Wolfgang Goethe-Universität
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- Ingrid Solberg
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1 G Johann Wolfgang Goethe-Universität Geheimschriften, Online-Banking und was Mathematik damit zu tun hat R. J. W. G. Universität Frankfurt Tag der Naturwissenschaften 2007
2 Was dieser Vortrag darstellen möchte:
3 Was dieser Vortrag darstellen möchte: 1 Was Kryptographie ist;
4 Was dieser Vortrag darstellen möchte: 1 Was Kryptographie ist; 2 eine neue Art Mathematik
5 Was dieser Vortrag darstellen möchte: 1 Was Kryptographie ist; 2 eine neue Art Mathematik 3 Wie Kryptographie gemacht wird (Beispiel);
6 Was dieser Vortrag darstellen möchte: 1 Was Kryptographie ist; 2 eine neue Art Mathematik 3 Wie Kryptographie gemacht wird (Beispiel); 4 Wer Kryptographen sind.
7 Was ist Kryptographie?
8 Bedürfnis nach Geheimhaltung
9 Bedürfnis nach Geheimhaltung private Nachrichten: s
10 Bedürfnis nach Geheimhaltung private Nachrichten: s Online-Banking
11 Bedürfnis nach Geheimhaltung private Nachrichten: s Online-Banking abhörsicheres Telefonieren
12 Bedürfnis nach Geheimhaltung private Nachrichten: s Online-Banking abhörsicheres Telefonieren Identifikation
13 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen)
14 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen)
15 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) Alice
16 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) Alice Bob
17 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) Alice Bob
18 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) Alice offener Kanal Bob
19 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) offener Kanal Alice Bob Eva
20 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) KLARTEXT offener Kanal Alice Bob Eva
21 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) KLARTEXT offener Kanal KLARTEXT Alice Bob Eva XZ%-3&E
22 Kommunikation (wie wir sie uns vorstellen) KLARTEXT offener Kanal KLARTEXT Alice Bob Eva XZ%-3&E symmetrische Kryptographie (A, B haben gemeinsamen Schlüssel)
23 Perfekte Verschlüsselung
24 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE...
25 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Schlüssel
26 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Schlüssel
27 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Geheimtext BBEIMC... Schlüssel
28 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Geheimtext BBEIMC... Schlüssel
29 Perfekte Verschlüsselung Nachricht ABCDE... Geheimtext BBEIMC... Schlüssel Problem: Schlüsselaustausch
30 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er):
31 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er): verschiedene Schlüssel für A, B Nachricht öff. Schlüssel
32 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er): verschiedene Schlüssel für A, B Nachricht Geheimtext öff. Schlüssel
33 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er): verschiedene Schlüssel für A, B Nachricht öff. Schlüssel Geheimtext geheimer Schlüssel
34 Asymmetrische Verschlüsselung Durchbruch (Mitte 70er): verschiedene Schlüssel für A, B Nachricht öff. Schlüssel Geheimtext geheimer Schlüssel schweres math. Problem
35 Asymmetrische Verschlüsselung (II) Vereinfachte Darstellung:
36 Asymmetrische Verschlüsselung (II) Vereinfachte Darstellung: Briefkasten
37 Asymmetrische Verschlüsselung (II) Vereinfachte Darstellung: Briefkasten Nachricht
38 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht
39 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur
40 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur
41 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur Weitere Anwendungen:
42 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur Weitere Anwendungen: gemeinsames Randomisieren
43 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur Weitere Anwendungen: gemeinsames Randomisieren elektronische Wahlen
44 Was die Kryptographie sonst noch kann neues Problem: Authentizität einer Nachricht Kryptographie bietet Lösung an: elektronische Signatur Weitere Anwendungen: gemeinsames Randomisieren elektronische Wahlen...
45 Schlüssselaustausch Erste Annäherung (an asymm. Verfahren):
46 Schlüssselaustausch Erste Annäherung (an asymm. Verfahren): Schlüsselaustausch über offenen Kanal
47 Schlüssselaustausch Erste Annäherung (an asymm. Verfahren): Schlüsselaustausch über offenen Kanal?
48 Schlüssselaustausch Erste Annäherung (an asymm. Verfahren): Schlüsselaustausch über offenen Kanal? Ergebnis: gemeinsamer Schlüssel
49 Etwas Mathematik
50 Eine neue Art zu rechnen
51 Eine neue Art zu rechnen Manchmal kann
52 Eine neue Art zu rechnen Manchmal kann = = 0 sein.
53 Eine neue Art zu rechnen Manchmal kann = = 0 sein. modulares Rechnen
54 Modulares Rechnen
55 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100
56 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99}
57 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt:
58 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt:
59 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100,
60 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100, = mod 100,
61 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100, = 1 mod 100,
62 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100, = 1 mod 100, = mod 100.
63 Modulares Rechnen gebraucht wird eine Grundzahl, der Modul, z.b. p = 100 wir rechnen mit den ganzen Zahlen {0, 1, 2,..., 98, 99} jedes Rechenergebnis wird durch den Rest durch 100 ersetzt: = 92 mod 100, = 1 mod 100, = 0 mod 100.
64 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren:
65 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = mod 100,
66 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100,
67 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = mod 100,
68 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = 83 mod 100,
69 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = 83 mod 100, Insbesondere ist
70 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = 83 mod 100, Insbesondere ist 1 = 99 mod 100,
71 Modulares Rechnen (II) Genauso können wir auch subtrahieren: 3 2 = 1 mod 100, 3 20 = 83 mod 100, Insbesondere ist 1 = 99 mod 100, 50 = 50 mod 100.
72 Andere Moduln
73 Andere Moduln = mod 7,
74 Andere Moduln = 2 mod 7,
75 Andere Moduln = 2 mod 7, = mod 2,
76 Andere Moduln = 2 mod 7, = 0 mod 2,
77 Andere Moduln Andere Moduln: = 2 mod 7, = 0 mod 2, = mod 101,
78 Andere Moduln Andere Moduln: = 2 mod 7, = 0 mod 2, = 19 mod 101,
79 Andere Moduln Andere Moduln: = 2 mod 7, = 0 mod 2, = 19 mod 101, 3 20 = mod 101.
80 Andere Moduln Andere Moduln: = 2 mod 7, = 0 mod 2, = 19 mod 101, 3 20 = 84 mod 101.
81 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir!
82 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = mod 100,
83 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100,
84 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = mod 100,
85 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = mod 100.
86 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100.
87 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100. Nullteiler
88 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100. Solche Eigenarten ( Nullteiler ) entstehen durch die Teiler von 100 (!)
89 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100. Solche Eigenarten ( Nullteiler ) entstehen durch die (Prim-)Teiler von 100 (!)
90 Modulares Rechnen (II) Zu guter Letzt: Multiplizieren wir! 3 60 = 80 mod 100, 3 51 = 53 mod 100, = 0 mod 100. Solche Eigenarten ( Nullteiler ) entstehen durch die (Prim-)Teiler von 100 (!) Primzahlen als Moduln.
91 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren:
92 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101,
93 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101,
94 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101,.
95 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101, = mod 101,
96 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101, = 99 mod 101,
97 Primzahl als Modul Noch mal multiplizieren: 2 1 = 2 mod 101, 2 2 = 4 mod 101, = 99 mod 101, (Mod einer Primzahl kann man wie gewohnt durch alle Zahlen außer 0 dividieren)
98 Rechnen und Kryptographie
99 Rechnen und Kryptographie kryptographischen Protokollen liegt oft modulares Rechnen zugrunde
100 Rechnen und Kryptographie kryptographischen Protokollen liegt oft modulares Rechnen zugrunde der Modul ist hier meist eine große Primzahl,
101 Rechnen und Kryptographie kryptographischen Protokollen liegt oft modulares Rechnen zugrunde der Modul ist hier meist eine große Primzahl,
102 Rechnen und Kryptographie kryptographischen Protokollen liegt oft modulares Rechnen zugrunde der Modul ist hier meist eine große Primzahl, z.b
103 Potenzen
104 Potenzen 2 n = }{{} n-mal
105 Potenzen Allgemein: 2 n = }{{} n-mal g n = g g... g }{{} n-mal
106 Potenzen Allgemein: Potenzgesetz: 2 n = }{{} n-mal g n = g g... g }{{} n-mal (g n ) m = g n m
107 Potenzen Allgemein: Potenzgesetz: 2 n = }{{} n-mal g n = g g... g }{{} n-mal (g n ) m = g n m z.b. (2 2 ) 3 = 4 3 = 64 (2 2 3 = 2 6 = 64
108 Modulares Potenzieren Beispiel:
109 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod 101
110 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod =
111 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod = = mod 101
112 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod = = = mod 101
113 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod = = = 220 = mod 101
114 Modulares Potenzieren Beispiel: 11 2 = 121 = 20 mod = = = 220 = 18 mod 101
115 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101),
116 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101), Zahl g (z.b. 11)
117 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101), Zahl g (z.b. 11) wählt a g a g b wählt b
118 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101), Zahl g (z.b. 11) wählt a g a g b wählt b ( g b ) a = (g a ) b
119 Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch Gegeben: Modul p (z.b. 101), Zahl g (z.b. 11) wählt a g a g b wählt b ( g b ) a = (g a ) b A, B haben ein Geheimnis vereinbart: g a b
120 Angriff? g a g b ( g b ) a = (g a ) b
121 Angriff? g a g b ( g b ) a = (g a ) b
122 Angriff? g a g b ( g b ) a = (g a ) b Eva sieht nur g a, g b
123 Angriff? g a g b ( g b ) a = (g a ) b Eva sieht nur g a, g b braucht aber g a b
124 Sicherheit des D.H.-Schemas
125 Sicherheit des D.H.-Schemas Sicherheit des D.H.-Schemas liegt also am DH-Problem: g a, g b g a b
126 Sicherheit des D.H.-Schemas Sicherheit des D.H.-Schemas liegt also am DH-Problem: ist vermutlich schwierig g a, g b g a b
127 Sicherheit des D.H.-Schemas Sicherheit des D.H.-Schemas liegt also am DH-Problem: ist vermutlich schwierig g a, g b g a b Hinweise auf die Schwierigkeit, aber auch leichte Einzelfälle
128 Wer sind die Kryptographen?
129 Wo Kryptographie gemacht wird
130 Wo Kryptographie gemacht wird Forschung Realisierung Anwendung
131 Wo Kryptographie gemacht wird Forschung Realisierung Anwendung
132 Wo Kryptographie gemacht wird Forschung Realisierung Anwendung
133 Wo Kryptographie gemacht wird Forschung Realisierung Anwendung
134 Rolle im Studium
135 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten
136 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt)
137 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt) Spezialisierung auf Kryptographie: im Studium möglich
138 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt) Spezialisierung auf Kryptographie: im Studium möglich Abschlussarbeiten: Beteiligung an der Forschung
139 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt) Spezialisierung auf Kryptographie: im Studium möglich Abschlussarbeiten: Beteiligung an der Forschung Verbindung zwischen reiner Mathematik und Praxis
140 Rolle im Studium zugänglich für Mathematik- und Informatik-Studenten zugänglich für alle Studiengänge (Bachelor, Master, Lehramt) Spezialisierung auf Kryptographie: im Studium möglich Abschlussarbeiten: Beteiligung an der Forschung Verbindung zwischen reiner Mathematik und Praxis gute Arbeitschancen
141 Fragen?
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