Physik 1+2 Sommer 2007 Prof. G.Dissertori Klausur. Aufgabe 1: Gekoppelt Oszillatoren (10 Punkte)

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1 Physik + Somme 007 Po. G.Dissetoi Klausu Lösungen Augabe : Gekoppelt Oszillatoen 0 Punkte a Die Bewegungsgleichungen de beiden Massen egeben sich aus de Gleichung ü einen hamonischen Oszillato und einem Kopplungstem: mẍ = x k x x mẍ = x + k x x b Am einachsten löst man das System, indem man die Summe + und die Dieenz de beiden Gleichungen betachtet: mẍ + ẍ = x + x mẍ ẍ = x x k x x Daaus olgen mit x + = x + x und x = x x die Lösungen x + = A + cosω + t + B + sinω + t mit ω + = m + und x = A cosω t + B sinω t mit ω k = m. Man kann nun zuück tansomieen: x = x+ 0 + x 0 x = x+ 0 x 0 mit ω + = m und ω = = A + cosω + t + A cosω t + B + sinω + t + B sinω t / 3 = A + cosω + t A cosω t + B + sinω + t B sinω t / 4 + k m. c Fü die gesuchten Anangsbedingungen gilt ẋ + 0 = ω + B + = ẋ 0 = ω B = 0 und x 0 = x + 0+x 0 = A+ +A = a, sowie x 0 = x+ 0 x 0 = A+ A = 0. Also gilt ü die Koeizienten: B + = B = 0 und A + = A = a. Die Lösung des Anangswetpoblems ist also x = a cosω+ t + cosω t, x = a cosω+ t cosω t. d Duch Anwenden des Additionstheoems ü sinus und cosinus ehält man ω x = a cosω+ t + cosω + + ω ω + ω t = acos t cos ω x = a cosω+ t cosω + + ω ω + ω t = asin t sin t t. Fü eine schwache Kopplung, d.h. k entsteht eine Schwebung. Die Enegie pendelt zwischen den beiden Massen hin und he.

2 Augabe : Dimensionsanalyse 0 Punkte a Fü eine gegebene hoizontale Geschwindigkeit baucht de Ball bei einem höheen Statpunkt meh Zeit um au den Boden zu allen. Folglich liegt e auch weite in hoizontale Richtung wid gösse mit zunehmenden h 0. Fü gegebene Höhe h 0 ist die Zeit, bis de Ball zum Boden ällt konstant: Je schnelle de Ball zu Beginn liegt, desto weite weg landet e vom Abwupunkt wid gösse mit zunehmendem v 0. b Mit dem Ansatz ü und dessen Bedeutung ü die Dimensionen ehält man übe = g α h β 0 vγ 0 5 [] = [g] α [h 0 ] β [v 0 ] γ 6 m = m/s α mβ m/s γ m = m α+β+γ s α γ zwei Gleichungen - eine ü m und s Da linea in v 0 ist, olgt mit γ = : α = / und β = / und als Endesultat c Aus = v 0 t E olgt t E = h0 g. m : = α + β + γ 7 s : 0 = α γ. 8 = v 0 d Die Bewegungsgleichung in vetikale Richtung ist h 0. 9 g m v = mg. 0 Da die Anangsgeschwindigkeit in vetikale Richtung v,0 = 0 ist, ehält man als Gleichung ü die Vetikalgeschwindigkeit wähend des Fluges v t = ḣt = gt und duch nochmaliges Integieen als Gleichung ü die momentane Flughöhe ht = h 0 gt. Aus ht E = 0 olgt t E = h0 g und als Egebnis ü den Wet des dimensionslosen Faktos =.

3 Augabe 3: Doppleeekt 9 Punkte a Gegeben sind ν e = 45 Hz, ν a = 480 Hz und = 340 m/s. Ausgehend von den Fomeln ü den Doppleeekt im Falle eine bewegten Quelle und eines uhenden Beobachtes gelten olgende Beziehungen: Übe diese Beziehungen ehält man mit ν a v = ν = ν e + v ν a = ν v, / ν e = ν + v./ als Endegebnis ü die Geschwindigkeit des Feuewehautos v = ν a ν e ν a + ν e 0.7 m s ν a ν e = v ν a + ν e 74.5 km/h. Fü die Fequenz des Sienensignals egibt sich ν = ν a ν a ν e = ν aν e 45 Hz. ν a + ν e ν a + ν e b Die Bewegung des Studenten mit v St. = 5 km/h muss bei de Beechnung de Fequenz ν beücksichtigt weden: Das Feuewehauto entent sich und de Student bewegt sich als Beobachte in die selbe Richtung wie das Auto. ν e ist die Fequenz die de Beobachte in Ruhe beim Entenen des Autos höt. Somit ehalten wi ν = ν + v + v St. = ν e + v St. 430 Hz. / Beechnung de Fequenz ν : Das Feuewehauto ist in Ruhe und de Student bewegt sich als Beobachte au das Auto zu. ν = ν + v St. = ν aν e + v St. 456 Hz. / ν e + ν a c Gegeben ist λ Lase = 064 nm. Mit λ Lase ν Lase = c ehält man die Fequenz des elektieten Signales, indem man zweimal den elativistischen Doppleeekt ü die Annäheung anwendet: + β + β ν Rel. = ν Lase, / β β wobei β = v /c. Daaus olgt ü die elative Fequenzändeung mit dem Egebnis ü v aus Teil a ν = + β β = β β /

4 Augabe 4: Space Station 0 Punkte a Die Heleitung de Bahngeschwindigkeit egibt sich aus Die Umlauzeit egibt sich aus F Z! = F G m v = GmM E zu 3 GME v =./ 4 v = π T T = π./ 5 M E G b Mit G = m 3 /kgs, M E = kg GM E = m 3 /s und R E = 6378 km olgt Fü = 0 ist 0 = 6778 km 6 L = 6578 km. 7 Fü = L olgt dagegen: v 0 = GME 7.66 km/s/ 0 und 8 T 0 93 min./ 9 v L = GME 7.78 km/s/ L und 0 T L 88 min./ c Zunächst die Heleitung von E ü die Space Station au ihe Umlaubahn mit Radius : Die Enegiebilanz lautet: E = G mm E + mv a = G mm E + mgm E = GmM E. GmM E GmM E GmM E = GmM E Fds }{{} Reibungsveluste 3 = πf, 4 da F = C DAρv = m B ρv const. 5 = π m B ρv 6 a = π m B ρgm E 7

5 = π B ρ 8 9 } {{ } π B ρ }{{} = π π π B ρ. 30

6 Augabe 5: Kaussell 0 Punkte a De Dehimpuls L ist hie eine Ehaltungsgösse, d.h. dl dt = 0 da keine äusseen Käte au das System wiken. Das Tägheitsmoment de Scheibe ist I S = MR / und das des Jungen I J = m./ Die Summe de Dehimpulse ist somit L = I S ω S + I J ω J. 3 b Die zeitliche Ableitung des Gesamtdehimpulses des Systems ist L = I S ω S + I J ω J = 0. / 3 Aus de Beziehung zwischen de Winkelgeschwindigkeit des Jungen und de Winkelgeschwindigkeit de Scheibe und deen zeitliche Ableitung ω J t = ω S t + a t 33 ω J t = ω S t + a / 34 und Gleichung 3 ehält ω S I S + I J = I J a α s = ω s = a IJ I J + I S. 35 Zusammen mit Gleichung ω S t = α s t + ω 0, ω S t E = 0 und v E = at E egibt sich ü die Endgeschwindigkeit v E des Jungen elativ zu Scheibe IJ + I S v E = ω m/s. 36 I J c Die Enegiebilanz lautet: E Junge = E Rot. t E E Rot. t Mit d Fü t > t E ist E Rot. t 0 = I S + I J ω0/ und E Rot. t E = I ate J = I S + I J ω0 I S + I J / olgt I J E Junge = I S + I J ω0 I S 347 J. 38 I J Lt > t E = L 0 = I S + I J ω 0 = 340 kg m /s, 39 da de Dehimpuls ehalten ist und de Junge sich wiede mit de Scheibe deht.

7 Augabe 6: Dieselmoto Punkte De Wikungsgad des Dieselmotos ist gegeben duch η Diesel = W Q = Q Q Q = Q Q, 40 wobei W die gesamte abgegebene Abeit ist und Q die zugeühte bzw. Q die abgeühte Wämemenge ist. Wi betachten ein Mol eines idealen zweiatomigen Gases als Abeitsmedium. Die zugeühte Wäme Q im Abeitsschitt zwischen und 3 ist Q = C P T 3 T = C P R p V 3 V, 4 wobei die Zustandsgleichung ü ideale Gase benutzt wude. Die abgeühte Wäme Q zwischen 4 und ist Q = C V T 4 T = C V R p 4 p V. 4 Da de Abeitsschitt zwischen und adiabatisch ist, gilt die Adiabatengleichung p V κ = p V κ V κ p = p. 43 De Abeitsschitt zwischen 3 und 4 ist ebenalls adiabatisch und deshalb olgt mit V = V 4 und p 3 = p p 4 V κ = p 4 V κ 4 = p 3 V κ 3 = p V κ V κ V3 κ 3 p 4 = p. 44 Mit κ = C P /C V und den Gleichungen 43 und 44 wid Gleichung 40 zu V κ η Diesel = = κ C V R p 4 p V C P R p V 3 V = κ p V3 V κ p V V κ p V 3 V p V V p 4 p V p 3 V V p 45 V κ κ = V3 V V V κ V 3 V V. 46 V Mit Hile des Kompessionsvehältnisses k = V /V sowie des Expansionsvehältnisses e = V /V 3 lässt sich Gleichung 46 umomen zu η Diesel = κ e = e k κ κ κ k e 47 k κ k. 48 k e Da das Abeitsgas ein zweiatomiges, ideales Gas ist, hat es 3 tanslatoische und otatoische Feiheitsgade = 3 + = 5. Somit wid κ = C P C V = C V + R C V = kn A + R kn = A κ e R + R R = + = 7 =.4, 49 5

8 und mit den angegebenen Weten k = 4 und e = 5 lieet dies den gesuchten Wikungsgad η Diesel = = 55.4 %. 50