Klausur zum Fach Höhere Mathematik 2 für Informatik Teil 1

Transkript

1 (Name) (Vorname) (Matrikelnummer) Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Prof. Georg Hoever Klausur zum Fach Höhere Mathematik für Informatik Teil Bearbeitungszeit: 9 Minuten Hilfsmittel: das Skript inklusive handschriftlicher Eintragungen und Formelblätter, ein einfacher Taschenrechner Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen auf diese Aufgabenblätter. Das Verlassen des Hörsaals während der Klausur ist nicht gestattet. Die Klausureinsicht findet voraussichtlich am 4.7. statt, ggf. nötige mündliche Ergänzungsprüfungen finden voraussichtlich am 4.8. statt. Mit Ihrer Unterschrift bestätigen Sie, dass Sie die obigen Klausurbedingungen gelesen haben, und dass alle 9 Aufgaben in gut leserlichem Druck vorliegen. Viel Erfolg! (Unterschrift) Aufgabe Σ Σ Σ Ma Note:

2 Aufgabe (maimal 4, minimal Punkte) Kreuzen Sie jeweils an, welches Bild die angegebene Funktion darstellt. Jedes richtige Kreuz zählt + Punkt, jedes falsche Punkt. a) f(,) = b) f(,) = e c) f(,) = +( ) d) f(r,ϕ) = e r (in Polarkoordinaten gegeben)

3 Aufgabe (5 Punkte) Gegeben seien die drei Punkte P = (,), P = (3,) und P 3 = (,). Bestimmen Sie den Punkt R, so dass die Summe der Quadrate der Abstände von R zu P, P und P 3 minimal ist. P 3 R P P 3 Anleitung: Stellen Sie eine entsprechende Abstandsfunktion d(,) zu einem allgemeinen Punkt R = (,) auf und minimieren Sie d.

4 Aufgabe 3 (5 Punkte) Sei D = [,] [,3] [,π] und f : R 3 R, f(,,z) = z sin(z). Bestimmen Sie f(,,z)d(,,z). D

5 Aufgabe 4 (3 Punkte) Führen Sie zwei Schritte des Euler-Verfahrens zur Lösung des Anfangswertproblems =, () = 3, mit Schrittweite.5 aus und skizzieren Sie die Situation.

6 Aufgabe 5 (4 Punkte)) Bei den Fourierreihen a + ( an cos(n)+b n sin(n) ) n= der im Folgenden dargestellten Funktionen sind alle Koeffizienten a n und b n für n > gleich Null. Die Koeffizienten a, a, a, b und b besitzen den Wert, oder. Geben Sie zu den Bildern die richtigen Fourierkoeffizienten an. π π π π a = a = a = a = a = a = b = b = b = b =

7 Aufgabe 6 (maimal 3, minimal Punkte) Sei A(,) eine von, R abhängige Aussage. Kreuzen Sie jeweils die Negation der folgenden Aussagen an. (Jedes richtige Kreuz zählt + Punkte, jedes falsche Punkte.) Für alle R und jedes R gilt A(,). o Es gibt ein R, so dass A(,) für jedes R nicht gilt. o A(,) stimmt für mindestens ein Paar (,) R nicht. o Für alle R gibt es ein R, so dass A(,) nicht gilt. Für alle R gibt es ein R, so dass A(,) gilt. o Es gibt ein Paar (,) R, so dass A(,) nicht gilt. o Es gibt ein R, so dass für alle R A(,) nicht gilt. o Es gibt kein Paar (,) R, so dass A(,) gilt. Es gibt ein Paar (,) R mit >, so dass A(,) gilt. o Für alle, R mit > gilt A(,) nicht. o Es gibt ein R, so dass für alle R mit > A(,) nicht gilt. o Es gibt ein R, so dass für alle R mit A(,) nicht gilt.

8 Aufgabe 7 (6 Punkte) Sei Σ = {,,3,4} und Σ alle aus den Ziffern,,3 und 4 bildbaren Zahlen inklusive der leeren Zahl. Auf Σ sei durch die folgende Angabe eine Relation R definiert: w Σ steht in Relation zu w4 und 3w. Gültige Zahlen seien alle w Σ mit R + w. a) Nennen Sie vier verschiedene gültige Zahlen. b) Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle an, ob jeweils die Aussage stimmt oder nicht. (Jeder richtige Eintrag zählt +.5 Punkte, jeder falsche -.5. Eine negative Gesamtzahl wird als Punkte für diese Teilaufgabe berechnet.) stimmt stimmt nicht 3 R 33 4 R 3 34 R 3 R 44 R 3 44 R 43 3 R + 44 R+ 344 Jede Zahl w Σ, w, deren Quersumme durch 5 teilbar ist, ist gültig. Jede gültige Zahl hat eine durch 5 teilbare Quersumme.

9 Aufgabe 8 (3 Punkte) Wieviel verschiedene Zahlen kann man aus den acht Ziffern,,,, 4, 4, 4, 8 bilden, d.h., wieviele verschiedene achtstellige natürliche Zahlen gibt es, die genau 4 Einsen, 3 Vieren und eine Acht als Ziffern besitzen?

10 Aufgabe 9 (+3+ = 7 Punkte) Betrachtet werden zwei (faire) Würfel, die statt der üblichen Zahlen eins bis sechs die folgenden Zahlen tragen: Würfel :,, 3, 5, 5, 5, Würfel :,,, 4, 6, 6. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz zu Würfel. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit beiden Würfeln der Würfel eine größere Zahl zeigt als Würfel? c) Geben Sie Zahlenwerte (aus N) für einen Würfel an, dessen Erwartungswert höher ist als der von Würfel, bei dem aber die Wahrscheinlichkeit kleiner als 5% ist, bei einem Wurf zusammen mit Würfel einen höheren Wert als Würfel zu zeigen. (Begründen Sie Ihre Angabe!)