl das geometrische Mittel vo,, 3 Für positive reelle Zahle,,, heißt die Zahl das harmoische Mittel vo,, zus_gleichugeudugleichuge 9/9