An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?

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1 An welche Stichwörter von der letzten orlesung können Sie sich noch erinnern? Elektrische Feldlinien Das elektrische Feld einer Punktladung Das Feld eines elektrischen Dipols E = Elektrische Felder von Ladungsverteilungen E = p 3 πε z 1 erhalten einer Punktladung in einem elektrischen Feld F q r = Eq Messung der Elementarladung erhalten eines Dipols in einem elektrischen Feld τ = p E U ( θ) = pe cos θ Potenzielle Energie des Systems U f = W 1

2 1. Elektrisches Potenzial Die potenzielle Energie eines geladenen Teilchens in einem elektrischen Feld hängt f f f vom Betrag seiner Ladung ab. U = Fds = qeds = q Eds i i i Die potenzielle Energie pro Einheitsladung dagegen hat einen eindeutig festgelegten Wert in jedem Punkt des elektrischen Felds. Man bezeichnet die potenzielle Energie pro Einheitsladung in einem Punkt U eines elektrischen Felds als das elektrische Potenzial (oder einfach das = q Potenzial) in diesem Punkt. Die elektrische Potenzialdifferenz zwischen zwei beliebigen Punkten i und f in einem elektrischen Feld ist gegeben durch die Differenz der Werte der potenziellen Energie pro Einheitsladung zwischen den beiden Punkten: U W = f i = = q q Setzen wir als Referenzwert der potenziellen Energie im Unendlichen U i =, so muss das elektrische Potenzial im Unendlichen ebenfalls null sein. W = Ist diese Referenz festgelegt, so kann man das elektrische Potenzial in q einem beliebigen Punkt eines elektrischen Felds definieren als: Dabei bezeichnet W. die Arbeit, die das elektrische Feld an einem geladenen Teilchen verrichtet, welches aus dem Unendlichen an den Punkt f gebracht wird (wenn umgekehrt - vom Punkt Richtung des Unendlichen haben wir ein Plus in der Gleichung)

3 Die SI-Einheit des Potenzials ist Joule pro Coulomb (J/C) oder das olt. Entsprechend kann man die Einheit für die Stärke des elektrischen Felds E definieren: ( ) 1N C = 1 J m C = 1J Cm = 1 m Eine wichtige Energieeinheit im atomaren und subatomaren Bereich: Ein Elektronenvolt (e) ist definiert als die Arbeit, die erforderlich ist, um eine einzelne Elementarladung e (zb. ein Proton) - durch eine Potenzialdifferenz von einem olt zu bewegen e = C 1 = C 1J C = J 1.3 Äquipotenzialflächen Eine Gesamtheit von Raumpunkten mit dem gleichen elektrischen Potenzial bildet eine Äquipotenzialfläche. Ein elektrisches Feld verrichtet an einem geladenen Teilchen, das sich zwischen zwei Punkten i und f auf einer Äquipotenzialfläche bewegt, keine Arbeit W. W f i = q Da die vom Feld verrichtete Arbeit, und damit auch die potenzielle Energie und das Potenzial, vom Weg unabhängig sind, gilt W = für jeden beliebigen Weg, der die Punkte i und f miteinander verbindet, und dies unabhängig davon, ob der ausgewählte Weg vollständig auf einer Äquipotenzialfläche hegt.

4 Aus Gründen der Symmetrie sind die Äquipotenzialflächen der elektrischen Felder einer Punktladung Scharen konzentrischer Kugeln. Die Äquipotenzialflächen eines homogenen elektrischen Felds bilden eine Schar von Ebenen senkrecht zu den Feldlinien. Generell sind die Äquipotenzialflächen eines elektrischen Felds in jedem Punkt senkrecht zu den Feldlinien und damit auch senkrecht zum Feldvektor E, der stets tangential an den Feldlinien liegt. 1.4 Berechnung des Potenzials aus dem Feld Betrachten wir ein beliebiges elektrisches Feld, sowie eine positive Probeladung q, die sich auf dem eingezeichneten Weg vom Punkt i zum Punkt f bewegt. In jedem Punkt des Weges wirkt eine elektrostatische Kraft q E auf die Ladung, während sie sich um eine differenzielle erschiebung ds bewegt. Eds cosθ f i f = i dw = Fds = q Eds = Eds f f f f f i i i i i

5 1.5 Potenzial einer Punktladung Betrachten wir eine positive Probeladung q in einem Punkt P im Abstand R von einem ortsfesten Teilchen mit der positiven Ladung q. Die Probeladung bewegt sich vom Punkt P ins Unendliche. Die Wahl des Weges? q q dr q P = Eds = Edr = dr = = r r R P R R R ( ) R q = R Eine positive Ladung erzeugt ein positives elektrisches Potenzial, eine negative Ladung erzeugt ein negatives elektrisches Potenzial. Kugelschalentheorem: Wir haben auch den erlauf des elektrischen Potenzials außerhalb oder auf der äußeren Oberfläche einer beliebigen, kugelsymmetrischen Ladungsverteilung berechnet.

6 1.6 Potenzial einer Gruppe von Punktladungen Durch Anwendung des Superpositionsprinzips können wir das resultierende, von mehreren Punktladungen in einem Raumpunkt erzeugte elektrische Potenzial bestimmen. Dazu berechnen wir das von jeder Ladung im fraglichen Punkt erzeugte Potenzial separat. Danach addieren wir alle Potenzialbeiträge: Potenzialberechnungen sind im Allgemeinen wesentlich einfacher als Feldberechnungen- skalare Größe!!! n = = 1 j j= 1 j= 1 rj n q j 1.7 Potenzial eines elektrischen Dipols 1 q q q r r = = + = + j j= 1 r+ r rr + r r dcosθ rr r + + = p cosθ r = qd cosθ r

7 1.8 Potenzial einer kontinuierlichen Ladungsverteilung Zur Bestimmung des Potenzials von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung soll man statt der Summation eine Integration verwenden. Wir betrachten ein differenzielle Ladungselement dq als Punktladung: 1 = Der Nullpunkt des Potenzials soll wiederum im Unendlichen liegen dq r Potenzial einer linearen Ladungsverteilung 1 dq 1 λdx d = = Betrachten wir einen dünnen, nicht leitenden r d + x Stab der Länge L, der mit einer homogenen, linearen Dichte λ positiv geladen ist. Wir wollen das elektrische Potenzial berechnen, das von der Ladung des Stabs in einem Punkt P erzeugt wird, der sich im senkrecht gemessenen Abstand d vom linken Ende des Stabs befindet. L 1 λdx λ dx = = d x = + d + x ( ) L λ ( ) λ = ln x+ d + x = ln L+ d + L ln d L λ L+ d + L = ln d

8 Potenzial einer einer geladenen Scheibe Betrachten wir einen ebenen Kreisring mit dem Radius R' und einer radialen Dicke dr' als differenzielles Flächenelement. Dieses Element trägt eine differenzielle Ladung: dq = σ ( π R )( dr ) und der Beitrag dieses Rings zum elektrischen Potenzial im Punkt P: 1 dq 1 σ πr dr d = = R ( ) r R + z 1 σ π σ ( ) = = z + R z ε ( R )( dr ) ( R ) + z 1.9 Berechnung des elektrischen Felds aus dem elektrischen Potenzial d d ( )( ) Das Feld E in jedem Punkt P senkrecht zur Äquipotenzialfläche durch diesen Punkt. Nehmen wir an, eine positive Probeladung q werde um eine differenzielle Strecke ds von einer Fläche auf die unmittelbar d benachbarte Fläche verschoben. d dw = qd = qe ( cosθ) ds E cosθ = ds E cosθ ist die Komponente des ; Ex = Ex = ; E z = Feldvektors E in Richtung von ds x y z

9 Die Komponente des elektrischen Felds E in eine beliebige Raumrichtung ist gleich der negativen Änderungsrate des elektrischen Potenzials mit dem Ort in dieser Raumrichtung. 1.1 Elektrische potenzielle Energie eines Systems von Punktladungen Die elektrische potenzielle Energie eines Systems ortsfester Punktladungen ist gleich der Arbeit, die das System verrichten werden muss, um die Ladungen aus ihrer endlich ausgedehnten Konfiguration zum Unendlichen zu transportieren Die elektrische potenzielle Energie eines Systems ortsfester Punktladungen ist gleich der Arbeit, die von außerhalb des Systems aufgebracht werden muss, um die Ladungen aus dem Unendlichen zu ihrer endlich ausgedehnten Konfiguration zusammenzuführen. F Aus F E qq 1 U = r positiv bei gleichen orzeichen negativ bei untersch. orzeichen +e -e +e 1 e U = U1 + U13 + U3 = ( e + e e ) = d d

10 1.11 Potenzial eines geladenen, isolierten leitenden Körpers Innerhalb eines isolierten Leiters gilt E = Eine Überschussladung auf einem isolierten Leiter verteilt sich in solcher Weise über die Oberfläche des Leiters, dass sämtliche Punkte des Leiters -seien sie auf der Oberfläche des Körpers oder auch in seinem Inneren gelegen - das gleiche elektrische Potenzial besitzen. Diese Aussage gilt auch dann, wenn der Leiter einen Hohlraum enthält, und sogar dann, wenn sich in diesem Hohlraum eine nicht kompensierte Ladung befindet. Betrachten wir zwei Punkten i und f, die einem Leiter gehören. Finden wir einen Weg, der die Punkten verbindet und sich komplett innerhalb des Leiter befindet. Dann f f i = Eds E = f i = i erlauf der elektrischen Feldstärke E(r) und des elektrischen Potenzials (r) innerhalb und außerhalb einer geladenen leitenden Kugelschale

11 Kapazität.1 Kondensatoren und ihre Anwendungen Energie lässt sich bekanntlich in Form potenzieller Energie speichern, beispielsweise durch Spannen eines Bogens, durch Zusammendrücken einer Feder, durch Kompression eines Gases. Auch in einem elektrischen Feld kann potenzielle Energie gespeichert werden: Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauteil, das diese Funktion erfüllt.. Kapazität Die Grundelemente eines jeden Kondensators sind zwei voneinander isolierte Leiter beliebiger Form. Diese beiden Leiter nennen wir die Platten des Kondensators, unabhängig davon, welche Gestalt sie im Einzelfall haben. Wird ein Kondensator geladen, so erhalten seine beiden Platten betragsgleiche, ungleichnamige Ladungen +q und q. Einen Plattenkondensator besteht aus zwei ebenen, parallelen, leitenden Platten der Fläche A, die sich im Abstand d gegenüberstehen. Wir nehmen zunächst an, dass der Raum zwischen den Kondensatorplatten leer, also nicht mit einem isolierenden Stoff wie beispielsweise Glas oder Plastik gefüllt ist.