EIN GEMISCHTER FINITE ELEMENTE ANSATZ FÜR EIN NICHTLINEARES OPTIMAL-DESIGN-PROBLEM. Diplomarbeit

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1 EIN GEMISCHTER FINITE ELEMENTE ANSATZ FÜR EIN NICHTLINEARES OPTIMAL-DESIGN-PROBLEM Diplomarbeit Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik eingereicht von: David Günther geb: in: Berlin. Betreuer: Prof. Dr. Carsten Carstensen 2. Betreuer: Dr. Soeren Bartels Datum: 24. September 27

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 2 Notation und elementare Resultate 8 3 Modellierung 3. Der Schubmodul Die Torsionssteifheit Das Optimal-Design-Problem Die gemischte Formulierung Regularisierung der Gemischten Formulierung 8 4. Regularisierung konvexer Funktionen Regularisierung des Optimal-Design-Problems Die konjugierte Energiedichte Finite Elemente Methode Die Triangulierung Das diskrete Problem Existenz und Eindeutigkeit Die exakte Lösung Die diskrete Lösung Fehlerabschätzungen 3 7. A priori Fehlerabschätzung A posteriori Fehlerabschätzung Die FEM-Schleife Markierung Verfeinerung Lösen Fehlerschätzung

3 9 Numerische Beispiele Definintion der Modellbeispiele Der Regularisierungsalgorithmus Das optimale Design der Modellbeispiele Weitere numerische Kenngrößen Ein Zielorientierter Ansatz 65 Thesen 73 A Dokumentation der Software 75 A. Überblick über die verfügbaren FE-Methoden und Module A.2 Ein Flußdiagramm A.3 Ein Beispiel A.4 Auswertung der Lösung A.5 Der Verzeichnissbaum Literaturverzeichnis 89 3

4 An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. Carstensen für die Vergabe und die Betreuung dieser interessanten Diplomarbeit danken. Bei Dipl. Math. Hella Rabus möchte ich mich für ihre Hilfe und Betreuung während des Schreibens dieser Arbeit bedanken. 4

5 Kapitel Einleitung Ein klassisches Problem der Elastizitätstheorie betrachtet die Konstruktion eines Balken, welcher aus zwei verschiedenen Materialien bestehen soll. Beide Materialien besitzen eine unterschiedliche Steifheit und sollen zu bestimmten Anteilen in dem Balken vorkommen. Das Problem besteht nun darin, beide Materialien so im Balken zu verteilen, dass der Balken eine maximale Steifheit besitzt. Betrachtet man den Querschnitt Ω R 2 des Balken lässt sich dieses Problem mathematisch als Minimierungsproblem formulieren J(v) = ϕ( v ) v dx min!, (.) wobei die Funktion ϕ(t) gegeben ist durch { 2 ϕ(t) = µ 2t 2 λµ 2 t 2 2λ µ 2 t 2 λµ t 2 2λ. Ω Die auftretenden Parameter µ, µ 2 und λ sind durch die gegebenen Materialien und deren Anteil im Balken gegeben. (.) beschreibt ein nicht-konvexes Minimierungsproblem und damit existiert im Allgemeinen kein eindeutiger Minimierer. Da das Funktional zudem nicht schwach unterhalbstetig in H (Ω) ist, führen auch die sogenannten direkten Methoden der Variationsrechnung nicht zu einem Minimum von (.). Um dieses Problem zu umgehen, reformuliert man (.) mittels der konvexen Hülle von ϕ. Das resultierende konvexe Optimierungsproblem ist nun eindeutig lösbar. Durch die Konvexifizierung (auch Relaxierung genannt) des Problems bildet sich aber eine Kontaktzone zwischen den Materialien, in der es zu einer Vermischung beider Materialien kommt. Die Fläche dieser Grenzschicht hängt stark von den Materialanteilen ab. Eine Äquivalenz des relaxierten Problems und (.) ist nur dann gegeben, wenn das Maß der Grenzschicht null ist. Das Problem (.) wurde zunächst als Beispiel von Kohn und Strang in ihrer dreiteiligen Abhandlung Optimal Design and Relaxation of Variational Problems [2, 22, 23] 986 formuliert. Fokus dieser Arbeit war es eine Verbindung zwischen Strukturoptimierung, Relaxierung und Homogenisierung (Vermischung) herzustellen und deren Lösungen zu beschreiben. Die ersten numerischen Experimente zu (.) wurden 99 von Kawohl, 5

6 Stara und Wittum in ihrer Arbeit Analysis and Numerical Studies of a Problem in Shape Design [2] geführt. Zum einen wurden hier konkrete Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für das relaxierte Problem getroffen und die Regulärität dessen Lösung bestimmt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigte sich mit den numerischen Experimenten. Mittels einer Finiter Volumen Methode wurde das Optimal-Design Problem diskretisiert. Durch die mangelnde Rechenleistung der damaligen Zeit lag der Schwerpunkt der Experimente auf der Konstruktion eines Multigridlöser. Dadurch waren sie in der Lage, das diskrete Problem auf feinen Triangulierungen zu lösen. Und konnten somit die Kontaktzone relativ gut auflösen. Allerdings waren die zugrunde liegenden Triangulierungen stets uniform. Da der Verlauf der Grenzschicht a priori nicht bekannt ist, war eine lokal feinere Auflösung der Kontaktzone nicht möglich. Während der 9er Jahre wurden speziell adaptive Finite Elemente Methoden entwickelt, die die Konstruktion von problemspezifischen Triangulierungen ermöglichte. Mittels der diskreten Lösung konnte man nun Informationen gewinnen, wie man Triangulierungen lokal verfeinern muss, um den Fehler zum kontinuierlichen Problem optimal zu reduzieren. Nachdem zunächst nur für lineare, hauptsächlich elliptische, Probleme Fehlerschätzer entwickelt wurden, haben Bartels und Carstensen 26 die ersten Fehlerschätzer für das relaxierte Optimal-Design Problem (.) vorgestellt. In ihrer Arbeit A convergent adaptive finite element method for an optimal design problem [4] wurde mittels einer S -Finite Elemente Methode das Optimal-Design Problem diskretisiert. Die Konvergenzanalysis dieser Methode motivierte Residual- bzw Average-Fehlerschätzer, die eine Lokalisierung der Kontaktzone und eine optimale Fehlerreduktion der diskreten zur kontinuierlichen Lösung ermöglichten. Die Verschiebung u, welche die relaxierte Version von (.) löst, wurde durch stückweise affine, global stetige Ansatzfunktionen approximiert. Die zugehörige diskrete Spannung σ h = ϕ( u h ) wurde somit stückweise konstant approximiert. Betrachtet man den gegeben Balken, so lassen sich durch die Spannungen σ(x) die Regionen feststellen, wo sehr grosse Kräfte wirken. Diese Regionen sollten mit der Diskretisierung sehr fein aufgelößt werden. In [3] haben Carstensen und Müller 22 Eigenschaften der Spannung σ herausgearbeitet. Die Spannungen von (.) liegen in H(div; Ω). Ein H(div; Ω)-konformer Ansatzraum für die Spannungen würde somit auf natürliche Weise dem Problem entsprechen. In dieser Arbeit wollen wir mittels eines gemischten Finite Elemente Ansatz das Optimal- Design Problem diskretisieren. Gesucht ist eine Approximation der Lösung (σ, u) H(div; Ω) L 2 (Ω) durch (σ h, u h ) RT (T ) P (T ), so dass das diskrete Optimal- Design Problem gelöst wird. Zunächst werden wir in Kapitel 2 Notationen einführen und einige Vorbemerkungen führen, welche später Verwendung finden. Danach rekapitulieren wir in Kapitel 3 die Modellierung von Problem (.) und stellen die gemischte Formulierung auf. Da wir durch das gemischte Problem eine Regularitätsordnung des nichtlinearen Funktionals verlieren, glätten wir dies, um den Schwierigkeiten des Subdifferentials in den späteren numerischen Experimenten zu entgehen. Dies geschieht in Kapitel 4. Hier formulieren wir die regularisierte Version der gemischten Methode. Mittels der Raviart-Thomas Finite Elemente Methode beschreiben wir in Kapitel 5 das diskrete Problem und zeigen 6

7 anschließend in Kapitel 6 die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen (σ, u) und (σ h, u h ). Die Güte des diskreten Problems wird in der a priori Analysis in Kapitel 7 festgestellt. Die anschließende a posteriori Analysis motiviert dann zwei Fehlerschätzer, die eine adaptive Gittergenerierung ermöglichen sollen. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Realisierung des diskreten Optimal-Design Problems. Der Fokus liegt hierbei auf der Implementierung des Problems und den zugehörigen Algorithmen, und auf der Präsentation der numerischen Ergebnisse. Eine Verifikation der theoretischen Überlegungen steht hierbei im Mittelpunkt. Die Finite-Elemente Schleife, mittels der eine Approximation der kontinuierlichen Lösung berechnet wird, wird in Kapitel 8 beschrieben. Hier gehen wir besonders auf die adaptive Gittergenerierung ein. In Kapitel 9 definieren wir Modellbeispiele, anhand derer eine Verifikation der Theorie stattfinden soll. Der Regularisierungsalgorithmus wird ebenfalls in diesem Kapitel vorgestellt. Nachdem einige numerische Kenngrößen präsentiert und ausgewertet wurden, stellen wir in Kapitel einen alternativen Ansatz zur adaptiven Gittergenerierung vor. Mit einem vorgegebenen Zielfunktional wird das Optimal-Design Problem in einem Minimierungsproblem mit PDE-Nebenbedingungen eingebettet. Mit Hilfe eines Lagrangeansatzes wird dann ein Fehlerindikator motiviert. An Hand der in Kapitel 9 vorgestellten Beispiele, werden dann die numerischen Ergebnisse des zielorientierten Ansatzes gezeigt. Abschließend findet sich im Anhang A die Dokumentation der Optimal-Design Software. 7

8 Kapitel 2 Notation und elementare Resultate In diesem Kapitel wollen wir zunächst einige Notationen einführen, von denen im späteren Verlauf häufiger Gebrauch gemacht wird. Des Weiteren wollen wir einige elementare Aussagen aufführen, die vor allem in den Beweisen der Theoreme und Lemmata Gebrauch finden. Auf die Beweise der Aussagen wird hier verzichtet. Sie können in den einschlägigen Lehrbüchern wie z.b. in [8] gefunden werden. Im Folgenden definieren wir einige Funktionenräume, die später Verwendung finden. Es sei Ω R 2 ein einfach zusammenängendes Gebiet mit Lipschitzrand Ω. L 2 (Ω) = { φ : Ω R meßbar φ(x) 2 dx < }, Ω H (Ω) = { φ L 2 (Ω) φ(x) 2 dx < }, Ω H D(Ω) = { φ H (Ω) φ = φ D auf Ω, φ D L 2 ( Ω) }, L 2 loc(ω) = { φ : Ω R für alle D Ω ist φ D L 2 (D) }, H loc(ω) = { φ L 2 loc(ω) für alle D Ω ist φ D L 2 loc(d) }, H(div; Ω) = { φ L 2 (Ω) 2 div φ(x) L 2 (Ω) }, L (Ω) = { φ : Ω R φ ist wesentlich beschränkt auf Ω }. Die Differentialoperatoren, Curl und div sind für hinreichend glatte skalare Funktionen u = u(x, y) mit u x := u und u x y := u wie folgt definiert y ( ) ( ) ux uy u =, Curl u =, div u = u x + u y. u y u x Für vektorwertige Funktionen φ = φ(x, y) = ( φ (x, y), φ 2 (x, y) ) sind die Operatoren curl und div gegeben durch curl φ = φ 2,x φ,y, div φ = φ,x + φ 2,y. Für A, B R 2 sei das Skalarprodukt definiert durch A B = A B + A 2 B 2, das Kreuzprodukt durch A B = A B 2 A 2 B. Für a, b R bedeutet a b, dass mit einer Konstanten c R der Vergleich a c b gilt. 8

9 Sei die L 2 -Norm definiert durch u 2 L 2 (Ω) = Ω u2 dx, die H -Norm durch u 2 H (Ω) = u 2 L 2 (Ω) + u 2 L 2 (Ω) und die H(div)-Norm durch u 2 H (Ω) = u 2 L 2 (Ω) + div u 2 L 2 (Ω). Das L 2 -Skalarprodukt ist definiert durch (u, v) L 2 (Ω) = Ω uv dx. Die L2 -Orthogonalität (u, v) L 2 (Ω) = werden wir gelegentlich mit u 2 v abkürzen. Definition 2. (Gateaux-Differenzierbarkeit). Seien V und W Banachräume. Sei U V eine offene Teilmenge. Eine Funktion φ ist am Punkt x U Gateaux-differenzierbar, wenn Ableitungen in allen Richtungen von x existieren. D.h., es existiert eine Funktion g : V W, so dass gilt f(x + ty) f(x) g(y) = lim. (2.) t t Definition 2.2 (Fréchet-Differenzierbarkeit). Seien V und W Banachräume. Sei U V eine offene Teilmenge. Eine Funktion φ ist am Punkt x U Fréchet-differenzierbar, wenn es einen linearen beschränkten Operator A gibt, so dass gilt f(x + h) f(x) A(h) W = lim. (2.2) h V h V Lemma 2.3 (Euler-Lagrange-Bedingung). Für hinreichend glatte Funktionen v = v(x, y) betrachten wir das Variationsproblem min f(v, v, x, y) dx dy, v Ω welches bei u ein Minimum annimmt. Der Integrand f sei hinreichend oft differenzierbar. Dann muss der kritische Punkt u, die Euler-Lagrange-Bedingung erfüllen f u x f u x y f u y =. (2.3) Lemma 2.4 (Gauss scher Integralsatz). Für φ H(div; Ω) gilt wobei ν die Einheitsnormale an Ω ist. (div φ, ) L 2 (Ω) = (φ, ν) L 2 ( Ω), (2.4) Lemma 2.5 (Darstellungssatz von Riesz). Sei X ein Hilbertraum. Für alle f X existiert ein eindeutiges u f X, so dass f(v) = (u f, v) X (2.5) für alle v X gilt. Die Abbildung i : X X mit i(f) = u f beschreibt einen Normisomorphismus. 9

10 Kapitel 3 Modellierung In diesem Kapitel werden die primale und das duale Formulierung, sowie die Energieformulierung, zu dem Optimal-Design-Problem dargestellt, wobei wir uns auf die wesentlichen Schritte hierbei konzentrieren. Essentielle Arbeiten, welche wir hier aufgreifen, sind [2, 22, 23] und [4]. Weiterführende Details können dort nachgelesen werden. 3. Der Schubmodul Wir betrachten ein 3-dimensionalen Balken, welcher aus zwei verschiedenen Materialien bestehen soll. Beide Materialien besitzen hierbei unterschiedliche Eigenschaften. Uns interessiert nun wie beide Materialien, unter vorgegebenen Anteilen, im Balken verteilt werden müssen, damit sich sich der Balken unter bestimmten Kräften möglichst steif verhält. Auskunft über die linearen elastischen Verformungen in Folge einer zur Fläche A tangential wirkenden Kraft F gibt das Schubmodul µ, welches nur vom jeweiligen Material abhängt. Hierbei gilt das Gleichgewicht F = µ Aα, wobei der Winkel α ein Maß für die Verzerrungen des Balken infolge der Kraft F ist (Abbildung 3.). Die Materialien sollen so verteilt sein, dass der Balken maximale Torsionssteifheit annimmt, und es somit nur zu minimalen Verzerrungen kommt. Da sich dieses 3d-Problem invariant unter Translation verhält, können wir es auf ein 2d-Problem reduzieren. Sei Ω R 2, welches man als Querschnitt unseres Balkens interpretieren kann, ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit Lipschitzrand. Zu beiden Materialien, welche das Gebiet Ω ausfüllen, seien die Schubmodule < µ < µ 2 < bekannt. Das Optimal-Design-Problem besteht nun darin, die Materialien so in Ω zu verteilen, dass maximale Steifheit angenommen wird. Damit erhalten wir eine Zerlegung des Gebietes Ω in Ω und Ω 2, so dass Ω = Ω Ω 2 und Ω Ω 2 = gilt. Die Anteile, zu welchen beide Materialien vorkommen, seien durch einen Parameter < ξ < vorgegeben. Da beide Materialien Ω ausfüllen, sind die Flächen von Ω und Ω 2

11 A F α Abbildung 3.: Eine Kraft F wirkt tangential auf der Oberfläche A eines Balken. Der Winkel α gibt in Abhänigkeit des Schubmoduls µ an, wie stark sich der Balken unter dieser Kraft verformt. gegeben durch Ω = ξ Ω und Ω 2 = ( ξ) Ω. (3.) Man kann nun zeigen, dass die Torsionssteifheit nur von den Schubmodulen µ(x) am Materialpunkt x Ω abhängt. D.h., wir suchen eine Verteilung der Schubmodule in der Menge M := {µ L (Ω) µ(x) {µ, µ 2 } für fast alle x Ω}. Damit ist Ω j bis auf eine Nullmenge definiert durch Ω j := {x Ω µ(x) = µ j }. Der Schubmodul µ(x) am Materialpunkt x Ω muss demzufolge bei einer optimalen Verteilung aus der Menge M ξ := {µ M (µ(x), ) L 2 (Ω) = µ ξ Ω } mit µ ξ := ξ µ + ( ξ)µ 2 kommen. Die Menge M ξ definiert hierbei unsere Nebenbedingung zur optimalen Verteilung. 3.2 Die Torsionssteifheit Für gegebenes Schubmodul µ M ξ und einen Querschnitt Ω ist die Torsionssteifheit T gesucht. Die Reziproke T ist durch einen Minimierungsprozess über Λ := {σ H(div; R 2 ) σ ist divergenzfrei und σ ν = auf Ω} gegeben T E(σ) = inf σ Λ m(σ), (3.2) 2

12 wobei die elastische Energie E und der Torsionsmoment m gegeben ist durch E(σ) = µ(x) σ(x) 2 dx und m(σ) = σ x dx. 2 Ω Da die Spannung σ divergenzfrei ist, existiert eine Verschiebung u V := H (Ω), so dass gilt Ω σ = Curl u. (3.3) Substituiert man nun (3.3) im Torsionsmoment m, erhält man mit partieller Integration m(σ) = (σ x, ) L 2 (Ω) = (Curl u x, ) L 2 (Ω) = 2(u, ) L 2 (Ω). (3.4) Mit (3.3) und (3.4) ergibt sich für (3.2) 8T = inf v V (µ v, v) L 2 (Ω). (3.5) (v, ) 2 L 2 (Ω) Aus der Euler-Lagrange-Bedingung der Variationsrechnung folgt nach [4], dass für ein u, bei dem das Infimum in (3.5) angenommen wird, die erste Variation verschwinden muss. Daraus ergibt sich mit s(u) = (8T, u) L 2 (Ω) (µ u, v) L 2 (Ω) = (s(u), v) L 2 (Ω) für alle v V. (3.6) Bis auf Skalierung ist die Lösung u eindeutig bestimmt. Im Folgenden setzen wir die Skalierung auf s(u) =. Damit ist u die schwache Lösung der Differentialgleichung und nimmt das Minimum an bei T 6 = min v V 3.3 Das Optimal-Design-Problem div(µ u) = in Ω (3.7) ( ) (µ v 2 v) dx. (3.8) 2 Ω Für µ M ξ und v V definieren wir folgendes Energiefunktional F (u, µ) = (µ v 2 v) dx 2 Das Optimal-Design-Problem besteht nun darin, das optimale Design µ in Ω inf inf F (v, µ) (3.9) µ M ξ v V zu finden. Mit Hilfe eines Lagrange Ansatzes für die Nebenbedingung M ξ in (3.9) erhält man eine äquivalente Darstellung ( ) sup inf inf F (v, µ) λ (µ µ ξ ) dx. (3.) λ R µ M v V Ω 2

13 Vertauschung des Suprema und der Infima führt zu gegebenen λ R und v V zu ( ) F (v, µ) λ (µ µ ξ ) dx = ( ψ λ ( v ) v) dx + λ µ ξ Ω, (3.) inf µ M ξ wobei ψ λ gegeben ist durch Ω ψ λ (t) := (.5 t 2 λ) min {µ, µ 2 }. D.h., für.5 v 2 λ < ist µ = µ 2 und für.5 v 2 λ > ist µ = µ die optimale Wahl. Im Fall.5 v 2 λ = ist jede Wahl von µ optimal. Sei nun λ fixiert, dann reduziert sich (3.) auf ein nicht konvexes Minimierungsproblem inf Ẽ(λ, v) mit Ẽ(λ, v) = ( ψ λ ( v ) v) dx + λ µ ξ Ω. (3.2) v V Da (3.2) weder streng konvex noch schwach unterhalbstetig in H (Ω) ist ([2]), ist die Konstruktion eines eindeutigen Minimieres in Allgemeinen nicht möglich. Aus der Variationsrechnung ist bekannt [], dass das Minimum der konvexen Hülle von Ẽ(λ, v) unter gewissen Vorraussetzungen dem Infimum von Ẽ(λ, v) entspricht. Sei nun ψ λ die konvexe Hülle von ψ λ, definiert durch.5 µ 2 t 2 + λξ(µ µ 2 ) for t t, ψ λ (t) := t µ 2 (t.5 t ) + λξ(µ µ 2 ) for t < t < t 2, (3.3).5 µ t µ t t 2 µ 2 + λξ(µ µ 2 ) for t 2 t, mit Parametern t := 2λ(µ /µ 2 ) und t 2 := (µ 2 /µ )t und µ t 2 = µ 2 t. Dann ist das zugehörige konvexe Problem gegeben durch: Finde (σ, u) mit σ = ψ λ ( u ) für das Sattelpunktproblem Ω Ω sup inf E(λ, v) mit E(λ, v) = (ψ λ ( v ) v) dx + λ µ ξ Ω. (3.4) λ R v V Ω Bemerkung 3.. Durch die Konvexifizierung der Energiedichte ψ λ entsteht eine Grenzschicht zwischen beiden Materialien. Hier kommt es zu einer Vermischung der Materialien, die im ursprünglichen Problem nicht gewünscht ist, und im Allgemeinen sind die Lösungen von (3.2) und (3.4) innerhalb der Kontaktzone nicht äquivalent ([2]). Ein Äquivalenz tritt erst ein, wenn das Maß der Fläche der Kontaktzone null ist. Bemerkung 3.2. Für die Verschiebung u des Optimal-Design Problems gilt nach [2] (a) u L (Ω), (b) u W, loc (Ω), (c) u C (int Ω int Ω 2 ). Bemerkung 3.3. Für die Spannung σ H(div; Ω) des Optimal-Design Problems gilt nach [3] (a) f L 2 (Ω) σ H loc (Ω), (b) f H (Ω), Ω ist glatt σ H (Ω). 3

14 .5 µ 2 t 2 +λ ξ (µ µ 2 ) t µ 2 (t.5 t )+λ ξ (µ µ 2 ).5 µ t µ t t 2 µ2 +λ ξ (µ µ 2 ) t t 2 Abbildung 3.2: Darstellung der Energiedichte ψ λ (t) nach (3.3) mit Parametern µ =, µ 2 = 2, ξ =.5 und λ = Die gemischte Formulierung In diesem Abschnitt werden wir die gemischte Formulierung des Energiefunktionals für ein fixiertes λ herleiten. Dazu benötigen wir zum einen den Begriff der konjungierten Funktion, welchen wir zunächst definieren, zum Zweiten die Euler-Lagrange-Bedingung. Anschliessend formulieren wir das gemischte Problem. Definition 3.4 (Die Konjugierte Funktion). Sei ϕ : R n R mit folgenden Eigenschaften gegeben (a) dom(ϕ) := {x R n ϕ(x) < }, (b) es existiert eine affine Funktion, welche ϕ minorisiert. Die konjugierte Funktion ϕ ist definiert durch ϕ (z) := sup x R n {z x ϕ (x)}. (3.5) Bemerkung 3.5. Unter den Voraussetzungen von Definition 3.4 gilt (a) ϕ = ϕ ϕ ist konvex und unterhalbstetig. (b) x ϕ(y) y ϕ (x). 4

15 In [3] werden diese Eigenschaften gezeigt. Ausgehenend von (3.4) fixieren wir den Parameter λ. Sei weiterhin nun ψ := ψ λ. Wir betrachten das zu minimierende Energiefunktional bei einer gegebenen stückweise konstanten Last f E(v) = (ψ( v ) f v) dx + λ µ ξ Ω. (3.6) Ω Da nach der Euler-Lagrange-Bedingung die erste Variation am Minimum verschwinden muss, ist die starke Formulierung mit ϕ( ) = ψ( ) von (3.6) gegeben durch { div Dϕ ( u) = f in Ω, (3.7) u = auf Ω. Betrachtet man die gemischte Formulierung erhält man, { div σ = f in Ω, σ = Dϕ ( u) in Ω.. (3.8) Da die Funktion ϕ stetig differenzierbar und konvex ist, können wir Definition 3.4 anwenden. Lemma 3.6. Die konjugierte Funktion ϕ zu ϕ ist gegeben durch z 2 2µ 2 λξ (µ µ 2 ) für z < µ 2 t, ϕ µ (z) = 2 2 t2 λξ (µ µ 2 ) für z = µ 2 t = µ t 2, z 2 2µ µ t µ 2t 2 λξ (µ 2 2 µ 2 ) für µ 2 t < z. (3.9) Beweis. Mit Definition 3.4 und h(x, z) := z x ϕ(x) folgt ϕ (z) = sup h(x, z) und = h(x, z) = z ϕ(x) x R n x Mit (3.3) wird das Supremum bei x = z/µ 2 für z µ t 2 und x = z/µ für z µ 2 t angenommen. Bemerkung 3.7. Im Gegensatz zur konvexen und stetig differenzierbaren Funktion ϕ ist die konjugierte Funktion ϕ nur konvex und stetig. Die Ableitung ist stückweise lipschitzstetig und besitzt bei z = µ t 2 einen Sprung. An dieser Stelle ist ϕ nur subdifferenzierbar. Folglich kann man das Subdifferential ϕ mit Hilfe der stückweisen Lipschitzstetigkeit durch ϕ (z ) ϕ (z 2 ) C(z, z 2 ) + z z 2 (3.2) 5

16 .5 t 2 /(2 µ 2 ) + λ ξ (µ µ 2 ) t 2 2 /(2 µ ) µ t 2 /2 + 2 µ2 t /2 + λ ξ (µ µ 2 ) t µ 2 Abbildung 3.3: Darstellung der konjugierten Energiedichte ϕ (t) nach Lemma 3.6 mit Parametern µ =, µ 2 = 2, ξ =.5 und λ =.. kontrollieren, wobei die Konstante C(z, z 2 ) gegeben ist durch { für z, z 2 < µ 2 t oder z, z 2 > µ 2 t, C(z, z 2 ) = t 2 t sonst. Mit Hilfe der konjugierten Funktion und Bemerkung 3.5 lässt sich (3.8) schreiben als { div σ = f in Ω, (3.2) u ϕ (σ) in Ω..5 µ 2 t.5 t µ 2 µ t t/µ 2 t/µ.5.5 t t t.5 µ 2 (a) Energiedichte ϕ(t) (b) konjugierte Energiedichte ϕ (t) Abbildung 3.4: Vergleich der Ableitungen von ϕ und ϕ mit Parametern µ =, µ 2 = 2, ξ =.5 und λ =.. 6

17 Damit ist die gemischte Energieformulierung gegeben durch Definition 3.8 (Gemischte Formulierung). Für eine stückweise konstante Last f finde σ Q f := {τ H(div; Ω) div τ = f, f L 2 (Ω)}, so dass das Minimum bei σ angenommen wird. min ϕ τ Q f Ω (τ) dx (3.22) Bemerkung 3.9. Mit Hilfe eines Lagrange-Ansatzes lässt sich (3.22) als Sattelpunktproblem schreiben. Für eine stückweise konstante Last f finde (σ, λ) H(div; Ω) L 2 (Ω), so dass der Sattelpunkt sup inf (ϕ (τ) + κ(div τ + f)) dx (3.23) κ L 2 (Ω) τ H(div;Ω) Ω angenommen wird. Den Lagrangemultiplikator λ kann man als die Verschiebung u interpretieren. 7

18 Kapitel 4 Regularisierung der Gemischten Formulierung Im Kapitel 3 wurde die gemischte Formulierung des Optimal-Design-Problems mit Hilfe der konjugierten Funktion dargestellt. Bei diesem Prozess hat sich die Regularitätseigenschaften im Vergleich zum ursprünglichen Problem verschlechtert. Die konjugierte Energiedichte ϕ ist zwar konvex und stetig aber nicht mehr stetig differenzierbar. In der späteren numerischen Realisierung verwenden wir die schwache Formulierung des gemischten Problems. Hier wird die Ableitung von ϕ eingehen. Um das Problem des Subdifferentials ϕ in der Implementierung zu umgehen, approximieren wir ϕ mit einer konvexen stetig differenzierbaren Funktion ϕ θ, so dass mit θ die Funktionen ϕ θ ϕ konvergieren. Zunächst geben wir die allgemeine Definition der Yosida-Moreau-Regularisierung und einige Eigenschaften an. Wir folgen hier den Ausführungen von [3]. Anschließend bestimmen wir die Regularisierung von ϕ und betrachten einige Eigenschaften der konjugierten Energiedichte näher. 4. Regularisierung konvexer Funktionen Im Folgenden sei X ein konvexer reflexiver Banachraum und Φ : X (, ] eine konvexe Funktion die der Definition 3.4 genügt. Definition 4. (Yosida-Moreau-Regularisierung). Sei Φ wie oben gegeben. Die Yosida- Moreau-Regularisierung ist für jedes θ > definiert durch { Φ θ (x) = inf Φ(y) + } y X 2θ x y 2 X, x X. (4.) Theorem 4.2. Sei Φ wie oben gegeben. Wir setzen A = Φ. Dann ist Φ θ Gateauxdifferenzierbar auf X und es gilt A θ = Φ θ für θ >. Des Weiteren gilt für alle x X und θ > : 8

19 (a) Φ θ =.5 θ A θ x 2 X + Φ((Id + θa) x), (b) lim θ Φ θ (x) = Φ(x), (c) Φ((Id + θa) x) Φ θ (x) Φ(x). Hierbei ist Id der Identitätsoperator. Beweis. Der Beweis wird in [3] geführt. Φ A θ Φ θ θ A θ = Φ θ Abbildung 4.: Kommutatives Diagramm für die Yosida-Regularisierung, bezeichnet mit θ, und dem Subdifferential. Bemerkung 4.3. Gemäß der Definition 4. und Theorem 4.2 ist die Regularisierte Φ θ konvex, Gateaux-differenzierbar und endlich auf X. Falls X ein Hilbertraum ist, so ist Φ zudem Fréchet-differenzierbar und die Ableitung ist Lipschitzstetig. 4.2 Regularisierung des Optimal-Design-Problems Lemma 4.4. Die Regularisierte der konjugierten Funktion (3.6) ist gegeben durch t 2 λξ (µ 2(θ+µ 2 ) µ 2 ) für t < t (θ + µ 2 ), ϕ µ θ (t) := 2 2 t2 + (µ 2θ 2t t) 2 λξ (µ µ 2 ) für t t µ 2 + θ [t, t 2 ], t 2 µ t 2 2 2(µ + µ 2t 2 λξ (µ +θ) 2 2 µ 2 ) für t 2 (µ + θ) < t. (4.2) Beweis. Sei ϕ wie in (3.6) gegeben. Mit Definition 4. und h θ (t, z) := ϕ (z) + z t 2 2θ folgt ϕ θ(t) = inf z R n h θ(t, z) und z h θ(t, z) = ϕ (z) + θ (z t) Daraus folgt, dass das Infimum bei z = µ 2t θ+µ 2 für t < t (θ + µ 2 ), z t θ[t, t 2 ] für t µ 2 t + θ[t, t 2 ], z = µ t θ+µ für t 2 (θ + µ ) < t angenommen wird. 9

20 Lemma 4.5. Der punktweise Fehler der Regularisierung ϕ θ (t) ϕ (t) ist von der Ordnung o(θ). Beweis. Wir betrachten die konjugierte Energiedichte ϕ (t) und deren Regularisierung ϕ θ (t) für t R +. Es ergeben sich vier Fälle, die zu unterscheiden sind: (a) t < µ t 2, (b) t [µ 2 t, t (µ 2 + θ)], (c) t t µ 2 + θ[t, t 2 ] und (d) t > t µ 2 + θt 2. Für die auftretenden Parameter gilt θ >, < µ < µ 2 <, < t < t 2 < und µ t 2 = µ 2 t. (a) Sei t < µ t 2 fixiert. ϕ θ(t) ϕ (t) = t 2 2(θ + µ 2 ) t2 2µ 2 = θ t2 2µ 2 (θ + µ 2 ) t2 θ = o(θ) (b) Sei t [µ 2 t, t (µ 2 + θ)] fixiert. ϕ θ(t) ϕ (t) = t 2 2(θ + µ 2 ) t2 + µ t 2 2 2µ 2 µ 2t 2 2 t 2 (µ 2 + θ) 2 µ 2t 2 2 (c) Sei t t µ 2 + θ[t, t 2 ] fixiert. ϕ θ(t) ϕ (t) = 2θ (t µ 2t ) 2 + µ 2t 2 2 t2 + µ t 2 2 2µ 2 µ 2t 2 2 t 2 2θ 2 (µ t 2 + t θ) 2 + µ t 2 2 2µ 2 = t 2 2θ 2 θt 2t θ 2 t 2 = o(θ) = o(θ) (d) Sei t > t µ 2 + θt 2 fixiert. ϕ θ(t) ϕ (t) = t 2 2 (µ + θ) µ t µ 2t 2 2 t2 + µ t 2 2 2µ 2 µ 2t 2 2 = t 2 θ 2µ (θ + µ ) θ t2 = o(θ) 2µ 2 Mit Hilfe von Lemma 4.4 können wir die starke Form des regularisierten Problems von (3.2) aufschreiben { div σθ = f in Ω, u = Dϕ θ (σ θ ) in Ω.. (4.3) Multiplizieren mit entsprechenden Testfunktionen und partieller Integration liefert dann die schwache Formulierung des zu lösenden Sattelpunktproblems Definition 4.6 (Schwache Formulierung). Seien eine stückweise konstante Last f L 2 (Ω) und homogene Randdaten u = auf Ω gegeben. Für θ > finde (σ θ, u) H(div; Ω) L 2 (Ω), so dass für alle (τ, v) H(div; Ω) L 2 (Ω) gilt (div σ θ + f, v) L 2 (Ω) = und (u, div τ) L 2 (Ω) + (Dϕ θ(σ θ ), τ) L 2 (Ω) =. (4.4) 2

21 Bemerkung 4.7. Die regularisierte Energieformulierung ist dann analog zu (3.22) gegeben durch: Finde σ θ Q f = {τ H(div; Ω) div τ = f, f L 2 (Ω)}, so dass das Minimum angenommen wird. min ϕ τ Q f Ω θ(τ) dx Bemerkung 4.8. Die Verschiebung u wird durch die zweite Gleichung in (4.4) ebenfalls von der Regularisierung beeinflusst. Um die Lesbarkeit zu erleichtern, verzichten wir aber darauf, dies noch in einem Index an u deutlich zu machen. Wir beschränken uns darauf, die Abhängigkeit bei der regularisierten Spannung σ θ hervorzuheben t 2 /(µ 2 +θ) λ ξ (µ µ 2 ) /(2 θ) (µ 2 t t) 2 + µ 2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ).5 t 2 /(µ +θ) µ t 2 2 /2 + µ2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ) t (µ 2 +θ) t 2 (µ +θ).5 t 2 /(µ 2 +θ) λ ξ (µ µ 2 ) /(2 θ) (µ 2 t t) 2 + µ 2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ).5 t 2 /(µ +θ) µ t 2 2 /2 + µ2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ) t (µ 2 +θ) t 2 (µ +θ) (a) θ =.5 (b) θ = t 2 /(µ 2 +θ) λ ξ (µ µ 2 ) /(2 θ) (µ 2 t t) 2 + µ 2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ).5 t 2 /(µ +θ) µ t 2 2 /2 + µ2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ) t (µ +θ) t (µ +θ) t 2 /(µ 2 +θ) λ ξ (µ µ 2 ) /(2 θ) (µ 2 t t) 2 + µ 2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ).5 t 2 /(µ +θ) µ t 2 2 /2 + µ2 t 2 /2 λ ξ (µ µ 2 ) t (µ +θ) t (µ +θ) 2 2 (c) θ =. (d) θ = Abbildung 4.2: Darstellung der Regularisierung von ϕ nach Lemma 4.4 für verschiedene Werte des Regularisierungsparameters θ. Die Materialparameter sind auf µ =, µ 2 = 2, ξ =.5 und λ =. gesetzt. 2

22 4.3 Die konjugierte Energiedichte Im Folgenden arbeiten wir verschiedene Eigenschaften von ϕ θ für θ heraus. Zur Vervollständigung wird hierfür noch mal die Definition von ϕ θ (t) genannt t 2 λξ (µ 2(θ+µ 2 ) µ 2 ) für t < t (θ + µ 2 ), ϕ µ θ (t) = 2 2 t2 + (µ 2θ 2t t) 2 λξ (µ µ 2 ) für t t µ 2 + θ [t, t 2 ], t 2 µ t 2 2 2(µ + µ 2t 2 λξ (µ +θ) 2 2 µ 2 ) für t 2 (µ + θ) < t. (4.5) Lemma 4.9 (Strenge Monotonie). Das Subdifferential der konjugierten Energiedichte ϕ θ ist streng monoton für alle θ. D.h., für ã ϕ θ (a) und b ϕ θ (b) mit C(θ) = gilt µ 2 +θ C(θ)(a b) 2 < (ã b)(a b) (4.6) Beweis. Sei θ fixiert. Für alle ã ϕ θ (a) und b ϕ θ (b) existieren α, β [, µ 2 +θ µ +θ mit ã = αa ϕ θ (a) und b = βb ϕ θ (b). Zusätzlich gilt für a b die Abschätzung ã b. Sei nun γ := min{α, β} C(θ). Dann erhalten wir für a b folgende zwei Ungleichungen.5 (β γ)(a b) 2 (β γ)(b 2 ab) für a b,.5 (α γ)(a b) 2 (α γ)(a 2 ab) für b a. Für ã ϕ θ (a) und b ϕ θ (b) und a b erhalten wir nun C(θ)(a b) 2 < γ(a b) 2 + (β γ)(b 2 ab) + (α γ)(a 2 ab) γ(a 2 2ab + b 2 + ab b 2 a 2 + ab) + β(b 2 ab) + α(a 2 ab) = (αa βb)(a b) = ( ã b ) (a b). ] Bemerkung 4.. Aus der strengen Monotonie folgt mit b = die Koerzivität von Dϕ θ für θ >, d.h. (Dϕ θ lim (x), x) H (Ω) x H (Ω) x H (Ω) =. (4.7) Lemma 4. (Regularität I). Die konjugierte Funktion ϕ θ (t) θ= ist stetig und strikt konvex. Beweis. Die Funktion ϕ = ϕ θ θ= ist gegeben durch t 2 2µ 2 λξ (µ µ 2 ) für t < t µ 2, ϕ µ (t) = 2 2 t2 λξ (µ µ 2 ) für t = t µ 2, t 2 2µ µ t µ 2t 2 λξ (µ 2 2 µ 2 ) für t 2 µ < t. 22

23 Mit µ t 2 = µ 2 t ergibt sich für t t µ 2 und t t 2 µ die Stetigkeit von ϕ. Das Subdifferential ϕ ist gegeben durch t µ 2 für t < t µ 2, ϕ (t) = t t µ 2 [t, t 2 ] t = t µ 2, t µ für t 2 µ < t. Da das Subdifferential ϕ nach (4.6) streng monoton ist, ist die konjugierte Energiedichte streng konvex. Lemma 4.2 (Regularität II). Die regularisierte konjugierte Funktion ϕ θ (t) ist für θ > stetig differenzierbar und strikt konvex. Beweis. Aus der Definition von ϕ θ (4.5) folgt ϕ (t) = { t 2 (θ+µ 2 ) λξ (µ 2 µ 2 ) für t t (θ + µ 2 ) µ 2 2 t2 + t2 θ 2 µ 2 ) für t t (θ + µ 2 ) und ϕ (t) = { µ2 2 t2 + t2 2 θ λξ (µ 2 µ 2 ) für t t 2 (θ + µ ) t 2 2 (θ+µ ) µ t µ 2t 2 λξ (µ µ 2 ) für t t 2 (θ + µ ). Damit ist ϕ θ (t) stetig für alle θ. Die Ableitung Dϕ θ ist gegeben durch t (θ+µ 2 für t < t ) (θ + µ 2 ), Dϕ t µ θ (t) = 2 t für t t θ µ 2 + θ [t, t 2 ], t (µ für t +θ) 2 (µ + θ) < t, wodurch die Stetigkeit der ersten Ableitung direkt folgt. Damit ist ϕ θ stetig differenzierbar für alle θ >. Aufgrund der strengen Monotonie von Dϕ θ folgte die strenge Konvexität von ϕ θ. 23

24 Kapitel 5 Finite Elemente Methode In diesem Kapitel betrachten wir die diskrete gemischte Formulierung von (4.4). Wir führen hierfür die Raviart-Thomas Räume ein. Es werden notwendige Begriffe wie Triangulierungen und Basisfunktionen erläutert und abschließend das diskrete Problem beschrieben. 5. Die Triangulierung Definition 5. (Dreieck). Ein nicht entartetes Dreieck T R 2 unabhängige Punkte P, P 2, P 3 R 2 durch ist durch drei affin T := conv{p, P 2, P 3 } (5.) gegeben. Die Ecken P j sind hierbei so durchnummeriert, so dass wobei T die Fläche des Dreiecks ist. T := ( ) 2 det >, (5.2) P P 2 P 3 Bemerkung 5.2. Um die Bedingung (5.2) zu erfüllen, genügt es das Dreieck entgegen des Uhrzeigersinns durch zu nummerieren. Im Folgenden sei Ω R 2 eine beschränkte, offene und zusammenhängende Menge mit stückweisen affinem Rand, so dass Ω durch einen endliche Vereinigung nicht-entarteter Dreiecke beschrieben werden kann. Definition 5.3 (Triangulierung). Für eine Menge von Dreiecke {T j } ist eine Triangulierung T von Ω ist gegeben durch T := {T, T 2, T 3,..., T n } Ω = T := j N T j (5.3) T j T k = für j k. 24

25 Die Menge der Knoten N und die Menge der Kanten E einer Triangulierung T werden mit N bzw. mit E bezeichnet. Die Kanten, welche den Rand von Ω beschreiben, bilden eine Menge E D E. Der Durchmesser eines Dreiecks wird mit h T bezeichnet. Die Gitterweite h T der Triangulierung T ist dann gegeben durch h T := max T T h T. Bemerkung 5.4. Aus der Definition 5.3 folgt, dass der Schnitt zweier Dreiecke T, T 2 T mit T T 2 entweder leer ist, ein Knoten N N oder eine Kante E E ist. P 3 ν 3 ν 2 E 3 E 2 P E P 2 ν Abbildung 5.: Dreieck T = conv{p, P 2, P 3 } mit Knoten P, P 2, P 3 und Kanten E = conv{p, P 2 }, E 2 = conv{p 2, P 3 }, E 3 = conv{p 3, P } mit Längen E, E 2, E 3. Im späteren Verlauf werden häufig Polynomräume auftreten, die wir hier definieren wollen. Definition 5.5 (Polynomräume). Die stückweisen Polynomräume P k (T ) und global stetigen Polynomräume S k (T ) sind wie folgt definiert P k (T ) := {φ L 2 (T ) T T : φ T ist ein Polynom vom Grad k.}, S k (T ) := P k (T ) C (Ω). 5.2 Das diskrete Problem Nachdem nun der Begriff der Triangulierung definiert wurde, führen wir nun die Raviart- Thomas Räume und die Basisfunktionen ein, die wir später zur numerischen Realisierung benötigen. 25

26 Definition 5.6 (Raviart-Thomas). Sei eine Triangulierung T von Ω gegeben. Die Raviart- Thomas Räume sind definiert durch RT (T ) := {τ H(div; T ) T T a R 2 b R : (5.4) x T τ(x) = ax + b}, P (T ) := { v L 2 (T ) v ist konstant auf T }. Definition 5.7 (lokale Basisfunktionen). Sei ein Dreieck T mit Kanten E j gegeben. Der Knoten P = P (E j ) sei der gegenüberliegende Knoten der Kante E j. Es seien ν Ej die Einheitsnormale der Kante E j und ν j die äußere Einheitsnormale des Dreiecks T an der Kante E j. Wir definieren dann mit sgn j := ν Ej ν j die Basisfunktion ψ Ej durch E j ψ Ej := sgn j (x P ). (5.5) 2 T Bemerkung 5.8. Die Orientierung der Einheitsnormalen ν Ej fixiert. in Definition 5.7 sei global P + T + τ E E. T νe P Abbildung 5.2: Zwei benachbarte Dreiecke T + und T, die sich eine Kante E = T + T teilen. Die Orientierung des Normalenvektors ν E und des Tangentialvektors τ E der Kante E ist global fixiert. Definition 5.9 (globale Basisfunktionen). Für eine fixierte Kante E E, sei ψ E folgt definiert wie ψ E := { ± E 2 T (x P ±) für x T ±, sonst. (5.6) Lemma 5.. Für eine fixierte Kante E E betrachten wir die Funktion Ψ E Definiton 5.9. Dann gilt nach (a) ψ E ν E = { für alle Kanten in E \ E, entlang E, 26

27 (b) ψ E H(div; Ω), (c) (ψ E E E) ist eine Basis von RT (T ), { ± E auf T T ±, (d) div ψ E = sonst. Beweis. Der Beweis wird in [] geführt. Bemerkung 5.. Aus der globalen Definition der Basisfunktionen folgt, dass für ein τ RT (T ) der curl τ und der Sprung von τ über eine Kante E in Normalenrichtung verschwindet. Beachte der Sprung in Tangentialrichtung hingegen muss nicht verschwinden. (a) Ψ E (b) Ψ E2 (c) Ψ E3 Abbildung 5.3: Visualisierung der Raviart-Thomas Basisfunktionen Ψ Ej auf dem Referenzelement T ref. Die Norm der Basisfunktionen wird durch den Farbverlauf wiedergegeben. Blau repräsentiert einen kleinen Normwert, während Rot einen hohen Normwert darstellt. Entnommen aus [9]. Definition 5.2 (diskrete Formulierung). Das diskrete Problem zu (4.4) ist gegeben durch: Finde (σ θ,h, u h ) RT (T ) P (T ), so dass für alle (τ h, v h ) RT (T ) P (T ) gilt (div σ θ,h + f, v h ) L 2 (Ω) = und (u h, div τ h ) L 2 (Ω) + (Dϕ θ(σ θ,h ), τ h ) L 2 (Ω) =. (5.7) Bemerkung 5.3. Für stückweise konstante Lasten f wird die diskrete Energieerhaltung div σ θ,h = f lokal exakt erfüllt. Bemerkung 5.4. Die diskrete Energieformulierung von (5.7) ist dann analog zu (3.22) gegeben durch: Finde σ θ,h RT (T ) Q fh, so dass das Minimum ϕ θ(τ) dx (5.8) angenommen wird. min τ RT (T ) Q fh Ω 27

28 Kapitel 6 Existenz und Eindeutigkeit In diesem Kapitel zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für (3.22) und (5.7). 6. Die exakte Lösung Theorem 6.. Das Problem (3.22) besitzt eine eindeutige Lösung. Beweis. Die konjugierte Energiedichte ϕ ist streng konvex. Damit hat die Minimierungsaufgabe über den affinen Unterraum Q f H(div; Ω) in (3.22) einen eindeutigen Minimierer σ Q f, so dass ϕ (σ) < ϕ (τ) für alle τ Q f gilt. Bemerkung 6.2. Sei σ die Lösung von (3.22). Dann muss σ folgende Bedingung erfüllen ( ϕ (σ) + χ Qf (σ) ) = ϕ (σ) + χ Qf (σ). 6.2 Die diskrete Lösung Theorem 6.3. Das Problem (5.8) besitzt eine eindeutige Lösung. Beweis. Da der Divergenzoperator linear und beschränkt ist, ist der Unterraum Q fh als Urbild eines abgeschlossenen Teilmenge abgeschlossen. Der Schnitt Q fh RT (T ) ist ein abgeschlossener affiner endlichdimensionaler Unterraum und damit konvex. Da ϕ strikt konvex ist, existiert somit ein eindeutiger Minimierer. Theorem 6.4. Sei σ θ,h Lösung von (5.8). Dann existiert ein eindeutiges u h, so dass (σ θ,h, u h ) Lösung von (5.7) für θ ist. Beweis. Sei σ θ,h ( gegeben und Mh := ) RT (T ) Q. Da σ θ,h (5.8) minimiert, gilt σ θ,h und ϕ (σ θ,h ) + χ Qfh (σ θ,h ). Folglich existiert ein ξ h ϕ (σ θ,h ) und ξ h Q fh χ Qfh (σ θ,h ). 28

29 (a) Es gilt: M h ker(ξ h). Aus der Definition des Subdifferentials folgt, dass ( ξ h, τ σ θ,h ) L 2 (Ω) für alle τ Q fh gelten muss. Mit (2σ θ,h τ) Q fh folgt ( ξ h, τ σ θ,h ) L 2 (Ω), und somit ξ h 2 (σ θ,h τ) für alle τ M h. Folglich gilt ξ h 2 M h. (b) Es existiert ein eindeutiges u h P (T ) mit (ξ h, ) L 2 (Ω) = (u h, div ) L 2 (Ω) RT (T ). Die Bilinearform b : RT (T ) P (T ) R definiert durch b(x, y) := (y, div x) L 2 (Ω) erfüllt die Brezzi-Bedingung, d.h. b(x, y) sup x x C y für C >. Die Operatoren B : (Mh ) := RT (T ) /Mh P (T ), definiert durch Bx := b(x, ) L 2 (Ω) = (, div x) L 2 (Ω), und B : P (T ) ( (Mh ) ), definiert durch B y := b(, y) L 2 (Ω) = (y, div ) L 2 (Ω) (M sind Isomorphismen. h ) Nach dem Darstellungssatz von Riesz existiert demzufolge ein eindeutiges u h P (T ), so dass für alle ξ h (Mh ) gilt: B u h (τ h ) = (u h, div τ h ) L 2 (Ω) = (ξ h, τ h ) L 2 (Ω). Schliesslich löst (σ θ,h, u h ) das Problem (5.7). 29

30 Kapitel 7 Fehlerabschätzungen In diesem Kapitel führen wir die a priori und die a posteriori Analysis. Mit Hilfe der a priori Analysis sind wir dann in der Lage zu sagen, was das optimale Konvergenzverhalten bzgl einer bestimmten Norm ist. Die a posteriori Analysis motiviert dann zwei zuverlässige Fehlerschätzer. Mit Hilfe von Fortin- und Clémentinterpolatoren werden die Abschätzungen bewiesen. Für die a posteriori Abschätzung wird zudem noch die Helmholtz-Zerlegung benötigt. 7. A priori Fehlerabschätzung Für die a priori Abschätzung wird der Fortin Interpolator benötigt. Wir folgen hier den Ausführungen von [7]. Definition 7. (Fortin Interpolation). Sei φ H(div; Ω) ein gegebenes Vektorfeld und T T. Die Fortin Interpolation Iφ ist definiert durch I : H(div; Ω) RT (T ) mit (a) ((Iφ φ) ν E, w h ) L 2 (E) = für alle w h P (E) und E T, (b) ((Iφ φ), v h ) L 2 (T ) = für alle v h P (T ) 2. Lemma 7.2 (Eigenschaften des Fortin Interpolators). Sei I der Fortin Interpolator und φ H(div; Ω), dann gelten folgende Aussagen (a) Iφ φ L 2 (T ) h T φ H (T ), (b) Sei Π : L 2 (Ω) P (T ) die L 2 -Projektion. Es gilt: div Iφ = Π div φ, (c) div(iφ φ) L 2 (T ) h T div φ L 2 (T ). Beweis. Der Beweis wird in [7] geführt. Bemerkung 7.3. Aus Definition 7. folgt für w h P (T ) mit dem Gaußschen Integralsatz die L 2 -Orthogonalität div(iφ φ) 2 P (T ). 3

31 Theorem 7.4. Sei die konjugierte Energiedichte ϕ wie oben definiert. Für stückweise konstante Lasten f und homogenen Randbedingungen u = auf Ω gilt σ σ h 2 L 2 (Ω) h3/2 T σ H (Ω) + h 2 T σ 2 H (Ω). (7.) Beweis. Gegeben die Fortin Interpolation Iσ, eine stückweise konstante Last f und homogene Randdaten. Mit Hilfe der strengen Monotonie von ϕ und div(iσ σ) = f h f = erhält man σ σ h 2 L 2 (Ω) ( ϕ (σ) ϕ (σ h ), σ σ h ) L 2 (Ω) = ( ϕ (σ h ), Iσ σ) L 2 (Ω) (u h, div (σ h Iσ)) L 2 (Ω) = ( ϕ (σ h ), Iσ σ) L 2 (Ω) + (u, div(iσ σ)) L 2 (Ω) = ( ϕ (σ h ) ϕ (σ), Iσ σ) L 2 (Ω). Wir definieren g := ϕ (σ h ) ϕ (σ). Bemerkung 3.7, die Cauchy-Schwarz Ungleichung und die Eigenschaft des Fortin Interpolators führen dann zu σ σ h 2 L 2 (Ω) g L 2 (Ω) Iσ σ L 2 (Ω) ( C(σ, σ h ) L 2 (Ω) + σ σ h L 2 (Ω)) ht σ H (Ω). Mit C(σ, σ h ) L 2 (Ω) h/2 T (t 2 t ) erhält man σ σ h 2 L 2 (Ω) h3/2 T σ H (Ω) + h T σ σ h L 2 (Ω) σ H (Ω). Schliesslich führt die Youngsche Ungleichung, 2ab a 2 + b 2, zu σ σ h 2 L 2 (Ω) h3/2 T σ H (Ω) + h 2 T σ 2 H (Ω), womit die Behauptung bewiesen ist. 7.2 A posteriori Fehlerabschätzung Wir werden in diesem Abschnitt zwei Fehlerschätzer motivieren, die eine adaptive Gittergenerierung ermöglichen. Hierfür wird zum einen eine Helmholtz-Zerlegung benötigt. Hiermit kann man ein Vektorfeld in dessen Gradienten- und Rotationsfeld zerlegen. Um die Zuverlässigkeit der Fehlerschätzer zu zeigen, führen wir den Clément-Interpolator ein, der eine lokale Regularisierung der Funktion beschreibt. Definition 7.5 (Clément Interpolation). Für z N sei ω z := {T T z T } der Patch des Knoten z und S (T ) der Raum der stückweisen affinen, global stetigen Funktionen auf T. Wir definieren die nodale Funktion φ z S (T ) durch φ z (z) = für 3

32 z N und φ z (y) = für alle y N \{z}. Der Clément Interpolator J : H (Ω) S (T ) ist dann wie folgt gegeben J(β) := { ω β z φ z mit β z := z ω z β dx für alle z N \ Ω (7.2) z N für alle z N Ω. Lemma 7.6 (Eigenschaften des Clément Interpolators). Für β H (Ω) gilt (a) J(β) L 2 (Ω) β L 2 (Ω), ( ) (b) h T β J(β) L 2 (Ω) β L 2 (Ω), (c) h /2 ( ) E β J(β) L 2 ( E) β L 2 (Ω). Beweis. Der Beweis geht auf [6] zurück. Definition 7.7 (Sprungdefinition). Für ein hinreichend glattes Vektorfeld φ definieren wir den Sprung von φ in eine Richtung τ R 2 über eine Kante E E\E D mit E T T 2, T, T 2 T wie folgt [φ] E τ := ( φ T φ T2 ) τ. Der Sprung über Randkanten E D wird hierbei auf Null gesetzt. Bemerkung 7.8. Da die Clément Interpolation global stetig ist, gilt für β H (Ω) [Curl Jβ] E ν E = [ Jβ] E τ E =. Hierbei ist ν E der Normalenvektor und τ E der Tangentialvektor der Kante E E. Theorem 7.9 (Helmholtz-Zerlegung). Sei φ L 2 (Ω) 2 ein gegebenes Vektorfeld. Dann existieren α H (Ω) und β H (Ω)/R, so dass gilt φ = α + Curl β. (7.3) Beweis. Der Beweis wird in [6] bzw in [9] geführt. Weiterführende Details können auch in [9] nachgelesen werden. Bemerkung 7.. Die Eigenschaft β H (Ω)/R in (7.3) besagt, dass (β, ) L 2 (Ω) =. Mit der Helmholtz-Zerlegung gilt immer die L 2 -Orthogonalität ( α, Curl β) L 2 (Ω) =. Theorem 7.. Seien σ θ und σ θ,h Lösungen von (4.4) bzw. von (5.7). Dann gilt für stückweise konstante Lasten f L 2 (Ω) und homogene Randdaten u = auf Ω σ θ σ θ,h 2 L 2 (Ω) min Dϕ v H (Ω) θ (σ θ,h ) v 2 L 2 (Ω) (7.4) h /2 2 E [Dϕ θ (σ θ,h )] τ E + h T curl Dϕ L 2 θ (σ θ,h ) 2 L (E) 2 (T ). (7.5) E E T T 32

33 Beweis. Mit Hilfe der strengen Monotonie von ϕ θ, einer partiellen Integration, u = Dϕ θ (σ θ), und div (σ θ σ θ,h ) = f f h = für stückweise konstante Lasten f erhält man für beliebige v H (Ω) σ θ σ θ,h 2 L 2 (Ω) (Dϕ θ (σ θ ) Dϕ θ (σ θ,h ), σ θ σ θ,h ) L 2 (Ω) Folglich erhalten wir = ( u Dϕ θ (σ θ,h ), σ θ σ θ,h ) L 2 (Ω) = (u, div (σ θ,h σ θ )) L 2 (Ω) (Dϕ θ (σ θ,h ), σ θ σ θ,h ) L 2 (Ω) = ( v Dϕ θ (σ θ,h ), σ θ σ θ,h ) L 2 (Ω) Dϕ θ (σ θ,h ) v L 2 (Ω) σ θ σ θ,h L 2 (Ω). σ θ σ θ,h L 2 (Ω) min Dϕ v H (Ω) θ (σ θ,h ) v L 2 (Ω). Im Folgenden sei v = argminṽ H (Ω) Dϕ θ (σ θ,h) ṽ L 2 (Ω). D.h., v ist die Lösung von { ( v, w)l 2 (Ω) = (Dϕ θ (σ θ,h ), w) L 2 (Ω) für alle w H (Ω), (7.6) v = auf Ω. Die Helmholtz-Zerlegung (7.3) von Dϕ θ (σ θ,h) = α + Curl β und die Euler-Lagrange Bedingung für minṽ H (Ω) Dϕ θ (σ θ,h) ṽ L 2 (Ω) liefern α = v. Somit erhält man σ θ σ θ,h 2 L 2 (Ω) Dϕ θ (σ θ,h ) v 2 L 2 (Ω) = Curl β 2 L 2 (Ω). Sei Jβ die Clément Interpolation von β. Mit der L 2 -Orthogonalität Curl Jβ L 2 H (Ω) und dem Gleichgewicht (Dϕ θ (σ θ,h), q h ) = ( u h, div q h ) erhält man (Curl β, Curl Jβ) L 2 (Ω) = (Dϕ θ (σ θ,h ) α, Curl Jβ) L 2 (Ω) = (u h, div Curl Jβ) L 2 (Ω) =. Führt man nun alle Beobachtungen zusammen, erhält man mittels partieller Integration und den Eigenschaften des Clément Interpolators Curl β 2 L 2 (Ω) = (Dϕ θ (σ θ,h ) α, Curl (β Jβ)) L 2 (Ω) = T T (curl Dϕ θ (σ θ,h ), β Jβ) L 2 (T ) + (Dϕ θ (σ θ,h ) τ, β Jβ) L 2 ( T ) h T curl Dϕ θ (σ θ,h ) L 2 (T ) h T (β Jβ) L 2 (T ) T T + h /2 L E [Dϕ θ (σ θ,h )] τ E h /2 2 E (β Jβ) (E) E E ( T T h T curl Dϕ θ (σ θ,h ) 2 L 2 (T ) + E E h /2 E [Dϕ θ (σ θ,h )] τ E 2 L 2 (E) L 2 (E) ) /2 β L2(Ω). 33

34 Mit β L 2 (Ω) = Curl β L 2 (Ω) ist die Behauptung bewiesen. Bemerkung 7.2. Aus der Definition von ϕ θ lässt sich erkennen, dass Dϕ θ (σ θ,h) ein Raviart-Thomas Element innerhalb eines jeden Materials ist. Folglich gilt dort, dass curl Dϕ θ (σ θ,h) = ist. D.h., nur die Elemente T in der Kontaktzone, in der eine Vermischung beider Materialien auftritt, haben einen Beitrag in T T h T curl Dϕ θ (σ θ,h) 2 L 2 (T ). Im Allgemeinen dominiert der Sprungterm in (7.5) den Fehlerschätzer. Bemerkung 7.3. Um eine Approximation von (7.6) zu berechnen, genügt eine S (T )- Diskretisierung. 34

35 Kapitel 8 Die FEM-Schleife In den bisherigen Kapiteln haben wir die gemischte Formulierung des Optimal-Design Problems modelliert und einige Eigenschaften näher betrachtet. Es wurde die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen gezeigt und die a priori und a posteriori Fehleranalysis geführt. In den nächsten beiden Kapiteln sollen nun numerische Experimente die theoretischen Aussagen verifizieren. Zunächst erklären wir die Finite-Elemente-Schleife, womit eine Folge von Triangulierungen {T k } erzeugt und die jeweiligen Lösungen (σ θ,h, u h ) berechnet werden. Wir erhalten so eine von der Gitterweite h T abhängige Approximation der exakten Lösung (σ θ, u). Im darauffolgenden Kapitel betrachten wir vier Modellbeispiele. Wir untersuchen hier die Konvergenzraten des geschätzten Fehlers und des Energiefehlers, welche die a priori und a posteriori Fehleranalysis bestätigen sollen. Im Allgemeinen werden vier Schritten während eines jeden Durchlaufs der FEM-Schleife ausgeführt Markierung = Verfeinerung = Lösen = Fehlerschätzung. (8.) Die Schleife selbst wird solange ausgeführt, bis ein vorgegebenes Abbruckkriterium erfüllt wird. Im Folgenden werden wir erklären, was in den einzelnen Schritten passiert. Häufig ist es aus Implementierungssicht günstig noch Zwischenschritte einzuführen, die z.b. Informationen aus den Triangulierungen herausziehen oder die berechnete Lösung noch weiterverarbeiten, um den Implementierungsaufwand in den einzelnen Schritten zu verringern. Wir verzichten hier aber auf eine nähere Ausführung davon. 8. Markierung Im Markierungsschritt werden Kanten E einer Triangulierung T markiert, die im nächsten Schritt verfeinert werden sollen. Wir fassen solche Kanten in der Menge M := {E E E ist markiert} zusammen. Im Falle uniformer Verfeinerung werden alle Kanten markiert M = E. Im Allgemeinen führt uniforme Verfeinerung allerdings nicht zu optimalen Konvergenzverhalten. Optimales Verhalten kann man nur erwarten, wenn das Gitter die Lösung passend repräsentiert. Für unser Optimal-Design Problem wäre es z.b. 35

36 natürlich die Kontaktzone beider Materialien stärker zu verfeinern. D.h, die Menge M würde hauptsächlich aus Kanten E bestehen, welche sich in dieser Zone befinden. Des Weiteren kann es passieren, dass die Lösung Singularitäten besitzt. Die Kanten in der Nähe der Singularität sollten dann ebenfalls zur Menge M hinzugefügt werden. Ausgangspunkt für die Markierung kann ein Fehlerschätzer η sein, der jeder Kante einen bestimmten Wert, den geschätzten Fehler, zuweist. Eine Möglichkeit die Menge M zu konstruieren, wäre es zu sagen, M bestehe aus allen Kanten, die einen Wert größer als die Hälfte des maximalsten Wertes aller Kanten besitzen. Dieses Kriterium ist als das Maximumkriterium bekannt und führt zu optimalem Konvergenzverhalten. Allerdings erweist es sich in der Praxis häufig als ungeeignet. Die Fehler in der Kontaktzone und an den möglichen Singularitäten dominieren den Fehler im Inneren der Materialien. Dies führt dazu, dass nur wenige Kanten der Menge M hinzugefügt werden. D.h., man benötigt viele Durchläufe der FEM-Schleife, um ein bestimmtes Abbruchkriterium zu erreichen. Ein Kriterium, welches sich sowohl in der Theorie und in der Praxis bewährt hat, ist das sogenannte bulk-kriterium. Die geschätzten Fehler der einzelnen Kanten η E werden der Größe nach sortiert. Ausgehend vom maximalsten Wert werden dann Kanten der Menge M hinzugefügt, bis das Kriterium ηe 2 ηe 2 (8.2) 2 E E E M erfüllt ist. Das Kriterium führt zu optimalem Konvergenzverhalten und die Anzahl der Schleifendurchläufe bis zur Erfüllung des Abbruchskriterium sind im Vergleich zum Maximumkriterium wesentlich geringer. Man kann sich das Maximumkriterium als Maximumnorm und das bulk-kriterium als L 2 -Norm vorstellen. Abbildung 8. illustriert diesen Vergleich. η E η E.5 max bulk (a) Maximumskriterium E (b) bulk-kriterium E Abbildung 8.: Vergleich der Markierungsstrategien. Entnommen aus [8]. 36

37 E E E E Abbildung 8.2: Verfeinerung eines Dreiecks T, wobei immer nur die Kante E markiert und halbiert wird. Bei der späteren Verfeinerung wollen wir verhindern, dass unsere Triangulierungen T degenerieren. Eine Degeneration hätte zur Folge, dass sich die Güte unseres Problems erheblich verschlechtert. Ein hohe Konditionszahl der auftretenden Matrizen wäre die Folge. Ein Kriterium, welches dieses Verhalten beschreibt, ist die Winkelbedingung. Definition 8. (Winkelbedingung). Sei α T := {α, α 2, α 3 } die Menge der Innenwinkel eines Dreiecks T. Ein Familie von Triangulierungen {T k } erfüllt die maximale respektive minimale Winkelbedingung, wenn gilt max α T < c < π respektive < c 2 < min α T. (8.3) Hier sind c und c 2 Konstanten, die von bzw von π wegbeschränkt sind. Durch die Markierungsstrategien, die wir oben beschrieben haben, kann es passieren, dass die Winkelbedingung verletzt wird. Abbildung 8.2 zeigt eine Verletzung der minimalen Winkelbedingung bei fortlaufender Verfeinerung. Um eine Degenerierung zu verhindern, müssen zusätzliche Kanten markiert werden. Hierfür wird jedem Dreieck T eine Referenzkante E ref T, z.b. die längste Kante, zugeordnet. Der closure-algorithmus 8.2 sorgt dann dafür, dass nach der bulk-markierung noch zusätzliche Kanten markiert werden, die eine Degenerierung der Triangulierungen verhindern. Algorithmus 8.2 (Closure). Für alle Dreiecke T T, bei denen eine Kante E T mit E M und E E ref existiert, wird die Referenzkante E ref T ebenfalls der Menge M hinzugefügt. Die Ausstrahlung des closure-algorithmus ist amotisiert konstant. D.h., es kann passieren, dass aufgrund des Algorithmus in einer Triangulierung alle Kanten markiert werden und damit uniform verfeinert wird. Betrachtet man aber die Folge von Triangulierungen die aufgrund der Verfeinerung entstehen, kommen im Mittel nur konstant viele Kanten hinzu. Bemerkung 8.3. Die Zuordnung der Referenzkanten wird nur in der Ausgangstriangulierung vorgenommen. Danach vererben sich die Referenzkanten durch die Verfeinerung. Dies wird in Abschnitt 8.2 erklärt. 37

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