Übungen zur Modernen Theoretischen Physik I SS 14

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1 Karlsruher Institut für Technologie Übungen zur Modernen Theoretischen Physik I SS 4 Institut für Theoretische Festkörperphysik Prof. Dr. Gerd Schön Blatt 8 Andreas Heimes, Dr. Andreas Poenicke Besprechung Teilchen im Magnetfeld - Landau-Niveaus Punkte Ein Teilchen mit der Ladung q befinde sich in einem homogenen Magnetfeld B Bê z. Eine geschickte Wahl des Vektorpotentials A ist in diesem Fall durch die Landau-Eichung mit A Bxê y gegeben. Wir nehmen an, dass das Teilchen wie in einem -dimensionalen Elektronengas auf die xy-ebene eingeschränkt ist. Damit lautet der Hamilton-Operator des Problems Ĥ ˆP qa ˆP m m x + ˆPy qbx. In der Aufgabe sollen nun die Eigenfunktionen und Eigenenergien des Problems gefunden werden. a [0.5 Punkte] Es soll ausgenutzt werden, das gilt [Ĥ, ˆP y ] 0 um einen geeigneten Ansatz für die Wellenfunktion ψx, y zu machen: Da ˆp y mit dem Hamilton-Operator vertauscht, d.h. Eigenfunktionen des Impulsoperators ˆP y auch Eigenfunktionen des Hamilton-Operators sind, drängt sich der Separationsansatz auf. ψx, y e ipyy/ χx b [ Punkt] Setzt man nun diesen Ansatz in die Schrödingergleichung ein, und verwendet gleich ˆP y e ipyy/ p y e ipyy/ erhält man ˆP m x + p y qbx χx Eχx. Mit der Substitution x x py qb x x 0 sieht man nun deutlich, dass man das Problem auf die Schrödingergleichung des harmonischen Oszillators zurückgeführt hat: [ d m d x + m qb m x ] χ x Eχ x 4 c [0.5 Punkt] Die Kenntnis der Lösung des harmonischen Oszillators soll nun genutzt werden um die Eigenenergien und -funktionen des Hamilton-Operators zu finden. Die Eigenenergien des harmonischen Oszillators mit Ĥ m P x + m ω X sind durch E n n + ω gegeben. Entsprechend sind die Eigenenergien hier E n n + ω c mit ω c qb m. 5 Die charakteristische Frequenz ω c des Problems ist also die klassische Zyklotronfrequenz. Die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators sind ψ n x mω 4 mω π n n! H n xe und für das Teilchen im Magnetfeld ergibt sich damit ψ n x, y x π 4 l n n! H x0 [ n exp x x0 l l Im letzten Ausdruck haben wir mit der magnetischen Länge l Längenskala des Problems eingeführt. mω x, 6 ] e ipyy/ mit x 0 p y qb. 7 qb zusätzlich die charakteristische

2 . Harmonischer Oszillator Punkte Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators wird durch die Auf- und Absteigeoperatoren â und â geschrieben als Ĥ ω â â +. 8 Zum Zeitpunkt t 0 sei der Zustand ψt gegeben durch ψ wobei 0 der Grundzustand und der erste angeregte Zustand ist. Die Zeitentwicklung des Zustands ist durch ψt Ût 0 mit dem Zeitentwickungsoperator Û exp i Ĥt gegeben. a [0,5 Punkt] Berechnen Sie den Zustand ψt für t > 0. Die Zustände 0 und sind Eigenzustände des Hamilton-Operators Ĥ ωâ â + /: ψt Ĥ 0 ω Ĥ n 0 ω 0 und Ĥ ω 0 n 0 und Ĥ n ω n Ût ψ0 Ût 0 + Ût n0 i Ĥt/ n 0 + n! n0 e iωt/ 0 + e iωt/ i Ĥt/ n n! b [0,5 Punkte] Berechnen Sie ˆX t ψt ˆX ψt mit ˆX â mω + â. ψt â ψt 0 â â e iωt + â 0 e iωt + â e iωt + e +iωt + eiωt und ψt â ψt ψt â ψt e iωt damit ˆX t e iωt + e iωt cosωt 4 mω mω analog ˆP mω e iωt e iωt mω t i sinωt 5 c [0,5 Punkte] Berechnen Sie die Korrelationsfunktion ˆX H t ˆX H 0. Hinweis: Benutzen Sie dazu das Heisenberg-Bild. ˆX H t ˆX H 0 ψ0 e iĥt/ ˆXe iĥt/ ˆX ψ0 0 + e iĥt/ ˆXe iĥt/ ˆX 0 + e iωt/ 0 + e â iωt/ + â e iĥt/ â + â 0 + mω e iωt/ + e iωt/ + e iωt/ 0 e iĥt/ e iωt + e iωt + e iωt e iωt + e iωt + e iωt cosωt + e iωt mω

3 . Eigenschaften des Drehimpulsoperators Punkte Der Vektoroperator Ĵ mit Ĵx, Ĵ y und Ĵz definiert einen Drehimpulsoperator, wenn die folgenden Vertauschungsrelation erfüllt sind: [Ĵx, Ĵy] i Ĵz, [Ĵy, Ĵz] i Ĵx, und [ Ĵ z, Ĵx] i Ĵy 7 Neben den einzelnen Komponenten des Drehimpulsoperators Ĵx/y/z werden häufig auch die folgenden Operatoren benötigt: Ĵ Ĵ x + Ĵ y + Ĵ z, Ĵ + Ĵx + iĵy, und Ĵ Ĵx iĵy. 8 Verwenden Sie die genannten Relationen bzw. Definitionen um die nachfolgenden Zusammenhänge zu zeigen: a [ Punkt] ] ] ] [Ĵz, Ĵ+ [Ĵz, Ĵx + i [Ĵz, Ĵy i Ĵ y + Ĵx Ĵ+ 9 ] ] ] [Ĵz, Ĵ [Ĵz, Ĵx i [Ĵz, Ĵy i Ĵ y Ĵx Ĵ 0 ] ] ] ] ] [Ĵ+, Ĵ [Ĵx, Ĵx + i [Ĵy, Ĵx i [Ĵx, Ĵy [Ĵy, Ĵy Ĵ z b [ Punkt] [Ĵ ], [Ĵ ] Ĵz, [Ĵ ] Ĵ+, Ĵ 0. [Ĵ ] [, Ĵz Jx ˆ ] ] [ ], Ĵ z + [Ĵy, Ĵ z Jx Jx ˆ, }{{ Ĵz } Analog zeigt man, dass [ Ĵ, Ĵx] [Ĵ, Ĵy] 0. i Ĵy + [ ] ] Jx ˆ, }{{ Ĵz Ĵ x + J y [Ĵy, }}{{ Ĵz } i Ĵy i Ĵx + Aus der Linearität des Kommutators folgt damit direkt [ Ĵ, Ĵ±] [Ĵ, Ĵx ± iĵy] 0. c [ Punkt] [Ĵy, Ĵz] Ĵ y 0. i Ĵx Ĵ + Ĵ Ĵ x + Ĵ y + J z Ĵ Ĵ z + Ĵz Ĵ Ĵ + Ĵ x + Ĵ y J z Ĵ Ĵ z Ĵz 4 Ĵ Ĵ+ Ĵ + Ĵ Ĵ+ + Ĵ z 5 Ĵ + Ĵ Ĵx + iĵyĵx iĵy Ĵ x + iĵyĵx ĴxĴy + Ĵ y Ĵ x + Ĵ y i [ Ĵ x, Ĵy] Ĵ x + Ĵ y + Ĵz 6 Ĵ Ĵ + Ĵx iĵyĵx + iĵy Ĵ x + iĵxĵy ĴyĴx + Ĵ y Ĵ x + Ĵ y + i [ Ĵ x, Ĵy] Ĵ x + Ĵ y J z 7 Durch Addition der beiden Terme 6 und 7 erhält man direkt Ĵ + Ĵ + Ĵ Ĵ+ Ĵ x + Ĵ y Ĵ Ĵ z Bahndrehimpuls Der Bahndrehimpuls-Operator ist durch ˆL ˆLx, ˆL y, ˆL z ˆR ˆP gegeben. In Kugelkoordinaten Punkte x r sin θ cos φ, y r sin θ sin φ, z r cos θ mit r r x + y + z ist der Gradient gegeben durch mit r,θ,φ ê r r + ê θ r θ + ê φ r sin θ φ, 9 ê r sin θ cos φ ê x + sin θ sin φ ê y + cos θ ê z ê θ cos θ cos φ ê x + cos θ sin φ ê y sin θ ê z 0 ê φ sin φ ê x + cos φ ê y.

4 a [ Punkt] Zeigen Sie, dass der Drehimpulsoperator in Kugelkoordinaten die Form hat: Es gilt ˆL x i sin φ θ cos φ tan θ φ Der Drehimpulsoperator ist nun gegeben durch, ˆLy cos φ i θ sin φ tan θ φ und ˆL z i φ. ê r ê θ ê φ, ê θ ê φ ê r und ê φ ê r ê θ. i ˆL ˆr rê r ê r r + ê θ r θ + ê φ r sin θ φ ê φ θ ê θ sin θ φ cos φ cos θ sin φ φ êx + sin φ cos θ cos φ θ sin φ cos φ tan θ φ φ êy + φ ê z sin θ sin θ êx + cos φ θ sin φ tan θ φ êy + φ ê z b [ Punkt] Der Zustand eines Teilchens sei nun durch die Wellenfunktion ψr x + y + zne r /α 4 mit N, α R beschrieben. Zeigen Sie, dass ψr eine Eigenfunktion von ˆL ist, also und bestimmen Sie den Wert von l. Zuerst schreiben wir die Wellenfunktion 4 in Kugelkoordinaten ˆL ψr ll + ψr, 5 ψr, θ, φ r sin θ cos φ + r sin θ sin φ + r cos θne r /α sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θfr, 6 wobei der radiale Teil in fr rne r /α faktorisiert wurde, da die Drehimpulsoperatoren nicht auf r wirken. Nun wenden wir ˆL auf die Wellenfunktion an ˆL ψr, θ, φ θ + sin θ φ + sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θfr 7 tan θ θ und berechnen nacheinander die Ableitungen und tanθ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ 8 θ sin θ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ φ sin sin θ cos φ + sin θ sin φ θ cosφ + sin φ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ cos θ cos φ + cos θ sin φ sin θ θ tanθ cos θ 9 cos φ + sin φ cos θ 40 kombinieren wir die Terme ˆL ψr, θ, φ sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ + cos θ cos φ + sin φ + cos θ fr sin θ cos φ + sin θ sin φ + cos θ fr ψr, θ, φ damit ist ψr, θ, φ eine Eigenfunktion mit dem Eigenwert ll+, womit man l direkt ablesen kann. 4

5 c [ Punkt] Drücken Sie nun die Wellenfunktion 4 durch eine Superposition geeigneter Kugelflächenfunktionen aus. Welche Werte können für die z-komponente ˆL z des Bahndrehimpuls gemessen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden diese gemessen? Die Kugelflächenfunktionen sind vollständig und orthogonal. Die Koeffizienten könnten also durch Projekt auf diese Zustände gefunden werden. Da wir jedoch schon wissen, dass l gilt, kann der Zustand nur durch eine Superposition der Funktionen Yl m θ, φ ausgedrückt werden. Wir benötigen also nur die drei Kugelflächenfunktionen Y 0 θ, φ 4π cosθ, Y θ, φ 8π eiφ und Y θ, φ 8π e iφ. 4 und finden die Koeffizienten durch Vergleich mit 6. π ψr, θ, φ π i c Y θ, φ + Y θ, φ π + i Y θ, φ Y θ, φ 4π + Y 0 θ, φ π π θ, φ + 4 Y 0 θ, φ + + i Y θ, φ fr Y c 0 } {{ } c fr 4 In einer Messung von ˆL z können die Werte m mit m, 0, gefunden werden. Wir haben die Wellenfunktion nicht normiert, d.h. fr ist also nur bis auf einen konstanten Faktor N bekannt. Bei der Berechnung der Messwahrscheinlichkeiten der verschiedenen Drehimpulswerte fällt fr jedoch raus P m P m 0 P m + c c + c 0 + c 44 c 0 c + c 0 + c 45 c c + c 0 + c 46 c π i 4π, c 0 4 π und c π + i 4π 47 und somit c + c 0 + c 6 4π. Für die Messwahrscheinlichkeiten ergeben sich damit die Werte P m 6 P m 0 P m