Lösungen zum Thema Kreis & Kugel

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1 Lösungen zur Aufg. : a r ; r 8 (,8 ; M M m m M M Dann gilt: r +r + 8 > M M und weiter: r r 8, < M M b Aus r r < M M <r +r folgt: Die Kugeln k und k schneiden sich, da r +r M M, berühren sich die Kugeln nicht. k : (x+ +(y +(z k : (x+ +(y +(z 8 x +6x+9+y y++z z+ x +8x+6+y 0y++z z+ 8 x +6x+y y+z z 8 x +8x+y 0y+z z (Subtraktion k k x +6x+y y+z z 8 (x +8x+y 0y+z z x + 6 y z Die Ebenen ε, in der der Schnittkreis liegt, hat die Koordinatengleichung ε: x + 6 y z 0 bzw. x y + z + 0 c Sei r s der Radius und M s der Mittelpunkt des Schnittkreises. Es sei d : M MS. Für den Abstand d des Mittelpunktes von der Ebene ε: x y + z + 0 gilt: ( + ( + + d + ( +, LE Da d > M M folgt, dass die Lage der Kugeln sich wie rechts abgebildet darstellt. Mit dem Satz des Pythagoras: r s d ( 9,68 LE Mittelpunktbestimmung: Sei g die Gerade, die durch die Mittelpunkte M und M verläuft. Dann gilt: g: x m +t M M +t Die Gerade g schneidet die Ebene ε im Punkt M s, also gilt mit Koordinatenvergleich: x t y+t z t eingesetzt in die Koordinatengleichung von ε: ( t (+t+( t+0 t 6 9t+ t+0 t+0 t [ von 0]

2 t eingesetzt in die Geradengleichung von g: 6 x + M s ( Für den gesuchten Schnittkreis gilt: Der Mittelpunkt ist M s ( und der Radius beträgt r s LE,68 LE Lösung zur Aufg. : Wir stellen zuerst die Gerade g durch A und B und die Gerade h durch B und C auf. Dann bestimmen wir die Mittelpunkte M g und M h der Strecken AB bzw. BC und stellen dann die Geraden ms g und ms h auf, die den Mittelsenkrechten durch diese Mittelpunkte entsprechen. Der Schnittpunkt dieser Geraden ms g und ms h ist der Mittelpunkt des Kreises. (Siehe auch Skizze rechts A g msg M Mg C Mh h msh B Aufstellen der Geradengleichungen zu g und h: g: x a +t g AB und h: x b +t h BC (t g ;t h IR 8 g: x +tg und h: x +th 8 6 Bestimmung der Mittelpunkte M g und M h : m g (a + b M g ( 6 m h (b + c 0 M h (6 0 Aufstellen der Geraden ms g und ms h : 8 Zu der Geraden g ist der Vektor ein Normalenvektor auf g, zu der Geraden h ist der Vektor a b ein Normalenvektor auf h. (Erinnerung: v ist NV auf v b a 8 6 ms g : x +t g und ms h : x +th (t g ;t h IR 0 Schnittpunktbestimmung: 8 6 +t g +th 0 Koordinatenvergleich: I: +8 t g 6+ t h II: + t g t h aus II folgt: t h + t g t h in I: +8 t h 6+ ( + t g t g [ von 0]

3 t g in Gerade ms g eingesetzt: x (Kontrolle mit t h in ms h möglich M( 8 8 Bestimmung von r: 6 r AM ,8 LE (sinnvolle Kontrolle: BM 8 +,8 LE Der gesuchte Mittelpunkt lautet M( 8 8 und der Radius beträgt rd.,8 LE. Lösung zur Aufg. : Bestimmung der Schnittpunkte: Aus dem Koordinatenvergleich von g folgt: x t und y+6 t und weiter: (( t +((+6 t 9 ( t +(6t 9 6 t 0 t0 t (6 t 00 0 t 0 und t 6 und somit S ( und S ( Wir bestimmen die Länge der Sehne s: 0 6 s S S ,96 LE 6 Wir berechnen zuerst den Flächeninhalt A D des gleichschenkligen Dreiecks MS S und danach den Flächeninhalt des Segmentes, der durch den Mittelpunktswinkel α gegeben ist. Skizze: LE M α S S Sei h die Höhe des Dreiecks dann, gilt: r ( s +h also h r s ( 0 9 ( h 6,8 LE A D s h , FE Wegen der Gleichschenkligkeit von MS S gilt: sin( α s r s s r und umgestellt: α arcsin( r arcsin( s r arcsin ( arcsin( 989 9,8 α 9,6 Berechnung des Flächeninhalts A k der Kreisscheibe: A k π r π 9 9, 6 Berechnung des Flächeninhaltes A S des von α bestimmten Kreissegmentes: A S A K 60,0 FE. 9, 6 Berechnung des Inhalts der ersten (kleineren Teilfläche: A A S A D 9 π ,9 FE. Berechnung des Inhalts der zweiten (größeren Teilfläche: A A K A 9 π 9,9,99 FE. Die gesuchten Flächeninhalte betragen gerundet A 9,9 FE und A,99 FE. [ von 0]

4 [ von 0] Lösungen zur Aufg. : a Abstandsbestimmung von M zur Ebene ε. I 0 o z y x x y0 II o z y x x+y+z0 Sei x gewählt. Dann ergibt sich: I y0 y y und x in II ++z0 z Der Vektor v ist ein Normalenvektor auf ε. v und somit ist N e ein Einheitsnormalenvektor auf ε. Für den Abstand gilt: d ( x x 0 o N e o (,0 LE Aus d folgt: Die Ebene tangiert die Kugel nicht. Da d < schneidet die Ebene die Kugel. Bestimmung des Mittelpunktes M s und des Radius r s des Schnittkreises: Es gilt: r d +r s, also r s r d ( r s 98, LE. Sei g die Gerade, die durch M und M s verläuft. Dann ist M( ein Aufpunkt dieser Geraden und der Vektor N e ein Richtungsvektor von g (da er orthogonal zu ε ist. g: x +t (t IR Für t0 ergibt sich m, für t (siehe Abstandsberechnung muss sich s m ergeben. t x M s ( Der gesuchte Mittelpunkt lautet M s ( und der Radius r s 98, LE. b Für den Mittelpunkt M k* von k* gilt: * k m m + s MM s m m k* m M k* ( Gleichungen: (x+ +(y+ +(z+ bzw. z y x

5 c P(6 z mit z IR >0 (6 +( +(z 9 +( +(z 9 +9+(z 9 (z 6 z ; ± 6 + z9 (da z>0 Der gesuchte Punkt lautet P(6 9 d Die Koordinatengleichung für T ergibt sich wie folgt: T: (x (6 +(y ( +(z (9 9 (x (y +6(z 9 x 8 y++6z 89 x y+6z 60 Die Tangentialebene hat die Koordinatengleichung x y+6z 60 Für T gilt: Der Abstand d des Mittelpunktes M zu T beträgt r LE. Für alle Ebenen T i, die zu T parallel sind und k schneiden, gilt folglich: Der Abstand von M zu T i ist kleiner als LE, also d<. Außerdem gilt: Alle zu T parallelen Ebenen T j haben die Gleichung x y+6z+c0 mit C IR. ax+ by+ cz+ d d a + b + c + ( C ( + C + C 9 Fallunterscheidung: + C. Fall: C 0 + C und somit + C < C < 0 C < + C. Fall: C<0 +C und +C < +C < 9 6 < C < 0 Alle zu T parallelen Ebenen T i, die k schneiden, haben eine Koordinatengleichung der Form x y+6z+c0 mit C ] 6;[. Es gibt genau zwei Ebenen T und T, die zu T parallel sind und in denen der Schnittkreis den Radius r LE aufweist. Sei d der Abstand von M zu T, dann gilt mit dem Satz des Pythagoras: r +d 9+d d ±, da d 0 d Fallunterscheidung: + C. Fall: C>0: +C +C C,96 + C. Fall: C<0: +C +C C + 60,96 Achtung beim. Fall: C ist negativ! Die gesuchten Koordinatengleichungen lauten (gerundet T : x y+6z+,960 und T : x y+6z 60,960 Lösungen zur Aufg. : a Da der Richtungsvektor für alle g g k gleich ist, sind alle Geraden aus g k zueinander parallel. Sei g g k. Dann gilt für den Koordinatenvergleich: x k +r yr z +r Eingesetzt in die Koordinatengleichung von ε: ( r ( +r 6r + 6r 0 g g k. [ von 0]

6 b Da alle Geraden aus g k zueinander parallel sind, schneidet h alle Geraden oder genau eine Gerade oder keine Gerade. Sei g g k Dann folgt mit dem Koordinatenvergleich: I k +r II r s III +r s II in III +( s s s s s s in II r ( r 6 r in I k +( 6 k k 0 in h: x +s s S( ( Die Gerade g : x 0 +r schneidet die Gerade h im Schnittpunkt S(. 0 c Der Vektor n ist ein Normalenvektor auf ε mit n 8 0 Der Vektor u ist ein Richtungsvektor von h mit u Es gilt: cos(α n u n o u cos(α 8 ( +( 9 cos(α 9 8 6, 90, Der gesuchte Winkel beträgt rd.,. α arccos( 9 8 6, d Sei M i (a b c M oder M (a;b;c IR Da M i h, gilt: a 0 b +s (für s bzw s aus IR c Mit dem Koordinatenvergleich folgt: a; I b s II c+ s B Skizze: Gerade h M S M B Ebene ε Da der Abstand von M i zu ε beträgt, gilt mit der Abstandgleichung: 0 b c ( b c 8 b c also III b c 0 [6 von 0]

7 I und II in III: ( s (+ s 0 s 6 6 s s 0 Es gilt: s 0 Fallunterscheidung:. Fall: s<0 s. Fall: s>0 s 9 8 s i in die Geradengleichung von h eingesetzt: 0 m +( M ( 6 6 m 0 +( 8 M ( Die gesuchten Mittelpunkte lauten M ( 6 und M (. e M M M M ( ( Es gilt: M M > r +r r Die Kugeln schneiden und berühren sich nicht. 0 Somit gilt für den minimalen Abstand d der Kugeln M M r +r +d d 0 0,6 LE Der Kugeln schneiden sich nicht und haben einen kleinsten Abstand von rd. 0,6 LE zueinander. 0 0 f n ist ein Normalenvektor auf ε (siehe Aufgabenteil c. Dann ist e N Einheitsnormalenvektor auf ε. Somit ist e N auch ein Einheitsnormalenvektor auf ε*. Gesucht: Aufpunkt P * auf ε*. Der Punkt P(0 0 liegt auf ε, da seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen P* sei der an M gespielte Punkt von P. 0 * * Dann gilt: p p + PM mit PM p Wir verwenden P* als Aufpunkt von ε*. HNF von ε*: 0 x 9 o ein [ von 0]

8 Sei X(x y z ein Punkt von ε* (x;y;z IR. Dann gilt: x 0 y 9 o 0 8 z 8 (x 0+(y 9 +(z+ ( y 8 z y z 6 0 y z Eine gesuchte HNF von ε* ist x 9 o 0 und eine Koordinatengleichung von ε* ist 8 8 y z 6 0 (bzw. y z 0. Hinweis: Bei der HNF sind auch andere Aufpunkte möglich (eben alle Punkte von ε* und der 0 Einheitsnormalenvektor kann zu vereinfacht werden. g Kugel k : M ( 6 und r bzw r 0 Kugelgleichung: (x +(y +(z+6 0 A( 0 : ( +(0 +( +6 ( +( A k C( : ( +( +( +6 ( +( C k Für den Punkt B gilt, dass er als Spiegelpunkt von A an M angesehen werden kann, also gilt : b a + AM, wobei AM b B( Der gesuchte Punkt B lautet B( 0 0. h Die Punkte A, B und C liegen auf k, des weiteren können die Punkte A und B als am Mittelpunkt M aufeinander gespiegelte Punkte angesehen werden. Somit erfüllen A; B; C den Satz des Thales, das Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei C. Siehe Skizze Für den Flächeninhalt von ABC gilt somit: A ABC BC AC BC 0 und somit BC 98 0 Skizze: A M 90o C B [8 von 0]

9 0 AC 0 und somit AC. Es folgt: A ABC 98 6 Für das Volumen einer Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h gilt: A Pyramide G h A Pyramide G h A ABC h h h Da für die Pyramiden ABCD i gelten soll A Pyramide VE folgt, h h LE Die Höhe der Pyramiden ABCD i mit einem Volumen von VE beträgt LE. Da die Grundfläche ABC festgelegt ist und die Höhe einer jeden Pyramide ABCD i gleich sein muss (damit V VE, müssen alle Punkte D i in zwei Ebenen liegen, die parallel zur Ebene, in der ABC liegt, nach oben bzw. nach unten angeordnet sind. Somit liegen alle Punkte D i auf zwei Kreisen k D und k D, wie in der Skizze rechts erkennbar. Die Mittelpunkte der Kreise k D sind um den Faktor h von M orthogonal zur Ebene, die von ABC aufgespannt wird, nach oben bzw. unten verschoben. Für den Radius r D gilt: Skizze Radius r D r h + r D +r D 0+ r D r D 9 LE ( ( M D h 90 o r r D M Sei µ die von ABC aufgespannte Ebene. Dann sind A;B;C µ und x a +r AB +s AC (r;s IR ist eine Ebenengleichung von µ x 0 x x 0 +r 0 +s 0 o y 6x+0y 8z0 und o y y+z0 8 8 z z Sei y, dann ist z und aus 6x+0 8 ( 0 folgt 6x8 und x Somit ist n ein Normalenvektor und e Nµ ein Einheitsnormalenvektor auf µ. Für den Mittelpunkt M D von k D gilt dann die Gleichung: m D m +h e Nµ (wobei M der Mittelpunkt der Kugel k ist und h die Höhe der Pyramiden. [9 von 0]

10 [0 von 0] D m M D ( 6 D m 6 6 M D ( Die gesuchte Höhe der Pyramiden beträgt h LE; die Mittelpunkte der gesuchten Kreise lauten M D ( 6 bzw. M D ( und beide haben den Kreisradius r D 9 LE.