Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 9 6. Semester ARBEITSBLATT 9. Extremwertaufgaben

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1 ARBEITSBLATT 9 Extremwertaufgaben Gehen wir die Idee der Extremwertaufgaben gleich an einem Beispiel an: Rechtecke gleichen Umfangs haben den gleichen Flächeninhalt. Stimmt diese Aussage/ stimmt sie nicht? Die obige Behauptung ist falsch, wie man sehr leicht anhand eines Beispiels zeigen kann: Die beiden Rechtecke haben beide U = cm, aber der Flächeninhalt ist nicht gleich groß! A = 5cm² cm A = 8cm² cm 5cm 4cm Daraus ergibt sich die Frage: Welches Rechteck mit U = cm hat den größten (maximalen) Flächeninhalt? Die obige Fragestellung ist eine typische Extremwertaufgabe. Der grundsätzliche Lösungsprozess einer Extremwertaufgabe soll im folgenden geschildert werden: Lösung einer Extremwertaufgabe: ) Zunächst stellt man fest, welche Größe maximal (minimal) werden soll. In unserem Beispiel ist dies der Flächeninhalt des Rechtecks: A = x y wobei x und y Länge und Breite des Rechtecks sind. Man nennt die Gleichung für jene Größe, die ein Maximum oder Minimum werden soll, Hauptbedingung (HB) ) In unserer HB kommen zwei Unbekannte vor. Wir sind aber nur in der Lage, Gleichungen mit einer Variablen zu lösen! Daher müssen wir versuchen, die

2 Unbekannten x durch y oder umgekehrt auszudrücken! Dabei hilft uns die Information im Text, die lautet: U = cm U =.(x + y) =.(x + y) /: Drücken y durch x aus 6 = x + y / x y = 6 x Man nennt jene Gleichung, mit der man eine Beziehung herstellt zwischen den Unbekannten in der HB Nebenbedingung (NB) 3) Nun setzen wir die NB in die HB ein, womit sich die Anzahl der Unbekannten auf eine reduziert! A = x y A = x 6 x ( ) Nun kann man aber den Flächeninhalt A auch auffassen wie eine Funktion in Abhängigkeit von x (f(x)), denn je nachdem welchen Wert x annehmen wird, ergibt sich ein größerer oder kleinerer Wert für den Flächeninhalt!!! A( x) = x (6 x) Nun ist die Frage, für welches x ist unser Flächeninhalt ein Maximum bzw. für welches x besitzt unsere Funktion ein Maximum? Wir haben dies aber bereits gelernt. Wir wissen, dass wir die Extremwerte einer Funktion erlangen, indem wir die. Ableitung Null setzen. Um festzustellen, ob ein Maximum vorliegt haben wir uns bei den Kurvendiskussionen der. Ableitung bedient!!! Also: f ( x) = 0 f ( x) = 6 x x² f ( x) = 6 x 6 x= 0/ + x 6= x/: x= 3 Damit wissen wir, dass eine Länge des Rechtecks 3 sein muss, damit unser Rechteck eine maximale Fläche hat. Falls man mehrere Lösungen erhält und es unklar ist, welche Lösung nun Maximum und Minimum ist, bedient man sich der. Ableitung: f (x) = da die. Ableitung konstant ist, gilt auch

3 f () 3 = und somit ist die. Ableitung kleiner Null, daraus folgt 3 ist ein Maximum! Anmerkung: Meist ist diese Überprüfung nicht notwendig, da man nur eine Lösung erhält oder es offensichtlich ist, welche die richtige Lösung ist. 4) Berechnen der übrigen Unbekannten durch Einsetzen in die NB: y = 6 x y = 6 3 y = 3cm 5) Ausrechen des Flächeninhalts durch Einsetzen in die HB: A = x y A = 3.3 A = 9cm² Der größte Flächeninhalt eines Rechtecks mit einem Umfang U = cm wird von einem Quadrat mit der Seitenlänge x = y = 3cm angenommen! Fazit: Falls Sie mal wieder eine neue Wohnung beziehen sollten, achten Sie darauf, dass die Räume annähernd quadratisch sind, denn nur so haben Sie maximalen Stauraum bei gegebenen Umfang!!! Nochmals alle notwendigen Schritte auf einen Blick:. Aufstellen der HB. Aufstellen der Nebenbedingung 3. Einsetzen der NB in die HB 4. Maximum/ Minimum bestimmen mit f (x)= 0 5. Optional: Überprüfung des potentiellen Maximums/Minimums mithilfe der. Ableitung 6. Optional: Einsetzen des Maximums/ Minimums in die NB 7. Optional: Einsetzen der Werte aus der NB in die HB 3

4 Beispiel: Von einem quadratischem Stück Blech mit der Seitenlänge cm werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten; aus dem Rest wird eine quaderförmige Schachtel gebildet. Welche Seitenlänge müssen die auszuschneidenden Quadrate haben, damit das Volumen dieser Schachtel maximal wird? Lösung: Wir fertigen uns zunächst einmal eine Zeichnung an: cm x cm cm x cm Nun müssen wir die Hauptbedingung aufstellen. Das Volumen dieses Quaders soll maximal werden. Folglich lautet die Hauptbedingung: HB : V = G h Die Grundfläche G ist bei uns ein Quadrat mit der Seitenlänge -x, die Körperhöhe h ist x. Wir setzen dies ein: V = ( x) x Da wir in unserer Hauptbedingung nur eine Variable haben, benötigen wir in diesem Fall keine Nebenbedingung. Nun müssen wir die erste Ableitung bilden. Dazu vereinfachen wir vorher aber noch die Hauptbedingung. Wir lösen zunächst das Binom: V = ( 44 48x + 4x ) x Wir multiplizieren die Klammer aus: 3 V = 44x 48x + 4x Nun könnten wir differenzieren. Bei Extremwertaufgaben kann man aber die Funktion aus dem Wissen heraus, dass ja anschließend an das Differenzieren die. Ableitung Null gesetzt wird, die Funktion noch vereinfachen. 4

5 Vereinfachungen der Hauptbedingung durch Weglassen von konstanten Faktoren: ( 4x² x) Bsp.: Wenn die HB lautet f ( x) =, dann darf man die HB vereinfachen, 3 indem man konstante Faktoren weglässt: Also f ( x) = 4x² x Anmerkung.: Dass wir die Funktion vereinfacht haben, kennzeichnen wir durch den Querstrich über der Funktion. Merke: Bei Extremwertaufgaben darf man Zahlenausdrücke, die den gesamten Term Multiplizieren oder dividieren wegfallen lassen. Potenzieren der Zielfunktion: Bsp.: Wenn die HB lautet: f ( x) = 4x² 5, dann darf man die gesamte rechte Seite quadrieren, damit die Wurzel wegfällt, was das anschließende differenzieren wesentlich vereinfacht: f ( x) = 4x² 5 Merke: Man darf bei Extremwertaufgaben den gesamten Ausdruck potenzieren. Anmerkung: Die oben angeführten Vereinfachungen sind nicht notwendig, sondern machen lediglich das Differenzieren manchmal einfacher. Bei unserem Beispiel kann man 4 herausheben: 3 V = 44x 48x + 4x 3 V = 4 ( 36x x + x ) Da 4 den gesamten Ausdruck multipliziert, können wir diesen Wert wegfallen lassen: 3 V = 36x x + x Nun differenzieren wir: V ' = 36 4x + 3x Nun setzen wir die. Ableitung Null: 36 4x + 3x = 0 / : 3 x 8x + = 0 8 ± x = 8 ± 4 x = [ x = 6] x = Da das Ausgangsquadrat cm lang ist, würden wir beim Ausschneiden von 6 cm großen Quadraten einen Quader mit der Seitenlänge Null und 5

6 somit dem Volumen Null erhalten. 6 ist also ein Minimum und deshalb eingeklammert. Die richtige Lösung lautet also. Man muss Quadrate mit der Seitenlänge ausschneiden, damit der Quader maximales Volumen erhält. Übung: Übungsblatt 9; Aufgaben