Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zu Blatt 12. Präsenzübungen

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Holger Seidel
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1 Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 13/14 Übungen zur Theoretischen Physik 1 Lösungen zu Blatt 1 Präsenzübungen (P7) Viererimpuls und relativistisches Electron im Plattenkondensator (a) Es gilt dτ = 1 c (d x d x c ) = (1 β ) mit v = d x, Da stets v < c sein muß, ist dτ >. β = v c. (1) (b) Da dτ = dx dx/c ein Vierer-Skalarprodukt ist, ist es eine invariante Größe, d.h. sie ändert sich nicht unter Lorentz-Transformationen. Da x ein Vierervektor ist und die Masse m des Teilchens sich nicht unter Lorentz-Transformationen ändert, ist demnach p ein Vierervektor. Weiter gilt Demnach ist dτ = [,1[ dτ = 1. () p = m d x dτ = m d x dτ = m v. (3) Zuweilen wird m/ als relativistische Masse bezeichnet. Es sei ausdrücklich betont, daß in dieser Übung m stets die Ruhemasse bezeichnet, also eine relativistische Invariante! Für die vierte Komponente des Viererimpulses folgt Für β 1 finden wir durch Taylor-Entwicklung p 4 = i β p 4 = i dτ = i. (4) 1 + β = i c + m v Es liegt also nahe die relativistische Energie des Teilchens als = ic p 4 =. (5) = + m β v. (6) zu definieren. D.h. es ist sinnvoll, in der relativistischen Mechanik in die Gesamtenergie die Ruheenergie = einzubeziehen. Demnach ist die kinetische Energie kin = = 1. 1 (7)

2 Nur wenn man in die relativistische Energie des Teilchens die Ruheenergie einbezieht, ist der Viererimpuls p p = (8) i/c ein Vierervektor. (c) Wegen (3) und (4) gilt p p = p + p 4 = m ( v c ) = m c. (9) Bemerkung: Daraus folgt die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls: = c p m +. (1) c Der nichtrelativistische Limes folgt für p /c m durch Taylor-Entwicklung der Wurzel: = p p = + p m c m. (11) (d) Leiten wir (9) nach der Zeit ab, ergibt sich, da m c = const, d.h. wir erhalten d p p =. (1) In räumlichen und zeitlichen Komponenten getrennt geschrieben ergibt sich mit (8) p 4 dp 4 = c d Wegen (3) ist p ( v B) = und damit Aus (3) und (6) folgt schließlich = p d p = p q( E + v B). (13) d = q c p E. (14) d = q v E = v F. (15) Dies zeigt, daß auch in der relativistischen Physik die übliche Beziehung zwischen Leistung und Energie gilt. Da die magnetischen Kraft F mag = q v B stets senkrecht zu v ist, verrichtet sie keine Arbeit an dem Teilchen. Wir schreiben schließlich mit Hilfe von (8) die Gl. (14) mit Hilfe von p 4 : d p 4 = q p 4 E p. (16)

3 (e) Um alle Zeitableitungen in Ableitungen nach der Eigenzeit τ umzuschreiben, bemerken wir zunächst, daß wegen (), (6) und (8) dτ = 1 = = i p 4 (17) gilt. Damit folgt aus der Bewegungsgleichung für den Impuls d p dτ = d p dτ = q ( i p 4E cb p) (18) und wegen (16) d p 4 dτ = dp 4 = +i q E p. (19) dτ Bemerkung 1: Für (18) haben wir bereits (35) verwendet. Bemerkung : Die Gleichungen (18) und (19) kann man in vierdimensionaler Form als zusammenfassen. Dabei ist dp dτ = q ˆF p () cb 3 cb ie 1 ˆF = cb 3 cb 1 ie cb cb 1 ie (1) 3 ie 1 ie ie 3 der sogenannte Faraday-Tensor der elektromagnetischen Feldstärke. Da sowohl die Ladung q als auch die (invariante) Masse m relativistische Invarianten sind, p ein Vierervektor ist, und auch d p/dτ ein Vierervektor ist, können wir auf das Transformationsverhalten dieses Vierertensors schließen. Es sei ˆΛ eine beliebige orthogonale Lorentz-Transformationsmatrix. Dann gilt d p dτ = ˆΛ d p dτ = q ˆΛ ˆF p = q ˆΛ ˆF ˆΛ 1 p. () Es ist also der Faraday-Tensor im neuen Inertialsystem ˆF = Λ ˆF ˆΛ 1 = Λ ˆF ˆΛ T. (3) (f) Für den Fall B = und E = E e 3 lauten die Bewegungsgleichungen (18) und (19) für die Komponenten des Viererimpulses dp 1 =, dτ (4) dp =, dτ (5) dp 3 dτ = i q p 4 E, (6) dp 4 dτ = i q p 3 E. (7)

4 Leiten wir (6) nach τ ab und verwenden (7) auf der rechten Seite, erhalten wir d p 3 qe dτ = p 3. (8) Diese lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, läßt sich mit dem Standardansatz p 3 (τ) = Aexp(λτ) lösen. Dabei ergibt sich p 3 (τ) = Aexp(λτ) + B exp( λτ) mit λ = qe. (9) Aus der Anfangsbedingung p 3 () = folgt B = A und damit Mit (6) finden wir p 3 (τ) = Asinh(λτ). (3) p 4 = iacosh(λτ). (31) Für (4) und (5) erhalten wir unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen p 1 () = p und p () = p 1 (τ) = p, p (τ) =. (3) Um A zu bestimmen, verwenden wir (9). Dies ergibt wobei wir die Identität der Hyperbelfunktionen benutzt haben. (g) Aus (3) und (4) folgt sofort, daß A = 1 m c + p, (33) cosh (λτ) sinh (λτ) = 1 (34) v = i pc p 4 Mit der Lösung (3-33) für den Viererimpuls ergibt sich = c p. (35) p c v = m c + p cosh(λτ). (36) m c + p sinh(λτ) Quadrieren ergibt v = c (m c + p )cosh (λt) [ p (1 + sinh (λt)) + m c sinh (λt)] = c p + m c tanh (λτ) m c + p. (37) Wegen tanh(λτ) < 1 ist auch stets v < c, d.h. das Teilchen erreicht die Lichtgeschwindigkeit nur asymptotisch für τ.

5 (h) Um auch die Ortskoordinaten des Teilchens zu erhalten, müssen wir nur (3) und (3) hochintegrieren: τ p τ/m x(τ) = 1 m dτ p(τ ) = c m c + p qe [cosh(λτ) 1] Der Zusammenhang zur Zeit im Laborsystem ergibt sich durch Integration von p 4 : 1 t = i τ. (38) m dτ p 4 (τ c + p ) = sinh(λτ). (39) qe Für p und λτ 1 erhalten wir den nichtrelativistischen Limes. Dabei stellt die erste Bedingung sicher, daß die Geschwindigkeit des Teilchens zu Beginn der Bewegung bei τ = noch sehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit ist und die zweite, daß τ so klein ist, daß die Geschwindigkeit noch nicht zu groß geworden ist. Dann können wir die einzelnen Größen in (38) und (39) wie folgt entwickeln: m c + p + p, cosh(λτ) 1 λ τ, sinh(λτ) λτ. (4) Damit wird zunächst aus (39) und damit t τ (41) x 1 p m t, x 3 1 qe m t. (4) Dies entspricht genau der Lösung des Problems in der Newtonschen Mechanik: Das Elektron erfährt im elektrischen Feld in nichtrelativistischer Näherung die konstante Beschleunigung a = q E/m, und die Lösung (4) der Bewegungsgleichung entspricht genau der eines waagrechten Wurfes, also (4).

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