Hauptprüfung Abiturprüfung 2017 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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Dominic Beyer
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 07 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz Mai 07

2 Aufgabe : (,5 VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f() = ( + cos() ) 4. Aufgabe : ( VP) Lösen Sie die Gleichung e 4 5= 4e Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion f mit f() = ; > 0. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. Aufgabe 4: (,5 VP) Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. () Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Etremstelle. () Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Etremstelle. Aufgabe 5: (4,5 VP) Gegeben sind die Ebenen E: + = 6 und F: 5 0 = 0. a) Stellen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem dar. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F. c) Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in E enthalten ist und mit F keinen Punkt gemeinsam hat.

3 Aufgabe 6: ( VP) Gegeben sind eine Ebene E, ein Punkt P in E sowie ein weiterer Punkt S, der nicht in E liegt. Der Punkt S ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in E liegt und durch P verläuft. Die Strecke PQ bildet einen Durchmesser des Grundkreises. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes Q bestimmen kann. Aufgabe 7: (,5 VP) In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht.

4 Lösungen Aufgabe : Für die Ableitungsfunktion wird die Kettenregel benötigt: ( ) ( ) f () = 4 + cos() ( sin()) = 4 + cos() sin() Aufgabe : 4 e 5= 4e 4 e 4e 5= 0 Substitution: u= e Daraus folgt u 4u 5= 0 Lösung mit der a-b-c-formel: u, Daraus folgt u = 5 und u = 4± 6 4 ( 5) 4± 6 = = Rücksubstitution: e = 5 = ln(5) = ln(5) e = Lösungsmenge L = { ln(5) } Aufgabe : Berechnung der Schnittstelle von f() = mit der waagrechten Geraden g() = = = = =± Da > 0 ist, lautet die Schnittstelle =. Der Inhalt der markierten Fläche muss in zwei Teile aufgeteilt werden (Rechteck und Restfläche) A= ARechteck + f()d= + d= + = + = + = + ( + ) = Flächeneinheiten 4

5 Aufgabe 4: () Die Aussage ist falsch. Wenn die Ableitungsfunktion eine Nullstelle besitzt, kann es sich auch um eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel handeln. In diesem Fall besitzt das Schaubild von f an dieser Stelle einen Sattelpunkt. Beispiel: f() = () Die Aussage ist wahr. Die Ableitungsfunktion einer Funktion vierten Grades ergibt eine Funktion dritten Grades. Da jede Funktion dritten Grades (und damit auch die Ableitungsfunktion) mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt, besitzt die Funktion f() mindestens eine Etremstelle. Hinweis: In der Aufgabenstellung wird formuliert: hat eine Etremstelle. Diese Formulierung ist nicht so zu verstehen, dass es sich um GENAU EINE Etremstelle handeln muss. eine Etremstelle ist als MINDESTENS EINE Etremstelle zu verstehen. Aufgabe 5: a) Für die Veranschaulichung der Ebene E benötigt man die Spurpunkte von + = 6 E: Schnittpunkt mit -Achse: S (6/0/0) Schnittpunkt mit -Achse: S (0//0) Die Ebene schneidet die -Achse nicht (da in der Koordinatengleichung die Variable nicht auftaucht). Die Ebene E ist daher parallel zur -Achse. b) Koordinatengleichung von F: = d Einsetzen des Punktes A(/5/): = d d= Koordinatengleichung von F: = Berechnung der Schnittgeraden ergibt sich durch das Lösen des folgenden Gleichungssystems: = + = 6 5

6 Setze = t mit t R Aus der.zeile folgt + t= 6 = 6 t Aus der.zeile folgt (6 t) = = 6t Gleichung der Schnittgeraden: 6 = 0 + t 6 c) Die gesuchte Gerade h ist eine Gerade, die parallel zur Schnittgeraden verläuft und einen Punkt enthält, der zwar auf E liegt, aber nicht auf F. Solch ein Punkt wäre beispielsweise A(6/0/0). Eine mögliche Gerade wäre also h: 6 = 0 + t 0 6 Aufgabe 6: Skizze:.Schritt: Bestimme den Normalenvektor n der Ebene E..Schritt: Stelle eine Hilfsgerade g auf, die durch den Punkt S verläuft und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene besitzt. g: = OS+ r n.schritt: Bestimme den Schnittpunkt M der Hilfsgerade g mit der Ebene E. 4.Schritt: Berechnung des Punktes Q mit der Vektorgleichung OQ= OP+ PM 6

7 Aufgabe 7: Bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung genügt es, zwischen rot und nicht rot zu unterscheiden. Das ausführliche Baumdiagramm würde diese Gestalt haben: Der Rechenaufwand für P( höchstens drei Kugeln ziehen) kann durch die Berechnung der Wahrscheinilchkeit des Gegenereignisses verkleinert werden. P( höchstens drei Kugeln ziehen ) = P( mindestens vier Kugeln ziehen ) 9 = P(dreimal nicht rot ziehen) = = = Der direkte Weg sähe so aus: P( höchstens drei Kugeln ziehen ) = P(rot) + P(nicht rot, rot) + P(nicht rot, nicht rot, rot) = + + = + + =

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