Lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen. 1 E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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- Heini Benjamin Martin
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1 Lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen 1 E1 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
2 Lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. x = a a 0, x 1 = a, x 2 = a a = 0, x = 0 a 0 keine Lösung Wir betrachten als lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen die Gleichungen des Typs a x b c = 0 Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden: 1 Fall: a x + b > 0 2 Fall: a x + b < Ma 1 Lubov Vassilevskaya
3 Lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen 1 Fall: a x + b > 0 a x b c = 0 a x b c = 0 x = b c a 2 Fall: a x + b < 0 a x b c = 0 a x b c = 0 x = c b a Es ist zu betonen, dass die Gleichung a x b c = 0 a x b = c nur dann eine Lösung hat, wenn die Konstante c kleiner als Null ist. 1 2 Ma 1 Lubov Vassilevskaya
4 Betragsfunktion: Aufgaben 1 7 Bestimmen Sie die Lösungen folgender Betragsgleichungen Aufgabe 1: 2 x 3 = 4 Aufgabe 2: 3 x 2 = x 6 Aufgabe 3: x 1 = 2 Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: x 1 = x x 1 = x 2 x 1 = x 4 x 1 = x 3 2 A Ma 1 Lubov Vassilevskaya
5 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 1 Wir bestimmen die Lösung folgender linearen Betragsgleichung 2 x 3 = 4 1. Fall: 2 x 3 0, x x 3 = 4 2 x 3 = 4 2 x = 1 x 1 = 1 2 x 1 [ 3 2, ) 2. Fall: 2 x 3 0, x x 3 = 4 2 x 3 = 4 2 x = 7 x 2 = 7 2 x 2, 3 2 L G = { 7 2, 1 2 } 2 1a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
6 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 1 Abb. L1: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung 2 x + 3 = 4; f (x) = 2 x b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
7 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 2 Wir bestimmen die Lösung folgender linearen Betragsgleichung 1. Fall: 3 x 2 = x 6 3 x 2 0 x x 2 3 x 2 3 x 2 = x 6 4 x = 8 x 1 = 2 x 1 [ 2 3, ) 2. Fall: 3 x 2 0 x x 2 3 x 2 3 x 2 = x 6 2 x = 4 x 2 = 2 x 2, 2 3 L G = { 2, 2 } 2 2a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
8 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 2 Abb. L2: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung 3 x 2 = 6 x f x = 3 x 2, g x = x 6 2 2b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
9 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 3 x 1 = 2 1. Fall: x 1 0 x 1 = 2 x 1 = 2 x = 1 2. Fall: x 1 0 x 1 = 2 x 1 = 2 x = 3 x 2 = 3 L G = { 3, 1 } 2 3a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
10 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 3 Abb. L3: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung x + 1 = 2 f x = x 1 2 3b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
11 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 4 x 1 = x 1. Fall: x 1 0 x 1 x 1 = x x 1 = x 1 = 0 falsche Aussage 2. Fall: x 1 0 x 1 x 1 = x 2 x = 1, x 2 = 0.5, x 2, 1 L = { } 2 4a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
12 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 4 Abb. L4: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung x + 1 = x f x = x 1, g x = x 2 4b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
13 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 5 x 1 = x 1. Fall: x 1 0 x 1 x 1 = x x 1 = x 1 = 2 x, x = Fall: x 1 0 x 1 x 1 = x x 1 = x, 1 = 0 falsche Aussage L = { 1 2 } 2 5a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
14 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 5 Abb. L5: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung x + 1 = x f x = x 1, g x = x 2 5b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
15 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 6 2 x 1 = x 4 Zum Lösen der Gleichung werden die in der Gleichung auftretende Beträge in betragsfreie Ausdrücke umgeformt: x 1 = x 1, x 1 x 1, x 1 x 4 = x 4, x 4, x 4 x 4 Daraus ergibt sich, dass der Definitionsbereich der Gleichung in drei Teilbereiche zu untergliedern ist: 1B : x 4, 2B : 4 x 1, 3B : x 1 2 6a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
16 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 6 x 1 x + 1 x + 4 ( x + 4) x 1 x + 1 x + 4 x + 4 x 1 x 1 x + 4 x + 4 Für diese Teilbereiche erhält man dann folgende Gleichungen: 1B. x 4 : 2 x 1 = x 4 x 1 = 6 2B. 4 x 1 : 2 x 1 = x 4 x 2 = 2 3 3B. x 1 : 2 x 1 = x 4 x 3 = 6 L = { 2 3, 6 } 2 6b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
17 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 6 Abb. L6: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung 2 x 1 = x + 4 f x = 2 x 1, g x = x 4 2 6c Ma 1 Lubov Vassilevskaya
18 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 7 x 1 = x 3 Zum Lösen der Gleichung werden die in der Gleichung auftretend Beträge in betragsfreie Ausdrücke umgeformt: x 1 = x 1, x 1 x 1, x 1 x 3 = x 3, x 3, x 3 x 3 Daraus ergibt sich, dass der Definitionsbereich der Gleichung in drei Teilbereiche zu untergliedern ist: 1B : x 3, 2B : 3 x 1, 3B : x 1 2 7a Ma 1 Lubov Vassilevskaya
19 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 7 1B. x 3 : x 1 = x 3 1 = 3 L 1 = { } 2B. 3 x 1 : x 1 = x 3 x 1 = 1 L 2 = { 1 } 3B. x 1 : x 1 = x 3 1 = 3 L 3 = { } L = L 1 L 2 L 3 = { 1 } 2 7b Ma 1 Lubov Vassilevskaya
20 Lineare Betragsgleichungen: Lösung 7 Abb. L7: Zur graphischen Lösung der Betragsgleichung x 1 = x + 3 f x = x 1, g x = x 3 2 7c Ma 1 Lubov Vassilevskaya
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