Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum

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1 Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Protokoll-Nr.: 11 Digitalschaltungen Protokollant: Jens Bernheiden Gruppe: 2 Aufgabe durchgeführt: Protokoll abgegeben: Note:

2 2

3 Theoretische Grundlagen Digitale Geräte erscheinen auf den ersten Blick relativ kompliziert. Ihr Aufbau beruht jedoch auf dem einfachen Konzept der wiederholten Anwendung weniger logischer Grundschaltungen. Die Verknüpfung dieser Grundschaltungen erhält man aus der Problemstellung durch Anwendung rein formaler Methoden. Die Hilfsmittel dazu liefert die Boolesche Algebra, die im speziellen Fall der Anwendung auf die Digitalschaltungstechnik als Schaltalgebra bezeichnet wird. Im Gegensatz zu einer Variablen in der normalen Algebra kann eine logische Variable nur zwei diskrete Werte annehmen, die im allgemeinen als logische Null (0) und logische Eins (1) bezeichnet werden. Es gibt drei grundlegende Verknüpfungen zwischen logischen Variablen: die Konjunktion, die Disjunktion und die Negation. Konjunktion: y= a b (1) Disjunktion: y= a b (2) Negation: y= a (3) Für diese Rechenoperationen gelten eine Reihe von Theoremen, die hier kurz aufgeführt werden sollen: (4) Kommutatives Gesetz: a b= b a a b= b a Assoziatives Gesetz: a ( b c) = ( a b) c a ( b c) = ( a b) c Distributives Gesetz: a ( b c) = ( a b) ( a c) a ( b c) = ( a b) ( a c) Absorptionsgesetz: a ( a b) = a a ( a b) = a Tautologie: a a= a a a = a Gesetz für Negation: a a= 0 a a =1 = a Doppelte Negation: ( a) De Morgans Gesetz: a b= a b a b= a b 0 und 1 Operationen: a 1 = a a 1= 1 a 0= 0 a 0 = a 0= 1 1= 0 Alle logischen Grundfunktionen lassen sich mittels der drei Booleschen Verknüpfungen Negation, Konjunktion und Disjunktion ausdrücken. Sie stellen ein vollständiges logisches System dar. Alle logischen Grundfunktionen lassen sich auch durch die Funktionen Nand oder Nor ausdrücken. Jede dieser Funktionen stellt für sich ein vollständiges logisches System dar. Praktisch bedeutet das, daß jede beliebige Verknüpfung auf der Grundlage einer einzigen logischen Grundfunktion realisiert werden kann. Die folgende Übersicht zeigt die Funktionstabelle der Konjunktion, der Disjunktion, der NAND- Funktion und der NOR-Funktion. Konjunktion Disjunktion Nand NOR a b y a b y a b y a b y Boolesche Funktion für NAND: y= a b= a b (5) Boolesche Funktion für NOR: y= a b= a b (6) Die technische Realisierung eines Datenverarbeitungssystems bedingt zunächst eine eindeutige Zuordnung der binären Signalgrößen zu den logischen Aussagen 0 und 1. Es ist üblich, die Signalpegel in einer Schaltung, in der als Signalgröße eine Spannungsamplitude verwendet wird, mit den Symbolen H und L zu bezeichen, wobei H das höhere und L das niedrigere Potential bezeichnet. 3

4 Je nach Zuordnung dieser Signalpegel zu den logischen Aussagen spricht man von einer positiven Logik, wenn H = 1 und L = 0 bedeutet, oder von einer negativen Logik, wenn H = 0 und L = 1 bedeutet. In der Digitaltechnik ist die Problemstellung meist in Form einer Funktionstabelle gegeben. Die Aufgabe besteht dann zunächst darin, eine logische Funktion zu finden, die diese Funktionstabelle erfüllt. Im nächsten Schritt wird diese Funktion auf die einfachste Form gebracht. Dann kann man sie durch entsprechende Kombination der logischen Grundschaltungen realisieren. Zur Aufstellung der logischen Funktion bedient man sich in der Regel der konjunktiven bzw. der disjunktiven Normalform, die im folgenden beschrieben werden sollen. Disjunktive Normalform Hier werden Elementarkonjunktionen gebildet, die disjunktiv verknüpft werden. Sinnvoll ist dieses Verfahren, wenn weniger H als L abzubilden sind. Man geht folgendermaßen vor: 1. Man sucht in der Wahrheitstafel alle Zeilen auf, in denen die Ausgangsvariable y den Wert 1 besitzt. 2. Von jeder dieser Zeilen bildet man die Konjunktion aller Eingangsvariablen; und zwar setzt man x i ein, wenn bei der betreffenden Variablen eine 1 steht, andernfalls x i. Auf diese Weise erhält man gerade soviele Elementarkonjunktionen wie Zeilen mit y = Die gesuchte Funktion erhält man schließlich, indem man die Disjunktion aller gefundenen Elementarkonjunktionen bildet. Konjunktive Normalform Hier werden Elementardisjunktionen gebildet, die konjunktiv verknüpft werden. Sinnvoll ist dieses Verfahren, wenn weniger L als H abzubilden sind. Man geht folgendermaßen vor: 1. Man sucht in der Wahrheitstafel alle Zeilen auf, in denen die Ausgangsvariable y den Wert 0 besitzt. 2. Von jeder dieser Zeilen bildet man die Disjunktion aller Eingangsvariablen; und zwar setzt man x i ein, wenn bei der betreffenden Variablen eine 0 steht, andernfalls x i. Auf diese Weise erhält man gerade soviele Elementardisjunktionen wie Zeilen mit y = Die gesuchte Funktion erhält man schließlich, indem man die Konjunktion aller gefundenen Elementardisjunktionen bildet. Karnaugh-Tafel-Verfahren Ein wichtiges Hilfsmittel zur Gewinnung einer möglichst einfachen logischen Funktion ist das Karnaugh-Tafel-Verfahren. Es ist nichts weiter als eine andere Anordnung der Wahrheitstafel. Die Werte der Eingangsvariablen werden dabei nicht einfach untereinander geschrieben, sondern an dem horizontalen und vertikalen Rand eines schachbrettartig unterteilten Feldes angeordnet. Bei einer geraden Anzahl von Eingangsvariablen schreibt man die Hälfte an den einen Rand und die andere Hälfte an den anderen. Bei einer ungeraden Anzahl von Variablen muß man an einem Rand eine Variable mehr anschreiben als an dem anderen. Die Anordnung der verschiedenen Kombinationen der Eingangsvariablen muß so vorgenommen werden, daß sich jeweils nur eine Variable ändert, wenn man von einem Feld zum Nachbarfeld übergeht. In die Felder selbst werden die Werte der Ausgangsvariablen y eingetragen, die zu den an den Rändern stehenden Werten der Eingangsvariablen gehören. Da die Karnaugh-Tafel nur eine vereinfachte Schreibweise der Wahrheitstafel ist, kann man aus ihm die disjunktive und die konjunktive Normalform der zugehörigen logischen Funktion auf die schon beschriebene Weise gewinnen. Der Vorteil besteht darin, daß man mögliche Vereinfachungen leicht erkennen kann. Bei der Minimalisierung nach dem Karnaugh-Tafel-Verfahren werden dazu Blöcke gebildet, für die folgende Regeln gelten: 1. Immer 2 m (m ganzzahlig) H oder L, die unmittelbar benachbart sind, werden zu einem Block zusammengefaßt. 2. Überlappungen der Blöcke sind zugelassen. 3. Durch Über den Rand falten werden die Felder an den Rändern zu benachbartebn Feldern. 4

5 4. Die Blöcke sind so zu bilden, daß möglichst wenig und möglichst große Blöcke entstehen. Das Karnaugh-Tafel-Verfahren soll nun an einem Beispiel veranschaulicht werden. Gegeben sei folgende Funktionstabelle, deren logische Funktion im Karnaugh-Tafel-Verfahren entwickelt werden soll. a b c d y b a a b d c c 1.) 2.) Die Karnaugh-Tafel neben der Funktionstabelle kann man nun nach den H oder nach den L entwickeln (analog zur disjunktiven bzw. konjunktiven Normalform). Nach den H (siehe 1.)) entwickelt ergibt sich: I1 = a I2 = b y= a b Nach den L (siehe 2.)) entwickelt ergibt sich: I1 = a b y= a b 1 d Kombinatorische und sequentielle Schaltungen In der Digitaltechnik unterscheidet man zwischen kombinatorischen und sequentiellen Schaltungen. Unter kombinatorischen Schaltungen werden binäre Schaltungen verstanden, bei denen der Zustand der Ausgangsvariablen allein vom Zustand der Eingangsvariablen abhängig ist. Zu den kombinatorischen Schaltungen gehören die elementaren Verknüpfungen wie Identität, Konstanz, Negation, Konjunktion, Disjunktion, Äquivalenz und Antivalenz. Bei einer Zahl von n Eingängen gibt es 2 n verschiedene Verknüpfungen oder Funktionen. Die rechnerische Behandlung der kombinatorischen Schaltungen ist im Vorfeld beschrieben worden. Im Gegensatz zu den kombinatorischen Schaltungen ist der Ausgangszustand der sequentiellen Schaltungen neben der Eingangsbelegung noch zusätzlich von sogenannten inneren Variablen abhängig, in denen die Vorgeschichte der Schaltung gespeichert ist. Vertreter dieser Gruppe von binären Schaltungen sind RS-Flip-Flops, D-Flip-Flops und JK-Flip-Flops. Wichtige Anwendungen von sequentiellen Schaltungen sind Schieberegister und Zähler. Schieberegister sind Kettenschaltungen von mehreren Flip-Flops, die alle durch den gleichen Takt gesteuert werden, wobei nach Eintreffen des Taktimpulses jeweils der nachfolgende Flip-Flop die Ausgangsbelegung des vorangehenden Flip-Flops auf seinen Ausgang übernimmt. Wird der Ausgang des letzten Flip-Flops wieder auf den Eingang des ersten Flip-Flops der Kette zurückgeführt, erhält man als Sonderform den Ringzähler. Schieberegister können zur Wandlung serieller Datenströme in parallele und umgekehrt genutzt werden. Sie eignen sich als Verzögerungseinheiten und zur Realisierung von Taktimpulssystemen. Zähler bestehen aus mehreren Flip-Flops, deren Ausgangsbelegungen mehrere Zustände durchlaufen, so daß sie zum Zählen dienen können. Bei einer Zählschaltung aus n Flip-Flops gibt es 2 n verschiedene Zustände. Nachdem alle Zustände durch den Takt gesteuert durchlaufen wurden, wiederholt sich der Vorgang periodisch. Ordnet man den Ausgangspegeln die Werte 0 bzw. 1 und den verschiedenen Ausgängen Wertigkeiten entsprechend dem Dualzahlensystem zu, erhält man einen Dualzähler. Wird der Taktimpulseingang der nachfolgenden Zählstufen durch die Ausgangsimpulse der vorhergehenden Zählstufen erzeugt, spricht man von asynchronen Zählern. Schneller als asynchrone Zähler sind synchrone Zähler, bei denen der Taktimpuls parallel auf alle Zählstufeneingänge geführt wird. Die Abfolge der verschiedenen Zustände wird bei den synchronen Zählern erreicht, indem das Verhalten der nacholgenden Stufen über Vorbereitungseingänge gesteuert wird, die vom Zustand der vorhergehenden Ausgänge abhängig sind. Durch Verwendung zusätzlicher Rückführungen kann erreicht werden, daß ein oder mehrere Zustände der 2 n möglichen Zustände übersprungen werden. So 5

6 kann man Zähler mit einstellbarer Zahl von Zuständen pro Periode erreichen, wie z.b. Dezimalzähler. Schließlich ist Vorwärts- oder Rückwärtszählen möglich, wobei die Taktimpulsbelegung bei den asynchronen Zählern bzw. die Vorbereitung bei den synchronen Zählern durch die Q- oder die Q - Ausgänge zu erfolgen hat. Wie die exakte Zuordnung ist, hängt davon ab, ob das Schalten mit der positiven oder mit der negativen Flanke erfolgt. 6

7 Versuchsdurchführung Vorbemerkungen Alle Versuche wurden mit dem Logikkasten durchgeführt. Im Logikkasten sind unter anderem 10 Eingangs- und 10 Ausgangsbuchsen, 6 JK-Flip-Flops, 6 D-Flip-Flops und 16 Nand-Gatter integriert. Zu den Eingängen gibt es jeweils eine Buchse für das Negat. Der Logikkasten enthielt weiterhin einen automatischen Takt, der von 0,4 Hz bis 70 Hz regelbar war und einen Takt, der von Hand gesteuert werden konnte. Mit Hilfe der Anzeigelämpchen konnten L und H unterschieden werden. Der Logikkasten wurde vom Netzgerät PS 280 D Power Supply mit einer Spannung von 5 V versorgt. Es wurde der feste Ausgang des Netzgerätes verwendet. 7

8 Exklusiv-Oder-Schaltung 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie eine Exklusiv-Oder-Schaltung a) in kanonischer disjunktiver Normalform b) mit 4 NAND-Gattern! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Tabelle 1: Funktionstabelle der Exklusiv-Oder-Schaltung a b y L L L L H H H L H H H L Benutzt man die disjunktive Normalform zur Herleitung des schaltalgebraischen Ausdrucks, so ergibt sich: K a b 1 = K a b 2 = y ( a b) ( a b) = (7) Zur schaltungstechnischen Realisierung ist es nötig, diesen Ausdruck in NAND-Ausdrücke umzuformen. y= ( a b) ( a b) = ( a b) ( a b) (8) Um die Exklusiv-Oder-Schaltung mit 4 NAND-Gattern realisieren zu können, sind einige Umformungen nötig. Ausgangspunkt bildet die Formel 7. = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( a ( a b) ) ( b ( a b) ) ( a a b) ( b a b) ( a a b) ( b a b) y a b a b a b a a a b b b = = = (9) Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die Exklusiv-Oder-Schaltung, wobei die Schaltung nach Abbildung 1 nach der Formel 8, die nach Abbildung 2 nach der Formel 9 realisiert wurde. a b a y y b Abbildungen 1, 2: 1) 2) 1) Exklusiv-Oder-Schaltung in disjunktiver Normalform 2) Exklusiv-Oder-Schaltung mit 4 NAND-Gattern 8

9 Die Schaltungen nach den Abbildungen 1 und 2 wurden aufgebaut und überprüft. Die Funktionstabelle der Exklusiv-Oder-Schaltung wurde mit beiden Schaltungen bestätigt. Volladder 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen Volladder! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 3 zeigt die Schaltung eines Volladders mit Nand-Gattern a b s c ü Abbildung 3: Volladder Für das Summenbit s und das Übertragsbit ü ergeben sich hier folgende logischen Ausdrücke: s= ( a b c) ( a b c) ( a b c) ( a b c) (10) ü= ( a b) ( a c) ( b c) (11) Tabelle 2: Verknüpfungstabelle des Volladders a b c s ü L L L L L L L H H L L H L H L L H H L H H L L H L H L H L H H H L L H H H H H H * Die Schaltung nach Abbildung 3 wurde aufgebaut und überprüft. Die Verknüpfungstabelle des Volladders wurde bestätigt. 9

10 RS-Flip-Flop 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen RS-Flip-Flop aus NAND-Gattern und überprüfen Sie die Zustandsfolgetabelle für alle Übergänge von S und R! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 4 zeigt die Schaltung für ein RS-Flip-Flop aus NAND-Gattern. S Q Q R Abbildung 4: RS-Flip-Flop Tabelle 3: Zustandstabelle des RS-Flip-Flops S R Q 1. L L H H 2. L H H L 3. H L L H 4. von 1. auf 4. H H H L L H 4. von 2. auf 4. H H H L 4. von 3. auf 4. H H L H Q Die Schaltung nach Abbildung 4 wurde aufgebaut und überprüft. Die Zustandstabelle des RS-Flip-Flops wurde bestätigt. Beim Übergang in Tabbelle 3 von R=S=L auf R=S=H kommt es zu Kritischen Wettläufen. Der stabile Endzustand, der Weg und die Zeit dahin hängen von der zufälligen Verteilung der Schaltgeschwindigkeiten ab. Im Versuch wurde dieser Übergang überprüft. Zuerst erschien bei Q ein H und bei Q ein L. Nachdem ein Nand-Gatter ausgetauscht wurde, war Q=L und Q =H. Die Schaltgeschwindigkeiten der einzelnen Gatter spielen hier also eine wichtige Rolle. 10

11 Schieberegister mit 4 D-Flip-Flops und Ringzähler 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie ein Schieberegister mit 4 D-Flip-Flops und prüfen Sie die Funktionsweise! Wandeln Sie weiter das Schieberegister in einen Ringzähler um! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 5 zeigt ein Schieberegister mit 4 D-Flip-Flops. In Abbildung 6 ist ein Ringzähler mit 4 D-Flip-Flops zu sehen. E Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 3 Q 3 Q 4 Q 4 D T D T D T D T T Abbildung 5: Schieberegister mit 4 D-Flip-Flops Q 4 Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 3 Q 3 Q 4 D T D T D T D T T Abbildung 6: Ringzähler Die Tabelle 4 zeigt die Zustandsfolgetabelle des Schieberegisters nach Abbildung 5, wenn gerade ein H an das erste D-Flip-Flop gelegt wurde. Tabelle 4: Zustandsfolgetabelle eines Schieberegisters Takt Q0 Q1 Q2 Q Die Schaltungen nach den Abbildungen 5 und 6 wurden aufgebaut und überprüft. Die Zustandsfolgetabelle des Schieberegisters wurde bestätigt. 11

12 Asynchroner 4-stufiger Dualzähler mit JK-Flip-Flops 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen asynchronen 4-stufigen Dualzähler mit JK-Flip-Flops! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 7 zeigt einen asynchronen 4-stufigen Dualzähler mit JK-Flip-Flops. Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 H Zl Lö S J K R S J K R S J K R S J K R Abbildung 7: Asynchroner Dualzähler Tabelle 5: Zustandsfolgetabelle des asynchronen 4-stufigen Dualzählers n Q Q Q Q Die Schaltung nach Abbildung 7 wurde aufgebaut und überprüft. Die Zustandsfolgetabelle des asynchronen 4-stufigen Dualzählers wurde bestätigt. 12

13 Synchroner 4-stufiger Dualzähler mit JK-Flip-Flops 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen synchronen 4-stufigen Dualzähler mit JK-Flip-Flops! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 8 zeigt einen synchronen 4-stufigen Dualzähler. Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 H J K Zl Abbildung 8: Synchroner 4-stufiger Dualzähler Tabelle 6: Zustandsfolgetabelle des synchronen 4-stufigen Dualzählers n Q Q Q Q Die Schaltung nach Abbildung 8 wurde aufgebaut und überprüft. Die Zustandsfolgetabelle des synchronen 4-stufigen Dualzählers wurde bestätigt. 13

14 Synchroner Dezimalzähler mit JK-Flip-Flops 1. Meßaufgabe: Realisieren Sie einen synchronen Dezimalzähler mit JK-Flip-Flops! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 9 zeigt einen synchronen Dezimalzähler. Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 H J K Q 3 Zl Abbildung 9: Synchroner Dezimalzähler Tabelle 7: Zustandsfolgetabelle des synchronen Dezimalzählers n Q Q Q Q Die Schaltung nach Abbildung 9 wurde aufgebaut und überprüft. Die Zustandsfolgetabelle des synchronen Dezimalzählers wurde bestätigt. 14

15 Synchroner 13-stufiger Zähler mit JK-Flip-Flops 1. Meßaufgabe: Entwerfen und erproben Sie einen synchronen 13-stufigen Zähler mit JK-Flip-Flops! 2. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Abbildung 10 zeigt einen synchronen 13-stufigen Zähler. Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 H J K Zl Abbildung 10: Synchroner 13-stufiger Zähler Tabelle 8: Zustandsfolgetabelle dieses synchronen 13-stufigen Zählers n Q Q Q Q Die Schaltung nach Abbildung 10 wurde aufgebaut und überprüft. Die Zustandsfolgetabelle des synchronen 13-stufigen Zählers wurde bestätigt. 15

16 Zusammenfassung Im Rahmen dieses Versuches wurden die Exklusiv-Oder-Schaltung, der Volladder, das RS-Flip-Flop, der asynchrone und der synchrone 4-stufige Dualzähler, der synchrone Dezimalzähler, der synchrone 13-stufige Zähler realisiert. Die Funktionsweisen der einzelnen Schaltungen wurden überprüft. Die Ergebnisse der Versuche und die theoretischen Werte für die einzelnen Schaltungen stimmten bei allen Schaltungen überein. 16

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