Expander Graphen und Ihre Anwendungen

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1 Expander Graphen und Ihre Anwendungen Alireza Sarveniazi Mathematisches Institut Universität Göttingen Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

2 Graphen Definition Ein Graph ist ein Paar Ω = (V, E) disjunkter Mengen mit E V V. Die Elemente von E sind also 2-elementige Teilmengen von V. Die Elemente von V nennt man die Ecken des Graphen Ω, die Elemente von E seine Kanten. Ω heißt endlich wenn V <. Der Grad d(v) einer Ecke v ist die Anzahl der Nachbarn von v. Hat jede Ecke von Ω den gleichen Grad k, so heißt Ω k-regulär. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

3 Die Adjazenz-Matrix Definition Die Adjazenz-Matrix A = A(Ω) = (a ij ) n n von G = (V, E) und V = {v 1,..., v n } ist definiert durch { 1 falls (vi, v j ) E a ij = 0 sonst. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

4 Beispiel: Ein Graph und seine Adjazenz-Matrix Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

5 Expander Graphen Definition Sei Ω = (V, E) ein k-regulärer Graph mit V = n. Sei A V, 0 < c R und sei A = {x V d(x, A) = 1} der Rand von A. Die Expanderkonstante (die Vergrößerungszahl oder Cheeger-Konstante) von Ω = (V, E) : h(ω) := min A V A min( A, V \A ) Man nennt Ω einen (n, k, c)-expandergraph falls gilt: h(ω) c > 0. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

6 Komplett-Graph K 5 : Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

7 6 Kreis C 6 : Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

8 Expanderkonstante von C n und K 2n Für C n wenn A = l, dann A = l(n l), so dass: h(c n ) = n [ n 2 ] n 2. Ω = K 2n die 2n-Kreis, A = n, A = 2 und h(c 2n ) = 2 n 0 als n Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

9 Expander Graphen: Ihre Anwendungen Theoretische Computer-Wissenschaft: fehlerkorrigierender Code rechenbetonte Gruppen-Theorie Speicher mit direktem Zugriff (Random-Zugriff) Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

10 Anwendungen in der Reinen Mathematik: Funktional-Analysis und die Topologie: Baumes-Connes-Vermutung Maßtheorie: Ruziewicz-Probleme Eine klassische Frage in der Kombinatorik: Die ganzen Zahlen g und c seien gegeben, finde einen Graph Ω mit girth(ω) g und χ(ω) c. Wobei der girth(ω), die Länge des kürzesten geschlossenen Kreises in Ω ist, und χ(ω) (Chromatische Zahl) ist die kleinste Zahl von Farben, die man den Ecken zuordnen kann, so dass benachbarte Ecken nicht die gleiche Farbe bekommen. Antwort: Erdos(1959), Basis für wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden und Random-Graphen. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

11 Eine Familie von Expander-Graphen Definition Eine Familie von Expander-Graphen besteht aus einer Familie von Ω n,k mit k fest und n so dass ein ɛ > 0 existiert wobei gilt: h(ω n,k ) ɛ. Existenz Frage wurde (1973) von Pinsker mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden beantwortet. Definition Sei Ω = (V, E) ein k-regulärer Graph und sei A Ω die zugehörige Adjanzenzmatrix. Sei λ(a Ω ) := max{ λ ± k λ ist Eigenwert von A Ω } (k ist immer ein Eigenwert). Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

12 Fakt2: Ω n,k ist ein zusammenhängender Graph λ(a Ωn,k ) < k. Theorem (Tanner; Alon and Milman, 1985) k λ(a Ωn,k ) 2 h(ω n,k ) 2k(k λ(a Ωn,k )) χ(ω n,k ) k λ(a Ωn,k ) Hoffman Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

13 Ramanujan-Graphen: Theorem ( Alon - Boppana 1986) Sei ɛ > 0. Dann existiert n 0 so da für alle k-reguläre Graphen Ω = (V, E), V n 0 gilt: λ(a Ω ) > 2 k 1 ɛ. Sei Ω = (V, E) ein k-regulärer Graph und sei A(Ω) die zugehörige Adjanzenzmatrix. Sei (wie vorher) λ(a(ω)) =: max{ λ ± k λ ist Eigenwert von A(Ω)} Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

14 Definition Ω heißt Ramanujan-Graph falls gilt: λ(a Ω ) 2 k 1. Die Ramanujan-Graphen sind vom Spektrum her optimale hochzusammenhängende Graphen. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

15 Beispiel: Ramanujan-Graph mit 80 Ecken und h = 1 4 Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

16 Explizite Konstruktion von Ramanujan-Graphen Sei p eine Primzahl mit: Sei p 1 (mod 4) S := {(x 0, x 1, x 2, x 3 ) Z 4 x x x x 3 2 = p und - S hat genau p + 1 Elemente. Sei q p ein andere Primzahl mit: q 1 (mod 4) ( ) wähle q so dass p q = 1 d.h. x 0 0, ungerade Zahl und x i gerade Zahl für i = 1, 2, 3} x 2 = p in F q = Z/qZ hat eine Lösung δ. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

17 Definition Für jede Gruppe G und die Erzeugermenge S kann man einen Graph zuordnen, nämlich den Cayley-Graph (G, S); mit V := G und E := {(g, h) g = sh für ein s S}. Sei i ein element in F q mit i 2 = 1 und ( ) S := { 1 x0 + ix 1 x 2 + ix 3 δ x 2 + ix 3 x 0 ix 1 (x 0, x 1, x 2, x 3 ) S} und sei Ω p.q der Cayley-Graph (PSL 2 (F q ), S). Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

18 bipartiter Graph Definition Ein Graph Ω = (V, E) mit Eckenmenge V und Kantenmenge E heißt bipartit, falls V in disjunkte Teilmengen I, O zerfällt, so dass jede Kante in E von I nach O führt, d.h., E I O. Wir schreiben dann Ω = (I O, E). Ein bipartiter Graph (I O, E) heißt (r, l) regulär, wenn jeder Ecken in I genau mit r Ecken in O durch eine Kante verbunden ist, und jeder Ecken in O mit genau l Ecken in I durch eine Kante verbunden ist. Hat I dann n Elemente, folgt dass O genau rn l viele Elemente besitzt. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

19 Theorem [Lubotzky-Philips-Sarnak 1988] : Dann gilt für Ω p.q : (i) p + 1-regulärer Ramanujan Graph (ii) girth(ω p.q ) 2 3 log p Ω p.q (iii) Ω p.q ist ein hochzusammenhängende bipartite Graph (iv) χ(ω p.q ) p+1 2 p ( ) Bemerkung:für q mit p q = 1 d.h. x 2 = p in F q = Z/qZ hat keiner Lösung. können wir Ω p.q als der Cayley Graph (PGL 2 (F q ), S) betrachten. S wird ohne der Faktor 1 δ definiert.in diesem fall hat man für Ωp.q : (i) p + 1-regulärer Ramanujan Graph (ii) girth(ω p.q ) 4 log p q log p 4 (iii) Ω p.q ist ein hochzusammenhängender Graph Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

20 Expander Graph-basierte Codes Sei C ein binäre Code mit Codewortlänge l und Ω = (I O, E) ein (r, l) regulärer Graph mit I = {i 1,..., i n }. Dann bezeichnen wir für o O mit O(i 1 ),..., O(i l ) die Nachbarn von o in I. Aus C und Ω konstruiert man nun einen Code C(Ω, C) mit Codewortlänge n = I. Ein Wort w = (w 1, ldots, w n ) Z n 2 liegt in C(Ω, C) genau dann, wenn für alle o O gilt(w O(i1 ),..., w O(il )) C. Das heißt, für alle o O muss gelten, dass die Einschränkung von o auf diejenigen Koordinaten, deren Indizes die Nachbarn von o sind, ein Codewort in C ist. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

21 Beispiel Sei C der Hamming-Code H (3) mit Parität-Matrix H und weiter sei Ω der regultäre (2, 7) Graph mit Adjazenz-Matrix A: Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

22 Der Code C(Ω, H (3) ) Der Code C(Ω, H (3) ) hat dann Parität-Matrix: Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

23 Definition Ein (r, l)-regulärer Graph Ω = (I O, E) heißt ein (r, l, α, β)-expander, falls jede Teilmenge V I der Grösse αn, n = I, mindestens β V viele Nachbarn in O besitzt. Der Graph Ω aus obigen Beispiel ist ein (2, 7, 1 7, 0.99)-Expander. Man kann sehen dass Ω auch ein (2, 7, 3 14, 3 5 )-Expander ist. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

24 Beispiel Sei Ω ein beliebiger (r, l)-regulärer bipartiter Graph. Sei A die Adjazenz-Matrix von G. Weiter sei C der Code mit Paritäts-Matrix H = [1, 1,..., 1] Z 1 l 2. Die Paritäts-Matrix des Codes C(Ω, C) is dann die Matrix A. Damit die Codes C(Ω, C) gute Parameter haben, wird man Expander-Graphen wählen. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

25 Beispiel für einen bipartiten Expander-Graph Ω Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

26 Adjazenz-Matrix von Ω Je 6 Ecken aus I haben mindestens 5 Nachbarn. Die Ecken {1, 2, 3, 4, 5, 7} I haben genau 5 Nachbarn. Für alle Teilmengen V I mit höchstens 5 Ecken gilt, dass sie mindestens I Nachbarn haben. Daher ist Ω ein (2, 3, 2 3, 4 5 )-Expander, aber auch ein (2, 3, 5/9, 099)-Expander. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

27 Satz Satz Sei C ein linear, binärer (l, m, d)-code mit Rate ρ := m l und Distanz d. Weiter sei Ω = (I O, E) ein (r, l, α, r d )-Expander. Dann hat der Code C(Ω, C) Rate mindestens 1 (1 ρ)r und Distanz > α I. Krollar Sei P l 1 der Paritäts-Code auf l 1 Bits mit Paritäts-Matrix H = [1, 1,..., 1] Z 1 l 2. Außerdem sei Ω ein (r, l, α, r 2 )-Expander. Dann besitzt der Code C(Ω, C) Rate 1 r l und Distanz > α I. Alireza Sarveniazi (Universität Göttingen) Expander Graphen und Ihre Anwendungen / 27

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