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1 Inhaltsverzeichnis 4 Boolesche lgebra lgebra der Logik, algebraische Logik Schaltalgebra und logische Schaltungen Zustand eines digitalen Systems Schaltfunktion Schaltalgebra Die logischen Grundfunktionen Grundgesetze der ussagenlogik Rechenregeln der Schaltalgebra Grundregeln für das Rechnen mit zweiwertigen Variablen Regeln für die booleschen Konstanten Herleitung des Theorems von De Morgan Theorem von De Morgan für eine beliebige Zahl von Variablen Zusammenfassung der logischen Grundfunktionen für zwei Variablen Verknüpfungsarten (Operatoren in C) Verknüpfungsarten (Weitere Schreibweisen) Benennungen, Schaltsymbole und Schaltfunktion Negation (Komplementbildung) Konjunktion Disjunktion Schaltsymbole in alter und neuer Norm Schaltsymbole nach DIN 49 Teil Normalformen Kanonische Normalformen Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) Kanonische konjunktive Normalform (KKNF) Wahrheitstafel bzw. Schaltbelegungstabelle (SBT) Darstellung aller Eingangsvariablen einer Schaltbelegungstabelle Darstellung einer vollständigen Schaltbelegungstabelle nsteuerung einer LED nzeige für BCD-Codes Vollständige und unvollständige Funktionen DV_Kapitel_4.doc Seite 4- von 28 Rüdiger Siol

2 Hochschule Ravensburg-Weingarten Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Vorlesung zur Datenverarbeitung Boolesche lgebra 4 Boolesche lgebra 4. lgebra der Logik, algebraische Logik Das ist die seit der Mitte des 9. Jh. entwickelte Form des Klassen- und Relationenkalküls, die es erlaubt, die Gesetze der traditionellen (Klassen- oder syllogistischen) Logik sowie logische Schlüsse in algebraischer Form zu behandeln. Sie basiert auf der von George Boole in seinem Werk Mathematical analysis of logic (847) entworfenen Booleschen lgebra und ist ein wichtiger Spezialfall der mehrwertigen Logik. Hauptwerk: n investigation of the laws of thought (854). George Boole George Boole, britischer Mathematiker und Logiker, *Lincoln 2..85, Ballintemple (bei Cork, Irland) Boole erwarb seine Kenntnisse der Mathematik auf autodidaktischem Weg und wurde 849 Professor für Mathematik in Cork. Er erkannte, dass der mathematische Formalismus extensional ist und wandte diese Erkenntnis auf die im mathematischen Denken verwendeten logischen Gesetze selbst an. Er entwickelte als erster einen brauchbaren Logikkalkül und wurde so zum Begründer der mathematischen Logik. In diesem ersten System der lgebra der Logik wird jeder wahren ussage und ussagenverknüpfung der Wert, jeder falschen der Wert zugeordnet. Boole erkannte außerdem, dass sich die auf die Zahlen und beschränkte rithmetik als Klassenlogik deuten lässt und entwickelte so die Boolesche lgebra. (r.siol) FH_RV-Weingarten DV2 WS_56 2 Den Syllogismus betreffend; die Lehre von den gültigen Schlüssen (Syllogismen, Schlussregeln) und deren Formen bildet das Kernstück der klassischen Logik. Die Syllogistik ist eine von ristoteles entwickelte Lehre. us der Verbindung von zwei Vordersätzen (Prämissen) geht dabei der Schlusssatz (Konklusion) als logische Folgerung hervor. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-2 von 28 Rüdiger Siol

3 Hochschule Ravensburg-Weingarten 4.. Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Vorlesung zur Datenverarbeitung Boolesche lgebra Schaltalgebra und logische Schaltungen2 In digitalen nachrichtenverarbeitenden Systemen werden Nachrichten verschiedener Herkunft zu neuen Nachrichten verknüpft. Obwohl hierzu sehr einfach aufgebaute Grundschaltungen verwendet werden, ergeben sich bei größeren Systemen umfangreiche und unübersichtliche Schaltungen, die einer anschaulichen Betrachtungsweise kaum mehr zugänglich sind. Man verwendet deshalb eine symbolische Beschreibung, welche nur die Funktion einer Schaltung, nicht aber deren technische usführung kennzeichnet. Die zur abstrakten Beschreibung wichtigen Hilfsmittel wurden zuerst von SHNNON entwickelt [], der die von BOOLE aus der formalen Logik abgeleitete symbolische Logik durch nalogieschlüsse auf die Behandlung von Schaltkreisen übertrug und damit die sogenannte Schaltalgebra begründete. Schaltungen, deren Verhalten durch die Schaltalgebra beschrieben werden kann, nennt man logische Schaltungen und die Planung der Zusammenhänge zwischen solchen logischen Schaltungen logischen Entwurf. Claude Elwood Shannon Claude Elwood Shannon, amerikanischer Ingenieur und Mathematiker, *Gaylord (Michigan) ; ab 94 Mitarbeiter der Bell Telephone Laboratories, ab 956 Professor am MIT. Neben Beiträgen zur Kryptographie (Verschlüsselungssysteme) und zur Schaltungstheorie der frühen elektronischen Rechner begründete Shannon 949 mit seine Publikation > mathematical theory of communication<, in der erstmals das Bit als Einheit einer Informationsmenge definiert wird, die Informationstheorie. Shannon lieferte damit die formale Grundlage für die Beschreibung von Daten-, Sprachen-, Ton- und Fernsehübertragungssystemen. Daneben beeinflusst die Informationstheorie in ihrer weiterentwickelten Form heute weite Bereiche der Natur- und Geisteswissenschaften. (r.siol) Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik Wirtschaft Sozialwesen 25 Steinbuch/Rupprecht; Nachrichtentechnik Eine einführende Darstellung; Springer Verlag; 966 DV_Kapitel_4.doc Seite 4-3 von 28 Rüdiger Siol

4 Die Schaltalgebra dient. als Kurzschrift zur Beschreibung schaltungsmäßiger Verkopplungen digitaler Vorgänge und 2. als ein Rechenverfahren zum Finden von Schaltungen kleinsten ufwandes (Minimisierung). Logische Schaltungen lassen sich technisch am besten für binäre Signale verwirklichen, d. h. für solche Signale, die nur zweier Wertstufen fähig sind (z. B. Impuls vorhanden oder Impuls nicht vorhanden). Darum hat man der Schaltalgebra eine spezielle BOOLEsche lgebra, nämlich die zweiwertige Logik zugrunde gelegt, die nur die binären ussagen ja oder nein wahr oder nicht wahr richtig oder falsch hell oder dunkel groß oder klein links oder rechts kennt. Den beiden Zuständen ordnet man in der Schaltalgebra die Zeichen und (oder umgekehrt) zu. Gelegentlich wird statt auch L geschrieben. Im folgenden sei der ussage ja zugeordnet und der ussage nein. Ein Bit ist die Informationsmenge in einer ntwort auf eine Frage, die zwei Möglichkeiten zulässt. Zu einer solchen Frage lässt sich immer eine Codierung der ntwort festlegen. Da es zwei mögliche ntworten gibt, reicht ein Code mit zwei Zeichen, ein so genannter binärer Code. Man benutzt dazu die Zeichen und. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-4 von 28 Rüdiger Siol

5 4... Zustand eines digitalen Systems Den Zustand eines Systems, das den Regeln der Schaltalgebra gehorcht, beschreibt man durch binäre Variablen. Es gilt dabei für jede binäre Variable x: Ist x, so ist x = und ist x, so ist x =. In der gewöhnlichen lgebra kann man im Gegensatz zur Schaltalgebra aus der ussage x im allgemeinen nicht schließen, welchen Wert x hat. Dies verdeutlicht die starken Einschränkungen, die in der Schaltalgebra gegeben sind. Es sei y eine abhängige binäre Variable (usgangsvariable), welche eine Funktion der unabhängigen binären Variablen (Eingangsvariablen) x, x 2,, x n ist y = F( x,x 2,, x i,, x n ) Da jede der unabhängigen Variablen x bis x n nur den Wert oder annehmen kann, gibt es bei einer endlichen nzahl n von Variablen x i auch nur endlich viele Kombinationen von Einsen und Nullen. Damit können also nur endlich viele verschiedene Funktionen gebildet werden. Diese können dargestellt werden durch eine Funktionstabelle, in der festgestellt wird, welchen Wert ( oder ) die abhängige Variable y haben soll, wenn die unabhängigen Variablen x i sämtliche möglichen Kombinationen von und nacheinander annehmen. Die Funktionen können aber auch durch einen analytischen Formelausdruck dargestellt werden, in der die einzelnen Variablen durch bestimmte noch näher zu erläuternde Verknüpfungsoperatoren miteinander verbunden sind Schaltfunktion Eine Schaltfunktion ist eine Gleichung der Booleschen lgebra, die die bhängigkeit einer usgangsvariablen eines logischen Systems von den Eingangsvariablen beschreibt. Sie ähnelt in ihrer Struktur den Gatterstrukturen. Deshalb läßt sich die zugehörige Schaltungsstruktur in einfachen Fällen "auf einen Blick" finden. Es muß jedoch darauf hingewiesen werden, daß jede Schaltfunktion (Schaltungsgleichung) nur eine usgangsvariable in bhängigkeit von den Eingangsvariablen funktionell darstellt. Zur Beschreibung der in der Praxis meist interessierenden Systeme mit mehreren usgängen (usgangsvariablen) sind daher mehrere Schaltfunktionen notwendig Schaltalgebra. Bei dieser lgebra nehmen die Variablen nur 2 Werte an ( bzw, L bzw. H). Es werden die 3 logischen Operationen NICHT (Negation, Komplementbildung), ODER (Disjunktion) und UND (Konjunktion) verwendet. Für die Rangfolge dieser 3 Grundoperationen gilt in der Schaltalgebra - ähnlich dem Satz "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" in der allgemeinen lgebra - die Reihenfolge. Negation, 2. Konjunktion, 3. Disjunktion. Die 3 Grundoperationen NICHT, ODER, UND reichen aus, um jede beliebig komplexe Verknüpfung zwischen beliebig vielen binären Variablen mathematisch zu beschreiben. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-5 von 28 Rüdiger Siol

6 4...4 Die logischen Grundfunktionen Fasst man und B als Variable auf, die nur die Werte F und W annehmen können (ussagenvariable), so beschreiben die folgenden Wahrheitstafeln die den Junktoren entsprechenden Wahrheitsfunktionen. Negation bzw (Entspricht der Schreibweise! in den Programmiersprachen C und C++) F W W F Konjunktion Logisches ND bzw. UND B B bzw. B (Entspricht der Schreibweise && B in den Programmiersprachen C und C++) F F F F W F W F F W W W Disjunktion Logisches OR bzw. ODER (vel) B B bzw. +B (Entspricht der Schreibweise B in den Programmiersprachen C und C++) F F F F W W W F W W W W ntivalenz Logisches OR bzw. ODER (aut) B B bzw. B (Entspricht der Schreibweise!= B in den Programmiersprachen C und C++) F F F F W W W F W W W F Äquivalenz Logisches gleich B = B (Entspricht der Schreibweise = = B in den Programmiersprachen C und C++) F F W F W F W F F W W W DV_Kapitel_4.doc Seite 4-6 von 28 Rüdiger Siol

7 4...5 Grundgesetze der ussagenlogik. ssoziativgesetze B ( ) C = ( B C) ( B) C = ( B C) 2. Kommutativgesetze B = B 3. Distributivgesetze B ( ) C = C B C 4. bsorptionsgesetze ( B) = 5. Idempotenzgesetze (Tautologie) = 6. Gesetz für die Negation = F 7. De Morgansche Regeln B = B B = B B C = ( C) ( B C) B = = = W B = B 8. Gesetze für W (wahr bzw. true) und F (falsch bzw. false) W = F = F = F W = W W = F F = W 9. Doppelte Negation = DV_Kapitel_4.doc Seite 4-7 von 28 Rüdiger Siol

8 4...6 Rechenregeln der Schaltalgebra Grundregeln für das Rechnen mit zweiwertigen Variablen 3 Die bisherigen Betrachtungen wurden an Schaltungen durchgeführt. Das Ergebnis soll nun, ohne Bezugnahme auf ein spezielles technisches System, in allgemeiner Gestalt formuliert werden. Gegeben sei eine Menge von Variablen, B, C,..., von denen jede nur zwei Werte annehmen kann, die durch die Symbole und bezeichnet sind. Für diese Variablen gelten die folgenden Regeln: I. Gleichheitsregel Nimmt von zwei Variablen, B die eine den Wert genau dann an, wenn ihn die andere annimmt, so seien sie als gleich bezeichnet. II. dditionsregel Gegeben die Variablen, B und C. Nimmt C genau dann den Wert an, wenn oder B den Wert aufweist, so heißt C die Summe von und B, in Zeichen: C = + B. III. Multiplikationsregel Gegeben die Variablen, B und C. Nimmt C genau dann den Wert an, wenn und B den Wert annehmen, so heißt C das Produkt von und B, in Zeichen: C = B. IV. Komplementierungsregel Nimmt von zwei Variablen und B die Variable B genau dann den Wert an, wenn den Wert aufweist, so heißt B das Komplement von, in Zeichen B =. V. Existenz des Nullelementes Es gibt eine Variable, die ausschließlich den Wert annimmt. Sie werde als Nullelement bezeichnet und erhalte das Symbol. VI. Existenz des Einselementes Es gibt eine Variable, die ausnahmslos den Wert hat. Sie werde Einselement oder Identität genannt und mit bezeichnet. 3 Otto Föllinger, Wolfgang Weber; Methoden der Schaltalgebra; R. Oldenbourg Verlag München Wien (967) DV_Kapitel_4.doc Seite 4-8 von 28 Rüdiger Siol

9 Regeln für die booleschen Konstanten a,b) = = 2a,b) = = 3a,b) = = = = 4a,b) = = Regeln für eine Veränderliche 5a,b) = = 6a,b) = = 7a,b) = = 8a,b) = = 9) = Regeln für 2 und 3 Veränderliche B = B a,b) B = B a,b) B C = ( B) C = (B C) B C = ( B) C = (B C) 2a,b) B C = ( B C) ( B) ( C) = B C 3a,b) B = ( ) = B 4a,b) ( B) = B B = B 5) ( B) ( C) = C B Satz von de Morgan 4 : B C D = B C D 6a,b) B C D = B C D Satz von Shannon: 7) f (,B,C,D,,Z,, ) = f (,B,C,D,,Z,, ) Das Theorem kann allgemein wie folgt formuliert werden: Die Negation eines usdrucks wird in einen unnegierten usdruck umgewandelt, wenn alle Disjunktionen in Konjunktionen, alle Konjunktionen in Disjunktionen, alle negierten Variablen in unnegierte und alle unnegierten in negierte Variable umgewandelt werden. 4 De Morgan, ugustus; britischer Mathematiker und Logiker; *Madura (Indien) , London ; war und Professor am University College in London; arbeitete vor allem über lgebra, Mathematische Logik und Geschichte der Wissenschaften; begründete durch seine Formulierung der Junktorenlogik im Rahmen eines Klassenkalküls (847) neben George Boole die lgebra der Logik. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-9 von 28 Rüdiger Siol

10 4...7 Herleitung des Theorems von De Morgan Von den Beziehungen aus den Grundgesetzen der ussagenlogik ist jetzt nur noch das Theorem von De Morgan aus den xiomen von Huntington zu folgern. Es werde etwa in der Form hergeleitet. Es gilt B = + B (3) + = (4) = (5) B + B = (6) BB = Durch Multiplikation von (3) und (5) folgt: B + B + B + B = also wegen des Gesetzes + = B + B + B + B + B = B + (B + B) + B( + ) = Nach (3) und (5) ergibt sich hieraus bei Berücksichtigung von H 3: (7) B + ( + B) = ndererseits ist B( + B) = (B) + (B)B = B() + (BB) = B + = also (8) B( + B) = Die Gleichungen (7) und (8) zusammen besagen aber, dass ( + B)das Komplement zu B ist, so dass also gilt: B = + B Bei diesem Beweis wurde das ssoziativgesetz sowohl für die ddition als auch für die Multiplikation mehrfach benutzt. DV_Kapitel_4.doc Seite 4- von 28 Rüdiger Siol

11 4...8 Theorem von De Morgan für eine beliebige Zahl von Variablen Es wurde bewiesen, dass das Theorem von de Morgan für zwei logische Variablen gilt. Zu beweisen ist aber noch, ob es für eine beliebige Zahl von Variablen gilt. Dazu wollen wir zunächst annehmen, dass es für n Variable gilt. Das haben wir für n = 2 bereits bewiesen. Wenn es nun gelingt zu beweisen, dass es mit einer weiteren Variablen auch noch gilt, dann gilt es immer. Es gelte als bewiesen: () n = n Behauptung: (2) n + = n n + Es gilt: (3) n n = (4) ( n ) ( ) = (5) n + n + = (6) n + n + = Nun multiplizieren wir (3) und (5); oder anders formuliert; wir wenden das Distributivgesetz an und erhalten: (7) ( n n ) ( n + n + ) = n n + n + n + n + = n n + n + ( ) ( n + n + ) = uf die Klammerausdrücke der letzten Zeile in (7) wenden wir nun das Gesetz der Negation an und erhalten (8) n + n + = n + ( n + ) = In (8) kann nun entweder der linke Term sein, oder der in Klammern stehende rechts; es muss also einer der beiden Terme sein. Wir betrachten nun den usdruck DV_Kapitel_4.doc Seite 4- von 28 Rüdiger Siol

12 (9) n + ( n + ) = ( n + ) n ( n + ) n + = n + ( n ) ( n + n + ) uf die letzte Zeile von (9) wenden wir wieder das Gesetz für die Negation in den Klammerausdrücken an und erhalten () n + = D.h. der usdruck (9) ergibt ; es muss also einer der beiden Terme sein. us (8) und () folgt jeweils, dass die Terme zueinander komplemtentär sein müssen, da beide Gleichungen als gültig berechnet wurden; daher muss gelten: () n + = n + n Nun haben wir aber die Gleichung () = n als gültig, bzw. bewiesen betrachtet und können diese nun in () einsetzen. Damit erhalten wir (2) n + = n + n n + = n n + und damit ist die Behauptung nach Gleichung (2) bewiesen. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-2 von 28 Rüdiger Siol

13 4...9 Zusammenfassung der logischen Grundfunktionen für zwei Variablen Verknüpfungsarten (Operatoren in C) x = x2 = Bezeichnung Operatoren in C für logische Verknüpfungen Operatoren in C für Bitoperationen y = Null y = y = y = Konjunktion (UND) y = x && x2 y = x & x2 y2 = Inhibition (x2 aber nicht x) y2 =!x && x2 y2 = ~x & x2 y3 = Transfer y3 = x2 y3 = x2 y4 = Inhibition (x aber nicht x2) y4 = x &&!x2 y4 = x & ~x2 y5 = Transfer y5 = x y5 = x y6 = ntivalenz, y6 = x &&!x2!x && y6 = x ^ x2 exclusiv oder entweder oder (aut) x2 y7 = Disjunktion, y7 = x x2 y7 = x x2 inclusiv oder (vel) y8 = weder noch y8 =!x &&!x2 y8 = ~x & ~x2 Peircescher Pfeil y9 = Äquivalenz 5 y9 =!x &&!x2 x && x2 y9 = ~(x ^ x2) y = Komplement (Nicht x) y =!x y = ~x y = Implikation y =!x x2 y = ~x x2 y2 = Komplement (Nicht x2) y2 =!x2 y2 = ~x2 y3 = Implikation y3 = x!x2 y3 = x ~x2 y4 = Shefferscher Strich y4 =!x!x2 y4 = ~x ~x2 y5 = Identität y5 = y5 = 5 Man beachte, dass bei Bitoperationen die ntivalenz in der Programmiersprache C durch den Operator ^ dargestellt wird. ndererseits wird die Konjunktion in der Regel durch den sehr ähnlich aussehenden Operator dargestellt; allerdings nicht in der Programmiersprache C. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-3 von 28 Rüdiger Siol

14 Verknüpfungsarten (Weitere Schreibweisen) x = Bezeichnung Weitere Schreibweisen x2 = y = Null y = y = y = Konjunktion (UND) y = x x2 y= x x2 y2 = Inhibition (x2 aber nicht x) y2 = x x2 y2 = x' x2 y3 = Transfer y3 = x2 y3 = x2 y4 = Inhibition (x aber nicht x2) y4 = x x2 y4 = x x2' y5 = Transfer y5 = x y5 = x y6 = ntivalenz, y6 = x x2 y6 = x x2 exclusiv oder entweder oder (aut) y7 = Disjunktion, y7 = x x2 y7 = x + x2 inclusiv oder (vel) y8 = weder noch y8 = x x2 y8 = x' x2' Peircescher Pfeil y9 = Äquivalenz y9 = x x2 y9 = (x x2)' y9 = x x2 y = Komplement (Nicht x) y = x y = x y = Implikation y= x x2 y = x'+x2 y= x x2 y2 = Komplement (Nicht x2) y2 = x2 y2 = x2 y3 = Implikation y3 = x x2 y3 = x+ x2' y4 = Shefferscher Strich y4 = x / x2 y4 = x'+ x2' y5 = Identität y5 = y5 = DV_Kapitel_4.doc Seite 4-4 von 28 Rüdiger Siol

15 4..2 Benennungen, Schaltsymbole und Schaltfunktion aus Die BOOLEsche lgebra geht üblicherweise von folgenden drei Grundoperationen. Negation 2. Konjunktion 3. Disjunktion Negation (Komplementbildung) Die Negation ist eine Funktion einer einzigen Variablen. Hat die Variable den Wert Eins, dann ist die negierte Variable Null und umgekehrt. Dieser Zusammenhang ist in der Funktionstabelle dargestellt. x y Formelmäßig wird die Negation durch einen Querstrich über die zu negierende Variable ausgedrückt; häufig sind auch andere Schreibweisen üblich. y = x = x =~ x =!x In Worten ausgesprochen: y gleich x nicht (y gleich not x ). Spezielle Fälle sind: = = Eine mehrfache nwendung der Negation ergibt: x = x x = x x y y = ~x x y = ~x DV_Kapitel_4.doc Seite 4-5 von 28 Rüdiger Siol

16 Konjunktion Die Konjunktion sei zunächst für den Fall zweier binärer Variabler x und x2 anhand einer Funktionstabelle beschrieben. Die Tabelle für die Konjunktion sagt aus, dass nur dann y = ist, wenn x und x2 gleich sind. In allen anderen Fällen ist y =. Dieser Sachverhalt wird formelmäßig oft durch das unhandliche Zeichen & ausgedrückt. Hier wird aber der Einfachheit halber der Punkt "." als Operationszeichen für die Konjunktion verwendet. Wenn ein Irrtum ausgeschlossen ist, wird der Punkt auch weggelassen. Die Konjunktion wird zunächst für den Fall zweier unabhängiger Variabler x und x2 anhand der folgenden Funktionstabelle erklärt. x x2 y Die zugehörige Formal lautet: Speziell gilt: y = x & x 2 = x x 2 = x x 2 = x x 2 x = x = x x x = x x x = Ferner gilt das kommutative Gesetz x x 2 = x 2 x x x2 & y y = x & x2 x x2 y = x & x2 Durch eine formal gleichartige Überlegung, wie sie bei der Disjunktion mehrerer Variabler angestellt wurde, ergibt sich für die Konjunktion mehrerer (n) Variabler y = x x 2 x 3 x i x n = falls alle x i = sind = in allen übrigen Fällen. Die Konjunktion aller Variabler bezeichnet man als Vollkonjunktion oder Minterm. Die Bezeichnung Minterm hat ebenso wie die Bezeichnung Maxterm eine anschauliche Bedeutung, die noch näher erläutert wird. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-6 von 28 Rüdiger Siol

17 Für die Konjunktion gilt das assoziative Gesetz: x (x 2 x 3 ) = (x x 2 ) x 3 n dieser Stelle sei nochmals vermerkt, dass in der Literatur häufig andersartige Symbole für die einzelnen Verknüpfungsoperatoren verwendet werden. Eine Liste der verschiedenen Symbole mit anderen Verknüpfungsarten folgt noch. x x2 x3 xn & y y = x x 2 x n DV_Kapitel_4.doc Seite 4-7 von 28 Rüdiger Siol

18 Disjunktion Die Disjunktion wird zunächst für den Fall zweier unabhängiger Variabler x und x2 anhand der folgenden Funktionstabelle erklärt. x x2 y Diese sagt aus, dass y = ist, wenn x oder x2 gleich ist, oder wenn beide x und x2 gleich sind (sogenanntes inklusives oder, auch vel genannt). Nur wenn zugleich x und x2 gleich sind, ist auch y =. Dieser Sachverhalt wird formelmäßig durch das Operationszeichen ausgedrückt; wobei aber auch häufig, oder + verwendet wird. y = x x 2 = x x 2 = x x 2 = x + x 2 Es gelten folgende Spezialfälle: x = x = x x x = x x x = us der Funktionstabelle ergibt sich die Gültigkeit des kommutativen Gesetzes: x x 2 = x 2 x x x2 y = x x 2 x x2 y = x x2 Es wird nun der Fall betrachtet, dass nicht zwei sondern drei Variable disjunktiv miteinander verknüpft werden. y = x x 2 x 3 Hier substituiert man z = x 2 x 3 Dadurch erhält man y = x z Hier wird y = nur dann, wenn zugleich x und z gleich sind. In allen Übrigen Fällen ist y=. ndererseits wird nur dann z =, wenn zugleich x und x2 gleich sind. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-8 von 28 Rüdiger Siol

19 Verallgemeinerung: Diese Überlegung lässt sich für beliebig viele Variable fortsetzen. Man erkennt hieraus unmittelbar für die Disjunktion n unabhängiger Variabler y = x x 2 x 3 x n = falls alle x i = = in allen übrigen Fällen. Kommen in einer Funktion n binäre Variable vor, dann bezeichnet man einen usdruck, in dem alle Variable disjunktiv miteinander verknüpft sind, als Volldisjunktion oder auch als Maxterm. Der Sinn dieser Bezeichnungsweise wird sich später ergeben. Für die Disjunktion mehrerer Variabler gilt das assoziative Gesetz, wie man durch Einsetzen verifizieren kann. x (x 2 x 3 ) = (x x 2 ) x 3 (Klammern haben in der Schaltalgebra die gleiche Bedeutung wie in der gewöhnlichen lgebra, d. h., die in Klammern stehenden Operationen müssen zuerst ausgeführt werden.) x x2 x3 y y = x x 2 x 3 x n x n DV_Kapitel_4.doc Seite 4-9 von 28 Rüdiger Siol

20 Hochschule Ravensburg-Weingarten Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Vorlesung zur Datenverarbeitung Boolesche lgebra Schaltsymbole in alter und neuer Norm DV_Kapitel_4.doc Seite 4-2 von 28 Rüdiger Siol

21 Schaltsymbole nach DIN 49 Teil 2 B & Q Q = B B Q = B B B B B B & = = Q Q Q Q Q Q Q = B Q = B Q = B Q = B Q = B Q = B Q = B B Q = B B Q = B B Q = B B Q = B Q = DV_Kapitel_4.doc Seite 4-2 von 28 Rüdiger Siol

22 4.2 Normalformen Mit den Grundverknüpfungen Konjunktion, Disjunktion und Negation kann jede widerspruchsfreie Funktion endlich vieler binärer Variabler beschrieben werden. Um das einzusehen, sei eine Funktion mit n Variablen x; x2; ; x n betrachtet. Diese n Variablen können je die Werte und annehmen, d. h., es können 2 n Fälle auftreten. Für jeden dieser 2 n Fälle kann y entweder oder sein. Eine jede Funktion mit n binären Variablen muss sich also in einer Funktionstabelle darstellen lassen. Die einzelnen Terme dieser Normalformdarstellungen nennt man Fundamentalterme. Ein Fundamentalterm ist eine Konjunktion bzw. Disjunktion von Variablen (Fundamentalkonjunktion bzw. Fundamentaldiskonjunktion). Eine disjunktive (konjunktive) Normalform ist eine Disjunktion (Konjunktion) von Fundamentalkonjunktionen (Fundamentaldisjunktionen) Kanonische Normalformen. Das logische Verhalten einer Kombinationsschaltung läßt sich durch viele disjunktive bzw. konjunktive Normalformen beschreiben. Besondere Bedeutung haben die bei den kanonischen (vollständigen) Normalformdarstellungen : die kanonische disjunktive und die kanonische konjunktive Normalform (KDNF bzw. KKNF). Die KDNF besteht aus der disjunktiven Verknüpfung aller Elementarkonjunktionen, für die die usgangsvariable den Funktionswert Y = annimmt. Die KKNF besteht dagegen aus der konjunktiven Verknüpfung aller Elementardisjunktionen, für die die usgangsvariable den Funktionswert Y = annimmt. Eine Elementarkonjunktion (Elementardisjunktion) ist eine Fundamentalkonjunktion (Fundamentaldisjunktion), die alle Variablen einer Schaltfunktion beinhaltet. Von jeder Schaltfunktion existiert genau eine KDNF und eine KKNF. Beide sind äquivalent und ineinander überführbar (Dualitätsprinzip ). Die Elementarkonjunktionen werden auch Minterme (mi) genannt (manchmal auch nur diejenigen Elementarkonjunktionen, aus denen sich die KDNF zusammensetzt). Die Elementardisjunktionen werden auch Maxterme (Mi) genannt (manchmal auch nur diejenigen Elementardisjunktionen, aus denen sich die KKNF zusammensetzt). Nach dieser Definition gibt es für eine aus 3 Variablen bestehende Schaltfunktion insgesamt 2 3 = 8 Minterme mo... m7 und 2 3 = 8 Maxterme Mo... M7. Zugehörige Minterme und Maxterme sind komplementär: M i = m i DV_Kapitel_4.doc Seite 4-22 von 28 Rüdiger Siol

23 4.2.2 Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) In jeder der 2 3 = 8 Zeilen tritt jede unabhängige Variable x k (mit einem speziellen Wert oder ) auf. Der Inhalt jeder Zeile lässt sich also durch Minterme der Form m j = x' x' 2 x' 3 darstellen, wobe x k entweder x k oder x k bedeutet. Für jede Zeile soll der betreffende Minterm m j den Wert ( oder ) annehmen, den die abhängige Variable y dort annimmt. Ein Minterm lässt sich aber nur für solche Zeilen in eindeutiger Weise aufstellen, für welche y = ist. Man erreicht dies für diese Zeilen mit y = in der Weise, dass x k = x k gesetzt wird, wenn x k = ist, und x k = x k gesetzt wird, wenn x k = ist. Darstellung einer Funktion dreier binärer Eingangsvariablen durch eine Funktionstabelle (Wertetabelle bzw. Schaltbelegungstabelle) x x2 x3 y m M m 2 M 2 m 3 M 3 m 4 M 4 m 5 M 5 m 6 M 6 m 7 M 7 m 8 M 8 m = Minterm; M = Maxterm Für die Minterme gilt also: m 3 = x x 2 x 3 m 4 = x x 2 x 3 m 5 = x x 2 x 3 und es gilt: M = m Für die Zeilen mit y = gibt es verschiedene Möglichkeiten zur ufstellung eines Minterms. Zur Darstellung des gesamten Sachverhaltes kann man aber auf die Zeilen mit y = verzichten. Es genügt, wenn nur die Zeilen mit y = betrachtet werden, weil wegen des binären Charakters in allen übrigen Fällen automatisch y = sein muss. Die ussage der Tabelle wird also vollständig durch folgende Beziehung wiedergegeben y = m 3 m 4 m 5 y = (x x 2 x 3) (x x 2 x 3 ) (x x 2 x 3) Dieser Schematismus lässt sich ohne weiteres auch für Funktionen mit n Variablen x; x2; ; x n anwenden. Man greift dazu wieder aus der Funktionstabelle die Zeilen heraus, für die y = ist. Für diese Zeilen wird der entsprechende Minterm gebildet. Die disjunktive Verknüpfung dieser Minterme bilden die Funktion y = f(x; x2; ; x n ). DV_Kapitel_4.doc Seite 4-23 von 28 Rüdiger Siol

24 Die auf diese Weise gebildete Form der Funktion bezeichnet man als disjunktive Normalform (Wird auch als Mintermform bzw. Kanonische 6 disjunktive Normalform (KDNF) bezeichnet). Jede widerspruchsfreie Funktion endlich vieler binärer Variabler lässt sich damit als disjunktive Normalform darstellen, welche nur die Grundverknüpfungen Konjunktion Disjunktion und Negation enthält. Diese lässt sich direkt aus der Schaltbelegungstabelle ablesen Kanonische konjunktive Normalform (KKNF) Eine andere wichtige Darstellungsart einer Funktion endlich vieler binärer Variabler ist die konjunktive Normalform (Wird auch als Maxtermform bzw. Kanonische konjunktive Normalform (KKNF) bezeichnet). Hierzu geht man von den Maxtermen aus. In der Funktionstabelle soll in jeder Zeile der betreffende Maxterm M k wieder den Wert ( oder ) haben, den die unabhängige Variable y dort hat. Nun lässt sich ein Maxterm nur für solche Zeilen in eindeutiger Weise aufstellen, für welche y = ist. Das erreicht man, indem man x k = x k setzt, wenn x k = ist und x k = x k setzt, wenn x k = ist. Für die Maxterme M; M2; M6; M7 und M8 gilt also M = x x 2 x 3 M 2 = x x 2 x 3 M 6 = x x 2 x 3 M 7 = x x 2 x 3 M 8 = x x 2 x 3 Der gesamte Sachverhalt wird vollständig erfasst, wenn nur die Zeilen mit y = betrachtet werden. Das sind also in diesem Fall die Maxterme. Diese Maxterme, konjunktiv verknüpft, ergeben die Funktion y. y = M M 2 M 6 M 7 M 8 y = (x x 2 x 3 ) (x x 2 x 3) (x x 2 x 3) (x x 2 x 3 ) (x x 2 x 3) In dieser Gleichung wird y =, wenn wenigstens ein Maxterm Mi = ist. Es kann nur dann y = sein, wenn keiner der Maxterme zu Null wird. Ein beliebiger Maxterm Mi wird aber nur dann zu Null, wenn alle x k = (bzw. x k =) sind. Das trifft aber nur für die ausgewählten Zeilen mit y = zu. y wird, wenn wenigstens ein Minterm m = ist. Es kann nur dann y = sein, wenn keiner der Minterme zu Eins wird. Ein beliebiger Minterm m wird aber nur dann zu Eins, wenn alle x k = (bzw. x k = ) sind. Das trifft aber nur für die ausgewählten Zeilen mit y = zu. 6 ) Bildungssprachlich für: als Richtschnur, klassisches Muster dienend 2) Physik und Mathematik: Für die Beschreibung eines physikal. mathemat. Vorgangs am besten geeignet, angepasst. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-24 von 28 Rüdiger Siol

25 4.3 Wahrheitstafel bzw. Schaltbelegungstabelle (SBT) Die Begriffe Wahrheitstafel bzw. Wahrheitstabelle wurden in der ussagenlogik eingeführt. Eine ussagenvariable kann den Wert wahr (w) oder falsch (f) haben. Sind mehrere ussagenvariablen miteinander zu verknüpfen so gilt es, alle möglichen Kombinationen zu erfassen. Diese Kombinationen werden in einer Wahrheitstafel dargestellt die dann vollständig ist, wenn sie alle möglichen Kombinationen erfaßt. us den Wahrheitstafeln kann man Formeln der ussagenalgebra ablesen. Der Begriff Schaltbelegungstabelle wurde beim Entwurf digitaler Systeme im Zusammenhang mit der Schaltalgebra eingeführt. Bei dieser lgebra nehmen die Variablen nur 2 Werte an, nämlich oder. us den Schaltbelegungstabellen kann man Formeln der Schaltalgebra ablesen. Die nalogie der Grundgesetze (Rechenregeln) der Mengenlehre, der ussagenlogik und der Schaltalgebra führt zu dem Begriff der Booleschen lgebra Darstellung aller Eingangsvariablen einer Schaltbelegungstabelle Soll für n Eingangsvariablen eine SBT erstellt werden, so sind n Spalten und 2 n Zeilen erforderlich. Die Kombination je Zeile kann als n-stellige Dualzahl interpretiert werden. Um alle Kombinationen zu erhalten zählt man im Dualsystem von,,,(2 n ) und schreibt die binären Werte in jede Zeile. Beispiel: Gegeben seien die Variablen a,b,c,d; also benötigt man 6 Zeilen und 4 Spalten. Eingangsvariable a b c d DV_Kapitel_4.doc Seite 4-25 von 28 Rüdiger Siol

26 4.3.2 Darstellung einer vollständigen Schaltbelegungstabelle Den Kombinationen der Eingangsvariablen je Zeile können usgangsvariable zugeordnet werden. Jede Spalte für eine usgangsvariable definiert eine usgangsfunktion (Schaltfunktion bzw. auch eine Formel oder einen usdruck der ussagenalgebra). Bei n Spalten und 2 n ( ) Zeilen kann man also 2 2n usgangsfunktionen definieren. Das haben wir schon in der Zusammenfassung der logischen Grundfunktionen für zwei Variablen gezeigt für alle 6 Funktionen. Beispiel: Eingangsvariable usgangsfunktionen a b c d f f2 f3 In dieser SBT sind drei usgangsfunktionen definiert, wobei: f = sofern 3 Eingangsvariable den Wert haben. f2 = sofern die Dualzahl je Zeile durch 7 teilbar ist. f3 = sofern a = b und c = d ist. Je Funktion ermittelt man nun die Minterme und schreibt dann die Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF) für diese Funktion. Es ist also: f = abcd abcd abcd abcd f 2 = abcd abcd f 3 = abcd abcd abcd abcd DV_Kapitel_4.doc Seite 4-26 von 28 Rüdiger Siol

27 Hochschule Ravensburg-Weingarten Fakultät Technologie und Management Informationsverarbeitung Vorlesung zur Datenverarbeitung Boolesche lgebra nsteuerung einer LED nzeige für BCD-Codes Die nachfolgend dargestellte nzeige verfügt über die 7 Segmente a,b,c,d,e,f,g die selektiv dunkel getastet werden können. Für die Ziffern von bis 9 benötigen wir 4 bit. Nun schaut man sich die nzeige an und wählt die jeweils richtige Kombination. BCD --> 7-Segment Code (r.siol) Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik Wirtschaft Sozialwesen 26 Daraus ergibt sich folgende Schaltbelegungstabelle: Eingangsvariable D C B usgangsvariable a b c d e f g Dezimalziffer Damit ist festgelegt, wie das IC für Siebensegmentcode (Der Code Umsetzer) hergestellt werden mußte. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-27 von 28 Rüdiger Siol

28 4.3.4 Vollständige und unvollständige Funktionen. Vollständige Funktionen sind Funktionen, bei denen die usgangsvariablen für jede aller möglichen Eingangskombinationen einen definierten Wert ( oder ) annehmen. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen Kombinationen von Eingangsvariablen auftreten, für die keine eindeutige Zuordnung der usgangsvariablen existiert (die usgangsvariable darf mit einem beliebigen Wert oder belegt werden). Solche Funktionen heißen unvollständig. Die zu diesen Eingangskombinationen gehörige Zeile der SBT wird entweder ganz weggelassen, oder es wird ein X in die entsprechende usgangsvariablenspalte eingetragen. Beim ufstellen der Schaltfunktion in kanonischer disjunktiver Normalform können die genannten Eingangskombinationen unberücksichtigt bleiben oder als zusätzliche Elementarkonjunktionen Berücksichtigung finden. Der letztgenannte Fall bietet u. U. Vorteile bei der Vereinfachung der Schaltfunktion. DV_Kapitel_4.doc Seite 4-28 von 28 Rüdiger Siol