Theorie digitaler Systeme

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1 Theorie digitaler Systeme Vorlesung 2: Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann

2 Einführung Frequenzgang zeitkontinuierlicher Systeme beschreibt die Änderung eines Spektrums bei Durchlaufen eines dynamischen Systems Zeitdiskrete Signale und Systeme können mit Hilfe der zeitdiskreten Fourier-Transformation in ähnlicher Weise beschrieben werden Kenntnisse werden später bei der Synthese zeitdiskreter Systeme eingesetzt, um das gewünschte Systemverhalten in der Übertragungsfunktion abzubilden Eigenschaften der Fast-Fourier-Transformation herleiten zu können Signalverarbeitungsschritte im Frequenzbereich zu bewerten Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 2

3 Herleitung des Frequenzgangs zeitdiskreter Systeme Frequenzgang kann auf unterschiedliche Arten hergeleitet werden, hier wird von der Differenzengleichung des Systems ausgegangen m c y k n = d u k m n n= m= Verschiebungsregel für die Fourier-Transformation von Signalfolgen führt zu j n j m cn Y e = dm U e n= m= Ausklammern und Auflösen ergibt Frequenzgang des Systems G Y = = U m= n= d c m n e e jm jn Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 3

4 Beispiel: Herleitung des Frequenzgangs zeitdiskreter Systeme Berechnung des Frequenzgangs für das Beispiel yk GF yk = ( GF) uk Transformation in den Frequenzbereich führt zu j = ( ) Y GF Y e GF U Frequenzgang ergibt sich durch Ausklammern und Auflösen zu G j Y GF = = U GF e Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 4

5 Herleitung des Frequenzgangs zeitdiskreter Systeme Frequenzgang G() ist ein komplexe Größe mit Real- und Imaginärteil beziehungsweise mit Betrag und Phase Für stabile zeitdiskrete System ergibt sich der Frequenzgang G() aus der Übertragungsfunktion im z-bereich ( ) = j G G z z= e ach der Faltungsregel der Fourier-Transformation für Signalfolgen = ( ) = y k g k u k G U Y ist der Frequenzgang G() außerdem die Fourier-Transformierte der Impulsantwort g[k] jk ( ) = G g k e k= Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 5

6 Imaginärteil G I () Darstellung des Frequenzgangs zeitdiskreter Systeme Ortskurve Frequenzgang kann in kartesischen oder Polar- Koordinaten dargestellt werden ( ) = R( ) + I j G G j G = G e = A e Bei der Ortskurve wird der Frequenzgang in der komplexen Ebene abgebildet j GF =.5 GF =.9 Bestimmung des Real- und Imaginärteil des Frequenzgangs für unterschiedliche Frequenzen - Darstellung der Punkte in die komplexe Ebene, Problem: Zuordnung zur Frequenz geht verloren Realteil G R () G GF = GF e j Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 6

7 Phase () Betrag A() Darstellung des Frequenzgangs zeitdiskreter Systeme Bode-Diagramm Aufteilung des Frequenzgangs in Amplituden- und Phasengang.8 Amplitudengang GF =.5 GF =.9 j G = G e = A e Getrennte Darstellung von Amplituden- und Phasengang für unterschiedliche Frequenzen - j /2 /2 ormierte Kreisfrequenz Amplitudengang wird teilweise in db dargestellt ( ) = a 2 log A db /2 Phasengang GF =.5 GF =.9 Vorteil: Zuordnung zur Frequenz bleibt erhalten -/2 - -/2 /2 ormierte Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 7

8 Phase () Betrag A() Beispiel: Bode-Diagramm des ittelwertfilters Differenzengleichung des Systems y k u k u k u k 2 u k 3 u k 4 5 = Transformation in den Frequenzbereich Y e e e e U 5 j 2j 3j 4j ( ) = ( ) Berechnung des Frequenzgangs Y G( ) = = + e + e + e + e U 5 j 2j 3j 4j = e e + e + + e + e 5 2j 2j j j 2j e 2j 2 cos 2 cos 2 ( ) = Amplitudengang /2 /2 ormierte Kreisfrequenz Phasengang /2 -/2 Gleitende ittelung ist ein Tiefpass-Filter - -/2 /2 ormierte Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 8

9 Frequenzgang von Systemen mit rationalen Übertragungsfunktionen Beschreibung des Systemverhaltens linearer zeitinvarianter Systeme mit Übertragungsfunktion G(z) Gz m bm z m b = m= n a n n= n= B z = = = A z a z z ( z ) ( ) Frequenzgang ergibt sich bei stabilen Systemen zu b G( ) = G( z) = A j e = z= e a Darstellung des Amplitudengangs in logarithmischer Form ( e n) m n j m= j ( e m) j ( e n) n= j ( e ) b b a = 2 log = 2 log + 2 log e 2 log e m m= a j a m= n= n= j j ( m ) ( n ) Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 9

10 Frequenzgang von Systemen mit rationalen Übertragungsfunktionen Abgesehen von dem ersten konstanten Term setzt sich der logarithmische Amplitudengang aus Summanden zusammen, die immer dieselbe Struktur aufweisen, Aussage gilt auch für Phase b = + a m= n= j j arg arg( e m) arg( e n) Amplitudengang und Phasengang setzen sich aus Linearfaktoren zusammen, deshalb ist die Interpretation folgenden Ausdrucks von besonderem Interesse G j ( ) = e Im Zähler stehende Linearfaktoren gehen positiv in den logarithmischen Amplitudengang ein, Linearfaktoren, die im enner stehen, gehen negativ in den logarithmischen Amplitudengang ein Auch bei dem Phasengang liefern im Zähler stehende Linearfaktoren positive und im enner stehende Linearfaktoren negative Beiträge Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann

11 Frequenzgang eines einzelnen Linearfaktors der Übertragungsfunktion Beschreibung der ullstelle als komplexe Zahl in Polarkoordinaten = r j e Daraus folgt für den Frequenzgang den Amplitudengang und den Phasengang ( ) j G = e r e = e r e = e r cos j r sin j j j j ( ) ( ) ( ) A = r cos + r sin = + r 2 r cos r sin r sin ( ) = + arctan = arctan r cos r cos Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann

12 Imaginärteil Im(z) Frequenzgang eines einzelnen Linearfaktors der Übertragungsfunktion Radius variiert Abstand der ullstelle entspricht Radius r, Radius wird variiert ullstelle auf der imaginären Achse entspricht = /2 r =.5 r 2 =.75 r 3 = Amplitudengang 2 An ( ) = + rn 2 rn cos 2 - Phasengang - Realteil Re(z) n = arctan rn sin 2 rn cos 2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 2

13 Phase () Betrag a() / db Frequenzgang eines einzelnen Linearfaktors der Übertragungsfunktion Radius variiert Amplitudengang weist sein inimum bei der Frequenz = = /2 auf 2 A = + r 2 r = r I n n n - Amplitudengang aximum des Amplitudengangs wird bei der Frequenz = - = - /2 erreicht 2 A = + r + 2 r = + r AX n n n /2 /2 ormierte Kreisfrequenz Phasengang Linearer Phasenverlauf für r = /2 r =.5 r 2 =.75 r 3 = -/2 -/2 /2 ormierte Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 3

14 Imaginärteil Im(z) Frequenzgang eines einzelnen Linearfaktors der Übertragungsfunktion Winkel variiert Abstand der ullstelle bleibt konstant auf dem Wert r =.7 Winkel wird variiert, =, 2 = /2, 3 = = 2 = /2 3 = Amplitudengang n 2 ( ) = + ( ) A cos =.49.4 cos n n - Phasengang ( ).7 sin n ( ) = arctan.7 cos - Realteil Re(z) Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 4

15 Phase () Betrag a() / db Frequenzgang eines einzelnen Linearfaktors der Übertragungsfunktion Winkel variiert Wegen der unterschiedlichen Phasenwinkel n verschieben sich Amplituden- und Phasengang um n nach rechts Amplituden- und Phasengang bleiben ansonsten gleich Drehung der Topologie um den Koordinatenursprung kann gut an der Darstellung der komplexen Ebene nachvollzogen werden Amplitudengang /2 /2 ormierte Kreisfrequenz /2 Phasengang = 2 = /2 3 = -/2 -/2 /2 ormierte Kreisfrequenz Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 5

16 Übungsaufgabe: Analyse eines Filters Gegeben ist ein Filter mit der Übertragungsfunktion G(z) Gz 4 z = 4 z + Welche Verstärkung besitzt das Filter? Ist das System stabil? Berechnen Sie den Frequenzgang G() und Amplitudengang A() des Filters. Skizzieren Sie den Amplitudengang des Filters. Um welchen Filtertyp handelt es sich? Geben Sie eine Differenzengleichung zur Realisierung des Filters an. Handelt es sich um ein FIR- oder IIR-Filter? Begründen Sie Ihre Antwort. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 6

17 Imaginärteil(z) Übungsaufgabe: Synthese eines zeitdiskreten Systems Die Übertragungsfunktion G(z) eines linearen zeitinvarianten Systems besitzt das nebenstehende Pol-ullstellen-Diagramm. Außerdem weist die Sprungantwort h[k] des Systems für k den Grenzwert 6 auf. Welche Systemeigenschaften lassen sich direkt an dem Pol-ullstellen-Diagramm ablesen? (2) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(z) des Systems. Geben Sie die Sprungantwort h[k] des Systems an /3 /2 Realteil(z) Bestimmen Sie den Frequenzgang des Systems. Geben Sie eine Differenzengleichung zur Implementierung des Filters an. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, anfred Strohrmann 7