3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen

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1 3.2 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Definition: Eine reelle Folge a n ) n N heißt monoton wachsend : n < m : a n a m streng monoton wachsend : n < m : a n < a m nach oben beschränkt : C R : n : a n C Analog: monoton fallend, streng monoton fallend, nach unten beschränkt Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert n a n = sup{a n n N} 74 Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert n a n = sup{a n n N} Beweis: Folge ist nach oben beschränkt {a n n N} besitzt Supremum s := sup{a n n N} Sei ε > 0 gegeben. Dann existiert ein N = Nε) mit s ε < a N s Die Folge a n ) n N ist monoton wachsend, also folgt d.h. s ε < a N a n s n N s a n < ε n Nε) 75

2 Folgerung: Prinzip der Intervallschachtelung Sind a n ) n N, b n ) n N reelle Folgen mit a) a n ) n N monoton wachsend b) b n ) n N monoton fallend c) n N : a n b n so sind beide Folgen konvergent. Gilt überdies n a n b n ) = 0 so haben a n ) n N und b n ) n N denselben Grenzwert, i.e. ξ = a n n = Zusätzlich gelten die Fehlerabschätzungen n b n a n ξ b n a n b n ξ b n a n 76 Beispiel: Arithmetisch geometrisches Mittel Definiere für 0 < a < b rekursiv zwei Folgen a n ) und b n ) mittels a 0 := a b 0 := b a n+1 := a n b n b n+1 := a n + b n 2 Folgen a n ) und b n ) bilden Intervallschachtelung und es gilt b n+1 a n+1 ) 1 2 b n a n ) Der gemeinsame Grenzwert von a n ) und b n ) heißt agma, b) := n a n = n b n Arithmetisch geometrisches Mittel 77

3 Bernoullische Ungleichung: x 1, n N : 1 + x) n 1 + nx Gleichheit gilt nur bei n = 1 oder x = 0 Beispiel: Geometrische Folge a n := q n mit q R. q > 1 : n q n = + q n = 1 + q 1)) n 1 + nq 1)) q = 1 : n q n = 1 0 < q < 1 : n q n = 0 q n = 1 < q 0 : n q n = 0 q n = q n ) 1 1+1/q 1)) n 1 1+n1/q 1) ) q = 1 : q n ) beschränkt, aber nicht konvergent q n { 1, 1}) q < 1 : q n ) divergent, kein uneigentlicher Grenzwert 78 Seien a n ) n N und b n ) n N konvergente reelle Folgen. Dann gel- Satz: ten a) n a n b n ) = n a n ) n b n ) b) n : b n 0 n b n 0 n an b n ) = n a n n b n c) n : a n 0 m N m a n n = m a n n Beweis: Seien a n ) n N und b n ) n N zwei konvergente Folgen mit n a n = a b n n = b 79

4 Teil a): Es gilt für hinreichend große n) a n b n ab = a n b n a n b + a n b ab a n b n b + b a n a C a b n b + b a n a < C a + b )ε Teil b): Da b n 0 und b 0 existiert eine Konstante C b > 0 mit C b b n n N Damit gilt 1 1 b n b = b b n b n b = 1 b n b b n b 1 C b b ε für n hinreichend groß und die Aussage in b) folgt direkt aus Teil a) denn 1/b n 1/b) 80 Teil c): Wir setzen folgenden Satz voraus Beweis Ansorge/Oberle): Satz: Zu a > 0 und m N existiert genau eine Zahl w > 0 mit w m = a. Diese Zahl wird mit w = m a bezeichnet. 1. Fall: Sei a n ) eine Nullfolge und ε > 0 vorgegeben a n < ε m n Nε m ) Daraus folgt 0 m a n < ε und daher m a n 0 für n 2. Fall: Sei a > 0. Verwende die Identität x m y m m = x y) x m j y j 1 j=1 81

5 Identität: x y) m j=1 x m j y j 1 = x y) x m 1 y 0 + x m 2 y x 0 y m 1 ) = x m y x 0 y m 1 x m 1 y 1... x 0 y m = x m y m Setze nun x = m a n und y = m a. Dann folgt für n Nε) m a n m a = a n a m a n ) m m a) m 1 a n a m a) m 1 < C ε 82 Bemerkung: Die Aussagen a) und b) gelten auch für komplexe Folgen Beispiel: Gegeben sei die Folge a n := n 2 + 5n + 1 n Eine Umformung ergibt: a n = n2 + 5n + 1) n 2 n 2 + 5n n = n n + 1 n und damit n a n = =

6 Beispiel: Wir betrachten die Folge a n := 1 + p ) n n Kapitalverzinsung: Anfangskapital K 0, Jahreszinssatz p K 1 = K p) jährlich K 2 = K ) p 2 halbjährlich K 4 = K ) p 4 vierteljährlich K 10 = K p ) 10 monatlich 10 K 360 = K p ) 360 täglich 360 Untersuche die Konvergenz der Folge a n : n a n =? 84 Für p > 0 zeigt man direkt: die Folge a n ) n N ist streng monoton wachsend a n+1 a n > 1 die Folge a n ) n N ist nach oben beschränkt 1 + p ) n 4 l für ein l p) n Damit konvergiert die Folge: n a n = e p Formel gilt auch für negative p. Spezialfall n = e = n n) Eulersche Zahl) 85

7 Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Zum Beweis verwendet man das Konzept von Häufungspunkten einer gegebenen Folge a n ) n N. Beispiel auf Folie Definition: Sei a n ) n N eine Folge. Die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen von a n ) n N nennt man die Häufungspunkte der Folge a n ) n N. Satz: Satz von Bolzano, Weierstraß) Jede reelle, beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. 86 Satz: Cauchysches Konvergenzkriterium) Der R ist vollständig, d.h. jede reelle Cauchyfolge ist konvergent. Beweisidee: Zeige zunächst, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist: a n = a n a N + a N < ε + a N Nach Bolzano, Weierstraß besitzt a n ) einen Häufungspunkt ξ. Dann gilt Notation: a m ξ = a m a nk + a nk ξ a m a nk + a nk ξ < ε }{{}}{{} 2 + ε 2 = ε Cauchyfolge Häufungspunkt inf a n = kleinster Häufungspunkt sup a n = größter Häufungspunkt 87