Lösung polynomialer Kongruenzen

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1 Seminar zur Zahlentheorie Sommersemester 2019 Lösung polynomialer Kongruenzen

2 In diesem Vortrag beschäftigen wir uns mit dem Finden von Lösungen polynomialer Kongruenzen. Dazu werden wir das Problem polynomialer Kongruenzen zunächst auf Kongruenzen modulo Primzahlpotenzen und dann auf Kongruenzen modulo Primzahlen reduzieren. Am Ende werden wir dazu ein Beispiel geben. Als erstes müssen wir jedoch den Begriff definieren: Definition: Polynomiale Kongruenzen [2], S. 104 Unter einer polynomialen Kongruenz (oder Polynomkongruenz) verstehen wir eine Kongruenz der Form f(x) 0 mod m Dabei ist f(x) Z[X] und m N. Jedes x Z, für das gilt f(x) 0 mod m heißt eine Wurzel von f modulo m (oder eine Lösung von f modulo m). Die Anzahl der modulo m inkongruenten ganzen Zahlen, die eine Wurzel von f modulo m sind, bezeichnen wir mit ρ f (m). Bemerkungen dazu: Falls x eine Lösung von f modulo m ist, so sind es den aus der Vorlesung bekannten Regeln nach auch alle zu x modulo m kongruenten ganzen Zahlen, d. h. alle Elemente aus derselben Restklasse modulo m wie x. Da dies unendlich viele sind, bezieht sich die Anzahl der Lösungen ρ f (m) sinnvollerweise auf die zueinander inkongruenten Lösungen. Da es nur m verschiedene Restklassen modulo m gibt, ist auch ρ f (m) m. Dies führt zu einem wichtigen Unterschied zu Polynomgleichungen. Während die Anzahl der Lösungen von Polynomgleichungen maximal so groß ist wie der Grad des Polynoms, kann die Zahl der Lösungen von Polynomkongruenzen durchaus höher sein. Als Beispiel betrachten wir X mod 16. Diese Kongruenz ist vom Grad 4, hat aber acht inkongruente Lösungen modulo 16, nämlich 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 und 15. Ein anderes, allgemeineres Beispiel für eine polynomiale Kongruenz haben wir schon im ersten Vortrag dieses Seminars kennen gelernt, als wir uns im Rahmen der Behandlung des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes mit Kongruenzen der Form b X 2 mod p beschäftigt haben (wobei b Z und p eine Primzahl war), was sich einfach zu umformen lässt. X 2 b 0 mod p

3 Ein Spezialfall der polynomialen Kongruenzen sind lineare Kongruenzen, die wie folgt definiert sind: a X + b 0 mod m Dabei sind a Z, b Z und m N. Für lineare Kongruenzen kann man den folgenden Satz formulieren: Beweis: ": Satz 1: Lineare Kongruenzen [4], S. 57f. Die lineare Kongruenz a X b 0 mod m ist genau dann lösbar, wenn für d := ggt(a, m) gilt: d b. Sie besitzt dann genau d modulo m inkongruente ganzzahlige Lösungen. Ist ferner s eine Lösung modulo m, so werden für m := m/d die restlichen Lösungen modulo m durch s + m, s + 2 m,, s + (d 1) m angegeben; es gibt dann also d inkongruente Lösungen. Sei also a X b 0 mod m lösbar. Sei x eine Lösung. Dann gilt: m (a x b) Das heißt, es gibt eine ganze Zahl k, sodass gilt: k m = a x b Wegen d := ggt(a, m) existieren ganze Zahlen a und m, sodass a = a d und m = m d gilt. Einsetzen liefert: Dann ist aber d b. ": k m d = a d x b b = a d x k m d = d (a x k m ) Sei nun d b vorausgesetzt. Wir beweisen zunächst den Spezialfall d = 1 und erweitern dies dann auf den allgemeinen Fall. Sei also zunächst d = 1. Dann gibt es wegen Satz (3.10) aus dem Vorlesungsskript der Zahlentheorie [1], S. 31 ganze Zahlen u und v mit a u + m v = d = 1 Multiplizieren wir diese Gleichung mit b und setzen y := b u und z := b v, so erhalten wir: a y + m z = b Wir reduzieren diese Gleichung modulo m und erhalten die folgende Kongruenz: a y b mod m y ist also eine Lösung der Kongruenz a x b 0 mod m. Sei nun y eine weitere Lösung dieser Kongruenz. Dann gilt also:

4 Subtraktion der beiden Kongruenzen liefert: Wegen ggt(a, m) = 1 folgt daraus: y y 0 mod m a y b 0 mod m a y b 0 mod m a (y y ) 0 mod m y y mod m Also ist y die einzige modulo m inkongruente Lösung von a x b 0 mod m. Nun betrachten wir den Fall d > 1, den wir auf den Fall d = 1 zurückführen. Dazu schreiben wir die Kongruenz zunächst wieder als Gleichung: a x = b + k m Wegen d := ggt(a, m) > 1 existieren ganze Zahlen a und m, sodass a = a d und m = m d. Einsetzen liefert: a d x = b + m d Offensichtlich ist b also ein Vielfaches von d und daher existiert auch eine ganze Zahl b, sodass b = b d. Einsetzen und Division durch d modulo m liefert: a x b mod m Dies ist eine Kongruenz wie wir sie im Fall d = 1 schon betrachtet haben. Daher besitzt sie eine modulo m eindeutige Lösung x s mod m. Modulo m ergeben sich daraus dann die Lösungen s + m, s + 2 m,, s + (d 1) m. Es gibt also gerade d Lösungen. QED Für die Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln benötigen wir ferner den Chinesischen Restsatz, den wir aus der Zahlentheorievorlesung schon kennen; daher geben wir ihn hier ohne Beweis an. Im Unterschied zur Vorlesung formulieren wir den Chinesischen Restsatz hier in einer eingeschränkten Form ohne Bezug zu Idealen und nur für den Ring (Z, +, ). Satz 2: Chinesischer Restsatz [3], S. 136f. Es seien m 1, m 2,, m n N paarweise teilerfremd und a 1, a 2,, a n Z beliebig. Dann besitzt das lineare Kongruenzsystem X a i mod m i für alle i {1, 2,, n} eine eindeutige Lösung x mod m. m ist dabei gegeben durch m := m 1 m 2 m n.

5 Nach dieser umfangreichen Vorbereitung kommen wir nun zum ersten Reduktionsschritt, der Reduktion von polynomialen Kongruenzen auf Primzahlpotenzmoduln. Beweis: Satz 3: Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln [2], S. 105f. Gegeben sei eine polynomiale Kongruenz der Form f(x) 0 mod m, wobei f(x) Z[X] und m N\{1}. Sei p κ = m für alle κ {1, 2,, k} die kanonische Primfaktorzerlegung von m. Man erhält alle Wurzeln x 1, x 2,, x t (wobei t := ρ f (m)) von f modulo m, indem (κ) (κ) (κ) a man zuerst für κ = 1, 2,, k alle Wurzeln x 1, x 2,, x tκ (wobei t κ := ρ f (p κ κ )) von a f modulo p κ κ bestimmt und anschließend für jedes dann mögliche k-tupel (1) (2) (k) (x τ1, x τ1,, x τk ) das simultane System 1 2 k mittels Chinesischem Restsatz löst. Es gilt: ρ f (m) = a κ (κ) κ X x τκ mod p κ für alle κ {1, 2,, k} a κ a κ ρ f (p κ ), d. h. ρ f ist multiplikativ. Ist x τ eine Lösung von f(x) 0 mod m, so löst x τ auch f(x) 0 mod pa κ κ für alle (1) (2) (k) κ = 1, 2,, k. Deswegen existiert ein eindeutig bestimmtes k-tupel (x τ1, x τ1,, x τk ) 1 2 k mit 1 τ κ t κ für κ = 1, 2,, k, sodass x τ das simultane System (*) löst. (1) (2) (k) Geht man umgekehrt von einem k-tupel (x τ1, x τ1,, x τk ) aus, so kann man wegen 1 2 k a der für alle κ = 1, 2,, k geltenden paarweisen Teilerfremdheit der p κ κ den Chinesischen Restsatz auf (*) anwenden. Daraus folgt, dass (*) modulo m eindeutig lösbar ist. Ist x diese Lösung, so muss x für jedes κ = 1, 2,, k die Kongruenz (κ) f(x) 0 mod m lösen, da ja x τκ die dem Index κ entsprechende Kongruenz a f(x) 0 mod p κ κ κ löst. Wenn aber x eine Lösung von f(x) 0 mod p κ für alle κ = 1, 2,, k ist, so ist es a auch eine Lösung von von f(x) 0 mod m, weil m gleich dem Produkt aller p κ κ ist. Man hat dann x x τ mod m für genau ein τ mit 1 τ ρ f (m). a κ (*) QED Bemerkung zu Satz 3: Aus der letzten Zeile des Satzes 3 folgt insbesondere, dass f(x) 0 mod m genau a dann keine Lösung hat (also ρ f (m) = 0 gilt), wenn ρ f (p κ κ ) = 0 für mindestens ein κ = 1, 2,, k gilt.

6 Nun kommen wir zur Reduktion auf Primzahlmoduln. Dazu benötigen wir aber noch einiges Handwerkszeug. Zunächst sei an die Taylor-Formel für Polynome erinnert: Für ein Polynom f(x) Z[X] gilt: wobei f (λ) (X) = (λ!) oojooooo F(Y + Z) = (λ!) -1 f (λ) (X) Y λ a i X i-λ die λ-te Ableitung an der Stelle X bezeichnet. Aus der Formel für die Ableitung folgt sofort, dass (λ!) -1 f (λ) Z[X] ist. Weiterhin benötigen wir folgendes: Beweis: Lemma 1: [2], S. 20 Seien m, m 1, m 2, n, n 1, n 2 Z[X] und m m 1 m 2 0. Ist m n 1 n 2 und sind m, n 1 teilerfremd, so ist m ein Teiler von n 2. [1], S. 31 Wegen ggt(m, n 1 ) = 1 existieren nach Satz (3.10) aus dem Vorlesungsskript ganze x, y mit m x + n 1 y = 1, was zu m n 2 x + n 1 n 2 y = n 2 führt. Wegen m n 1 n 2 geht hier m in der linken Seite auf, also auch in n 2. Beweis: i λ Lemma 2: Kürzungsregel λ 0 [2], S. 82 (auch 18, 19) Für m, a, b, c Z mit m 0 folgt aus a c b c mod m: a b mod (m/ggt(c, m)) QED Sei c := c/ggt(c, m) und m := m/ggt(c, m). Angenommen es gäbe einen gemeinsamen Teiler e > 1 von c und m. Dann würde also ein ganzzahliges g existieren, sodass c/e ggt(c, m) + m/e ggt(c, m) = g. Somit wäre aber dann e ggt(c, m) > ggt(c, m) ein weiterer gemeinsamer Teiler von c und m. Aus dem Widerspruch folgt, dass c und m teilerfremd sind. Wegen a c b c mod m m ((a b) c) m ((a b) c ) folgt dann nach Lemma 1 m (a b) und damit gilt auch a b mod m. QED

7 Damit können wir schließlich die Reduktion auf Primzahlmoduln angehen: Satz 4: [2], S. 106f. Sei f Z[X], p eine Primzahl, a, y Zmit a 2 und y sei eine Wurzel von f modulo p a 1. Dann gilt: (i) Ist p f (y) und y nicht selbst Wurzel von f modulo p a, so hat f modulo p a keine Wurzel, die modulo p a 1 kongruent y ist. (ii) Ist p / f (y), so hat f modulo p a genau eine Wurzel z, die modulo p a 1 kongruent y ist. z ergibt sich dabei in der Form y + x p a 1, wo x die modulo p eindeutige Lösung folgender linearer Kongruenz ist: (iii) Beweis: f (y) x (f(y) p 1 a ) mod p Ist p f (y) und y selbst schon Wurzel von f modulo p a, so hat f modulo p a genau p Wurzeln, die modulo p a 1 kongruent y sind; diese ergeben sich in der Form y + ε p a 1, wo ε ein vollständiges Restsystem modulo p durchläuft. Mit der Taylorformel ergibt sich, dass y + x p a 1 Lösung von f modulo p a genau dann ist, wenn gilt: 0 f(y + x p a 1 ) mod p a 0 (λ!) -1 f (λ) (y) x p (a 1) λ mod p a i λ Weil alle Summenglieder mit λ 2 einen Faktor p (a 1) λ mit (a 1) λ a enthalten und weil (λ!) -1 f (λ) (y) (wie weiter oben angemerkt) ganz ist, folgt, dass alle Summenglieder mit λ 2 wegfallen (wegen der Kongruenz modulo p a ). Es ergibt sich: 0 (λ!) -1 f (λ) (y) x p (a 1) λ mod p a i λ λ 2 0 f(y) + f (y) x p a 1 mod p a Nach der Kürzungsregel folgt hieraus, dass x die f (y) X (f(y) p 1 a ) mod p löst. Nach Satz 1 zu den linearen Kongruenzen ist dies aber genau dann lösbar, wenn ggt(f (y), p) (f(y) p 1 a ) gilt, und in diesem Fall gibt es genau ggt(f (y), p) modulo p inkongruente Lösungen. Es gibt in den Fällen (i) bis (iii) also folgende Lösungen: (i) Es gilt ggt(f (y), p) = p (wegen p f (y)). Würde eine Lösunng existieren, so müsste ggt(f (y), p) (f(y) p 1 a ) gelten. Einsetzen liefert p (f(y) p 1 a ), was äquivalent ist zu p p a 1 f(y). Weil nach Voraussetzung aber y nicht Wurzel modulo p a ist, führt dies zu einem Widerspruch. Folglich existiert keine Lösung. (ii) Für p / f (y), ist ggt(f (y), p) = 1 und 1 teilt jede Zahl. Die Lösungsanzahl ist dann nach Satz 1 gerade ggt(f (y), p) = 1 und somit durch f (y) x (f(y) p 1 a ) mod p gegeben. (iii) Analog zu Fall (i) ergibt sich die Gleichung p p a 1 f(y). Da hier aber f(y) = 0 und weil 0 durch jede Zahl geteilt wird, ist die Lösungsanzahl nach Satz 1 gerade ggt(f (y), p) und somit durch y + ε p a 1 gegeben, wo ε ein vollständiges Restsystem modulo p durchläuft. QED

8 Mit den Sätzen 3 und 4 haben wir damit alle Werkzeuge, um für eine beliebige polynomiale Kongruenz die Lösungen bestimmen zu können. Als Beispiel wählen wir f(x) 0 mod 100 mit f(x) = X X 2 4 X + 4. Später werden wir die erste Ableitung benötigen, daher berechnen wir diese rasch: f (X) = 3 X X 4. Zuerst führen wir eine kanonische Primfaktorzerlegung durch: 100 = Damit ergibt sich laut Satz 3 folgende Systeme linearer Kongruenzen für i = 1, 2,, ρ f (25) und j = 1, 2,, ρ f (4): (1) f(x i ) 0 mod 25 (2) f(x j ) 0 mod 4 Dies sind die Wurzeln, von denen in der 6. und 7. Zeile von Satz 3 die Rede ist. Diese können wir durch Anwendung von Satz 4 lösen. Betrachten wir zunächst. Um die Fallunterscheidung durchführen zu können, müssen wir zunächst eine Lösung des Primzahlmoduls 5 (p a /p = 25/5 = 5; für ist p a = 25, p = 5, a = 2) bestimmen: f(y) 0 mod 5 (das y ist das y aus der 1. Zeile von Satz 4) Die möglichen Lösungen kann man schnell einsetzen und findet, dass die Lösung y = 4 lautet. Für die Anwendung von Satz 4 benötigen wir noch: f(4) = 180 f (4) = 108 Damit können wir nun die Fallunterscheidung von Satz 4 durchführen: 5 teilt 108 nicht, also kommt Fall (ii) zur Anwendung. Es gibt also genau eine Lösung von (d. h. ρ f (25) = 1) und die lautet: (1) x χ 5 mod 25 χ ist dabei laut Satz 4 (ii) die Lösung der folgenden linearen Kongruenz: f (4) χ (f(4) / 5) mod χ (180 / 5) mod 5 Diese Kongruenz hat als Lösung χ = 3. Es ergibt sich also: (1) x χ 5 mod mod mod 25 Betrachten wir nun. Wir gehen analog zu oben vor und bestimmen eine Lösung zu f(y) 0 mod 2. Es ergibt sich, dass die Lösung y = 0 lautet. Wir berechnen wieder f(y) = f(0) = 4 und f (y) = f (0) = -4.

9 Wir machen wieder die Fallunterscheidung nach Satz 4: 2 teilt (-4) und es gilt f(0) 0 mod 4, also ist 0 eine Wurzel von f modulo 4 und daher kommt Fall (iii) zur Anwendung: f(x) 0 mod 4 hat also zwei Wurzeln, weil für p = 2 ist und nach Satz 4 (iii) dies die Anzahl der Wurzeln ist. Diese Wurzeln sind nach Satz 4 (iii) durch y + ε 2 gegeben, wobei ε das vollständige Restsystem modulo 2 durchläuft, hier ist also ε = 0 und ε = 1: x mod 4 x mod 4 Es ergeben sich damit nach Satz 3 zwei 2-Tupel: (0, 19) und (2, 19). Diese entsprechen zwei simultanen Systemen, nämlich: und: (2) (2) X 0 mod 4 X 19 mod 25 X 2 mod 4 X 19 mod 25 Diese Systeme kann man mit dem Chinesischen Restsatz lösen (analog zu Beispiel 2 im Zahlentheorieskript, S. 50f.). Es ergibt sich für das erste System die 44 als Lösung und für das zweite System die 94. Damit lauten nach Satz 3 die Lösungen von X X 2 4 X mod 100: x 1 44 mod 100 x 2 94 mod 100 Hier sind x 1 und x 2 die Wurzeln aus der 5. Zeile von Satz 3, also die Lösungen von X X 2 4 X mod 100.

10 Literaturverzeichnis [1] Zahlentheorie; Skript von Dr. Gerkmann (Version von 2018) [2] Einführung in die Zahlentheorie; Autor: Peter Bundschuh; Erscheinungsjahr: 2008; Verlag: Springer Verlag, Berlin; ISBN: [3] Elementare Zahlentheorie Ein sanfter Einstieg in die höhere Mathematik; Autoren: Jörn Seuding & Nicola Oswald; Erscheinungsjahr: 2015; Verlag: Springer, Berlin und Heidelberg; ISBN: [4] Zahlentheorie Fünf ausgewählte Themenstellungen der Zahlentheorie; Autor: Hartmut Menzer; Erscheinungsjahr: 2010; Verlag: Oldenbourg Verlag, München; ISBN: