Themen: Geometrie (Kongruenzabbildungen, Winkelsätze, Flächenberechnungen)

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1 Klasse 7 Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. 4 im Mai 2019 Themen: Geometrie (Kongruenzabbildungen, Winkelsätze, Flächenberechnungen) Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne den Begriff kongruent / deckungsgleich und erkenne, wann Figuren kongruent sind. Ich erkenne, durch welche Kongruenzabbildungen (Achsenspiegelungen, Punktspiegelungen. Drehungen oder Verschiebungen) kongruente Figuren aufeinander abgebildet werden können. Ich kann Figuren an einer Achse spiegeln. Ich kann Figuren an einem Punkt spiegeln. Ich kann Figuren um einen gegebenen Winkel um einen Punkt drehen, Ich kann Figuren verschieben, und zwar sowohl durch Zeichnen paralleler Pfeile als auch durch Rechnungen im Koordinatensystem. Ich kann Winkel mit Hilfe ihrer Schenkel oder mit Hilfe von Punkten auf den Schenkeln und des Scheitelpunktes benennen und umgekehrt Winkel in einer Abbildung anhand deiner solchen Benennung identifizieren. Ich kenne die wichtigsten griechischen Buchstaben, die zur Benennung von Winkeln benutzt werden, und kann sie schreiben. Ich erkenne Scheitelwinkel an sich schneidenden Geraden, kann den Scheitelwinkelsatz formulieren und anwenden. Ich erkenne Nebenwinkel an sich schneidenden Geraden, kann den Nebenwinkelsatz formulieren und anwenden. Ich erkenne Stufenwinkel an einem Geradenpaar, kann den Stufenwinkelsatz formulieren und anwenden. Ich erkenne Wechselwinkel an einem Geradenpaar, kann den Wechselwinkelsatz formulieren und anwenden. Ich erkenne mit Hilfe der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes bzw. des Wechselwinkelsatzes, ob Geraden parallel sind. Ich weiß, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 beträgt und kann dies zur Berechnung von Innenwinkeln benutzen. Ich kann den Innenwinkelsatz wie im Unterricht begründen (über Wechselwinkel oder Umlauf ) Ich kann Außenwinkel an einem Dreieck einzeichnen und verstehe ihre Bedeutung als Drehwinkel beim Umlaufen eines Dreieckes. Ich kann beiden Aussagen des Außenwinkelsatzes formulieren und damit Außenwinkel oder nicht angrenzende Innenwinkel berechnen. Ich weiß, dass die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360 beträgt und kann dies zur Berechnung von Innenwinkeln benutzen. Ich weiß, dass jedes n-eck geschickt in n 2 Dreiecke zerlegt werden kann, und die Summe der Innenwinkel eines n-ecks daher (n 2) 180 beträgt. Ich kenne die Längeneinheiten km, m, dm, cm und mm und kann zwischen ihnen umrechnen. kann ich muss ich üben

2 Ich kenne die Flächeneinheiten km², ha, a, m², dm², cm² und mm² und kann zwischen ihnen umrechnen. (Komma doppelt so weit verschieben wie bei Längeneinheiten.) Ich kann Parallelogramme auf verschiedene Arten in flächengleiche Rechtecke verwandeln und damit die Formel A = g h g begründen. Ich kann die Flächeninhalte von Parallelogrammen berechnen. Dazu zeichne ich auch geeignete Höhen ein und messe sie ab. Ich kann auch Höhen einzeichnen, wenn die Parallele zur Grundseite weit von dieser entfernt ist oder das Parallelogramm stark geschert ist. Ich kann Dreiecke durch ein zweites kongruentes Dreieck zu Parallelogrammen ergänzen und damit die Formel A = g h g :2 begründen. Ich kann in jedem Dreieck zu jeder Grundseite die Höhe auf dieser Grundseite konstruieren, insbesondere auch dann, wenn ich dazu die Grundseite verlängern muss. Ich kann Flächeninhalte von Dreiecken berechnen. Ich kann Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken berechnen, deren Eckpunkte mit Koordinaten gegeben sind. Dabei achte ich auf Seiten und Höhen, die parallel zu den Achsen liegen. Ich kann Flächeninhalte von Drachenvierecken berechnen und die Formel A=e f:2 begründen. Ich kann Flächeninhalte von Trapezen berechnen und die Formel A=(a+c) h:2 begründen. Ich kann Flächeninhalte von Vielecken bestimmen, indem ich sie geschickt in Dreiecke und Vierecke (Rechtecke, Parallelogramme, Trapeze, Drachen) zerlege Ich kann Umfänge von Dreiecken und Vierecken berechnen. Ich unterscheide die Begriffe Umfang und Flächeninhalt. Hilfen und Informationen Lehrbuch mathe.delta 7: Kongruenzabbildungen und Winkel: 4.15 Auf einen Blick auf Seite 132 Flächenberechnungen: 7.12 Auf einen Blick auf Seite 218 Regelheft, Übersichtsblätter zu Winkeln und Winkelsätzen Übungsmöglichkeiten: Einige einfache Verständnisfragen; Lehrbuch mathe.delta 7: 4.14 Das kann ich Seiten Nr. 1 bis 6, 8 bis 10 und 15 bis 22 (Lösungen ab Seite 232) 7.11 Das kann ich Seiten (Lösungen ab Seite 239) ausgeteilte Übungsaufgaben (Lösungen auf Viel Erfolg bei der Vorbereitung! Auch am den Studientagen und über das lange Wochenende bin ich für Nachfragen unter der -Adresse erreichbar.

3 Mathematik Klasse 7 Winkelsätze Lösungen Winkel an zwei sich schneidenden Geraden Zwei gegenüberliegende Winkel nennt man Scheitelwinkel (wie α und γ). Zwei nebeneinander liegende Winkel nennt man Nebenwinkel (wie α und β). β α γ δ Scheitelwinkelsatz: Scheitelwinkel sind gleich groß. Nebenwinkelsatz: Nebenwinkel sind zusammen 180 groß. 7. Achsensymmetrisches Dreieck Spitze Schenkel Basiswinkel Basis Dreiecke mit (mindestens) zwei gleich langen Seiten nennt man gleichschenklig. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite Basis. Von der Basis und einem Schenkel gebildete Winkel heißen Basiswinkel. Den Punkt, der der Basis gegenüber liegt, nennt man Spitze. Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch: Die Mittelsenkrechte auf der Basis ist eine Symmetrieachse und zugleich Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze. Basiswinkelsatz: Die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß. 8. Stufenwinkel und Wechselwinkel Winkel ( g, h) und ( g, h' ) Schneidet eine Gerade g zwei Geraden h und h', so heißen die, die auf der selben Seite von g und beide entweder ober- oder unterhalb von h bzw. h' liegen, Stufenwinkel an h und h. (Sie bilden ein F.) Schneidet eine Gerade g zwei Geraden h und h', so heißen die Winkel ( g, h) und ( g, h'), die auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' liegen, Wechselwinkel an h und h. (Sie bilden ein Z.) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß. Wechselwinkelsatz: Wechselwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß. Umkehrung von Stufenwinkelsatz (bzw. Wechselwinkelsatz). Wenn Stufenwinkel (bzw. Wechselwinkel) an h und h gleich groß sind, dann sind die Geraden h und h parallel.

4 9. Winkelsummen am Dreieck Ein von zwei Seiten eines Dreiecks gebildeter Winkel heißt Innenwinkel des Dreiecks. Der Nebenwinkel α eines Innenwinkels α heißt Außenwinkel. Innenwinkelsatz: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180. γ C γ β β B α + β + γ = 180. Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht angrenzenden Innenwinkel. α = β + γ β = γ + α γ = α + β A α α Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360. α + β + γ = Winkelsummen in Vielecken Ein Vieleck mit n Ecken lässt sich immer in n 2 zerlegen. Dreiecke Daher beträgt die Summe der Innenwinkel eines n-eckes (n 2) 180. Jedes Viereck hat die Innenwinkelsumme 360.

5 Name: Mathematik 7 Übungen zur Arbeit Nr. 4 Mai 2019 Aufgabe 1: Verbessere oder ergänze, wenn nötig, die folgenden Regeln: 2.) Jeder Außenwinkel ist so groß wie die Summe der Innenwinkel. Stufenwinkel haben die gleiche Größe. Die Summe der spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beträgt. Jeder Innenwinkel in einem gleichschenkligen Dreieck ist 60 groß. Stufenwinkel sind Scheitelwinkel der Wechselwinkel. In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Basis c gilt: γ = α α = 90 ½ γ und Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von beiden Schenkeln den gleichen Abstand. Alle Punkte, die von einer Geraden den gleichen Abstand haben, liegen auf einem Kreis. Aufgabe 3: Zeichne in die rechte Figur a) den Scheitelwinkel β von α b) die Nebenwinkel γ 1 und γ 2 von α c) den Stufenwinkel δ von α an g und h d) den Wechselwinkel ε von α an g und h ein! (Bitte mit dieser Benennung!) Hinweis: g, j und k schneiden sich in einem Punkt.

6 Aufgabe 4: In der Tabelle sind mit α, β und γ die Innenwinkel und mit α1, β1 und γ1 die jeweils angrenzenden Außenwinkel eines Dreiecks ABC bezeichnet. Berechne (sofern möglich!!) die jeweils fehlenden Winkelgrößen. Aufgabe α β γ α1 β1 γ1 a) b) c) d) Aufgabe 5: In der Abbildung sind die Geraden g und h parallel. a) Gib die Größe der eingezeichneten Winkel an, wenn α = 29 und β = 152 ist. b) Sind auch die Geraden k und l parallel? Begründe (kurz) deine Antwort. Aufgabe 6: Rechne jeweils in die gegebene Einheit um! a) 7,8 dm = cm 4,5 mm = dm 67,8 cm = km 0,0845 km = mm b) 24,3 cm² = mm² 654 dm² = m² 0,8 a = km² 0,0123 ha = cm² Aufgabe 7: Zeichne jeweils alle drei Höhen ein und berechne den Flächeninhalt. a) b)

7 Aufgabe 8: Die Abbildung zeigt zwei Parallelogramme. a) Bestimme jeweils ihren Flächeninhalt. b) Zeige, wie man das rechte Parallelogramm in ein flächengleiches Rechteck verwandeln kann. Aufgabe 9: Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A(1 2), B(4 1), C(4 4) und D(2 6). Zeichne dann das Bild des Vierecks bei der Drehung um Z mit dem Drehwinkel α. a) Z(4 4), α = 90 b) Z(2 3), α = 35 c) Z(5 5), α = 170. Aufgabe 10: Aufgabe 11: Zeichne in ein Koordinatensystem mit 1cm als 1 Einheit das 6-Eck ABCDEF mit den Punkten A(0 4), B(5,5 5,5), C(9 1), D(9 7), E(5,5 9,5) und F(1,5 9,5). Bestimme anschließend seinen Flächeninhalt.

8 Mathematik 7 Übungen zur Arbeit Nr. 4 Mai 2019 (nur) an parallelen Geraden richtig

9 Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Rechne jeweils in die gegebene Einheit um! a) 7,8 dm = 78 cm 4,5 mm = 0,045 dm 67,8 cm = 0, km 0,0845 km = mm b) 24,3 cm² = 2430 mm² 654 dm² = 6,54 m² 0,8 a = 0, km² 0,0123 ha = cm² Aufgabe 7: Diedünn gestrichelten Linien sind die Höhen. 5 cm 11,19 cm 1,88 cm 6,82 cm 4,2 cm 3,08 cm a) Aufgabe A = (6cm 4: 7 a) cm) Quader : 2 = I hat das Volumen V = a b c = 4 cm 6 cm 8 cm = 192 b) cm³ A = und (5 cm die 4,2 Oberfläche cm) : 2 = O = (a b + a c + 21 b c) cm² 2 = ( ) cm² 2 = ( ) cm² 2 = 104 cm² 2 = 208 cm² 10,5. cm²

10 Aufgabe 8a): 4,2 cm 1,2 cm 7 cm A = 2 cm 4,2 cm = 8,4 cm² 5 cm 7 cm 2,86 cm A = 4 cm 5cm = 20 cm² 2 cm 4 cm Aufgabe 10: (3) Der Pfeil PQ verschiebt um 2 Einheiten nach rechts und um 2 Einheiten nach oben. Der Pfeil RS verschiebt ebenfalls um 2 Einheiten nach rechts, aber um 2Einheiten nach unten. Damit wird insgesamt um 4 Einheiten nach rechts und nicht nach oben oder unten verschoben. Man erhält das Dreieck A B C also direkt aus dem Dreieck ABC durch eine Verschiebung um 4 Einheiten nach rechts, also z.b. durch den Pfeil VW mit V(10 1) und W(10 5). Aufgabe 11: 1. Lösungsweg: Das Sechseck kann in das Trapez CDEB und das Drachenviereck ABEF zerlegt werden. Das Trapez hat die Grundseite a=cd =6 cm, die Paralelle c = BE = 4cm und die Höhe h = (9 5,5) cm = 3,5 cm Damit beträgt sein Flächeninhalt A 1 =(a+c) h : 2 = (6+4) 3,5: 2 cm² = 17,5 cm². Das Drachenviereck hat die Diagonalen e = AE = 7,8 cm und f = BF = 5,65 cm. Damit beträgt sein Flächeninhalt A 2 = e f:2 = 22 cm². Insgesamt hat das Sechseck also den Flächeninhalt A = A 1 +A 2 = 39,5 cm².

11 2. Lösungsweg: Das gesamte Sechseck wird von dem Rechteck HICJ mit den Eckpunkten H(0 9,5), I(0 1), C(9 1) und J(9 9,5) umschlossen. Dessen Flächeninhalt beträgt A 0 = (9,5 1)cm (9 0)cm = 8,5 9 cm² = 76,5 cm². Davon muss man aber die Flächeninhalte der rechtwinkligen Dreiecke AFH und EDJ sowie des Viereckes CBAI abziehen. Dreieck AFH: A 3 = 5,5cm 1,5cm : 2 = 4,125 cm². Dreieck EDJ: A 4 = 3,5cm 2,5cm : 2 = 4,375 cm². Das Viereck CBAI kann man seinerseits in ein Trapez AIKB und ein rechtwinkliges Dreieck BKC zerlegen, wobei K(5,5 1) ist. Trapez AIKB: A 5 = (3cm + 4,5cm) 5,5cm : 2 = 20,625 cm². Dreieck BKC : A 6 = 4,5cm 3,5cm : 2 = 7,875 cm². Insgesamt beträgt der Flächeninhalt des Sechseckes also A = A 0 A 3 A 4 A 5 A 6 = 76,5 cm² 4,125 cm² 4,375 cm² 20,625 cm² 7,875 cm² = 39,5 cm².

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