Suchbäume. Suchbäume. Einfügen in Binären Suchbäumen. Suchen in Binären Suchbäumen. Prinzip Suchbaum. Algorithmen und Datenstrukturen

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1 Suchbäume Suchbäume Prinzip Suchbaum Der Wert eines Knotens wird als Schlüssel verstanden Knoten kann auch weitere Daten enthalten, die aber hier nicht weiter betrachtet werden Werte der Schlüssel müssen vergleichbar sein Ein Schlüssel kommt höchstens einmal im Suchbaum vor Der Aufbau des Baumes spiegelt die Reihenfolge der Schlüssel wieder Binärer Suchbaum Ein Binärbaum, bei dem der Schlüssel eines jeden Knotens größer ist als alle Schlüssel in seinem linken Teilbaum kleiner ist als alle Schlüssel in seinem rechten Teilbaum Satz: Die Inorder-Traversierung eines binären Suchbaums liefert die Schlüssel in aufsteigender Reihenfolge sortiert Suchen in Binären Suchbäumen Einfügen in Binären Suchbäumen Suchen eines Knotens mit Schlüssel k Beginne mit der Wurzel Vergleiche k mit dem Schlüssel des betrachteten Knotens Sind die Werte gleich, hat man den Knoten gefunden Ist k kleiner, setze die Suche mit dem linken Kindknoten fort Ist k größer, setze die Suche mit dem rechten Kindknoten fort Existiert der entsprechende Kindknoten nicht, so kann der Schlüssel nicht im Baum enthalten sein Einfügen eines Knotens mit Schlüssel k Gehe zunächst vor wie bei der Suche Wird ein Knoten mit diesem Schlüssel gefunden ist kein Einfügen mehr nötig Sonst: Füge den neuen Knoten als Kind des letzten Knotens, der beim Suchen betrachtet wurde, ein Knoten wird genau an der Position eingefügt, an der der Suchalgorithmus keinen Kindknoten mehr gefunden hat Beachte: Ein Knoten wird immer als Blatt eingefügt

2 Minimum in Binären Suchbäumen Nachfolger in Binären Suchbäumen Suche des Knotens mit minimalem Schlüsselwert Beginne mit der Wurzel Gehe jeweils zum linken Kindknoten, bis kein linkes Kind mehr existiert Der Wert des letzen betrachteten Knotens ist ist das Minimum Maximum analog mit Durchlaufen der rechten Kinder Nachfolger: Knoten mit dem nächst höheren Wert im Baum Suche des des Nachfolgers eines Knotens v Fall1: v hat ein rechtes Kind Dann ist der gesuchte Knoten der Knoten mit minimalem Wert im rechten Teilbaum von v Fall 2: v hat kein rechtes Kind Dann ist der gesuchte Knoten der erste Vorfahr, bei dem v im linken Teilbaum liegt Falls es diesen nicht gibt, so existiert kein Nachfolger Vorgänger analog Löschen in Binären Suchbäumen Aufwand der Operationen Unterscheidung von drei Fällen beim Löschen von Knoten v Fall 1: v ist Blatt Dann kann v direkt gelöscht werden Fall 2: v hat genau ein Kind Dann wird v durch dieses Kind ersetzt Fall 3: v hat zwei Kinder Dann wird v durch seinen Nachfolger ersetzt Auf den Nachfolger trifft einer der ersten beiden Fälle zu Aufwand der betrachteten Operationen auf binären Suchbäumen ist jeweils maximal O(h), wenn h die Höhe des Baumes ist Die Höhe h ist im günstigsten Fall O(log n) und im ungünstigsten Fall O(n) Satz: Die erwartete Höhe eines binären Suchbaums nach Einfügen von n Knoten mit zufällig gewählten Werten liegt in O(log n) Problem: Knoten werden oft nicht zufällig eingefügt. Dann kann der Baum leicht zu einer listenartigen Struktur entarten

3 Balancierte Bäume Einführung AVL-Bäume (1) Die Höhe eines k-nären Baumes ist minimal, wenn er bis auf die unterste Ebene maximal gefüllt ist Einen solchen Baum bezeichnet man als ausgeglichen oder balanciert Für einen ausgeglichenen k-nären Baum gilt: Höhe des Baumes = log k (Anzahl Knoten) Entwickelt von den russischen Mathematikern Adelson- Velskii und Landis AVL-Bäume sind binäre Suchbäume, die das AVL-Kriterium erfüllen AVL-Kriterium: Für jeden Knoten ist der Betrag der Differenz der Höhen des rechten und linken Teilbaums maximal 1 AVL-Bäume realisieren eine abgeschwächte Form der Ausgeglichenheit Für AVL-Bäume gilt: Die Höhe eines AVL-Baums mit n Knoten ist in O(log n) Einführung AVL-Bäume (2) Einfügen in AVL-Bäume Formale Definition des AVL-Kriteriums: Die Funktion balance(v) für einen Knoten v sei definiert als balance(v) = Höhe rechter Teilbaum Höhe linker Teilbaum Die Höhe eine leeren Teilbaums wird dabei als -1 angenommen Dann bedeutet das AVL-Kriterium: Für jeden Knoten v gilt: balance(v) {-1, 0, 1} Zunächst Einfügen eines Knoten wie bei normalen Binärbäumen Dadurch kann die AVL-Eigenschaft für manche Knoten verletzt sein Nach einem Einfügen gilt für jeden Knoten v: balance(v) {-2, -1, 0, 1, 2} Um die AVL-Eigenschaft wieder herzustellen, wird der Baum anschließend umgebaut

4 Restrukturierung nach Einfügen Funktion restructure(x) Sei w der neu eingefügte Knoten Alle Knoten, deren Höhe sich geändert hat, liegen auf dem Pfad zwischen Wurzel und w Finden der Position zur Restrukturierung gehe von w aufwärts Richtung Wurzel z sei der erste Knoten, der unbalanciert ist (Verletzung AVL- Bedingung) existiert kein solcher Knoten, ist auch der neue Baum ein AVL-Baum y sei das Kind von z mit der größeren Höhe von beiden Kindern x sei das Kind von y mit der größeren Höhe von beiden Kindern Wende auf x die Funktion restructure(x) an restructure(x) Nenne die Knoten x, y, z nach ihrer (Inorder-) Reihenfolge a, b und c Nenne die 4 Teilbäume von x, y und z, die nicht x, y oder z als Wurzel haben nach ihrer (Inorder-) Reihenfolge T 0, T 1, T 2 und T 3 Ersetze z durch b Mache a zum linken Kind von b und T 0 und T 1 zum linken bzw. rechten Teilbaum von a Mache c zum rechten Kind von b und T 2 und T 3 zum linken bzw. rechten Teilbaum von c Beachte: x ist das Kind von y, y ist das Kind von z und z verletzt das AVL-Kriterium Oftmals wird die Restrukturierung auch Rotation genannt Restrukturierung sorgt auch für, dass alle Vorfahren von b das AVL-Kriterium erfüllen Sie muss also nur einmal angewandt werden Löschen in AVL-Bäumen Restrukturierung nach Löschen Zunächst Löschen eines Knoten wie bei normalen Binärbäumen Dadurch kann die AVL-Eigenschaft für manche Knoten verletzt sein Nach einem Löschen gilt für jeden Knoten v: balance(v) {-2, -1, 0, 1, 2} Um die AVL-Eigenschaft wieder herzustellen, wird der Baum anschließend umgebaut Sei w der Vater des entfernten Knotens entscheidend ist die Position, an der ein Knoten weggefallen ist Alle Knoten, deren Höhe sich geändert hat, liegen auf dem Pfad zwischen Wurzel und w Finden der Position zur Restrukturierung gehe von w aufwärts Richtung Wurzel z sei der erste Knoten, der unbalanciert ist (Verletzung AVL-Bedingung) existiert kein solcher Knoten, ist nichts weiter zu tun y sei das Kind von z mit der größeren Höhe von beiden Kindern x sei das Kind von y mit der größeren Höhe von beiden Kindern wenn x nicht eindeutig ist, wähle x so, dass x relativ zu y auf der selben Seite liegt wie y relativ zu z Wende auf x die Funktion restructure(x) an Setze w = b (b wird in restructure() bestimmt) und suche erneut eine Position, für die ggf. eine Restrukturierung erforderlich ist

5 Mehrweg Suchbäume Mehrweg Suchbäume Mehrweg Suchbäume sind eine Verallgemeinerungen von binären Suchbäumen auf d-näre Bäume Definition d-närer Mehrweg Suchbaum Jeder interne Knoten hat mindestens 2 Kinder Jeder Knoten hat mindestens einen Schlüssel Jeder Knoten kann bis zu d Kinder und bis zu d-1 Schlüssel haben Ein Knoten mit d Kindern v 0,..., v d -1 besitzt genau d -1 Schlüssel k 1,..., k d -1 Für die Teilbäume T i, i {0,..., d -1} eines Knotens mit d Kindern gilt: Für alle Schlüssel in T i : k i < Wert des Schlüssels in T i < k i+1 dabei setzen wir k 0 = - und k d = v i sei die Wurzel von T i Beachte: Inorder Traversierung läßt sich leicht auf d-näre Bäume erweitern k i wird zwischen den Werten in den Teilbäumen T i-1 und T i eingeordnet Suchen in Mehrweg Suchbäumen (2, 4)-Bäume Suche nach Schlüssel k Setze Knoten v auf die Wurzel v ist der aktuell betrachtete Knoten Vergleiche k mit den Schlüsseln k i in v Fall 1: k = k i für ein i Dann ist die Suche erfolgreich beendet Fall 2: Fall 1 trifft nicht zu und v ist Blatt Dann ist die Suche erfolglos beendet Fall 3: Fall 1 und 2 treffen nicht zu Dann setzte v = v i für das Kind v i von v mit k i < k < k i+1 und führe wiederum den Vergleich durch Ein (2, 4)-Baum ist ein 4-närer Mehrweg Suchbaum, für den gilt: Alle Blätter haben das gleiche Niveau Anmerkung 2 bis 4 Kinder bedeutet 1 bis 3 Schlüssel diese Anzahl von Schlüsseln gilt auch für Blätter Satz: Die Höhe eines (2, 4)-Baumes mit n Schlüsseln ist O(log n)

6 Einfügen in (2, 4)-Bäume Splitten eines Knotens mit 4 Schlüsseln Einfügen eines Schlüssels k Gehe zunächst vor wie bei der Suche Wird der Schlüssel k gefunden, ist kein Einfügen mehr nötig Sonst: Füge k in den letzten Knoten ein, der beim Suchen betrachtet wurde Beachte: Ein Schlüssel wird immer in Blatt eingefügt Problem: Überlauf kann auftreten Der neue Schlüssel ist ggf. der vierte Schlüssel in diesem Knoten Lösung: Splitten des Knotens Der Knoten mit 4 Schlüsseln wird durch zwei Knoten ersetzt Der erste Knoten enthält die zwei kleinsten Schlüssel Der zweite Knoten enthält den größten Schlüssel Wenn der übergelaufene Knoten ein innerer Knoten ist, werden auch seine Kinder entsprechend verteilt Der erste Knoten enthält die drei Kinder mit den kleinsten Schlüsseln Der zweite Knoten enthält die zwei Kinder mit den größten Schlüsseln Der zweitgrößte Schlüssel wird in den Vaterknoten eingefügt Das ursprüngliche Kind dieses Vaters wird durch die zwei neugebildeten Knoten ersetzt Der in den Vater eingefügte Schlüssel liegt zwischen den Schlüsseln in den beiden neugebildeten Teilbäumen Beim Vater kann ebenfalls ein Überlauf entstehen Eine neue Wurzel kann entstehen Löschen in (2, 4)-Bäumen Transfer Löschen eines Schlüssels k Entfernt wird zunächst immer ein Schlüssel aus einem Blatt Liegt k nicht in einem Blatt, so wird k durch seinen (Inorder) Nachfolger ersetzt Problem: Unterlauf kann auftreten Der Knoten v, aus dem der Schlüssel entfernt wurde, enthält anschließend keinen Schlüssel mehr Lösung: Fusion oder Transfer Wenn beide benachbarten Geschwister nur einen Schlüssel enthalten: Fusion Sonst: Transfer Indirekt wird ein Schlüssel aus einem benachbarten Geschwisterknoten in den leeren Knoten transferiert Dieser Geschwisterknoten muss selbst mindestens zwei Schlüssel besitzen Wenn es zwei benachbarte Geschwisterknoten gibt, mit denen ein Transfer möglich wäre, nehmen wir den linken Damit der Baum ein korrekter Mehrweg Suchbaum bleibt, kann der Schlüssel nicht direkt transferiert werden Vorgehen Verschiebe einen Schlüssel aus dem gemeinsamen Vaterknoten in den leeren Knoten Verschiebe einen Schlüssel aus dem Geschwisterknoten in den Vaterknoten Wenn der vorher leere Knoten kein Blatt ist: Verschiebe ein Kind vom Geschwisterknoten zu diesem Knoten Beachte: Ein Transfer kann keine weiteren Unterläufe verursachen

7 Fusion (a, b)-baum Der Knoten ohne Schlüssel wird mit einem benachbarten Geschwisterknoten zusammengefasst Dieser Nachbarknoten enthält genau einen Schlüssel Wenn es zwei benachbarte Geschwisterknoten gibt, nehmen wir den linken Ein Schlüssel aus dem Vaterknoten wird in diesen neugebildeten Knoten verschoben Der aus dem Vater entnommene Schlüssel liegt zwischen den Schlüsseln in den beiden ursprünglichen Teilbäumen Beachte: Aus einem inneren Knoten wird nur dann ein Schlüssel entfernt, wenn sich auch die Zahl der Kinder um eins vermindert hat Der Unterlauf kann sich im Vater fortsetzen Die Höhe des Baumes kann sich dadurch um eins vermindern Ein (a, b)-baum ist eine Verallgemeinerung des (2, 4)- Baums auf andere Anzahlen von Schlüsseln bzw. Kindern Ein (a, b)-baum ist ein b-närer Mehrweg Suchbaum für den gilt: Die Wurzel hat mindestens einen Schlüssel Jeder andere Knoten hat zwischen a-1 und b-1 Schlüssel Dabei muss gelten: 2 a (b + 1) / 2 Alle Blätter haben das gleiche Niveau Für einen (a, b)-baum gilt, dass ein innerer Knoten zwischen a und b Kinder hat Die Operationen auf (a, b)-bäumen sind analog zu denen auf (2, 4)-Bäumen B-Baum Nachteile B-Bäume Ein B-Baum ist ein wichtiger Spezialfall eines (a, b)-baums Ein B-Baum der Ordnung d ist ein (a, b)-baum mit a = d/2 und b = d B-Bäume werden eingesetzt für die Speicherung von Daten auf Sekundärspeicher Ziel: Reduktion der Datentransfers zwischen Sekundärspeicher und Hauptspeicher Knoten muss klein genug sein, damit er in einen Block passt nur ein Datentransfer pro Knoten andererseits wird ein möglichst flacher Baum angestrebt; deshalb möglichst viel Schlüssel pro Knoten Insgesamt wird daher d so gewählt, dass die Knotengröße der Blockgröße entspricht In der Praxis ist die Ordnung nicht fest, sondern variabel abhängig von der konkreten Größe von Schlüsseln und Zeigern Die Performanz eines B-Baums hängt stark von der Höhe des Baumes ab, deswegen wollen wir einen hohen Verzweigungsgrad der inneren Knoten Beachte: Neben dem Schlüssel selbst muss auch der zugehörige Datensatz gespeichert werden Abspeichern von Daten in inneren Knoten reduziert den Verzweigungsgrad In einem B-Baum enthält ein innerer Knoten mit k Einträgen k+1 Zeiger auf Kind-Knoten k Schlüssel k Referenzen auf Daten (oder sogar die Daten selbst)

8 B+-Bäume Beispiel Innerer Knoten B+-Bäume speichern lediglich Referenzschlüssel in inneren Knoten, die Daten selbst werden in Blattknoten gespeichert Jeder Schlüssel taucht in einem Blattknoten auf Schlüssel, die in einem inneren Knoten auftreten, sind zusätzlich auch in einem Blattknoten Meistens sind die Blattknoten noch verkettet, um schnelle sequentielle Suche zu ermöglichen Wie beim B-Baum: Split eines Blatts führt zu Einfügen eines Schlüssels in den Vater-Knoten Im Unterschied zum B-Baum wird er kopiert und nicht verschoben Spilt kann sich wieder nach oben fortsetzen Split eines inneren Knotens führt wie beim B-Baum zum Verschieben eines Schlüssels in den Vater Schlüssel Schlüssel Schlüssel Schlüssel < k<81 81 k<95 95 Beispiel B-Baum vs B+-Baum B-Baum Zeiger: Schlüssel: Blöcke 4 Byte 4 Byte 100 Byte Betrachte einen maximal gefüllten Baum mit zwei Ebenen (Höhe 1) Wurzel hat 8 Schlüssel + 8 Zeiger auf Tupel+ 9 Zeiger auf Kindknoten = 8x4 + 8x4 + 9x4 = 100 Byte Jedes der 9 Kinder: 12 Zeiger auf Tupel (+12 Schlüssel) Max # Tupel = = 12x(4+4) = Bytes 12x9 + 8 = 116

9 B+-Baum Einordnung Suchbäume Wurzel hat 12 Schlüssel + 13 Zeiger auf Kindknoten = 12x4 + 13x4 = 100 Byte Jedes der 13 Kinder: 12 Zeiger auf Tupel (+12 Schlüssel) Max # Tupel = = 12x(4 +4) = Bytes 13x12 = 156 Schlussfolgerung: Bei einer festen Blockgröße kann ein B+ Baum bei gleicher Anzahl von Ebenen mehr Einträge aufnehmen Die Höhe des Baums ist daher geringer Suchbäume mittlerer Aufwand für Einfügen, Suchen, Löschen jeweils O(log n) Hashtabellen mittlerer Aufwand für Einfügen, Suchen, Löschen jeweils O(1) Warum dann Suchbäume? Bei Suchbäumen ist O(log n) auch der Aufwand im ungünstigsten Fall. Bei Hashtabellen kann der Aufwand im ungünstigsten Fall O(n) werden Größe der Hashtabelle ist (bei klassischen Hashverfahren) statisch. Um einen angemessenen Belegungsfaktor zu erhalten, muss die Anzahl der Schlüssel also zumindest ungefähr bekannt sein Hashtabellen unterstützen keine Bereichssuche Implementierung Binärbaum (1) Implementierung Binärbaum (2) Verkettung Baum wird durch eine Menge verketteter Knoten repräsentiert Jeder Knoten enthält Wert/Schlüssel und ggf. weitere Daten Verweis auf Vater Verweis auf linkes Kind Verweis auf rechtes Kind Lässt sich leicht auf beliebige k-näre Bäume erweitern Array Jedes Element im Array enthält einen Knoten Die Kanten werden nicht explizit repräsentiert, sondern durch die Position der Knoten im Array Die Position eines Knotens v ist p(v) gemäß folgender Definition Die Knoten eines Binärbaumes lassen sich wie folgt nummerieren: Sei v ein Knoten und p(v) seine Nummer. Dann setzen wir: wenn v die Wurzel ist: p(v) = 1 wenn v das linke Kind von u ist: p(v) = 2 * p(u) wenn v das rechte Kind von u ist: p(v) = 2 * p(u) + 1 Wenn u der Vater von v ist gilt also: p(u) = p(v) / 2 Problem: einzelne Positionen können leer bleiben, wenn der Baum nicht entsprechend gefüllt ist