Zwei Sätze von Joseph Wolstenholme. Johann Cigler

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1 Zwe Sätze von Joseh Wolstenholme Johann Cgler Vor enger Zet sandte mr Herr P., en hlosohsch gebldeter älterer Mann, enge Bemerkungen zu enem Resultat von Joseh Wolstenholme, das er folgendermaßen formulerte: Wenn n 4 und = n +, also mmer 5, und wenn n a = n b das Ergebns a so gekürzt st, dass a und b telerfremd snd, dann kann der Zähler b a mmer nur dann durch ( n ) + = getelt werden, wenn ene Prmzahl st. Er hat de Fälle 5 mt Hlfe enes rogrammerbaren Taschenrechners verfzert und schreb: Wolstenholmes theoretscher Bewes (der schon set 86 exstert) st mr leder unbekannt. Ich nehme an, dass er auch velen rofessonellen Mathematkern unbekannt st, obwohl er (m Gegensatz z.b. zu den transfnten Zahlen des G. Cantor) scherlch zu den nteressanten und unumstößlchen Ergebnssen der echten Mathematk gehört. Er wollte von mr wssen, we man deses Resultat mt den hm zur Verfügung stehenden Vorkenntnssen aus der Schulmathematk bewesen kann. Ich nehme an, dass hn deser Satz besonders deshalb fasznert hat, wel er hn für ene Charakterserung der Prmzahlen > helt. Ob das wrklch der Fall st, st aber nach we vor en offenes Problem. Bewesen st bs jetzt nur de folgende Aussage: Satz von Wolstenholme über harmonsche Zahlen Wenn > ene Prmzahl st, dann st n a S( ) = = () b der Zähler a durch telbar. Das glt unabhängg davon, ob der Bruch gekürzt st oder ncht, da der gemensame Nenner ( )! ncht durch telbar st. Der Satz sagt nchts über Snaus, ( ) falls n kene Prmzahl st. Da ch den Satz damals auch ncht kannte, habe mch n der Lteratur en weng umgesehen. Außer dem Buch [4] von Hardy und Wrght habe ch ken Lehrbuch gefunden, wo deses Problem ausführlch behandelt wrd, obwohl es sch zumndest als Übungsaufgabe für Algebra- oder Zahlentheore-Vorlesungen sehr gut egnen würde. (In [4] wrd übrgens darauf hngewesen, dass deser Satz zum ersten Mal schon 80 Jahre vor Wolstenholme 78 von Warng gefunden wurde. Er wrd aber üblcherwese nach Wolstenholme benannt, der von lebte und hn unabhängg wederentdeckte). Allerdngs gbt es ene Rehe von Arbeten, wo Verallgemenerungen bzw. Verschärfungen deses Resultats bewesen werden, we etwa [],[],[5]. Daraus ergeben sch auch enfache Bewese des ursrünglchen Resultats.

2 Da Herr P. mt dem Kongruenzbegrff ncht vertraut war, suchte ch zuerst enen Bewes, der ohne den Begrff der Kongruenz auskommt. En derartger Bewes, der von Lagrange stammt, fndet sch m Buch von Hardy und Wrght. De Aussage, dass S( ) durch telbar st, st glechbedeutend damt, dass de ganze Zahl ( )! S( ) durch telbar st. Dadurch wrd das Problem auf ganze Zahlen zurückgeführt. Das verenfacht veles. Betrachten wr nun das Polynom ( x )( x ) ( x + ) = x s ( ) x + s ( ) x+ s ( ). () Her st s ( ) = ( )! 0 und s ( ) = ( )! S ( ). 0 De Aussage des Satzes von Wolstenholme st äquvalent mt der Aussage, dass s durch telbar st. ( ) In jeder Vorlesung über Algebra lernt man (vgl. z.b. [],. 05), dass m Rng F [ x ] der Polynome über dem Körer F der Restklassen modulo x = ( x )( x ) ( x ( )) () glt. Das bedeutet, dass alle s ( ) mt durch telbar snd. Außerdem ergbt sch ( )! (mod ), en Resultat, das als Satz von Wlson bekannt st. Beselswese st für = 5 4 ( x )( x )( x )( x 4) = x 0x + 5x 50x+ 4 und s(5) = = 4! = 50 = 5. 4 Der Bewes von Lagrange letet deses Resultat ganz elementar ohne Verwendung des Kongruenzbegrffs oder der Theore der endlchen Körer ab. Dazu multlzere man bede Seten von () mt x und ersetze dann x durch x. Es ergbt sch ( x ) s ( )( x ) + + s ( )( x ) = ( x )( x ) ( x ) 0 ( 0 ) = ( x ) x s ( ) x + s ( ) x+ s ( ). Entwckelt man jedes ( x ) j nach dem bnomschen Lehrsatz und verglecht de Koeffzenten von x so ergbt sch + s ( ) = + s ( ), + s ( ) + s ( ) = s ( ) + s ( ) und allgemener

3 + + s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) s ( ) = + für alle. Das gbt ( ) s, = s ( ) = + s ( ) und allgemen + ( ) s ( ) = s ( ) s ( ) + s Daraus ergbt sch der Rehe nach, dass jedes s ( ) mt > 0 durch telbar st. Für = 0 ergbt sch ( ) s0( ) = + s ( ) + s( ) und somt, dass + s0( ) durch telbar st. Der Rest des Beweses st nun sehr enfach: Wählt man x = n (), so erhält man ( )! = ( )( ) ( + ) = s ( ) + s ( ) + s ( ) und somt wegen s ( ) = ( )! 0 0 s ( ) + + s ( ) = s ( ). (4) Da > st und alle Terme auf der lnken Sete durch telbar snd, st auch s ( ) durch telbar. Damt st der Satz von Wolstenholme bewesen. We berets erwähnt, lässt sch alles vel enfacher formuleren und bewesen, wenn man den Kongruenzbegrff verwendet. Aus dem obgen Bewes ergbt sch auch sofort der Satz von Wolstenholme über Bnomalkoeffzenten Für jede Prmzahl > glt (mod ). (5)

4 Denn ( + )( + ) ( ) = ( )! (mod ) st glechbedeutend mt + s ( ) + + s( ) + s0( ) (mod ). Und das st weder äquvalent mt s ( ) 0, d.h. mt der Aussage, dass s ( ) durch + s ( ) + + s( ) 0(mod ) telbar st. a c Man beachte dabe, dass für ratonale Zahlen,, deren Nenner zu m telerfremd b d a c a c ad bc snd, (mod m) bedeutet, dass n = der Zähler ad bc en b d b d bd Velfaches von m st, dass also ad bc(mod m) glt. Enfachere Bewese Um den Satz von Wolstenholme über harmonsche Zahlen zu bewesen, genügt es zu zegen, dass st (mod ) ( ) (6) Denn dann st S( ) = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) und wegen (mod ) st ( ) + + 0(mod ). ( ) ( ) ( ) ( ) Wenn also (6) glt, dann st S( ) en ratonales Velfaches von Der Bewes von (6) kann auf verschedene Wese geführt werden. Wenn man beachtet, dass de Menge der Inversen der Zahlen,, modulo weder mt der Menge der Zahlen,, überenstmmt, dann stmmt auch de Menge der Quadrate mt der Menge der Quadrate modulo überen und daher st = =. ( )( ) = 0(mod ). 6 (7) 4

5 Oder man beachtet, dass de Menge der Zahlen,4,,( ) modulo mt der Menge der Zahlen,, überenstmmt. Dann st also auch (mod ) ( ) = (( )) ( ) oder Da > st, folgt (6) aus (8) (mod ). ( ) (8) Daraus ergbt sch auch en enfacherer Zugang zum Satz von Wolstenholme über Bnomalkoeffzenten. Denn es glt ohne jede Kenntns über das Kongruenzverhalten von s ( ) jedenfalls + s ( ) + + s( ) + s0( ) s( ) s( ) s0( ) (mod = ) + + s0( ) s0( ) Aus (6) ergbt sch s und daher auch ( ) 0(mod ) s( ) (mod ). + s0( ) s( ) Es muss also nur noch gezegt werden, dass 0(mod ) s0( ) st. Nun st aber s( ) =. s ( ) < j j 0 Daher folgt aus (6) s( ) = = 0(mod ), s0( ) j j < = = womt alles gezegt st. Bemerkung De enfachere Kongruenz Babbage bewesen. (mod ) wurde berets 89 von Charles 5

6 n n n Sen Bewes verwendet de wohlbekannte Formel =. j= 0 j n Damt ergbt sch n (mod ), = = + = j= 0 j 0 wel j für j durch telbar st. Lteratur [] G.E. Andrews, q-analogs of the bnomal coeffcent congruences of Babbage, Wolstenholme and Glasher, Dscr. Math. 05 (999), 5-5 [] J. Cgler, Körer, Rnge, Glechungen, Sektrum Verlag 995 (sehe auch htt://homeage.unve.ac.at/johann.cgler/skrten/algebra.df ) [] I.M. Gessel, Wolstenholme revsted, Amer. Math. Monthly 05 (998), [4] G.H. Hardy & E.M. Wrght, An Introducton to the Theory of Numbers, rd Edton, Oxford 954 [5] R.J. McIntosh, On the converse of Wolstenholme's theorem. Acta Arth. 7 (995), no. 4,