Übung 1: Quellencodierung

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1 ZHAW, NTM2, Rumc, /7 Übung : Quellencodierung Aufgabe : Huffman-Algorithmus. Betrachten Sie die folgende ternäre, gedächtnislose Quelle mit dem Symbolalphabet A = {A,B,C} und den Symbol-Wahrscheinlichkeiten P X (A)=2/3, P X (B)=/6, P X (C)=/6. DMS... A B C A A A... Huffman- Encoder a) Bestimmen Sie die Information pro Symbol H(X) der Quelle. Wieviel Information tragen 2 aufeinander folgende Quellensymbole? b) Entwerfen Sie einen binären Huffman-Code, mit dem Sie Symbol codieren bzw. komprimieren können. Wie gross ist die Coderate bzw. die mittlere Codewortlänge [bit/symbol]? c) Entwerfen Sie einen binären Huffman-Code, mit dem Sie 2 aufeinander folgende Symbole codieren bzw. komprimieren können. Wie gross ist die Coderate bzw. die mittlere Codewortlänge [bit/symbol] jetzt? Aufgabe 2: BMS. Betrachten Sie die folgende binäre, gedächtnisfreie Quelle (BMS). BMS X[n] = a) Bestimmen Sie die Information bzw. die Entropie H(X) [bit / Quellensymbol]. Ein Quellencoder fasst jeweils 3 Symbole zusammen und codiert sie mit einem binären, präfixfreien Codewort variabler Länge, siehe Tabelle. Eingang X[n] Ausgang Y[n]

2 ZHAW, NTM2, Rumc, 2/7 b) Ist dieser Quellenencoder verlustlos? Wenn ja, wie gut ist diese Datenkompression? Hinweis: Bestimmen Sie die mittlere Codewortlänge und dann die mittlere Anzahl bit / Symbol. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung P Y (y) am Ausgang des Quellen-- encoders. Aufgabe 3: LZ77. Komprimieren Sie mit der LZ77-Methode den folgenden Text: FISCHERS FRITZ FISCHT FRISCHE FISCHE. Der Vorschau-Buffer soll 6 Symbole (Bytes) und der Such-Buffer 32 Bytes lang sein. Hinweis: Bestimmen Sie im Satz oben die Grenzen zwischen Such- und Vorschau- Buffer und markieren Sie sie mit Hoch-Kommas. Bestimmen Sie zusätzlich die srate R. Dekodieren Sie zum Schluss die Token-Folge und vergewissern Sie sich, dass der Dekoder sehr einfach zu realisieren ist. Aufgabe 4: Benchmarks Datenkompression. Füllen Sie die folgende Benchmark- bzw. Referenz-Tabelle für die Datenkompression aus: Signal Text Sprache Audio (Stereo) Rate vor Rate nach s- Faktor Beispiel verlustlos 7 Bit / Char. 2.5 Bit / Char Lempel-Ziv- Welch (zip ) verlustbehaftet --- Farb- Bild

3 ZHAW, NTM2, Rumc, 3/7 Aufgabe 5: Verlustlose Datenkompression. Entwerfen Sie für die unten dargestellten binären, gedächtnislosen Quellen (Fall A und B) je einen guten Huffman-Source-Code. Fall A BSS X[n] Huffman- Encoder Y[n] P() =.5 P() =.5 Fall B BMS X[n] Huffman- Encoder Y[n] P() =.75 P() =.25

4 ZHAW, NTM2, Rumc, 4/7 Musterlösung Aufgabe a) H(X) = 2/3 log 2 (3/2) + 2 /6 log 2 (6) =.256 bit / Symbol Die Symbole einer DMS sind unabhängig. Deshalb gilt: H(X[n-],X[n]) = H(X[n-]) + H(X[n]) = 2 H(X) = bit / 2 Symbolen b) Binärer Huffman-Code für Quellensymbol: A 2/3 B /6 C /6 /3 R = E[L] = 2/3 + /6 2 + /6 2 = 4/3 =.33 bit / Symbol > H(X) =.256 bit / Symbol c) Binärer Huffman-Code für 2 Quellensymbole: AA 4/9 AB /9 AC /9 BA /9 CA /9 2/9 2/9 5/9 BB /36 BC /36 CB /36 CC /36 /8 /8 /9 3/9 R = E[L] = 4/9 + 2 / / /36 5 = bit / 2 Symbol =.2778 bit / Symbol > H(X) =.256 bit / Symbol Je mehr Symbole gleichzeitig codiert bzw. komprimiert werden, desto besser ist die, auf Kosten der Code-Komplexität.

5 ZHAW, NTM2, Rumc, 5/7 Aufgabe 2 a) Um H(X) zu bestimmen, muss man zuerst P X (x) bestimmen. Dem Ausgangsmuster kann man entnehmen: P X (x) =.75 und P X () =.25 Eigentlich müsste man noch mehr Ausgangssymbole betrachten. Aus der Grafik der binären Entropiefunktion h(p) im Skript kann man für p=.25 ablesen: => H(X) =.8 bit / Symbol b) Um die Frage zu beantworten, ob der Quellencode verlustlos ist, müssen wir abklären, wie gross die mittlere Codewortlänge E[W] ist. Ist E[W]/3 H(X), so ist der Code verlustlos. Andernfalls werden die Quellensymbole zu stark komprimiert, so dass Information verloren geht. Die mittlere Codewortlänge beträgt, siehe Tabelle unten: E[W] = = bit / 3 Quellensymbole Eingang X[n] P(CW gesendet) Länge Codewort [bit] = P(Eingang).75 3 = =.56 5 => E[W] / 3 =.8229 bit / Symbol > H(X) Der Quellencode ist verlustlos und nahe am Optimum. c) Es sollen z.b. 3 Quellensymbole komprimiert werden. Dazu sind Codeworte mit mittlerer Länge E[W]= erforderlich In diesen Codeworten sind => 422* Nullen (Eingang ) => 4*2 Nullen (Eingang ) => 4* Nullen (Eingang ) => 47*2 Nullen (Eingang ) => 4* Nullen (Eingang ) => 47* Nullen (Eingang ) => 47* Nullen (Eingang ) Daraus folgt, dass von 2469 Codebit ca *4+4*47 Nullen sind. Wie erwartet ist P Y () =.4755 und damit fast.5. Der binäre Quellenencoder sollte am Ausgang ja fast keine Redundanz mehr enthalten und damit im Mittel fast gleich viele Nullen wie Einer aufweisen.

6 ZHAW, NTM2, Rumc, 6/7 Aufgabe 3 F I S C H E R S FR IT Z FI SCHT FRIS CHE FISCHE. <= (,,F) (,,I) (,,S) (,,C) (,,H) (,,E) (,,R) (5,, _) (9,,R) (,,T) (,,Z) (6,2,I) (5,3,T) (3,4,S) (23,3, _) (3,6,.) Input: 37 Bytes, Output: 6 Tokens mit je = 2 Bytes => R = 32/37 =.865 (kleine, für bessere müsste der Input viel länger sein) Dekoder nach 7 Tokens: FISCHER Dekoder nach 8 Tokens: FISCHERS_ Dekoder nach 9 Tokens: FISCHERS FR Aufgabe 4 Benchmark-Tabelle: Signal Text Sprache Audio (Stereo) Rate vor Rate nach s- Faktor Beispiel verlustlos Farb- Bild 7 Bit / Char. 64 kb/s.4 Mb/s 24 bit/pixel 2.5 Bit / Char. 3 kb/s 28 kb/s.75 bit/pixel Lempel-Ziv- Welch (zip ) GSM Vocoding MP3 verlustbehaftet --- JPEG

7 Encoder P() =.75 P() =.25 ZHAW, NTM2, Rumc, 7/7 [n] Aufgabe 5 Fall A: Jedes Quellenbit der BSS trägt H(X) = bit Information. Für verlustlose Quellencodierung muss R H gelten, d.h. die Encoder-Rate R [Codebits/Quellenbit], bzw. die BSS-Quellenbits können nicht komprimiert werden, weil sie keine Redundanz tragen! Der Source-Code ist trivial: X= => Y= X= => Y= [n] und entspricht einem Huffman-Code für ein einziges Quellenbit: Y X P X (x).5.5 Fall B: H(X) =.75 log 2 (/.75)+.25 log 2 (/.25) =.83 bit / Quellenbit. Also: Encoder-Rate R [Codebits/Quellenbit].83, d.h. die BMS-Quellenbits können noch komprimiert werden. Ansatz: Huffman-Codierung von 2 aufeinanderfolgenden Quellenbits! Y X P X (x) 9/6 3/6 3/6 /6 4/6 7/6 Bestimmung der Güte dieses Source-Codes mit Hilfe der Encoder-Rate: R = (9/6 +3/6 2+3/6 3+/6 3)/2 =.8438 Codebits/Quellenbit R ist schon nahe an der Entropiegrenze H(X) =.83 Codebits/Quellenbit. Wenn die Huffman-Codierung auf 3 oder mehr aufeinanderfolgende Quellenbits ausgeweitet würde, könnte die Datenkompression noch leicht verbessert werden.

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