Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2005/06. Angelika May Dietmar Pfeifer

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1 Mathematik für Ökonomen Wintersemester 2005/06 Angelika May Dietmar Pfeifer

2 Dietmar Pfeifer Carl-von-Ossietzky-Universität Oldenburg c Angelika May, Dietmar Pfeifer Dieses Skript ist zur freien Verwendung für Studenten der Veranstaltung Mathematik für Ökonomen als Begleitmaterial zum persönlichen Gebrauch gedacht. Jede andere Verwendung, Vervielfältigung oder anderweitige Verwertung bedarf der ausdrücklichen Zustimmung der Autoren.

3 Inhaltsverzeichnis Einfache Verzinsung. Jährliche Zinszahlung Einfache unterjährige Verzinsung Zinseszinsrechnung 3 3 Zeitrenten 5 3. Formeln für endliche Summen Begriffe zur Rentenrechnung Vorschüssige Zeitrente Nachschüssige Zeitrente Aufgeschobene Rente Einfache Gleichungen 2 4. Lineare Gleichungen in einer Variablen Einfache Gleichungen mit Wurzeln Einfache Gleichungen mit Potenzen Auflösen nach dem Exponenten (der Hochzahl) Konvergenz von Folgen und Reihen und die Ewige Rente 8 5. Arithmetische und Geometrische Folgen, Konvergenz Die unendliche Geometrische Reihe Lineare Funktionen Intervalle und etwas Mengenlehre Allgemeines über Funktionen Graphen von Funktionen Lineare Ungleichungen Systeme von 2 linearen (Un-)Gleichungen Lineare Gleichungssysteme, ein systemat. Lösungsverfahren Der Gauß-Jordan-Algorithmus Rechnen mit Matrizen

4 ii A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen 7.3 Gaußscher Algorithmus zur Inversenberechnung Der Simplex-Algorithmus Problemstellung Das Simplex-Tableau Das Aufnahmekriterium Das Eliminationskriterium Dualitätsaussagen Funktionen einer Variablen 4 9. Quadratische Funktionen Die Exponentialfunktion Die natürliche Logarithmusfunktion Verschiebung von Funktionsgraphen Differentiation von Funktionen einer Variablen Änderungsraten Rechenregeln für Grenzwerte Steigung von Kurven Berechnung von Ableitungen Ableitung von Summen, Produkten und Quotienten Die Kettenregel Die Regel von L Hospital Exponentialfunktion Logarithmus Differentiation der inversen Funktion Ableitungen höherer Ordnung Polynomiale Approximation Die Taylor-Formel Das Newton-Verfahren Extrem- und Wendepunkte für Funktionen einer reellen Variablen 66. Notwendige Bedingungen für Extrempunkte

5 Wintersemester 2005/06 iii.2 Der Satz vom Extrempunkt Hinreichende Bedingung für Extrempunkte Wendepunkte Funktionen von 2 Variablen Höhenlinien Partielle Ableitungen Extrem- und Sattelpunkte für Funktionen mit 2 Variablen 77 4 Anwendung der Optimierung für Probleme mit 2 Variablen 8 4. Globale Maxima und Minima Lineare Regression Die Kettenregel Lineare Approximationen Homogene und Homothetische Funktionen Funktionen mit mehr als 2 Variablen Die Lagrange Multiplikatoren für Optimierung unter Nebenbedingungen 87 7 Integration für Funktionen einer Variablen Unbestimmte Integrale Flächenberechnung mit dem bestimmten Integral Ableiten nach den Integrationsgrenzen Partielle Integration Integration durch Substitution Integration über unendliche Intervalle

6 iv A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen

7 Wintersemester 2005/06 Einfache Verzinsung Beispiel.. Sie besitzen zum ein Bankkonto mit einer Einlage von E. Die Bank garantiert Ihnen einen Jahreszinssatz von 4%, wobei Sie Ihnen die Zinsen am Jahresende gutschreibt.. Wieviel Zinsertrag haben Sie am Jahresende? Lösung: Wir schreiben i = 4% = 4 = 0.04 und berechnen , 04 = E. Am Jahresende ist Ihr Guthaben also um 400 E auf E angewachsen. 2. Nehmen wir nun an, dass Sie Ihr Konto bis zum , also 7 Jahre behalten. Wenn Sie den Zinsertrag am Ende jeden Jahres abheben und in den Sparstrumpf (oder unter die Matratze) legen, ohne davon Geld wegzunehmen, haben Sie Ende 200 dann insgesamt einen Zinsbetrag von = E eingenommen, verfügen also insgesamt über ein Guthaben von = E. 3. Natürlich würden Sie so nicht vorgehen, sondern Ihre jährlichen Zinserträge auf dem Konto liegen lassen, damit Sie nicht nur auf Ihr Startguthaben von E, sondern auch auf die Zinserträge selbst Zinsen kassieren. Wieviel Geld haben Sie in diesem Fall am zur Verfügung? Lösung: Die Situation ist so: K = 0.000, Z = i = K i, K + Ki = K( + i) K = K K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K K = K + Z = K( + i) K 2 = K + K i = K ( + i) = K ( + i) ( + i) K 3 = K 2 + K 2 i = K 2 ( + i) = K ( + i) ( + i) ( + i). K 7 = K( + i)( + i)( + i)( + i)( + i)( + i)( + i) = 0.000, 04, 04, 04, 04, 04, 04, 04 = 3.59, 32 Wenn Sie Ihre Zinsen also jeweils wieder anlegen (man sagt: mit Zinseszins rechnen), haben Sie also knapp = 360 E mehr zur Verfügung als bei der Sparstrumpfmethode.

8 2 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Bevor wir uns den Feinheiten der Zinseszinsrechnung zuwenden, wollen wir ein wenig die dahinter steckende Mathematik wiederholen. Wir haben gesehen, dass es Rechnungen übersichtlicher machen kann, wenn man zunächst mit Buchstaben (Variablen) rechnet und erst am Ende die konkreten Zahlen (hier: Euro-Beträge) einsetzt. Daher werden wir im Folgenden alle Rechenregeln stets mit Variablen formulieren und danach ein oder zwei Zahlenbeispiele zusammen rechnen. Es wird sich als nützlich erweisen, ganz unten bei den verschiedenen Zahlen anzufangen; dies wollen wir tun. Hierzu lesen Sie bitte in [Sydsaeter], Kap.,. nach. Als nächstes würden wir gerne den Ausdruck K 7 = ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) einfacher schreiben (Denken Sie an die Länge des Ausdrucks, wenn Sie Ihr Geld 25 Jahre lang anlegen wollten!) und damit auch die Eingabe in den Taschenrechner erleichtern. Hier hilft das Rechnen mit Potenzen, die wir zunächst einführen wollen, um dann daran zu erinnern, wie mit ihnen zu rechnen ist. Alle wichtigen Grundlagen stehen in [Sydsaeter], Kap.,.2.5, Seiten Jährliche Zinszahlung Wir bezeichnen mit K 0 das Anfangsguthaben, mit K n das Endguthaben nach n Jahren. Unter der Voraussetzung, dass einfache Zinszahlung vereinbart ist, gilt für das Endguthaben nach Jahr K = K 0 + K 0 i = K 0 ( + i), und für das Endguthaben (den Endwert) nach n Jahren K n = K 0 + (K 0 i + K 0 i) } {{ } n Summanden = K 0 + n K 0 i = K 0 ( + n i). Der Vorgang, zu einem gegebenen K 0 den Endwert zu bestimmen, heißt Aufzinsung. Gelegentlich lautet die Aufgabe umgekehrt zu einem gegebenen Endkapital das heutige Anfangskapital (den Barwert) zu berechnen. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Diskontierung (Abzinsung). Wir berechnen K 0 zu einem gegebenen K n nach folgender Formel: K 0 = K n + n i.

9 Wintersemester 2005/ Einfache unterjährige Verzinsung Für die Zinsperiode Jahr wird im (deutschen) Finanzwesen häufig der Monat mit 30 Tagen und das Jahr mit 360 Tagen angenommen. Damit folgt für den Zins z bei λ Tagen Verzinsung (wobei λ zwischen und 360 Tagen variiert): z = λ 360 K 0 i bzw. für das Endkapital innerhalb eines Jahres K λ = K 0 + z = K 0 + λ ( 360 K 0 i = K 0 + λ ) 360 i nach der Methode pro rata temporis oder 30/360-Methode. Die Auflösung dieser Formel nach K 0 beschreibt den Vorgang der Diskontierung (Abzinsung) K λ K 0 = + λ i 360 Für ein ganzes Jahr (λ = 360 Tage) erhalten wir so unsere schon bekannte Formel aus Abschnitt. für n =. 2 Zinseszinsrechnung λ = 360 = K 0 = K + i = + i K. Die Zinsen werden hierbei zu den Zinsterminen berechnet und anschließend dem vorhandenen Kapital zugeschlagen, d. h. bei der nächstfolgenden Verzinsung mit verzinst. Ist die Laufzeit einer Kapitalbewegung mit Zinseszins ein ganzzahliges Vielfaches n der Zinsperiode (häufig Jahr), dann gilt für die Aufzinsung eines gegebenen Kapitals K 0 : K 0 K = K 0 ( + i) K 2 = K ( + i) = K 0 ( + i) 2. K n =... = K 0 ( + i) n K n = K n ( + i) = K 0 ( + i) n K n = K 0 ( + i) n

10 4 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Diskontierung: Bestimme den Barwert K 0 aus gegebenem K n K 0 = K n ( + i) n Beispiel 2.. Zinseszinsrechnung Für das Kapital nach n Jahren gilt K n = K 0 ( + i) n, wobei i den Jahreszinssatz und K 0 das (heutige) Anfangskapital bezeichnet.. (Berechnung des Endwertes) Auf wie viel wächst ein Guthaben von.000 E bei einem Zinssatz von 5% nach 0 Jahren an? (Schätzen Sie zunächst: Ist es mehr oder weniger als das Doppelte?) Lösung: K 0 = 000 (, 05) 0 = 628, 89 E. 2. (Berechnung des Barwertes: Auflösen nach K 0 ) Wie viel ist ein Guthaben von E, das Sie in 0 Jahren auf Ihrem Konto finden, heute wert? Sie wissen bereits aus Teil., ob Sie einen Betrag größer oder kleiner.000 E erwarten dürfen. Wieso? Lösung: Wir lösen die obige Zinseszinsgleichung nach K 0 auf, das entspricht dem Vorgang des Diskontierens. (Blick von der Zukunft zurück auf heute). Wir kennen K 0 = Der zugehörige Barwert bei 5% Verzinsung ist K 0 = K 0 ( + i) 0 = 2000(, 05) 0 = 2000 (,05) 0 = 227, 83 E. 3. (Berechnung des Zinssatzes: Auflösen nach i) Welchen Zinssatz müssen Sie bei der Bank heraushandeln, damit sich ihr Guthaben von.000 E nach 0 Jahren (mindestens) verdoppelt hat? (Wir wissen bereits, dass es mehr als 5% sein müssen! Wieso?) Lösung: Wir kennen wie in. unser Startkapital K 0 = 000. Das Endkapital soll doppelt so groß sein, also ist K 0 = 2K 0 = Nun lösen Sie die Gleichung nach ( + i) 0 auf: ( + i) 0 = K 0 K 0 = 2000 = 2. Bemerken Sie bitte, dass 000 der Zinssatz somit von der Höhe des Anfangskapitals nicht abhängt, sondern es bei der Rechnung nur auf die Verdopplung des Anfangskapitals ankommt! Wie werde ich den Exponenten los? Indem ich auf beiden Seiten die 0-te Wurzel ziehe, also auf beiden Seiten den Exponenten 0 dazuschreibe. Dann ist + i = (( + i) 0 ) /0 = 2 /0 =, 078. Indem wir noch auf beiden Seiten abziehen (subtrahieren), erhalten wir einen Zinssatz von (circa) i = 7, 2%, der notwendig für eine Verdopplung des Anfangskapitals innerhalb von 0 Jahren ist.

11 Wintersemester 2005/ Zeitrenten Bei der Rentenrechnung geht es um die Zusammenfassung von Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftreten. Beispiel 3.. Einfache Zinsrechnung, ohne Zinseszins.. Ein Angestellter erhält am sein Gehalt von G = 3.00 E auf ein Konto eingezahlt. Wie groß ist der Zinsertrag am Jahresende nach der Methode 30/360, wenn ein jährlicher Zinssatz von 4% vereinbart wurde? Lösung: Das Märzgehalt wird über einen Zeitraum von 5 Tagen (bis 3.03.) plus 9 Monaten (April bis Dezember) verzinst, also gesamt = 285 Tage. Damit folgt für den Zinsertrag Z = G i = , 04 = 98, 7 E Ein Angestellter erhält ab dem bis zum Jahresende sein Gehalt von 3.00 E monatlich (stets in der Monatsmitte) auf ein Konto eingezahlt. Wie groß ist der Zinsertrag am Jahresende bei einem jährlichen Zinssatz von 4%, wenn er sein Geld nicht abhebt? Lösung: Wir bezeichnen sein Gehalt mit G = 3.00 E und zeichnen uns einen Zeitstrahl auf: G G G {z } 5 Tage {z } 30 Tage Wir zählen die Anzahl der Tage bis zum Jahresende: Märzgehalt: 5 Tage (bis Ende März) plus 9 Mon. à 30 Tage = = 285 Tage, Aprilgehalt: = 255 Tage, Maigehalt: = 225 Tage,. Dezembergehalt: = 5 Tage. Durch Summenbildung kommen wir zum Gesamtzins: Z = ( ) 0, = 500 0, = 56, 67 E Uns fällt auf, dass die Summanden im Zähler sich immer um 30 Tage verringern. Dies ist ein Beispiel für eine sogenannte arithmetische Summe, bei der die Differenz von zwei aufeinander folgenden Summanden immer konstant (hier: gleich 30) ist. Mit Hilfe eines Summenzeichens und Rechenregeln für Summen können wir den Ausdruck sowohl übersichtlicher schreiben als auch die Summe mit Hilfe einer Formel leichter ausrechnen. Im Folgenden sind einige Grundlagen über Summen zusammengestellt. Wir wollen außerdem gleich noch einen weiteren Summentyp kennen lernen, die geometrische Summe, bevor wir uns wieder der Anwendung zuwenden.

12 6 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen 3. Formeln für endliche Summen Definition 3.2. Wir schreiben abkürzend n a λ = a + a 2 + a a n. λ= Damit können wir Beispiel 3., Teil 2 eleganter schreiben als 9 (5 + 30λ) + 5 = λ= 9 (5 + 30λ), λ=0 der Summationsindex muss also nicht immer ab laufen! (Passen Sie auf, dass die Anzahl der Summanden um größer ist, wenn λ ab 0 läuft, als wenn λ erst ab läuft, im obigen Beispiel stehen also insgesamt 0 Summanden. Im allgemeinen Fall steht die Summe n λ=0 für eine Summe mit n + Summanden.) Damit wir die obige Summe ausrechnen können, benötigen wir zwei Aussagen: Rechenregel 3.3. Es gilt a analog n = n (Wieso?), also für eine allgemeine reelle Zahl λ= n a = a λ= n = n a λ= Rechenregel 3.4. Es gilt n λ = λ= n(n + ). 2 Beweis. Diese Beziehung kann man verstehen, wenn man sich die Summanden einmal von vorne und einmal von hinten nebeneinander aufschreibt. Die folgende Übersicht macht klar, was gemeint ist: Wir nehmen dazu (zunächst) an, dass wir eine gerade Anzahl von Summanden haben und nutzen aus, dass wir die Summanden in einer beliebigen Reihenfolge aufaddieren dürfen, ohne dass der Wert der Summe (das Ergebnis) sich ändert n = + n 2 + (n ) 3 + (n 2) 4 + (n 3). n + ( ) n + n 2 2

13 Wintersemester 2005/06 7 Damit ist die Summe in jeder waagerechten Zeile gleich mit Wert n+ und wir haben insgesamt n Zeilen. Also ergibt sich die Summe als Anzahl der Zeilen mal konstante 2 Zeilensumme zu n (n + ), und das hatten wir oben auch behauptet. 2 Für eine ungerade Anzahl von Summanden kommt man mit einer ähnlichen Überlegung ebenfalls zu diesem Ergebnis. λ=0 Definition 3.5. Eine Summe der Form n q n heißt geometrische Summe. Der Quotient (Bruch) aus je 2 aufeinander folgenden Summanden ist dabei konstant q, das charakterisiert eine geometrische Summe. Rechenregel 3.6. Es gilt für alle reellen q n λ=0 q λ = qn+ q. Wir werden uns etwas später in der Vorlesung überzeugen, dass diese Formel stimmt. Im Moment wollen wir sie verwenden, um Barwert und Endwert von Renten explizit auszurechnen. Beispiel 3.7. In Beispiel. hatten Sie ein Bankkonto mit E, das über 7 Jahre lang mit i = 4 % verzinst wurde. Mit Zinseszins wuchs Ihr Anfangskapital bis zum Ende des 7-ten Jahres auf etwa 3.60 E an. Wie ändert sich die Situation, wenn Sie auf ein bis dahin leeres Konto beginnend mit dem jedes Jahr am Jahresanfang (0.0., insgesamt 7 mal) einen Betrag von x =.430 E einzahlen? Da wir stets am Jahresanfang einzahlen, bezeichnet man diese Zahlungsweise auch als vorschüssig. Überschlagen Sie zunächst: Haben Sie dann am mehr oder weniger Geld auf dem Konto als bei einem Startguthaben von E? Richtig, weniger, obwohl = Aber wieviel? Das wollen wir im Folgenden ausrechnen. Wir machen uns die Situation wieder an einem Schaubild klar: x x x x Wir nähern uns der Aufgabe, indem wir sie auf die bekannte Formel für den Endwert mit Zinseszins zurück führen. Auf jede einzelne Zahlung x angewandt, ergibt sich für das Kapital am : K 7 = x( + i) 7 + x( + i) 6 + x( + i) 5 + x( + i). Nun wollen wir sehen, ob die Summenformel für die geometrische Reihe uns hilft, diesen Ausdruck schnell zu berechnen. (Mit einem Programm wie Excel geht es natürlich

14 8 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen auch direkt, ohne Formel! Aber wie viele von Ihnen haben immer ein Notebook mit Excel dabei?) Wir verwenden zunächst die Summenschreibweise: K 7 = x( + i) λ = λ=7 7 x( + i) λ, λ= wobei wir zunächst den Laufindex so umsortiert haben, dass er statt von 7 bis wie üblich aufsteigend von bis 7 verläuft. (Das geht wegen der Kommutativität der Addition.). Um nun unsere Summenformel anwenden zu können, stellen wir fest, dass sicher q = + i für alle denkbaren echten Zinssätze größer ist als (Das ist gut!) und dass die Formel statt ab λ = 0 erst ab λ = läuft. (Das ist nicht so gut!) Wir helfen uns, indem wir einen Faktor ( + i) aus jedem Summanden ausklammern. Das geht, indem wir unsere Potenzregeln anwenden, mit λ = + (λ ) so: K 7 = 7 x( + i) λ = λ= 7 x( + i)( + i) (λ ). λ= Nun sind x und + i unabhängig von λ, also bei jedem Summanden gleich, und wir können beide ausklammern, was wir im nächsten Schritt tun: K 7 = 7 7 x( + i)( + i) (λ ) = ( + i)x ( + i) (λ ). λ= λ= Wir stellen nun folgende Überlegung an: Der kleinste Wert für λ ist, das ergibt im Exponenten λ = = 0. Der größte Wert für λ in der Summe ist 7, das ergibt im Exponenten λ = 7 = 6. Also steht schon das Richtige da, man sieht es nur noch nicht gleich. Aber jetzt: K 7 = ( + i)x 7 ( + i) (λ ) = ( + i)x λ= 6 ( + i) λ. Sie mussten dazu sowohl den Laufbereich von λ als auch den Exponenten ändern, damit alles stimmt. Nun wenden wir die Summenformel aus Rechenregel 3.6 an und sind am Ziel: λ=0 K 7 = ( + i)x 6 λ=0 ( + i) λ =, ( + i)6+ ( + i) = 487, 20, 047, 04. Das ergibt K 7 =.746, 34 E, das sind also etwa.43 E weniger als in Beispiel., wo Sie gleich mit einem Guthaben von E starteten, statt jährliche Raten einzuzahlen.

15 Wintersemester 2005/ Begriffe zur Rentenrechnung Wir wenden uns nun systematisch verschiedenen Kenngrößen der Rentenberechnung zu. Definition 3.8. Eine Rente ist eine Folge von konstanten (oder nach einem festgelegten Schema sich verändernden) Zahlungen in festen Zeitabständen. Für die Herleitung von Rentenformeln wird immer vorausgesetzt, dass die konstanten Zahlungen den (normierten) Wert haben. Aussagen für Renten der Höhe x erhält man durch Multiplikation der (normierten) Formeln mit x. Kenngrößen, x Rente (regelmäßiger Zahlungsbetrag) n Anzahl der Zahlungen i Zinssatz ä n Rentenbarwert vorschüssig a n Rentenbarwert nachschüssig s n Rentenendwert vorschüssig Rentenendwert nachschüssig s n Der folgende Zeitstrahl verdeutlicht die Zahlungszeitpunkte für n-jährige Renten mit der Nummerierung Jahresanfang des Jahres λ ist λ und λ bezeichnet das Jahresende (für λ =,... n). Die Barwerte a n und ä n werden demnach im Zeitpunkt 0 ermittelt, die Rentenendwerte s n und s n im Zeitpunkt n. a n ä n s n Jahr Jahr 2 Jahr n 0 2 n n s n 3.3 Vorschüssige Zeitrente Es handelt sich um eine Rente mit n Zahlungen der Höhe in den Zeitpunkten 0,..., n. Barwert (heutiger Wert der Rente): ä n = + ( + i) + ( + i) ( + i) = n ( + i) n ( + i)

16 0 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Für Renten der Höhe x gilt ä n (x) = x ä n. Rentenendwert (nach n Jahren): s n = ( + i) n + ( + i) n + + ( + i) = ( + i) [( + i) n + + ] n = ( + i) ( + i) λ = ( + i) ( + i)n + i λ=0 Alternativ können wir auch den vorschüssigen Barwert über n Jahre mit Zinssatz i aufzinsen (vgl. am Zahlenstrahl auf S. 9): s n = ä n ( + i) n = ( + i) n (+i) n = ( + i) ( + i)n ( + i) = ( + i) = ( + i) + ( + i) ( + i) n was in der Tat zum gleichen Ergebnis wie oben führt. = ( + i)n +i ) ( + i) λ +i ( n λ=0 3.4 Nachschüssige Zeitrente Es handelt sich um eine Rente mit n Zahlungen der Höhe in den Zeitpunkten, 2,..., n. Nachschüssiger Barwert a n = ( + i) + ( + i) + n 2 ( + i) = n λ= n = + i ( + i) = n λ + i ( + i) = λ λ= λ=0 a n = (+i) n + i = i (+i) n ( + i) λ + i (+i) n Anders ausgedrückt besteht folgender Zusammenhang zum vorschüssigen Barwert: a n = ( + i) ä n +i

17 Wintersemester 2005/06 Nachschüssiger Endwert s n = ( + i) n + ( + i) n = n ( + i) λ = (+i)n λ=0 (+i) = (+i)n i. Zusammenhang zum vorschüssigen Endwert: ( + i) s n = s n, da jede Zahlung um ein Jahr weiter nach hinten verschoben werden muss, damit die Zahlung der vorschüssigen Rente in den gleichen Zeitpunkten stattfindet wie die der nachschüssigen. 3.5 Aufgeschobene Rente Gelegentlich legt man heute einen Betrag fest und wünscht sich die ratenweise Zahlung nicht ab sofort, sondern ab einem in der Zukunft liegenden Zeitpunkt. Dies ist z.b. bei allen Sparverträgen der Fall, die eine Versorgung im Alter versprechen. Beispiel 3.9. Frau Mustermann legt zu Ihrem 45. Geburtstag E auf ein Konto und wünscht sich, dass sie ab ihrem 60. Geburtstag jeweils am Jahresanfang 25 Jahre lang eine (also vorschüssige) Rente von jährlich x bezieht. Mit der Bank wurde ein langjähriger Zinssatz von 5,8% vereinbart. Wie groß ist der jährliche Rentenbetrag x? Unsere Situation weicht von der bisherigen insofern ab, als die Rentenzahlung nicht mehr sofort beginnt. Wie bisher können wir ablesen: Laufzeit der Rentenzahlung n = 25, Zinssatz i = 0, 058 Barwert der Rente (in t = 0) ist m ä 25 = E. Abweichend sind die Zahlungszeitpunkte, die nicht mehr in t = 0, sondern in einem zukünftigen Zeitpunkt t = m = 5 beginnen.man nennt die Zeit zwischen 0 und m auch Aufschubzeit.Wir starten wieder mit dem auf x = vereinfachten Fall: Situation: n Zahlungen von in t = m, m +,..., m + n (hier: vorschüssig) und in t = m +,..., m + n (falls nachschüssig). D.h. die Zahlungen beginnen erst nach m Jahren, aber sie werden bereits in t = 0 ( heute ) vereinbart. Für den Rentenbarwert im vorschüssigen Fall führen 2 Überlegungen zum Ziel:. Der Rentenbarwert der um m Jahre aufgeschobenen Rente entspricht in t = m dem einer normalen sofort beginnenden n-jährigen Rente. Um zum Wert im Zeitpunkt t = 0 (Barwert) zu gelangen, muss ich m Zeitintervalle (Jahre) zurück gehen,

18 2 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen also diskontieren. Damit kommt man zu m ä n = ( + i) ä m n. 2. Wie bei der sofort beginnenden n-jährigen Rente diskontiere ich alle n Zahlungen in t = m, m+,..., m+n auf den Zeitpunkt t = 0, indem ich mit den entsprechenden Potenzen von multipliziere, also +i m ä n = (+i) m + (+i) m+ + + (+i) m+n Klammert man bei jedem Summanden Ergebnis aus., mit dem wir gestartet waren: (+i) m aus, so erhält man in der Tat das m ä n = (+i) m ( (+i) 0 + (+i) + + (+i) n ) = (+i) m ä n. Für den Fall nachschüssiger Zahlungen erhält man ganz genauso m a n = (+i) m+ + (+i) m (+i) m+n = (+i) m a n. Mit diesem Ergebnis können wir die jährliche Rente aus dem obigen Beispiel 3.9 berechnen: 5 ä 25 = =, 058 x 5,058 25,058 = x 5, 976. Also ist x = E; hätten Sie das vor dem Rechnen in der richtigen Größenordnung geschätzt? 4 Einfache Gleichungen Wir erinnern uns an Beispiel 2.. Dort haben wir die Zinseszinsformel K n = ( + i) n K 0 nach den Variablen K 0, K n und i aufgelöst. Eine noch nicht mathematisch behandelte Frage wirft das folgende Problem auf: Beispiel 4.. (Berechnung der Laufzeit: Auflösen nach n) Dieses Beispiel ergänzt Beispiel 2. um einen Teil 4. Wie viele Jahre müssen Sie warten, damit ein Guthaben von.000 E bei einem Zinssatz von 5% auf das Doppelte (also E) anwächst? Lösung: Löse K n = ( + i) n K 0, also ( + i) n = Kn K 0 nach n auf. Bevor wir die Antwort auf diese Frage geben können, geben wir systematisch an, wie Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst werden. Lesen Sie hierzu bitte in [Sydsæter], Kap. 2, 2., S nach.

19 Wintersemester 2005/ Lineare Gleichungen in einer Variablen Beispiel 4.2. Löse 3x + 0 = x + 4 nach x auf. Ziel: Alle Ausdrücke mit x auf die linke Seite, alle Ausdrücke ohne x auf die rechte Seite. Lösung: 3x + 0 = x + 4 x 3x + 0 x = 4 0 3x x = 4 0 2x = 6 : 2 x = 3 Etwas komplizierter wird der Fall, wenn Brüche auftreten. Dann lautet der. Schritt, alle Nenner durch Multiplizieren der gesamten Gleichung mit dem Nenner wegzubringen. Beispiel Löse nach x auf: 3 x + 5 = x x + 0 = x + 4, weiter wie oben 2. Wir gehen genauso vor, falls der Nenner die Variable x enthält. 3x + 0 = (x + 4) x + 4 3x + 0 = x + 4, weiter wie oben Test: Wird der Nenner 0? Mit x = 3 folgt x + 4 = = 0. Das ist gut, denn erst damit ist x = 3 wirklich Lösung dieser Gleichung.

20 4 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Wir fassen unser Vorgehen nun nach Art eines Ablaufdiagramms in einer Rechenregel zusammen: Rechenregel 4.4. Löse einfache Gleichungen nach x auf.

21 Wintersemester 2005/06 5 Beispiel 4.5. Eine Firma stellt ein Konsumgut her, dessen Produktion 20 E pro Stück kostet. Die Wartung der Maschine verursacht zusätzlich monatliche Fixkosten von E. Wie viele Stück des Konsumgutes müssen bei einem Stückpreis von 75 E pro Monat verkauft werden, damit die Firma einen monatlichen Gewinn von E erzielt? Lösung: Setzen wir x als die Anzahl produzierter und verkaufter Stücke des Konsumgutes. Einnahmen der Firma: 75x Gesamtkosten der Firma: 20x Der Gewinn ergibt sich als Differenz aus Einnahmen minus Kosten und soll E ergeben. Daraus ergibt sich folgende Gleichung: 75x (20x ) = x 20x = x 20x = x = : 55 x = = Also müssen 300 Stück pro Monat verkauft werden. Zusammenfassung Eine Gleichung aufzustellen heißt, eine Beziehung zwischen gegebenen und einer gesuchten Größe herzustellen. Der Wert einer Gleichung ändert sich nicht, wenn auf beiden Seiten die gleichen Rechenoperationen mit den gleichen Werten angewendet werden. Wir dürfen auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren mit derselben Zahl multiplizieren (Beachte: Vorzeichen minus mal plus ist minus etc. und Klammern jeder mit jedem, Regeln auf dem Merkzettel) durch dieselbe Zahl (nicht 0) dividieren mit derselben Hochzahl potenzieren dieselbe Wurzel ziehen den Logarithmus ln anwenden Die letzten drei Spiegelstriche sind neu und werden im Folgenden behandelt.

22 6 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen 4.2 Einfache Gleichungen mit Wurzeln Löse p x + 7 = 6 nach x auf. Mit anderen Worten besteht die Aufgabe darin, den Ausdruck mit x ohne Wurzelzeichen zu schreiben, also den Exponenten wegzubekommen. Dazu schreiben wir p x + 7 = (x + 7) p nach unserer Potenzregel. Nun nutzen wir die Regel (a r ) s = a r s aus und fragen uns, mit welcher Zahl wir multiplizieren müssen, damit im Expo- p nenten eine steht. [ ] (x + 7) p p = (x + 7) p p = (x + 7) = x + 7. Also müssen wir beide Seiten hoch p rechnen: ( p x + 7 ) p = 6 p x + 7 = 6 p x = 6 p 7, z. B. für p = 2 folgt x = = = Einfache Gleichungen mit Potenzen Diesem Typ Gleichung begegnen wir, wenn wir unsere Zinseszinsformel nach dem Zinssatz i auslösen wollen (vgl. Beispiel 2., Teil 3.). Beispiel 4.6. Ein Guthaben von E wächst in 5 Jahren auf E an. Welcher Zinssatz wurde angewendet? Lösung: Mit K 0 = 5000, n = 5 und K n = K 5 = folgt die Zinseszinsformel = ( + i) 5 : = ( + i) 5 oder ( + i) 5 = 2. Die Aufgabe besteht nun darin, den Exponenten 5 weg zu bekommen, damit ( + i) = + i auf der linken Seite stehen bleibt. Wir benutzen wieder die Potenzregel (a r ) s = a r s und fragen wie eben: Mit welcher Zahl muss der Exponent (5) multipliziert werden, damit danach eine im Exponenten stehen bleibt? Es ist [( + i) 5 ] /5 = ( + i) 5 5 = ( + i) = + i. Also müssen wir beide Seiten der Gleichung hoch /5 rechnen (mit /5 potenzieren), also die 5-te Wurzel ziehen: ( + i) 5 = 2 [( + i) 5 ] /5 = 2 /5 + i = 2 0,06667 =, 0473 i = 0, 0473 = 4, 73%.

23 Wintersemester 2005/ Auflösen nach dem Exponenten (der Hochzahl) Wir kehren nun zu unserer Aufgabe zurück, die Zinseszinsformel nach der Laufzeit n aufzulösen. Dazu benötigen wir die Logarithmenrechnung. Ausgangspunkt ist die Gleichung a n = b, wobei wir die Grundzahl a und den Potenzwert b kennen und den Exponenten n suchen. Definition 4.7. Die Lösung von a n = b ist der Logarithmus von b zur Basis a, schreibe n = log a b. Da wir mit dem Taschenrechner arbeiten, wollen wir uns auf eine einzige Basis a = e = 2, 7828, die sogenannte Eulersche Zahl, beschränken. Wir schreiben im Folgenden log e = ln. Suchen Sie diese Taste auf Ihrem Taschenrechner. Nun formulieren wir Rechenregeln, die wir zum Auflösen der Gleichung nach dem Exponenten benötigen. Spezialfälle 4.8. Es gilt stets:. ln e =, denn e = e; 2. ln = 0, denn e 0 = ; 3. ln 0 ist keine reelle Zahl, sondern eine sehr, sehr kleine negative Größe, die die Mathematiker minus unendlich, in Zeichen nennen. Rechenregeln Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren: ln(b c) = (ln b) + (ln c), denn ist n = ln b die Lösung von e n = b und m = ln c die Lösung von e m = c, so folgt mit den bekannten Potenzregeln b c = e n e m = e n+m, also ist n + m = ln b + ln c die Lösung von b c = e n+m. 2. Der Logarithmus eines Quotienten (Bruches) ist gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Zählers und dem Logarithmus des Nenners: ( ) b ln = (ln b) (ln c) mit c 0. c 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten (der Hochzahl) und dem Logarithmus der Grundzahl: ln(b s ) = s (ln b), denn ist n = ln b die Lösung von e n = b, so folgt mit dem Potenzgesetz (e n ) s = e n s, dass s n = s ln b die Lösung von b s = e n s ist.

24 8 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen 4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Produkt aus durch den Wurzelexponenten und dem Logarithmus des Ausdrucks unter der Wurzel (des Radikanden): ln p b = p ln b. Derart ausgerüstet können wir nun unsere Zinseszinsformel nach der Laufzeit n auflösen und erhalten, indem wir auf beiden Seiten logarithmieren: ( + i) n = K n K 0 ln(( + i) n ) = ln K n K 0 n ln( + i) = ln K n K 0 mit Rechenregel 3. aus 4.9 n ln( + i) = ln K n ln K 0 mit Rechenregel 2. aus 4.9 n = ln K n ln K 0 ln( + i). ln 2000 ln 000 Mit den Zahlenwerten aus Beispiel 4. folgt dann n = = ln 2 ln, 05 ln, 05 = 4, 2,also muss man 5 Jahre (4,2 ist mehr als 4) warten, bis eine Verdopplung des Kapitals bei einem Zinssatz von 5% erreicht ist. 5 Konvergenz von Folgen und Reihen und die Ewige Rente Gelegentlich soll eine Rente nicht nur n mal, sondern theoretisch unendlich oft ausgezahlt werden. Beispiel 5.. Frau Dr. Edel stiftet einen Wissenschaftspreis. Ihr Vermögen von Mio. E soll dazu verwendet werden, jährlich einer Forschergruppe einen Preis für ihre Arbeiten auszuzahlen. Als Stiftungskapital dient ihr Vermögen von Mio. E, dieses wird langjährig sicher mit 4% verzinst. Wie hoch ist das jährliche Preisgeld, über das sich die Preisträger freuen können? Im Gegensatz zu unseren bisherigen Beispielen fehlt uns hier ein n, so dass die bisherigen Formeln nicht ausreichen. Wir wissen aber, dass n beliebig groß werden kann. Wir werden nach einem mathematischen Ausflug auf die Lösung der obigen Frage zurück kommen. Definition 5.2. Eine (Zahlen-)Folge ist eine Auflistung von (reellen) Zahlen, die ich mit einer Zählgröße λ N abzählen kann. Wir schreiben allgemein a λ für die einzelnen Glieder einer solchen Folge und a, a 2, a 3,... für die gesamte Folge.

25 Wintersemester 2005/06 9 Eine endliche Folge hat nur endlich viele (von 0 verschiedene) Glieder, hört also z.b. bei n = 6 auf, etwa die Folge, 2, 3, 4, 5, 6 oder,,,, 27, 8. Eine unendliche Folge liegt vor, wenn die Anzahl der (von 0 verschiedenen Glieder) unbegrenzt ist, z.b. die Menge aller natürlichen Zahlen, 2, 3, 4,.... Besonders beliebt sind Folgen, deren Bildungsgesetz man in Abhängigkeit von λ beschreiben kann. Aus dem Abschnitt über Formeln für endliche Summen 3. kennen wir bereits die Begriffe Arithmetisch und Geometrisch. Diese werden uns jetzt hier wieder begegnen. 5. Arithmetische und Geometrische Folgen, Konvergenz Definition 5.3. Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder stets gleich groß. Wir konstruieren eine arithmetische Folge aus einem Anfangsglied a und der konstanten Differenz d, alle weiteren Glieder kommen aus der Formel a λ = a+(λ ) d. Das ist das sogenannte Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge. Beispiel Wie lautet die arithm. Folge mit a = 2 und d = 0, 5? Lösung: a = 2, a 2 = 2 + (2 ) 0, 5 = 2, 5, a 3 = 2 + (3 ) 0, 5 = 3, a 4 = 2 + (4 ) 0, 5 = 3, 5, Betrachten Sie die Folge 8, 0, 8, 6, 24, 32,.... Wie lauten a und d? Berechnen Sie a 5. Lösung: Die Differenz von je zwei aufeinander folgenden Gliedern ist 8, also ist d = 8. Für a gilt 8 = a = a+0 d = a, woraus wir direkt a = 8 ablesen. Also ist das Bildungsgesetz a λ = 8 + (λ ) 8. Das ergibt für λ = 5 dann a 5 = = Auch die Kapitalentwicklung bei einfacher Verzinsung (ohne Zinseszins) ist eine arithmetische Folge mit dem Bildungsgesetz K λ = (K 0 + K 0 i) + (λ ) K 0 i = K 0 + λk 0 i, das das Kapital mit Zinsen am Ende des Jahres λ beschreibt. Also ist a = K 0 + K 0 i und d = K 0 i. 4. Auf wie viel wächst ein Kapital von E nach 7 Jahren bei einfacher Verzinsung mit i = 4% an? Lösung: K 7 = , 04 = E, in Übereinstimmung mit dem Ergebnis aus Beispiel.. Wir stellen fest, dass die Glieder einer arithmetischen Folge vom Zahlenwert her immer größer werden (in positiver Richtung auf dem Zahlenstrahl, falls d positiv, und in negativer Richtung, falls d negativ ist.)

26 20 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Bitte wiederholen Sie hierzu [Sydsæter], Abschnitt.7, Seiten Wir erinnern an folgenden Sachverhalt: Jede reelle Zahl hat einen eindeutigen Abstand vom Nullpunkt (kann man mit dem Lineal ausmessen). Definition 5.5. Ist a eine relle Zahl und a der Abstand von a zu 0, so heißt a der Absolutbetrag von a. Konkret ist { a falls a 0 a = a falls a < 0. Dabei heißt a < b, dass a (echt) links von b auf dem Zahlenstrahl liegt und a b, dass a rechts von b auf dem Zahlenstrahl liegt und auch a = b eintreten kann. Beachten Sie, dass also a negativ (a < 0) und positiv (a > 0) sein kann, im Gegensatz dazu aber stets a 0 gilt. Es gibt keine größte reelle (oder natürliche, ganze, rationale) Zahl. Das Objekt, das größer ist als jede beliebig große reelle Zahl, nennen wir unendlich oder. Beachten Sie, dass also für alle reellen a die Ungleichung a < gilt. Wir können nun (mathematisch präzise) formulieren, dass der Absolutbetrag der Folgenglieder einer unendlichen arithmetischen Folge unendlich groß ist, also keinen sogenannten reellen Grenzwert besitzt. Definition 5.6. Bei der Grenzwertbetrachtung einer Folge ist der Wert des letzten Folgengliedes gesucht. Bei einer endlichen Folge a, a 2,..., a N ist das offenbar gerade das Folgenglied a N. Bei einer unendlichen Folge ist das gerade das Folgenglied a, in der Mathematik schreibt man dafür lim λ a λ (Lies: limes a λ für lambda gegen unendlich). Man sagt, der Grenzwert existiert, wenn lim λ a λ eine reelle Zahl ist. Ist lim λ a λ keine reelle Zahl, so existiert der Grenzwert nicht, dies ist insbesondere der Fall, wenn lim λ a λ = ±, also unendlich groß oder unendlich klein wird. Wir sehen relativ schnell, dass lim n = 0, denn die Glieder der Folge,,,..., n 2 3,...,,... werden (sogar ziemlich schnell) winzig klein, bleiben aber immer positiv (und werden auch selber nie Null). Wie sieht nun die Situation bei einer geometrischen Folge aus? Definition 5.7. Ist der Quotient zweier aufeinander folgenden Folgenglieder stets konstant (und gleich q 0), so nennen wir die Folge geometrische Folge. Das Bildungsgesetz einer geometrischen Folge ist a λ = a q λ, dabei durchläuft λ = 0,, 2,... und a 0 ist eine reelle Konstante. Wir machen uns klar, dass für alle q > die Folgenglieder immer größer werden, die Folge also keinen Grenzwert besitzt. Für q = erhalten wir die Folge mit nur Einsen,,..., und für q = eine sogenannte alternierende Folge, bei der sich

27 Wintersemester 2005/ und abwechseln.,,,,,,.... Liegt hingegen 0 < q <, so werden die Folgenglieder immer kleiner, blieben aber positiv und nähern sich von rechts der 0 an. Für < q < 0 werden die Folgenglieder betragsmäßig immer kleiner und nähern sich alternierend (abwechselnd von links und rechts) der 0 an. Beispiele: q = 2 liefert die geometrische Folge, 2, 4, 8, 6,... q = liefert die geometrische Folge,,,,,,... q = liefert die geometrische Folge,,,,,,,,... q = 0 q = 0 liefert die geometrische Folge, /0, /00, /000, /0.000,... liefert die geometrische Folge, /0, /00, /000, /0.000,.... Beispiel 5.8. (Zinseszinsrechnung). Die Ermittlung des Endwertes K n = ( + i) n K 0 entspricht der Bildung einer (aufsteigenden) geometrischen Folge mit a = K 0 und q = r = + i >. Den Quotienten r nennt man dann auch Aufzinsungsfaktor. Dabei werden die Folgenglieder (das Endkapital) mit wachsendem n immer größer, ein Grenzwert existiert nicht. 2. Die Ermittlung des Barwertes K 0 = ( + i) n K n entspricht der Bildung einer (absteigenden) geometr. Folge mit a = K n und q = v = <. Die Größe v + i heißt auch Diskontfaktor, und es gilt r v =. Dabei werden die Folgenglieder betragsmäßig immer kleiner, der Grenzwert für n ist daher Null. 5.2 Die unendliche Geometrische Reihe Wir haben bereits festgestellt, dass sich die Folge q λ unterschiedlich verhält, wenn wir 2 und einsetzen. Im ersten Fall werden die Folgenglieder immer größer, im 2 zweiten Fall kommen die Folgenglieder immer näher an die 0 heran. Mit dem neuen Konvergenzbegriff können wir auch sagen lim λ q λ = 0. Wir haben bereits die Frage beantwortet, für welche q diese Beziehung insgesamt gilt, das waren alle reellen q mit 0 < q <. Nun betrachten wir die Summe S n = n λ=0 q λ. Dann ist auch S n eine Folge. Existiert der Grenzwert lim n S n und ist eine reelle Zahl, so sagen wir die unendliche Reihe konvergiert. Satz 5.9. (Grenzwert der geometrischen Reihe) Ist 0 < q <, so gilt lim λ q λ = 0, und es folgt lim S n n = lim q λ q n = lim n n n q = q. λ=0

28 22 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Mit dieser Formel können wir nun die Höhe x unseres jährlichen Wissenschaftspreises aus Beispiel 5. ausrechnen. Wir haben = a = x ( + i) = x λ, 04. λ=0 Mit Hilfe des Taschenrechners erhalten wir x = 38.46, 50 E. 6 Lineare Funktionen Unter einer Funktion wollen wir im folgenden eine Zuordnungsvorschrift verstehen, die jeder reellen Zahl x aus einer bestimmten Menge einen Wert zuordnet. Wenn es um endlich viele x geht, können wir die Sache mit einer Aufzählung erledigen, bei unendlich vielen x erfolgt die Zuordnung über eine Gleichung (Formel), in die wir x einsetzen. 6. Intervalle und etwas Mengenlehre Wir haben bereits festgestellt, dass man zu je zwei beliebigen reellen Zahlen stets sagen kann, welche die kleinere von beiden ist (evtl. sind beide gleich groß). Wir schreiben a < b, wenn die Gleichheit der beiden Zahlen ausgeschlossen ist. Definition 6.. Ist a < b, so heißt die Menge aller reeller Zahlen, die zwischen a und b liegen, ein Intervall. Je nachdem, ob die Randpunkte a, b zum Intervall gehören oder nicht unterscheiden wir die folgenden Fälle, je nachdem aus welchen x das Intervall besteht: (a, b) heißt offenes Intervall, wenn a < x < b gilt; [a, b] heißt abgeschlossenes Intervall, wenn a x b gilt; (a, b] heißt (links) halboffenes Intervall, wenn a < x b gilt; [a, b) heißt (rechts) halboffenes Intervall, wenn a x < b gilt. Ein offenes Intervall enthält also keinen seiner Endpunkte, ein abgeschlossenes Intervall beide Endpunkte. Alle vier Intervalle haben dieselbe Länge b a = b a. Unter einer Menge wollen wir eine Ansammlung von Objekten (häufig: reellen Zahlen) verstehen. Liegt x in einer Menge A, so schreiben wir kurz x A und sagen x ist Element von A. Wenn x nicht in A liegt, so schreiben wir x A. Für unsere Grundmenge der reellen Zahlen schreiben wir kurz R.

29 Wintersemester 2005/06 23 Beispiel 6.2. Ist die Menge A ein Intervall mit Endpunkten a R und b R, so können wir A über Ungleichungen beschreiben:. (a, b) = {x R a < x und x < b} = {x R a < x < b}; 2. [a, b] = {x R a x und x b} = {x R a x b}; 3. (a, b] = {x R a < x und x b} = {x R a < x b}; 4. [a, b) = {x R a x und x < b} = {x R a x < b}. Manchmal betrachtet man Mengen, die durch Kombination bereits bekannter Mengen entstehen. Die prominentesten Beispiele sind Vereinigung, (Durch-) Schnitt und Komplement. Definition 6.3. Seien A, B Mengen.. Die Vereinigung von A und B besteht aus den Elementen, die mindestens zu einer der beiden Mengen gehören, also in A oder B liegen. Wir schreiben kurz A B = {x x A oder x B}. 2. Der Schnitt von A und B besteht aus den Elementen, die zu beiden Mengen gehören, also in A und B liegen. Wir schreiben kurz A B = {x x A und x B}. 3. Das Komplement von B in A besteht aus den Elementen, die zu A, nicht aber zu B gehören, also in A minus B liegen. Wir schreiben kurz A \ B = {x x A und x B}. Hat eine Menge kein einziges Element, so sagen wir die Menge ist leer und schreiben dafür. Liegt eine Menge B vollständig in einer anderen Menge A, so sagen wir B ist Teilmenge von A und schreiben B A. Beispiel 6.4. Es gilt (a, b) (a, b] [a, b]. Außerdem ist [a, b] \ [a, b) = {b}; beachten Sie bitte, dass auch rechts eine Menge stehen muss, nicht nur ein Element, daher die Mengenklammern um das b.

30 24 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen 6.2 Allgemeines über Funktionen Definition 6.5. Eine Funktion f wird beschrieben durch ihren Definitionsbereich D und eine Zuordnungsvorschrift x f(x) für alle x D. D.h. es kann jede Zahl x D auch wirklich in die Formel für f eingesetzt werden. Damit f eine Funktion ist, muss die Zuordnung x f(x) in eindeutiger Weise erfolgen ( nur ein f(x) pro x ), wenn dies nicht der Fall ist, sprechen wir von einer Relation. Der Wertebereich W von f ist die Menge aller möglichen Funktionswerte f(x), also die Menge aller Werte die ich erhalte, wenn ich alle x D in die Zuordnungsvorschrift von f einsetze, W = {f(x) R x D}. Beachte, dass f die ganze Funktion (Zuordnungsvorschrift) bezeichnet, hingegen f(x) für den Wert von f an der Stelle x steht. Beispiele 6.6. f : x f(x) = a x, a R \ {0} mit D f = R, g : x g(x) = ln x mit D g = {x R x > 0}, K : i K(i) = K 0 ( + i) 5 mit D K = {i R 0 < i < 0, 25}. Definition 6.7. Eine lineare Funktion ist von der Form f : x f(x) = m x + b, m, b R mit D = R. 6.3 Graphen von Funktionen Ein Koordinatensystem besteht aus 2 aufeinander senkrecht stehenden Achsen, von denen wir die waagerechte die x-achse und die senkrechte die y-achse nennen wollen. Sie schneiden sich im Nullpunkt, das ist der Punkt mit den Koordinaten (0, 0). Ein Punkt mit den Koordinaten (p, q) hat den Abstand p vom Nullpunkt auf der x- Achse und den Abstand q vom Nullpunkt auf der y-achse. Die Vorzeichen von p, q bestimmen dabei, auf welcher Seite des Nullpunktes der Punkt liegt (rechts/links, oben/unten). Zu einer gegebenen Funktion f können wir immer den Graphen von f zeichnen, der uns die Eigenschaften von f gut veranschaulicht. Wir schreiben G f = {(x, y) x D und y = f(x)}. Der Graph jeder linearen Funktion der Form f : x f(x) = mx + b ist eine Gerade l mit der Gleichung y = mx + b. Wir nennen m die Steigung und b den y- Achsenabschnitt. Wir halten folgende Ergebnisse für Geraden fest: Satz Steigungsberechnung Sind (x, y ), (x 2, y 2 ) zwei Punkte auf einer Geraden l mit x x 2, so ist die Steigung der Geraden m = y 2 y. x 2 x

31 Wintersemester 2005/ Punkt-Steigungsformel einer Geraden Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung m durch den Punkt (x, y ) ist y y = m(x x ). 3. Zweipunkte-Formel für Geraden Gegeben seien 2 Punkte (x, y ) und (x 2, y 2 ) mit x x 2. Die Gleichung der Gerade l durch die beiden Punkte erhält man, indem man zunächst die Steigung ausrechnet gemäß m = y 2 y x 2 x. Wenn man dann im 2. Schritt diese Steigung in die Punkt-Steigungsformel einsetzt, erhält man y y = y 2 y x 2 x (x x ). 6.4 Lineare Ungleichungen Lineare Ungleichungen ax + b c kann man graphisch lösen, indem man beachtet, dass bedeutet, dass Werte gemeint sind, die unterhalb der Geraden liegen ( bedeutet entsprechend: oberhalb). Rechnerisch kann man lineare Ungleichungen nach dem gleichen Algorithmus nach einer Variable (x) nach dem Algorithmus für Gleichungen auflösen, allerdings muss man beachten, dass das Ungleichheitszeichen sich bei Multiplikation mit (Division durch) eine negative Zahl umdreht. 6.5 Systeme von 2 linearen (Un-)Gleichungen Die rechnerische Lösung erfolgt nach unserem Algorithmus, nach dem wir zunächst beide Gleichungen nach derselben Variablen (x) auflösen und dann gleichsetzen. Damit erhalten wir die andere Variable (y) und können dann x herausbekommen, indem wir das gefundene y in eine der beiden nach x aufgelösten Gleichungen einsetzen. Graphisch löst man 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten, indem man den Schnittpunkt der zugehörigen Geraden bestimmt. 7 Lineare Gleichungssysteme und ein systematisches Lösungsverfahren 7. Der Gauß-Jordan-Algorithmus Wir haben bereits in 6.5 ein Verfahren kennengelernt, um zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten zu lösen. Bei mehr als 2 Gleichungen (was in wirtschaftswissenschaftlichen

32 26 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen Modellen durchaus häufiger vorkommt) funktioniert das Verfahren zwar immer noch, wird aber schnell unübersichtlich und damit fehleranfällig. Das folgende Beispiel illustriert eine Aufgabe, die bereits im Chinesischen Reich (vor über Jahren) bekannt war und dort benutzt wurde, um das mathematische Wissen von Bewerbern um die begehrten Beamtenstellungen zu überprüfen. Beispiel 7.. Ein Bauer verkauft 2 Pferde (Stückpreis p) und 8 Schafe (Stückpreis s) und erhölt dafür 8 Ziegen (Stückpreis z) und 500 Münzen. Ein zweiter Bauer verkauft ebenfalls 2 Pferde und dazu 9 Schafe, er erhält dafür 6 Ziegen und 900 Münzen. Ein dritter Bauer verkauft 2 Ziegen und erhält dafür ein Pferd, 3 Schafe und 300 Münzen. Die Münzen haben einen festen Wert. Wie viele Münzen kostet ein Tier jeder Art? Lösung: Wir setzen p für den Preis eines Pferdes, s für den Preis eines Schafes und z für den Preis einer Ziege. Da alle Münzen gleich viel wert sind, nehmen wir für die Rechnung an, dass jede Münze den Wert besitzt. (Wir könnten auch x für den Münzwert schreiben, dann bekämen wir am Ende statt der Anzahl der Münzen (z.b. 00) den Preis des Tieres (z.b. 00x heraus. Wir rechnen mit x =, da das den Rechenweg erleichtert und wir so nicht auf das x aufpassen müssen.) Damit sieht das Gleichungssystem, das wir aus der Aufgabenstellung ablesen, indem wir links die Verkäufe von Bauer,2,3 und rechts die jeweiligen Verkaufserlöse angeben, wie folgt aus: 2p + 8s = 8z p + 9s = 6z z = p + 3s Wenn wir unserem Flussdiagramm aus 4. folgen und es auf die Situation mit 3 Variablen anpassen, würden wir wahrscheinlich zunächst Gleichung (3) nach z auflösen und diesen Ausdruck in () und (2) einsetzen. Damit hätten wir ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen gewonnen, das wir wiederum nach der Methode aus dem Flussdiagramm auflösen würden. Ein alternatives Vorgehen sieht so aus:. 2p + 8s 8z = 500 2p + 9s 6z = 900 p 3s + 2z = 300 Hier stehen die Variablen in allen 3 Gleichungen in derselben Reihenfolge auf der linken Seite, der konstante Term steht jeweils auf der rechten Seite. 2. Wir tragen nun die Vorfaktoren der Variablen (ohne p, s, z) in eine Art Arbeitsblatt ein und schreiben in der Spalte dahinter auf, in welcher Reihenfolge wir die Variablen aufgeschrieben hatten. Das ergibt:

33 Wintersemester 2005/ p s z = Wir rechnen nun nur mit den Zahlen weiter, Grundlage ist das Arbeitsblatt Unser Ziel besteht darin, auf der Diagonale nur zu erzeugen. Dazu dividieren wir zunächst die. Zeile durch die erste darin befindliche Zahl ( 0): : Damit steht in der ersten Zeile eine auf der Diagonalen. 5. Nun kommt die zweite Zeile dran. Zu diesem Zweck dürfen wir Vielfache der ersten Zeile von der zweiten (und danach der dritten Zeile) abziehen: = Z Z Z ( 9) Damit steht in der zweiten Zeile eine auf der Diagonalen. 6. Nun kommt die dritte Zeile dran. Zu diesem Zweck dürfen wir Vielfache der zweiten Zeile von der dritten abziehen: = Z Z Damit steht in der dritten Zeile eine auf der Diagonalen. 7. Wir übersetzen das Arbeitsblatt zurück in unser Gleichungssystem: 4 9 p s = z 50

34 28 A May, D. Pfeifer: Mathematik für Ökonomen oder anders aufgeschrieben: p + 4s 9z = 250 s + 2z = 400 z = 50 Wir lesen sofort den Preis einer Ziege zu z = 50 Münzen ab und setzen von unten nach oben ein: (2. Zeile) s = 400 ergibt s = = 00 und (. Zeile) p = 250 ergibt p = 250 ( 950) = 200. Also kostet ein Schaf 00 Münzen und ein Pferd 200 Münzen. Wir wollen das Verfahren noch an einem weiteren Beispiel diesmal mit 4 Variablen in 4 Gleichungen testen, bevor wir das Verfahren als Rechenregel (Algorithmus) formulieren und auch auf die dahinter liegende Mathematik eingehen. Beispiel 7.2. In einem Unternehmen mit 4 Produktionsstätten in Deutschland (Opel... ) soll aus Kostendämpfungsgründen die Gehaltsstruktur für folgende Gruppen von Arbeitnehmern ermittelt werden: A Arbeiter, V Vorarbeiter, M Meister und L Gruppenleiter. Wir kennen nur die Anzahl der Arbeitskräfte pro Produktionsstätte P, P 2, P 3, P 4 und das monatliche Gesamteinkommen G in E. Die Betriebsräte in den vier Produktionsstätten haben folgende Zahlen übermittelt: P P 2 P 3 P 4 A V M L G Ihre Aufgabe besteht nun darin, aus dieser Tabelle das monatliche Einkommen der Gruppen A, V, M, L zu ermitteln. Dazu stellen Sie 4 Gleichungssysteme auf, indem Sie die 4 Spalten, also die Angaben pro Produktionsstätte, von oben nach unten in Gleichungen umsetzen: Lösung: Wir setzen A für das monatliche Einkommen eines Arbeiters, V für das monatliche Einkommen eines Vorarbeiters, M für das monatliche Einkommen eines Meisters und L für das monatliche Einkommen eines Gruppenleiters. Damit sieht das Gleichungssystem wie folgt aus: 2A + 8V + 4M + 0 L = A + 4V + 2M + L = A + 5V + 5M + 2L = A + 5V + 5M + 0 L =