Wesentliche Sätze (Analysis 1 für Lehramt)

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1 Wesentliche Sätze (Analysis für Lehramt) Inhaltsverzeichnis Alexander Schmalstieg TU Dortmund, Wintersemester 203/204 Wichtige Formeln 2 Folgen 2 3 Maxima und Suprema 3 4 Gleichmäßige Konvergenz 3 5 Funtionen 4 5. Stetigeit und Grenzwerte Differenzierbareit Konvexität Reihen 8 7 Exponentialfuntion und omplexe Zahlen 9 Wichtige Formeln a) Für w, z C und n N 0 gilt der binomische Satz n ( ) n (w + z) n = w z n. () =0 b) Für q C\{} gilt die geometrische Summenformel n =0 q = qn+ q = qn+ q. (2) c) Damit ergibt sich der Grenzwert der geometrischen Reihe für q < durch =0 q = q. (3)

2 Analysis 2 Folgen d) Für R x und n N 0 gilt die Bernoullische Ungleichung ( + x) n = + nx. (4) e) Für alle w, z C gilt die Dreiecsungleichung w + z w + z (5) und die umgeehrte Dreiecsungleichung w z w z. (6) 2 Folgen a) Eine Folge (a n ) C onvergiert gegen a C, falls ε > 0 n 0 N n n 0 : a n a < ε. (7) b) Cauchy-Kriterium: Eine Folge a n C onvergiert genau dann, falls a n eine Cauchy-Folge ist, d.h es gilt ε > 0 n 0 N m, n n 0 : a n a m < ε. (8) c) Schachtelungsprinzip: Es gelte a n x und c n x für n und a n b n c n ab einem bestimmten n 0. Dann folgt auch b n x für n. d) Rechenregeln Es gelte a n a und b n b für n. Dann gilt auch (a n ± b n ) a ± b, (a n b n ) a b, a n b n a b, a n a für n. (9) Die Rücrichtung ist jeweils falsch, denn betrachte beispielweise a n = n und b n = n offenbar divergent, aber a n + b n = n n = 0 onvergent. e) Beschränte monotone Folgen sind onvergent. f) Satz von Bolzano Weierstraß: Jede beschränte Folge besitzt eine onvergente Teilfolge. 2

3 Analysis 3 Maxima und Suprema 3 Maxima und Suprema a) Jede nach oben beschränte Menge M R besitzt ein Supremum, sup(m) x, x M. Wenn sup(m) M gilt, dann nennt man das Supremum das Maximum von M. b) Jede nach unten beschränte Menge M R besitzt ein Infimum, inf(m) x, x M. Wenn inf(m) M gilt, dann nennt man das Infimum das Minimum von M. c) Begriffe wie Infimum und Supremum machen nur in angeordneten Körpern Sinn (in C existieren sie also nicht!). d) Eine Menge M C heißt beschränt, falls gilt C > 0 z M : z C. (0) e) Satz von Weierstraß: Jede stetige Funtion auf einem ompaten Intervall [a, b] (oder im Komplexen: einem ompaten Kreis, also einem Kreis mit Rand) besitzt dort ein Maximum und ein Minimum. f) Konrete Berechnung von Maximum und Minimum: Sei f C[a, b] und f C (a, b). Dann besitzt f nach dem Satz von Weierstraß Maximum und Minimum auf [a, b]. Falls die Extremstellen x max und x min nicht in den Randputen liegen, sondern im offenen Intervall (a, b), dann folgt f (x max ) = f (x min ) = 0. () Diese Bedingung ist notwendig, nicht aber hinreichend für die Existenz eines Extremums. Hinreichende Bedingung: Sei f C[a, b] und f C 2 (a, b) mit f (x 0 ) = 0, so gilt: f (x 0 ) > 0 f hat ein loales Minimum in x 0. (2) f (x 0 ) < 0 f hat ein loales Maximum in x 0. (3) Anschließend muss die Funtion noch in den Randpunten untersucht werden, wenn nach den globalen Extrema gefragt ist. 4 Gleichmäßige Konvergenz a) Sei D C und f n, f : D C. Eine Funtionenfolge (f n ) heißt puntweise onvergent gegen eine Funtion f, wenn gilt: ε > 0 x D n 0 N n N : f n (x) f(x) < ε. (4) 3

4 Analysis 5 Funtionen b) Sei D C und f n, f : D C. Eine Funtionenfolge (f n ) heißt gleichmäßig onvergent gegen eine Funtion f, wenn gilt: ε > 0 n 0 N n N x D : f n (x) f(x) < ε. (5) c) Offenbar impliziert die glm. Konvergenz sofort die ptweise Konvergenz. d) Sind alle f n stetig und onvergiert f n glm. gegen eine Grenzfuntion f, so ist f stetig. (Die Umehrung gilt nicht!) Wichtig: Sind alle f n stetig, aber die Grenzfuntion nicht, so ann die Konvergenz nicht glm. sein! e) Bedingung (5) ist äquivalent zu f n (x) f(x) = sup f n (x) f(x) 0 für n. (6) x D Dabei bezeichne. die Supremumsnorm. f) Differenzierbareit und glm. Konvergenz: Es sei (f n ) C [a, b] eine Funtionenfolge, so dass die Folge der Ableitungen (f n) glm. gegen eine Funtion g onvergiert. Weiter onvergiere f n in einem Punt x 0 [a, b] puntweise. Dann onvergiert f n glm. gegen ein f C [a, b] mit f = g. 5 Funtionen 5. Stetigeit und Grenzwerte a) Definitionen: Sei I R, a I und f : I R. Stetigeit in a: Gleichmäßige Stetigeit: Lipschitz-Stetigeit: ε > 0 δ > 0 x I : x a < δ f(x) f(a) < ε (7) ε > 0 δ > 0 x, y I : x y < δ f(x) f(y) < ε (8) L 0 x, y I : f(x) f(y) L x y (9) b) Stetigeitshierarchie: Für eine auf einem Intervall I R definierte Funtion f : I R gilt: (A) Ist f auf I differenzierbar und f auf I beschränt f auf I Lipschitz-stetig. (B) Ist f auf I Lipschitz-stetig f auf I gleichmäßig stetig. 4

5 Analysis 5 Funtionen (C) Ist f auf I gleichmäßig stetig f auf I stetig. Denn: zu (A) Nach dem Mittelwertsatz existiert ein ξ (a, b) mit f(x) f(y) = f (ξ) x y sup f (ξ) x y = L x y. ξ I }{{} :=L 0 zu (B) Für L = 0 trivial, betrachte also L > 0. Zu ε > 0 wähle δ := ε L für alle x, y I f(x) f(y) L x y < L δ = L ε L = ε. zu (C) Bedingung (8) impliziert sofort Bedingung (7). > 0. Dann gilt Die Rücrichtungen gelten jeweils nicht. Betrachte dazu die Gegenbeispiele: zu (A) Für f(x) := x gilt x, y R f(x) f(y) = x y (6) x y. Die Betragsfuntion ist also Lipschitz-stetig mit Lipschitzonstante L =, aber beanntermaßen in 0 nicht diffbar. zu (B) Die Funtion f(x) := x, x [0, ] ist glm. stetig, denn: Für ε > 0 und x y [0, ] folgt mit x y < δ := ε 2 x y = x y = x + y x + y x y < x + y δ < ε δ = ε ε2 = ε. (20) (Das δ ann unabhängig von den Punten x, y gewählt werden, deshalb ist die glm. Stetigeitsbedingung erfüllt.) Wegen x y = x+ y x y, sieht man leicht, dass f nicht Lipschitz-stetig sein ann, da der Vorfator x+ y für x, y [0, ] unbeschränt ist. Man findet also eine Lipschitzonstante, sodass die Lipschitz-Stetigeitsbedingung erfüllt wird. zu (C) Die Funtion f : [0, ) R f(x) = x 2 ist beanntermaßen stetig, aber nicht glm. stetig, denn: (Widerspruchsbeweis: Sei f doch glm. stetig) Zu ε > 0 existiere δ > 0, sodass aus x y < δ x, y [0, ) stets f(x) f(y) < ε folgt. Offensichtlich gilt δ > δ = x + δ x, aber 2 2 (x f + δ ) f(x) 2 = x 2 + δx + δ2 4 x2 = δx + δ2 4 für x. 5

6 Analysis 5 Funtionen c) Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] R stetig. Dann gilt f([a, b]) = [f(a), f(b)]. Oder mit anderen Worten: Für jedes c [f(a), f(b)] existiert ein ξ [a, b] mit f(ξ) = c. d) Zwei äquivalente Charaterisierungen der Stetigeit in einem Punte a I sind: Folgenstetigeit: (x n ) I\{a} mit x n a gilt f(x n ) f(a) für n (2) Charaterisierung über den Limes: lim x a f(x) = f(a) (22) Bei der Caharaterisierung über Grenzwerte ist zu beachten, dass es nicht ausreicht, dass der Grenzwert lediglich existiert, er muss auch mit dem Funtionswert an der Stelle übereinstimmen. e) Grenzwerte: Der Grenzwert l := lim x a f(x) existiert genau dann, wenn gilt (x n ) I\{a} mit x n a gilt f(x n ) l für n. (23) Diese Charaterisierung für Grenzwerte verwendet man, um zu zeigen, dass ein Grenzwert nicht existiert, indem man eine onrete Folge angibt, für die Bedingung (23) nicht erfüllt ist. Betrachte hierzu das Beispiel: Der Grenzwert lim sin ( ) x 0 x existiert nicht, denn betrachte die Folge von x Werten 2 x n := mit x π 2 +nπ n 0 für n. Einsetzen liefert ( π ) sin ( ) 2 = sin 2 + nπ = ( ) n divergent π 2 +nπ f) Natürlich gilt auch l = lim f(x) lim f(x) = l = lim f(x). (24) x a + x a Ein Grenzwert existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. g) Wichtige Beispiele: Die Signumfuntion (Vorzeichenfuntion) sgn : R R ist unstetig in 0:, x < 0 sgn(x) := 0, x = 0 (25), x > 0 x a 6

7 Analysis 5 Funtionen Die Heaviside-Funtion H : R R ist unstetig in 0: { 0, x < 0 H(x) :=, x 0 Die Funtion δ : R R ist unstetig in 0: δ(x) := { 0, x 0, x = 0 (26) (27) 5.2 Differenzierbareit a) Definition: Sei I R, a I und f : I R. Differenzierbareit in a: f (a) := lim x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lim. (28) h 0 h b) Aus Differenzierbareit folgt Stetigeit, die Umehrung gilt nicht. c) Satz von Rolle: Sei die Funtion f auf [a, b] stetig und auf (a, b) diffbar mit f(a) = f(b), dann existiert ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. d) Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Sei die Funtion f auf [a, b] stetig und auf (a, b) diffbar, dann existiert ein ξ (a, b) mit f(b) f(a) = ξ (b a). (29) Zum Beweis wende man den Satz von Rolle auf die Hilfsfuntion h(x) an mit h(x) := f(b) f(a) b a (b x) + f(x). e) Regel von L Hospital: Es seien f, g C f(x) (I) mit lim = 0. Dann gilt im Falle x a g(x) 0 der Existenz f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). (30) f) Monotonie: Für eine Funtion f C (I) gilt f (x) 0 x I f ist monoton wachsend auf I. (3) f (x) 0 x I f ist monoton fallend auf I. (32) g) Eine Potenzreihe a x mit Konvergenzradius ρ > 0 ann auf dem Konvergenzradius differenziert werden mit Ableitung d a x = d a dx dx x = a x. (33) Außerhalb des Konvergenzradius ann dies nicht geschlossen werden! 7

8 Analysis 6 Reihen 5.3 Konvexität a) Dafinition: Eine Funtion f : I R heißt onvex, falls für alle x, y I und t [0, ] gilt f(tx + ( t)y) t f(x) + ( t) f(y) (34) Eine Funtion f : I R heißt onav, falls für alle x, y I und t [0, ] gilt b) Für eine Funtion f C 2 (I) gilt f(tx + ( t)y) t f(x) + ( t) f(y) (35) f (x) 0 x I f ist onvex auf I. (36) f (x) 0 x I f ist onav auf I. (37) c) Anschauliche Bedeutung: Konvexität bedeutet, dass alle Seanten oberhalb des Funtionsgraphen verlaufen. Die Normalparabel x 2 ist beispielsweise onvex. Konavität bedeutet, dass alle Seanten unterhalb des Funtionsgraphen verlaufen. Die negative Normalparabel x 2 ist beispielsweise onav. d) Falls f onvex ist, so ist f onav. 6 Reihen a) Dafinition: Eine Reihe a onvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen s n := n onvergiert. Man nennt a := lim s n die Summe der Reihe =0 =0 n a. b) Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe: Falls die Reihe a onvergiert, so folgt a 0 für. Denn sei s := a, dann folgt mit dem Schachtelungsprinzip =0 0 a n 0 = a n = s n s n s s = 0 Ist die Folge a eine Nullfolge, so ann die zugehörige Reihe nicht onvergieren. c) Eine Reihe a heißt absolut onvergent, falls die Reihe der Beträge a onvergiert. Aus absoluter Konvergenz folgt die Konvergenz, die Rücrichtung ist falsch. d) Die harmonische Reihe ist divergent, die alternierende harmonische Reihe ( )+ dagegen ist onvergent (mit Summe der Reihe ln(2)). e) Majorantenriterium: Es gelte a b bis auf endlich viele und die Reihe b sei (absolut) onvergent. Dann ist auch die Reihe a (absolut) onvergent. f) Minorantenriterium: Es gelte a b bis auf endlich viele und die Reihe b sei divergent. Dann ist auch die Reihe a divergent. 8

9 Analysis 7 Exponentialfuntion und omplexe Zahlen g) Wurzelriterium: Falls w := lim sup a <, so onvergiert die Reihe a absolut. Für w = ist eine Aussage möglich und man muss etwas anderes versuchen. Für w > ist die Reihe divergent. Für eine Potenzreihe ergibt sich der Konvergenzradius ρ nach dem Wurzelriterium durch ρ = w = lim sup a = (lim sup ) a (38) Die Potenzreihe onvergiert auf dem Konvergenzradius ( ρ, ρ) absolut und auf [ r, r] ( ρ, ρ) sogar gleichmäßig für r > 0. In den Randpunten ρ, ρ ist eine Aussage möglich und man muss gesonderte Randbetrachtungen durchführen. Die Potenzraihe divergiert für alle Punte außerhalb von [ ρ, ρ]. a h) Quotientenriterium: Falls q := lim + a <, so onvergiert die Reihe a absolut. Für q = ist eine Aussage möglich und man muss etwas anderes versuchen. Für q > ist die Reihe divergent. Für eine Potenzreihe ergibt sich der Konvergenzradius ρ nach dem Quotientenriterium durch ρ = q = lim a a + (39) Die Potenzreihe onvergiert auf dem Konvergenzradius ( ρ, ρ) absolut und auf [ r, r] ( ρ, ρ) sogar gleichmäßig für r > 0. In den Randpunten ρ, ρ ist eine Aussage möglich und man muss gesonderte Randbetrachtungen durchführen. Die Potenzraihe divergiert für alle Punte außerhalb von [ ρ, ρ]. i) Leibnizriterium: Ist (a ) R eine monoton fallende Nullfolge, so ist die alternierende Reihe ( ) a onvergent. Für n N 0 erhält man die Fehlerabschätzung n ( ) a ( ) a a n (40) =0 7 Exponentialfuntion und omplexe Zahlen a) Für z C definiert man die Exponentialfuntion durch =0 e z := exp(z) := =0 z!. (4) Es gilt die Funtionalgleichung e w+z = e w e z. (42) 9

10 Analysis 7 Exponentialfuntion und omplexe Zahlen Die Umehrfuntion zur Exponentialfuntion ist die ln-funtion. Für sie gilt die Funtionalgleichung ln(w z) = ln(w) + ln(z) (43) b) Man definiert weiterhin für z C sin(z) := 2i (eiz e iz ) = ( ) z 2+ (2 + )! =0 sinh(z) := 2 (ez e z z 2+ ) = (2 + )! =0 cos(z) := 2 (eiz + e iz ) = ( ) z2 (2)! =0 cosh(z) := 2 (ez + e z z 2 ) = (2)! tan(z) := sin(z) cos(z) =0 (44) (45) (46) (47) (48) tanh(z) := sinh(z) cosh(z). (49) c) Für z = a + ib gilt die Eulersche Formel Insbesondere gilt e iπ =. d) Wichtiger Grenzwert: Beweis durch die Regeln von L Hospital. e z = e a+ib = e a e ib = e a [cos(b) + i sin(b)] (50) sin(x) lim x 0 x = (5) 0