Klausur zur Höheren Mathematik 1/2

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1 Stroppel/Sänig Klausur zur Höheren Mathematik / für Ingenieurstuiengänge Bitte beachten Sie ie folgenen Hinweise: Bearbeitungszeit: 40 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Vier Seiten DIN A4 eigenhänig hanbeschrieben. Bearbeitungen mit Bleistift oer Rotstift sin nicht zulässig! In en Aufgaben 0 sin ie vollstänigen Lösungswege mit allen notwenigen Begrünungen anzugeben. Die Bearbeitung ieser Aufgaben nehmen Sie bitte auf gesonertem Papier vor. Beginnen Sie jee Aufgabe auf einem neuen Blatt. In en Aufgaben 5 weren nur ie Energebnisse gewertet. Diese sin in ie vorgegebenen Kästen einzutragen. Nebenrechnungen sin hier nicht verlangt un weren bei er Bewertung nicht berücksichtigt. Folgene Ableitungen, Stammfunktionen un Funktionswerte können Sie ohne weitere Herleitung verwenen. Alle aneren Ableitungen un Stammfunktionen müssen begrünet weren. f(x) x a e x sin x tanx sinh x arsinhx x f(x) a xa e x cos x ( cos(x) ) cosh x x + f(x) b x ln x cos x arctanx cosh x arcosh x x f(x) ln(b)bx x a R,b R + sin x + x sinh x x x sin x cos x Die Prüfungsergebnisse weren voraussichtlich ab über as Online Portal LSF ( bekanntgegeben. Viel Erfolg! Hinweise für Wieerholer: Stuierene, ie iese Prüfung als Wieerholungsprüfung schreiben, weren arauf hingewiesen, ass zu ieser Wieerholungsprüfung unter bestimmten Umstänen eine münliche Nachprüfung gehört, es sei enn, ie schriftliche Prüfung ergibt minestens ie Note 4,0. Wieerholer, bei enen eine münliche Nachprüfung erforerlich ist, müssen vom bis mit Frau Marina Borgart (täglich 0 Uhr - Uhr, Raum V ) einen Termin vereinbaren. Eine iniviuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sin verpflichtet, sich rechtzeitig über as Ergebnis er schriftlichen Prüfung zu informieren un sich zum vereinbarten Zeitpunkt für ie münliche Nachprüfung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an ieser Prüfung erkennen Sie iese Verpflichtungen an. Seite von 7

2 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Aufgabe (5 Punkte) Gegeben ist ie Funktion f : R R, (x,y) (x + ) y. Bestimmen Sie as Taylorpolynom. Stufe zum Entwicklungspunkt (, ). Aufgabe (4 Punkte) Bestimmen Sie ie folgenen Ableitungen: (a) x ( x e x ) (b) x ( ( )) e x ln x + Aufgabe (4 Punkte) Gegeben sei as Vektorfel (a) Berechnen Sie ein Potential von f. f : R {(0, 0) } R : (x,y) (x + y ) /(x,y). (b) Gegeben seien nun ie Punkte P (, 0) un P (, 0). Geben Sie eine Parametrisierung für eine Kurve K an, welche ie Punkte P (Startpunkt) un P (Enpunkt) über einen Halbkreis um en Nullpunkt mit Raius verbinet. (c) Berechnen Sie as Kurvenintegral von f längs K. Aufgabe 4 (0 Punkte) Berechnen Sie ie folgenen Integrale: (a) (b) 0 e cos x sin x cos x x e cos x sin x x (c) () cos x 0 + sinx x + ln x x x (e) + 0 e x cos x x Aufgabe 5 (8 Punkte) Ein rechteckiger Karton ohne Deckel soll aus m Pappe hergestellt weren. Berechnen Sie as maximale Volumen eines solchen Kartons. (a) Geben Sie einen Ausruck V für as Volumen es Kartons in Abhängigkeit von Länge un Breite an. (b) Bestimmen Sie Lage un Typ aller kritischen Stellen von V. Was ist as maximale Volumen es Kartons? Seite von 7

3 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Aufgabe 6 (5 Punkte) Entscheien Sie, ob ie folgenen Reihen konvergieren oer ivergieren. (a) k0 k + (b) k k(k + ) (c) k0 k ( + ( ) k ) k Aufgabe 7 (5 Punkte) Es sei eine Ebene E im R gegeben urch E : x + x x 5 0 (a) Bestimmen Sie ie Ebenen E un E parallel zu E, welche von E jeweils en Abstan haben. Wir betrachten eine Gerae g urch en Ursprung, welche E im Punkt A schneiet, E im Punkt B un E im Punkt C. Dabei betragen ie Abstäne AB un BC jeweils 6. (b) Machen Sie eine Skizze es geometrischen Sachverhalts. (c) Berechnen Sie, unter welchem Winkel ie Gerae g ie Ebenen E,E un E schneiet. Ermitteln Sie abei en Winkel zur jeweiligen Normalen er Ebene. Aufgabe 8 (8 Punkte) Gegeben ist as reelle, lineare Gleichungssystem Ax b mit A 0 0 α b 0 β. 0 0 (a) Bestimmen Sie ie Determinante er Matrix A. (b) Für welche α,β R besitzt as System eine eineutige Lösung? Berechnen Sie iese Lösung. (c) Für welche α,β R besitzt as System unenlich viele Lösungen? Berechnen Sie ie Lösungsmenge. () Für welche α,β R besitzt as System keine Lösungen? Aufgabe 9 (5 Punkte) Bestimmen Sie ie Eigenwerte sowie ie zugehörigen Eigenräume er Matrix 0 A. 0 0 Geben Sie ie algebraische un geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte an. Seite von 7

4 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Aufgabe 0 (4 Punkte) (a) Bestimmen Sie ie Lösung er Gleichung z( i) + i in er Form z a + bi mit a,b R. (b) Beweisen Sie für alle n N ie Formel mit Hilfe vollstäniger Inuktion. ( + i) n n ( cos ( n ) + i sin 4 ( n )) 4 Seite 4 von 7

5 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Stuiengang: Aufgabe ( Punkte) Geben Sie für ie folgenen Potenzreihen jeweils en Entwicklungspunkt an un bestimmen Sie en Konvergenzraius. ( ) n n + z n n n0 n n (z n i)n + Entwicklungspunkt Konvergenzraius Aufgabe ( Punkte) Berechnen Sie ie folgenen Grenzwerte: ( (a) lim x 0 sin(x) ) x ( ) ( ) n n (c) lim n + n + x + cos(x) (b) lim x + x Aufgabe (5 Punkte) Gegeben sei ie Quarik { Q : x R x x x x x x } x x + 0. Geben Sie ie Matrixbeschreibung er Quarik an. Bestimmen Sie ie eukliische Normalform er Quarik. Bestimmen Sie ie Gestalt er Quarik anhan er Normalform. Seite 5 von 7

6 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Aufgabe 4 (8 Punkte) Wir betrachten für R ie beien Basen 0 0 E : 0 0 un C : un für R ie Basen ( ) ( ) ( ) B :, un B :, Die Abbilung f : R R ist gegeben urch ie Matrix f E B 0. ( ). Berechnen Sie ie Basiswechselmatrizen C i E un B i B sowie ie Abbilungsmatrix in neuen Basen C f B. Seite 6 von 7

7 Stroppel/Sänig Höhere Mathematik / Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Stuiengang: Aufgabe 5 ( Punkte) Gegeben ist as Vektorfel f α : R + R + R R : (x,y,z) (α zx, zy ), ln(xy) wobei α R ein Parameter ist. Bestimmen Sie ie Jacobi-Matrix von f α : Jf α ((x,y,z) ). Für welche α R besitzt as Vektorfel ein Potential: α? Seite 7 von 7