(t - t ) (t - t ) bzw. δ ε. θ ε. (t - t ) Theorie A (WS2005/06) Musterlösung Übungsblatt ε= 0.1 ε= t ) = lim.

Transkript

1 Theorie A (WS5/6) Musterlösung Übungsblatt Θ(t t [ t t ) = lim arctan( ) + π ] ε π ε ( ) d dt Θ(t t ) = lim ε π vergleiche Blatt 6, Aufg. b). + (t t ) ε ε = lim ε π ε ε + (t t ) = δ(t t ) Plot von Θ ε (t t ) und deren Ableitung δ ε (t t ) für ε =. und ε =.: 3.5 θ ε (t - t ) bzw. δ ε (t - t ) ε=. ε= (t - t ) [[ Variante ohne Darstellung, für extra Interessierte (nicht Teil der Aufgabe): Gemäß der Definition der δ-funktion (Blatt 6, Aufg. ) müßte eigentlich gelten: dt h(t) d dt Θ(t t ) = dt h(t) δ(t t ) = h(t ) Die rechte Seite ergibt sofort h(t ), wenn wir der Einfachheit mal annehmen, daß < t < a. Die linke Seite ergibt mit partieller Integration: [ Θ(a t ) = h(a) Θ( t ) = h() ] dt Θ(t t ) ḣ(t) =

2 Theorie A (WS5/6) Musterlösung Blatt 7 (6..5) = h(a) dt ḣ(t) = h(a) [ h(a) h(t ) ] = h(t ) t q.e.d. ]] Oszillator: ẍ + γẋ + ω x = f(t). Zugehörige Greensche Funktion: G(t t ) + γġ(t t ) + ω G(t t ) = δ(t t ), Ġ(t t ) = d dt G(t t ) etc. a) x(t) = dt G(t t ) f(t ) ẋ(t) = dt Ġ(t t ) f(t ) ẍ(t) = dt G(t t ) f(t ) dies in Oszillator einsetzen dt [ G(t t ) + γġ(t t ) + ω G(t ] t ) f(t ) = f(t) = δ(t t ) b) Als Greensche Funktion ist angegeben: G(t t ) = G(t t ) Θ(t t ), G(t t ) = Ω e γt sin[ω(t t )], Ω = t > t : Θ(t t ) = : Ġ(t t ) = G(t t ) = Ω e γ(t t ) [ γ sin(.) + Ω cos(.) ] ω γ G(t t ) = G(t t ) = Ω e γ(t t ) [ (γ Ω ) sin(.) γω cos(.) ] = γ ω einsetzen in Gl.() [ G + γġ + ω G ] = = Ω e γ(t t ) [{ (γ ω ) + γ( γ) + ω = t < t : G(t t ) = alles trivial erfüllt. sin(.) + { γω + γ(ω) cos(.) ] c) Wenn t t gehen darf, muß die Θ-Funktion explizit mitgenommen werden: G(t t ) = G(t t ) Θ(t t ) Ġ(t t ) = G(t t ) Θ(t t ) + G(t t ) δ(t t ) =

3 Theorie A (WS5/6) Musterlösung Blatt 7 (6..5) 3 Wobei G(t t ) = stetig in (t t ) = und G() = verwendet wurde. G(t t ) = G(t t ) Θ(t t ) + G(t t ) δ(t t ) Einsetzen in Gl.() vom Übungsblatt = G(t t ) Θ(t t ) + G() δ(t t ) [ G(t t ) + γ G(t t ) + ω G(t t )] Θ(t t ) + G() δ(t t ) = δ(t t ) = mit b) und mit G() = folgt. 3 a) f(t) = f δ(t t ) x(t) = f dt G(t t ) δ(t t ) = f G(t t ) G(t t ) ist also die Antwort des Oszillators auf einen δ-impuls zur Zeit t (auch aus Gl.() vom Übungsblatt direkt klar). x(t) = f Ω e γ(t t ) sin[ω(t t )] Θ(t t ) Dies ist eine simple gedämpfte Schwingung, die natürlich erst bei t, zur Zeit des Impulses, losgeht. In der Greenschen Funktion steckt ja die Randbedingung drin, daß der Oszillator für t in Ruhe ist (bis zum Impuls bei t bleibt er das dann auch). b) Allgemein, für eine Kraft, die bei t = einsetzt: f(t) = f(t) Θ(t), G(t t ) = G(t t ) Θ(t t ) x(t) = t dt G(t t ) f(t ) Θ(t t ) Θ(t ) = Θ(t) dt G(t t ) f(t ) Den letzten Schritt am besten durch Aufzeichnen der Bereiche, in denen der Integrand ist, von Hand klarmachen. Man beachte die Θ(t)-Funktion im Ergebnis. Hier: f(t) = f Θ(t) x(t) = Θ(t) f t dt G(t t ) = Θ(t) f t dt e γ(t t ) sin[ Ω (t t ) ] Ω Jetzt würde man den sin(.) per Additionstheorem zerlegen, die nur von t abhängigen Faktoren vor das Integral ziehen und dann das Integral über t ausführen. Eleganter: e γ(t { t ) sin[ Ω (t t ) = Im e γ(t t ) e iω(t t ) = Im {e t(γ iω) e t (γ iω)

4 Theorie A (WS5/6) Musterlösung Blatt 7 (6..5) 4 Man beachte, daß e γ(t t ) reell ist und daher unter dem Imaginärteil stehen darf. x(t) = Θ(t) f t {e Ω Im t(γ iω) dt e t (γ iω) Ω Im e t(γ iω)et(γ iω) γ iω e t(γ iω) Ω Im γ iω Ω γ + Ω Im ( e t(γ iω) )(γ + iω) Im (γ + iω) e tγ (γ + iω)(cos(ωt) + i sin(ωt)) Ω ω x(t) = Θ(t) f [ e γt{ cos(ωt) + γω ] ω sin(ωt) Dies entspricht dem Ergebnis aus Blatt 6, Aufg. 4 b), einschließlich der Θ(t)-Funktion (Sprungantwort). 4 a) Das Pendel schwingt in der x-z-ebene (Zeichnung!), die z-achse zeigt nach unten, x nach rechts. Dann gilt für gegebenen Auslenkungswinkel ϕ: x = l sin(ϕ) = z = l cos(ϕ) = ẋ = l cos(ϕ) ϕ ż = l sin(ϕ) ϕ Die potentielle Energie ist V = mg z = mgl cos(ϕ) Die kinetische Energie ist T = mv = m(ẋ + ż ) = ml ( ϕ) b) Die Bewegungsgleichung hatten wir schon mal: ϕ + g l sin(ϕ) = (Keine Näherung für kleine ϕ!) Energieerhaltung: E = T + V = ml ( ϕ) mgl cos(ϕ)

5 Theorie A (WS5/6) Musterlösung Blatt 7 (6..5) 5 c) Energieerhaltung: d dt E = ml ϕ ϕ + mgl sin(ϕ) ϕ = ml ϕ(t) [ ϕ(t) + g l sin(ϕ(t)) ] = = E(ϕ, ϕ) = const. =: E E = ml ( ϕ) + V (ϕ) ( ϕ) = ml [ E V (ϕ) ] dϕ(t) = dt ml (E V (ϕ)) Trennung der Veränderlichen und Integration: dt = dϕ dϕ (t t ) = + C... (E ml V (ϕ)) t und C sind Integrationskonstanten, die zunächst unbestimmt bleiben. C kann in t absorbiert werden und wird jetzt weggelassen. Kleine Winkel: ϕ : V (ϕ) mgl( ϕ ) (t t ) = (t t ) = ω dϕ ϕ ϕ, ω = g l dϕ E + g g ml l l ϕ ( ), ϕ = E mgl + Anstatt einer Stammfunktion plus Integrationskonstante C (die jetzt in t ) steckt, hätte man natürlich auch schreiben können: (t t ) = ω ϕ dϕ ϕ ϕ Das Integral steht im Bronstein, (t t ) = ω arcsin( ϕ ϕ ) ϕ(t) = ϕ sin(ω t ω t ) d) Die Anfangsbedingungen stecken in der konstanten Gesamtenergie E und dem Zeitnullpunkt t : ϕ() = ϕ sin(ω t ), ϕ() = ω ϕ cos(ω t ) Konkret: ϕ() = t =, ϕ() = Ω ϕ = Ω ω ϕ(t) = Ω sin(ω t) ω Die Gesamtenergie hat den Wert ( ) ϕ = Ω = E ω mgl + E = ml (Ω ) mgl Dies ist gerade die kinetische und die potentielle Energie bei t =, die eben zeitlich konstant bleibt.