heißt kommutativ (oder auch abelsch), falls für die Verknüpfung das Kommutativgesetz gilt: (G 5) Für alle ab, Ggilt a b

Transkript

1 r M J auer Algebraische trukture 7 Kapitel : Gruppe Gruppe: efiitio, Beispiele efiitio (Gruppe) Eie Mege G (G ) zusamme mit eier Verküpfug heißt eie Gruppe, we folgede Eigeschafte erfüllt sid: (G ) G ist abgeschlosse bezüglich der Verküpfug ; das bedeutet: Gilt ab, G, folgt a bg (G ) Für die Verküpfug gilt das Assoziativgesetz, d h für alle abc,, G ab c a b c gilt (G ) Es gibt ei eutrales Elemet i G, d h es gibt ei e G mit e a a für alle a G (G ) Jedes Elemet a G hat ei iverses Elemet, Bezeichuge: d h zu jedem a G gibt es ei a G mit a a e () Ei Paar G, bestehed aus eier ichtleere Mege G ud eier Verküpfug heißt "Verküpfugsgebilde", falls die Eigeschaft (G ) gilt () sbesodere schreibe wir für eie Gruppe kurz G, We klar ist, um welche Verküpfug es sich hadelt, schreibe wir für eie Gruppe auch ur kurz G () Eie Mege G zusamme mit eier Verküpfug heißt eie "Halbgruppe", we die Eigeschafte (G) ud (G) aus obiger efiitio erfüllt sid efiitio Eie Gruppe G, heißt kommutativ (oder auch abelsch), falls für die Verküpfug das Kommutativgesetz gilt: (G 5) Für alle ab, Ggilt ab b a Beispiele (Zahlbereiche),,,,,,, sid kommutative Gruppe, ist keie Gruppe,,,,, ist keie Gruppe, sid kommutative Gruppe

2 Beispiel (Euklidischer Raum) er -dimesioale Euklidische Raum, ist eie kommutative Gruppe 5 Beispiel (Gruppe der eckabbilduge eies Quadrats) ei ei Quadrat Q mit Mittelpukt M gegebe g g g eie, 9, 8, die rehuge um de Mittelpukt M mit de Wikel bzw 9 bzw 8 bzw, seie,,, die piegeluge a de ymmetrieachse g, g, g, g M g ei ECK, 9, 8,,,,, [ie Bezeichug ECK soll die Mege der eckabbilduge des regelmäßige Vierecks (also des Quadrats) bedeute] Wir betrachte die Mege ECK zusamme mit der Verküpfug (wobei die Hitereiaderausführug vo Abbilduge bedeutet) ie Verküpfugstafel sieht wie folgt aus: Ma erket u, dass ECK, eie icht-kommutative Gruppe ist

3 6 Beispiel (Gruppe der eckabbilduge eies Rechtecks) ei ei Rechteck R gegebe, das kei Quadrat ist M g g eie, die rehuge um de Mittelpukt M mit de Wikel bzw 8, seie, die piegeluge a de ymmetrieachse g, g ei ECK Rechteck,,, [Mege der eckabbilduge des Rechtecks] ie Verküpfugstafel vo ECK Rechteck bezüglich der Verküpfug sieht wie folgt aus: Ma erket u, dass ECK Rechteck, eie kommutative Gruppe ist 7 Beispiel (Gruppe der eckabbilduge eies gleichseitige reiecks) Übugsaufgabe: Verküpfugstafel der Mege ECK bezüglich bestimme! 8 Beispiel (Restklasse modulo mit Additio) Für de Zahlbereich ud eie Zahl bezeiche wir mit die Mege der Vielfache vo, also k k Mittels dieses Begriffs der Vielfachemege köe wir u Restklasse modulo defiiere: kee wir die ivisio mit Rest, also köe wir alle Zahle aus durch dividiere; wir fasse diejeige Elemete, die bei ivisio durch de gleiche Rest ergebe, zu Klasse zusamme Geauer: Zwei Zahle lasse bei xy, lasse bei ivisio durch deselbe Rest r, falls es Zahle pq, gibt, so dass gilt: x p r ud y q r mit r x ud y heiße da kogruet modulo ; chreibweise: [Ma sagt auch: x ist kogruet y modulo ] x y mod

4 iese Kogruezrelatio x y mod ist eie Äquivalezrelatio [Übug!] ie zugehörige Äquivalezklasse sid,,,, iese Klasse werde Restklasse modulo geat Nu ist es üblich, diese Restklasse wie folgt abzukürze: :, :,, :, : ie Mege dieser Restklasse bezeiche wir mit R Auf R ka ma u wie folgt eie Restklasseadditio ud eie Restklassemultiplikatio eiführe: eie a ud b Restklasse aus R a setzt ma: ab: a b ud ab : ab Wichtig: Ma muss zeige, dass diese efiitio uabhägig vo der Wahl der Repräsetate der jeweilige Klasse a ud b ist Zur Erläuterug seie für 5 ud 6 R R 5, 6, hier agegebe: [Beweis als Übug!] die Verküpfugstafel für R R 5, 6, ud für

5 Ma erket: R ud R 5, 6, R ud 5, 6, sid kommutative Gruppe R sid keie Gruppe, aber Halbgruppe (es gelte (G ) ud (G ) ) Hiweis: Geerell gilt für : R R, ist immer eie kommutative Gruppe, ist iemals eie Gruppe, aber eie Halbgruppe Frage: Für welche ist R Hier die Verküpfugstafel vo, eie Gruppe? R5, ud vo R6, : Ma erket: R5, ist eie Gruppe, R 6, ist keie Gruppe Gebe ie als Übug die die Verküpfugstafel vo R7, a! Hiweis: Geerell gilt für : R, ist geau da eie kommutative Gruppe, we eie Primzahl ist 9 Beispiel (Matrize) efiitio: ei K ei Körper ud seie m, ie Mege a a M m, K: aij K für im, j am a m heißt Mege der m - Matrize mit Elemete aus K oder kürzer Mege der m-matrize über K diesem Teilabschitt sei K immer der Körper der reelle Zahle Matrize werde meist mit große lateiische Buchstabe otiert, zum Beispiel A, B oder E Für ei Elemet A aus M m, K schreibt ma auch A a ij

6 Matrize, bei dee die Zeilezahl gleich der paltezahl ist, heiße quadratisch Wir werde Matrize häufig als Beispiele beutze, de sie habe zusamme mit de Verküpfuge, die wir u agebe werde, zum Teil überrasched adere Eigeschafte als die Körper, über dee sie defiiert sid Matrizeadditio: Wir betrachte beliebige m-matrize eie beliebige Matrize A a ij ud B b ij M m, A B aij bij : aij bij aus K gegebe, da defiiere wir: Mit der so defiierte Verküpfug + (Additio vo Matrize) bildet M m K abelsche Gruppe,, eie Matrizeprodukt: Wir betrachte zuächst quadratische Matrize, das heißt Matrize, bei dee ma Zeile ud palte hat eie beliebige Matrize A a ij ud B b ij ij ij : ij aus M, K gegebe, da defiiere wir: AB a b c mit cij : ai bj aibj ie Techik der Matrizemultiplikatio ka ma durch folgede Regel verdeutliche: as Elemet c ij i der Zeile i ud der palte j der Produktmatrix erhält ma, we ma die Zeile i der like Matrix A mit der palte j der rechte Matrix B elemetweise multipliziert ud die Produkte da addiert Bemerkug: Mit der so defiierte Verküpfug (Multiplikatio vo Matrize) bildet M, K, eie Halbgruppe Hiweis: obiger efiitio des Matrizeprodukts sid beide Matrize -Matrize Völlig aalog defiiert ma das Matrizeprodukt für eie m A aij M m, K ud eie l-matrix B bjk M l, K Also: AB aij bjk : cik mit cik : ai bk aibk Es gilt: A B M m l, K [Ma mache sich das bitte klar!] -Matrix Etscheided für die Bildug des Matrizeproduktes ist, dass die paltezahl der Matrix A ud die Zeilezahl der Matrix B übereistimme, kurz: dass gelte muss paltezahl vo A = Zeilezahl vo B

7 Beispiel (rehuge der Ebee um eie Pukt) der euklidische Ebee bezeiche wir mit M, eie rehug gege de Uhrzeigersi, um de Pukt M mit dem (im Bogemaß gegebee) rehwikel ie Mege, M: M,, der rehuge des um eie feste Pukt M bildet mit der Kompositio als Verküpfug eie kommutative Gruppe Erste eifache ätze über Gruppe atz (Neutrale ud iverse Elemete i Gruppe) G, sei eie Gruppe a gilt: () Für ei eutrales Elemet e G gilt: a e a für alle a G (G ) () st Beweis: Übug! a ei iverses Elemet zu a G, da gilt: a a e (G ) atz (Eideutigkeit eutraler ud iverser Elemete i Gruppe) G, sei eie Gruppe a gilt: () Es gibt geau ei eutrales Elemet i G, ; dh das eutrale Elemet ist eideutig bestimmt () Zu jedem a G gibt es geau ei iverses Elemet a G mit d h das iverse Elemet zu a G ist eideutig bestimmt Beweis: Übug! a a e ; atz (Neucharakterisierug eier Gruppe) Eie Mege G zusamme mit eier Verküpfug ist geau da eie Gruppe, we folgede Eigeschafte erfüllt sid: (G ) G ist abgeschlosse bezüglich der Verküpfug, dh zu ab, Ggibt es geau ei c G mit a b c (G ) Für die Verküpfug gilt das Assoziativgesetz, d h für alle abc,, G ab c a b c gilt (G *) Es gibt geau ei eutrales Elemet i G, d h es gibt geau ei e G mit e a a ud a e a für alle a G (G *) Jedes Elemet a G hat geau ei iverses Elemet, d h zu jedem a G gibt es geau ei a G mit a a e ud a a e

8 Beweis: Klar! atz (Recheregel für ivertierbare Elemete) ei G, eie Gruppe ud seie ab, G a gilt: () a a () ab b a Beweis: Zu (): a a das verse zu a ist, gilt a a e Wir verküpfe diese Gleichug u vo rechts mit a a ergibt sich: a a a e a a a a e a a ea a a Zu (): a a b das verse zu a b ist, gilt: ab a b e Wir verküpfe diese Gleichug u vo rechts mit b ab abb a eb a ab a b b a b a ab a bb a b a ab a bb a b a ab a ea b a ab aa b a ab eb a ab b a Übug hier: Begrüduge für jedes -Zeiche gebe! a a ergibt sich: 5 Bemerkug (chreibweise eutraler ud iverser Elemete) additiv otierte Gruppe wird das eutrale Elemet im Allgemeie mit Null ud das zu a iverse Elemet mit a bezeichet multiplikativ otierte Gruppe wird das eutrale Elemet meist mit Eis ud das zu a iverse Elemet mit a bezeichet Beispiele: Vorlesug! Hiweis: Es ist üblich, bei allgemeie Gruppe die Gruppeverküpfuge stets multiplikativ zu schreibe!

9 6 atz (Kürzugsregel) G, sei eie Gruppe a gilt für alle abc,, G: Aus ac b c folgt a b Aus ca c b folgt a b Beweis: Vorlesug! 7 atz (Existez ud Eideutigkeit eier Lösug vo a x b) G, sei eie Gruppe a gilt für alle ab, G: Beweis: Vorlesug! ie Gleichug a x b hat geau eie Lösug 8 atz (Alterative Charakterisierug vo Gruppe) Eie Mege G zusamme mit eier Verküpfug ist geau da eie Gruppe, we folgede Eigeschafte erfüllt sid: (HG) G, eie Halbgruppe [Eigeschafte (G) ud (G)] (L) Zu jeder Gleichug a x b bzw y a b mit beliebige Elemete ab, G existiert geau eie Lösug x G bzw y G Beweis: : G, sei eie Gruppe Zu zeige: Es gelte die Eigeschafte (HG) ud(l) Begrüdug: Übug i der Vorlesug : ei G eie Mege zusamme mit eier Verküpfug ud gelte die Eigeschafte (HG) ud (L) Zu zeige: G, ist eie Gruppe Begrüdug: Es ist klar, dass (G) ud (G) gelte Zu (G): ei b G fest gewählt Aus (L) folgt isbesodere, dass die Gleichug y b b eie Lösug G hat Es gilt also b b ie Frage ist u: st das eutrale Elemet vo G, das heißt: gilt a a für alle a G? [Wir wisse bisher ur, dass b b für das eie fest gewählte b G ; es ist och uklar, ob a a für alle a G gilt as beweise wir aber u] ei u a G gegebe (also ei beliebiges Elemet vo G gegebe) Aus (L) folgt isbesodere, dass die Gleichug b x a eie Lösug c G hat Es gilt also b c a a hat ma: a bcbcb ca as bedeutet: G ist wirklich das eutrale Elemet vo G,

10 Zu (G): ei a G fest gewählt Aus (L) folgt isbesodere, dass die Gleichug y a eie Lösug a G hat Es gilt also: a a omit ist a das liks-iverse Elemet zu a 9 Fazit Es gibt drei äquivalete Charakterisieruge vo Gruppe: - efiitio, - atz, - atz 8