c) f(x)= 1 4 x x2 + 2x Überprüfe, ob der Punkte A(3/f(3)) in einer Links- oder in einer Rechtskrümmung liegt!
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- Helene Schmitz
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1 Zusätzliche Aufgaben zum Üben für die SA_2 1) a) Leite eine Formel zur Berechnung des Scheitels einer Parabel mit Hilfe der Differentialrechnung her! b) Was kann man aus folgenden Berechnungen schließen? f (-1) = 0 und f (-1) = 0. c) f(x)= 1 4 x x2 + 2x Überprüfe, ob der Punkte A(3/f(3)) in einer Links- oder in einer Rechtskrümmung liegt! 2) Von der Aussichtsplattform eines Aussichtsturms (h 0 = 100 m) wird ein Kieselstein mit v 0 = 40 m/s empor geschleudert. Die Funktion h gibt die Flughöhe h(t) (in m) in Abhängigkeit der Zeit t (in s) wieder. h(t) = h 0 + v 0 t g 2 t2 g 10 m/s 2 a) Was bedeutet der Ausdruck h (1) = 1 im Kontext der Aufgabe? b) Mit welcher Geschwindigkeit prallt der Stein am Boden auf? c) Was wird mit dem Ausdruck h(4) h(0) im Sachzusammenhang berechnet ) Die Kostenfunktion eines Unternehmens lässt sich näherungsweise durch die Funktion K mit K(x) = 0,01x 3 0,3x x x Produktionsmenge in ME, wobei gilt: 1 ME = Stück K(x) Kosten bei der Produktionsmenge x in Geldeinheiten (GE), wobei gilt: 1 GE = ). a) Berechnen Sie den Wendepunkt der Kostenfunktion und geben Sie an, was die errechneten Koordinaten im Sachzusammenhang bedeuten. Schreiben Sie einen Antwortssatz in Stück und Euro. b) Jemand berechne K (40) = 34. Erklären Sie, was mit dieser Rechnung im Sachzusammenhang berechnet wurde und begründen Sie, ob es eine zweite Möglichkeit gibt, den gefragten Wert zu ermitteln. c) Jemand führt folgende Rechnung durch. Erklären Sie die Bedeutung der errechneten Zahl im Sachzusammenhang! Welche Einheit hat die errechnete Zahl?
2 4) Ein Skaterpark ist ein speziell für Skater/innen eingerichteter Bereich mit Startrampen und verschiedenen Hindernissen, die befahren werden können. a) Im einfachsten Fall ist eine Startrampe eine geneigte ebene Fläche. In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt einer Startrampe dargestellt. Ein Hersteller von Startrampen gibt folgende Maße an: Höhe: 1,45 m Länge: 5,3 m Eine Norm schreibt vor, dass die Steigung maximal 20 % betragen darf. Überprüfe nachweislich durch händische Rechnung, ob diese Norm eingehalten wird! b) Der Verlauf einer anderen Rampe im Querschnitt kann näherungsweise durch folgende quadratische Funktion f modelliert werden: f(x) = x2 mit 0 x 160 x horizontale Koordinate in Zentimetern (cm) f(x)... Höhe an der Stelle x in cm Berechne, in welcher Höhe diese Rampe einen Steigungswinkel von 30 hat! c) Eine Quarterpipe ist so konstruiert, dass die Skater/innen an der Kante senkrecht nach oben springen können. Die Höhe über der Absprungkante, die sie dabei erreichen, lässt sich durch die Weg-Zeit-Funktion h beschreiben: h(t) = v 0 t g 2 t2 In einem Lehrbuch findet man folgende Rechnung ausgeführt: h (t) = v 0 g t 0 = v 0 g t t = v 0 g 2 H = h( v 0 ) = v 0 g 2 g Antworte genau, was mit T und H in diesem Sachzusammenhang berechnet wird!
3 5) Ermittle die lineare Nachfragefunktion p(x) und die Erlösfunktion, berechne den Höchstpreis, die Sättigungsmenge und die Menge, bei der der maximale Erlös erzielt wird! Zum Preis von 40 GE/ME können 100 ME verkauft werden, für 20 GE/ME 200 ME. 6) Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) und die Nachfragefunktion p(x). Berechne die Gewinnschwelle, die Gewinngrenze und den Cournot'schen Punkt. K(x) = 0,02x² + 0,1x + 72; p(x) = -0,012x + 4,9 7) Die Gewinnfunktion eines Monopolbetriebes lautet: G(x) = -7x x Die lineare Nachfragefunktion hat den Höchstpreis p = GE und die Sättigungsmenge x = 480 ME. a) Wie lautet die Preis-Absatz-Funktion? b) Wie lautet die Kostenfunktion? c) Wie groß ist der maximale Gewinn? d) Für welche Produktionsmenge erreicht man das Betriebsoptimum? e) Berechne die langfristige Preisuntergrenze! 8) Von einer Kostenfunktion 3. Grades ist bekannt: Die Fixkosten betragen GE. Der minimale Kostenzuwachs liegt bei der Produktion von 30 ME. Das Betriebsoptimum liegt bei der Produktion von 150 ME. Bei der Produktion von 30 ME betragen die Grenzkosten 2,4 GE/ME. Ermittle die Gleichung der Kostenfunktion! 9) a) Erstelle die Gleichung der Gewinnfunktion (vereinfacht angeben)! b) Wie hoch ist der maximale Gewinn? c) Wie sollte der Verkaufspreis pro ME festgelegt werden? d) Berechne die Durchschnittskosten für die gewinnmaximierende Produktionsmenge! e) Berechne die langfristige Preisuntergrenze!
4 10) a) Ermittle das Betriebsoptimum grafisch! b) Wie hoch ist in die langfristige Preisuntergrenze für diese Kostenfunktion? 11) Nachstehend ist ein Weg-Zeit-Diagramm gezeichnet. s [m] a) Lies so genau wie möglich ab, wann die maximale Geschwindigkeit erreicht wird und wie hoch sie zu diesem Zeitpunkt ist! b) Wann ist die Beschleunigung null? [s] t
5 12) Die beiden geradlinigen Straßenstücke sollen in den Anschlusspunkten B und C durch eine geeignete Polynomfunktion glatt (die Steigung von f im Anschlusspunkt B soll gleich sein der Steigung von g im Anschlusspunkt, ebenso soll die Steigung im Anschlusspunkt C gleich sein der Steigung von C in h)und krümmungsruckfrei (die Anschlusspunkte sollen Wendepunkte sein) verbunden werden. a) Überprüfe, welche der geforderten Bedingungen durch die vorgeschlagene Funktion f mit der Gleichung f(x) = x x x x x eingehalten werden und welche nicht! b) Erstelle selbst eine Funktionsgleichung, die alle geforderten Bedingungen erfüllt- 13) Ein Tischtennisball wird 60 cm vor und 10 cm über der Tischplatte so getroffen, dass er mit einem Steigungswinkel von 10 aufsteigt und das gegnerische Feld erst auf der Tischkante trifft. (Hinweis: tan(alpha) = k = f (d)) a) Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn man von einer parabelförmigen Bahn ausgeht? b) Wie groß ist die höchste Höhe, die der Ball erreicht? c) Wie hoch fliegt der Ball über das Netz?
6 14) f(x) = 1 8 x4 3 4 x2 + x 3 8 a) Erkläre, wie du beweisen kannst, dass diese Funktion an der Stelle x = 1 einen Sattelpunkt hat! Führe die Überprüfung durch! b) Um wie viel Prozent ist der Funktionswert an der Stelle 3 größer als an der Stelle 1? 15) a) Bestimme die Momentangeschwindigkeit von Fahrzeug A nach 5 Fahrsekunden! b) Wann hat Fahrzeug B seine Höchstgeschwindigkeit erreicht? c) Mit welcher konstanten Geschwindigkeit hätte Fahrzeug B fahren müssen, damit es im Zeitintervall [0;10] denselben Weg wie im Diagramm dargestellt, zurückgelegt hätte? Ergänze den entsprechenden Graphen dieser Zeit-Weg-Funktion im Diagramm! 16) Die Abbildung zeigt unten den Graphen einer Kostenfunktion. Die Produkte der Firma werden zu einem Preis von 1000 Euro pro Stück verkauft. a) Zeichne den Graphen der Erlösfunktion ein! b) Lies den Break-Even-Point ab und gib an, was er bedeutet. c) Skizziere den Graphen der Gewinnfunktion und lies den maximalen Gewinn so genau wie möglich ab! d) Ermittle das Betriebsoptimum grafisch und gib die langfristige Preisuntergrenze an!
7 Kosten in Stück x
8 17) Hier ist eine Funktion f gezeichnet: Kreuze richtige Aussagen an und stelle bei falschen Aussagen den gelb markierten Teil richtig. a) Der Differenzenquotient über dem Intervall [0;2] beträgt 2,5. b) Der Funktionswert an der Stelle 4 ist um 66, 6 % kleiner als an der Stelle 2. c) An der Stelle 6 ist die genaue Änderung der Funktion am kleinsten. d) f (1) 2 e) f (8) > f (1) f) f (4) < 0 g) f (7) > 0
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