Abituraufgaben allgemeinbildendes Gymnasium Wahlteile Stochastik ab 2013 Seite 1

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1 Abituraufgaben allgemeinbildendes Gymnasium Wahlteile Stochastik ab 2013 Seite 1

2 Inhaltsverzeichnis Wahlteile Stochastik Abiturprüfungen Wahlteile Stochastik Seite Wahlteil 2013 Aufgaben 03 Lösungen 04 Wahlteil 2014 Aufgaben 06 Lösungen 07 Wahlteil 2015 Aufgaben 09 Lösungen 10 Wahlteil 2016 Aufgaben 12 Lösungen 13 Wahlteil 2017 Aufgaben 15 Lösungen 17 Wahlteil 2018 Aufgaben 20 Lösungen 22 Seite 2

3 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2013 BW Aufgabe C1 Bei einer Lotterie sind 10 % der Lose Gewinnlose. Jemand kauft drei Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens zwei Gewinnlose? Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Gewinnlose über 50 % liegt? Aufgabe C2 Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder: Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist. a) Zunächst werden die Räder als ideal angenommen. Bei einem Einsatz von 0,20 sind folgende Auszahlungen vorgesehen. Stern-Stern 2,00 Diamant-Diamant 0,85 Kleeblatt-Kleeblatt 0,20 Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist. Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll nur der Auszahlungsbetrag für Diamant-Diamant geändert werden. Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag. b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für Stern-Stern geringer als ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden. Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese :, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5 % betragen soll. Seite 3

4 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2013 BW Lösung C1 Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Gewinnlose: Es handelt sich hier um eine ;, -Verteilung. Mindestens zwei Gewinnlose bedeutet 2 oder 3 Gewinnlose. Für die GTR-Lösung muss hier über das Gegenereignis gegangen werden mit ;, 2 1 ;, 1. Anzahl Lose für mindestens zwei Gewinnlose über 50 %: Bei Wie viele Lose hätte man kaufen müssen ist der Stichprobenumfang gesucht. Somit gilt: ;, 2 0,5 bzw. 1 ;, 1 0,5. Mindestens zwei Gewinnlose: ;, 2 1 ;, 1 0,028 Die Wahrscheinlichkeit bei drei gekauften Losen mindestens zwei Gewinnlose zu ziehen, beträgt 2,8 %. Anzahl Lose für Wahrscheinlichkeit über 50 %: 1 ;, 1 0,5 17 Man hätte mindestens 17 Lose kaufen müssen. Lösung C2 a) Nachweis faires Spiel: Wir ermitteln zunächst die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnsituationen und erstellen damit eine Tabelle zur Errechnung des Erwartungswertes. Ist der Erwartungswert gleich 0, ist das Spiel fair. Neuer Auszahlungsbetrag Diamant-Diamant: Für die Gewinnsituation des Spielebetreibers verändern wir den Auszahlungsbetrag für Diamant-Diamant so, dass ein Erwartungswert 0,05 entsteht. b) Die Zufallsvariable stellt die Häufigkeit des Ereignisses Stern-Stern bei 500 Spielen dar. ist somit ; -verteilt. Die Gegenhypothese lautet :! ". Es ist ein linksseitiger Signifikanztest durchzuführen mit einer # Irrtumswahrscheinlichkeit von $ 0,05. Der Ablehnungsbereich ist %&0; 1; 2; (), mit ( als größter natürlicher Zahl, für die gilt ( 0,05. ; Seite 4

5 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2013 BW a) Nachweis faires Spiel: Wahrscheinlichkeiten der Gewinnsituationen: Stern-Stern # # # + Diamant-Diamant +, # # # Kleeblatt-Kleeblatt - # # #. 1,80 0,65 0,00 0, ! !. 0,05 0,07 0,00 0,12, 2.!..3, 0,05 4 0,07 4 0,00 0,12 0 Wegen 5.3.!. 0 ist das Spiel fair. Neuer Auszahlungsbetrag für Diamant-Diamant: 0,05 4 ( 4 0,00 0,12 0,05 ( 0,02 +, 0,02 # + 0,18 Der Auszahlungsbetrag für Diamant-Diamant muss auf 0,38 geändert werden. b) :! # Gegenhypothese: :! " mit Signifikanzniveau $ 0,05 # Der Signifikanztest ist ; -verteilt. Wegen! "! ist ein linksseitiger Test durchzuführen mit Ablehnungsbereich %&0; 1; 2; (). Die Nullhypothese ist mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von maximal 5 % abzulehnen, wenn bei einer Stichprobe von 500 Spielen sich durch ( 0,05 die Anzahl des Ereignisses Stern-Stern weniger als ( 4 1 ; mal auftritt. Seite 5

6 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2014 BW Aufgabe C1 In einem Gefäß sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. In einem Gefäß sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln. a) Aus Gefäß wird 20 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel gezogen wird. Aus Gefäß wird 8 Mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 schwarze Kugeln gezogen werden, und zwar bei direkt aufeinander folgenden Zügen. b) Nun werden aus zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und in das Gefäß gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Gefäß gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz. Aufgabe C2 Bei der Produktion von Bleistiften beträgt der Anteil der fehlerhaften Stifte erfahrungsgemäß 5 %. a) Ein Qualitätsprüfer entnimmt der Produktion zufällig 800 Stifte. Die Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte in dieser Stichprobe. Berechnen Sie 30. Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht der Wert von um weniger als 10 vom Erwartungswert von ab? b) Der Betrieb erwirbt eine neue Maschine, von der behauptet wird, dass höchstens 2 % der von ihr produzierten Bleistifte fehlerhaft sind. Diese Hypothese soll mithilfe eines Tests an 800 zufällig ausgewählten Stiften überprüft werden. Bei welcher Anzahl fehlerhafter Stifte entscheidet man sich gegen die Hypothese, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5 % betragen soll. Seite 6

7 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2014 BW Lösung C1 a) Gefäß : Bernoullikette ; 121 ; 11. Gefäß : Kann mit der Bernoulliformel nicht berechnet werden. Es ist die Überlegung erforderlich, wie oft bei acht Zügen das Ziehen von 2 schwarzen Kugeln direkt aufeinander möglich ist. Dies ist siebenmal der Fall. Die Wahrscheinlichkeit für einen solchen Fall beträgt. b) Zunächst müssen die Wahrscheinlichkeiten für ;;; aus Gefäß berechnet werden. Da diese Kugeln in das Gefäß gelegt werden, ist die Verteilung in Gefäß entweder 5 schwarze und 7 weiße Kugeln (für ) oder 4 schwarze und 6 weiße Kugeln (für ;) oder 3 schwarze und 9 weiße Kugeln (für ). Somit ändert sich die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel aus von # (für ) auf $ (für ;) auf (für ). Die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel aus ist somit % # ' ; $ '. a) Gefäß Bernoullikette: ; 12 1 ; 11 0,5955 Die Wahrscheinlichkeit mindestens 12 Mal eine schwarze Kugel aus Gefäß zu ziehen ist etwa 59,6 %. Gefäß : Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 schwarze Kugeln ist: % 0,3 0,7 0, schwarze Kugeln bei direkt aufeinander folgenden Zügen kommt in einer 8er-Kette genau 7 Mal vor, somit: % -./ / 7 % 0,0741 Die Wahrscheinlichkeit genau 2 schwarze Kugeln in direkt aufeinander folgenden Zügen zu ziehen beträgt etwa 7,4 %. b) # 7 7 $ :: # # 7 8 ;2 $ 7 $8 7 9 :;;;: $8 7 $ ;; 7 8 % 9 :: ' 9 :;;;: ' 9 ;; #<7< 0, Die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel aus zu ziehen beträgt etwa 35 %. Seite 7

8 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2014 BW Lösung C2 Binomialverteilung mit = 800, > 0,05 und? 30 a) 30: 8,,# 30, Lösung per GTR. Wahrscheinlichkeit für um weniger als 10 abweichenden Erwartungswert: = >. Gesucht ist A@'10. b) Anzahl fehlerhafter Stifte für Ablehnung der B Hypothese: Man will die Aussage des Herstellers prüfen, dass höchstens 2 % der hergestellten Stifte fehlerhaft sind, man nimmt also an, dass die Ausschussquote größer als 2 % ist, also > C0,02. Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Test mit dem Signifikanzniveau 5 %: 8,,?C0,05, Lösung per GTR. a) 30: 8,,# 30 0,0571 Wahrscheinlichkeit für um weniger als 10 abweichenden = > 800 0,0540 8,,# 30A A50 8,,# 49 8,,# 30 0,8776 b) Anzahl fehlerhafter Stifte für Ablehnung der B Hypothese: B : > 0,02; B : > C0,02 E 0,05 Rechtsseitiger Signifikanztest. 8,,?C0,95 1 8,,?1A0,05 GH0;1;2; 23J; GH24;25;26; 800J Bei mehr als 23 fehlerhaften Stiften wird die B Hypothese abgelehnt. Der Fehler der 1. Art beträgt dabei etwa 3,5 %. zu b) Y1: 1- binomcdf(800,.02,x-1) Seite 8

9 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2015 BW Aufgabe C1 Ein Großhändler gibt an, dass sein Weizensaatgut eine Keimfähigkeit von mindestens 80 % hat. Mehrere Kunden vermuten, dass die Keimfähigkeit in Wirklichkeit kleiner ist. Deswegen wird die Aussage des Großhändlers mit Hilfe eines Tests auf einem Signifikanzniveau von 10 % überprüft, indem 500 Weizenkörner untersucht werden. Als Nullhypothese wird die Angabe des Großhändlers verwendet Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten. Die tatsächliche Keimfähigkeit des Sattgutes beträgt 82 %. Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei obigem Test die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird? Aufgabe C2 Bei einem Biathlonwettbewerb läuft ein Athlet eine 2,5 lange Runde, dann schießt er liegend fünf Mal; anschließend läuft er eine zweite Runde und schießt stehend fünf Mal; nach einer dritten Runde erreicht er das Ziel. Aufgrund der bisherigen Schießleistungen geht der Trainer davon aus, dass der Athlet stehend mit 88 % und liegend mit 93 % Wahrscheinlichkeit trifft. Es wird vereinfachend davon ausgegangen, dass die Ergebnisse der einzelnen Schüsse voneinander unabhängig sind. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet im gesamten Wettbewerb höchstens einmal eine Strafrunde laufen muss. c) Der Athlet möchte seine Leistungen im Stehendschießen verbessern und künftig mit über 95 % Wahrscheinlichkeit bei fünf Schüssen mindestens vier Mal treffen. Welche Trefferwahrscheinlichkeit muss er dafür mindestens erreichen? Seite 9

10 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2015 BW Lösung C1 Formulierung Entscheidungsregel: Siehe. Fälschlicherweise verworfene Nullhypothese: Wir führen den Signifikanztest jetzt mit einer Wahrscheinlichkeit 0,82 erneut aus wobei wir die Zufallsvariable auf die größte Zahl des Ablehnungsbereichs von setzen. Die daraus sich ergebende Wahrscheinlichkeit ist mit der die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen wird. Formulierung Entscheidungsregel: Es handelt sich um einen Signifikanztest mit 0,8 und 0,8. Der Stichprobenumfang ist 500, das Signifikanzniveau 0,1. Wegen ist ein linkseitiger Test durchzuführen. Die Zufallsvariable gibt an, bis zu welcher Anzahl nicht keimender Weizenkörner die Hypothese abgelehnt wird. Es gilt: ;, 0,1 Berechnung mittels GTR: Y1= 500,0.8, Hieraus ergibt sich ein Ablehnungsbereich von " #0,1,2,3,387' und der Annahmebereich mit " #388,389,400, 500'. Fälschlicherweise verworfene Nullhypothese: Es gilt: ;,* 3870,00532 Berechnung mittels GTR: Die Nullhypothese wird in diesem Falle mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von etwa 0,5 % verworfen. Lösung C2 GTR-Einstellungen (für Aufgabenteil c)) Y1=1, 5,,3 Y2=0.95 a) Stehend genau vier Mal treffen ist ;, 4: Lösung per GTR. b) Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde: Höchstens eine Strafrunde heißt keine oder eine Strafrunde. Dieses Ereignis setzt sich zusammen aus: ": Der Athlet trifft immer keine Strafrunde : Der Athlet trifft liegend einmal nicht und stehend immer eine Strafrunde.: Der Athlet trifft stehend einmal nicht und liegend immer eine Strafrunde c) Trefferwahrscheinlichkeit für stehend mindestens vier Treffer: Gesucht wird ;/ 41, ;/ 30,95 Seite 10

11 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2015 BW a) Stehend genau vier Mal treffen: ;, 4 0,35982 Die Wahrscheinlichkeit, im Stehen genau vier Mal zu treffen beträgt etwa 36 %. b) Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde: Ereignisse: ": Der Athlet trifft immer keine Strafrunde : Der Athlet trifft liegend einmal nicht und stehend immer eine Strafrunde.: Der Athlet trifft stehend einmal nicht und liegend immer eine Strafrunde 12ö :61";1;1. 1"0,88 0,93 0, = 5 4 > 0,93@ 0,07 0,88 0, = 5 4 > 0,88@ 0,12 0,93 0,2503 1";1;1.0,7556 Die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Strafrunde laufen zu müssen beträgt etwa 76 %. c) Trefferwahrscheinlichkeit für stehend mindestens vier Treffer: ;/ 4 1, ;/ 3 0,95 ;/ 3 0,05 0, Der Athlet muss eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens 92,4 %erreichen. Seite 11

12 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2016 BW Aufgabe C1 Bei einem Spiel wird ein idealer Würfel verwendet, dessen Netz in der Abbildung dargestellt ist. a) Der Würfel wird zweimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der beiden Würfe 3 beträgt. Nun wird der Würfel 12-mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens 4-mal die Augenzahl 2 zeigt. Die Beschriftung des Würfels soll so geändert werden, dass man bei 12-maligem Werfen des Würfels mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens 4-mal die Augenzahl 3 erhält. Auf wie vielen Seiten des Würfels muss dann die Augenzahl 3 mindestens stehen? b) Ein Spieler hat die Vermutung, dass der ursprüngliche Würfel zu oft die Augenzahl 3 zeigt. Die Nullhypothese : Die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 3 beträgt höchstens. soll durch eine Stichprobe mit 100 Würfen auf einem Signifikanzniveau von 1 % getestet werden. Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel in Worten. Aufgabe C2 Eine Tanzgruppe besteht aus 8 Anfängerpaaren und 4 Fortgeschrittenenpaaren. Aus der Erfahrung vergangener Jahre weiß man, dass Anfängerpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % bei den abendlichen Tanzstunden anwesend sind, Fortgeschrittenenpaare mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %. Man geht davon aus, dass die Entscheidungen der Tanzpaare über die Teilnahme an der Tanzstunde voneinander unabhängig sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem Abend mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an dem Abend mindestens 11 Paare anwesend sind? Seite 12

13 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2016 BW Lösung C1 a) Augensumme beider Würfe ist 3: Aufstellung der Einzelereignisse und Berechnung der Wahrscheinlichkeit. Mindestens 4-mal die Augenzahl 2: Aufstellung der Bernoulliformel mit den Ausgängen 2 und 2. Anzahl der Seiten des Würfels mit der Augenzahl 3. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 3. Dies muss ein Vielfaches von aber sein. GTR-Einstellungen siehe. b) Hypothesentest, Formulierung der Entscheidungsregel siehe (keine Berechnung gefordert). a) Augensumme beider Würfe ist 3: 3 1; 2 2; 1 1; 2 2; 1 GTR-Einstellungen Y1: : 12,, 3 Y2: 0,99 3 Mindestens 4-mal die Augenzahl 2: ; 4 1 ; 3 0,607 Anzahl der Seiten des Würfels mit der Augenzahl 3. ;# 4 0,99 1 ;# 3 0,99 0,6222,' ( ) Die 3 muss auf mindestens 4 Seiten des Würfels stehen. b) Hypothesentest Die Nullhypothese ist * + : +. Die Gegenhypothese * : -. Somit ist - +. Es ist ein rechtsseitiger Test mit einem Stichprobenumfang 100, und. 0,01 durchzuführen. Somit gilt: 0 0,01 ++; / 1 ++; / 0 1 0,01 Der Annahmebereich ist 10; 1; 2; 0 13, der Ablehnungsbereich 10; 0 1; 0 2; 1003 Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens 0-mal die Augenzahl 3 gewürfelt wird. Die Irrtumswahrscheinlichkeit (Fehler der 1. Art) ist dann höchstens 1 % oder kleiner. Seite 13

14 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2016 BW Lösung C2 Es handelt sich ausschließlich um zusammengesetzte Bernoulli-Experimente, deren Wahrscheinlichkeiten mittels GTR bestimmt werden. A: Anfängerpaare nehmen am Kurs teil mit 0,9. B: Fortgeschrittenenpaare nehmen am Kurs teil mit 0,75. Sei die Zufallsvariable für die Anzahl anwesender Anfängerpaare und < die Zufallsvariable für die Anzahl anwesender Fortgeschrittenenpaare, dann gilt: =;+,>+ 6 1 =;+,>+ 5 0,962 );+,'? 3 0, < 3 0,962 0,684 0,658 Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Abend mindestens 6 Anfängerpaare und höchstens 3 Fortgeschrittenenpaare anwesend sind beträgt etwa 66 %. Mindestens 11 Paare: Mögliche Ereignisse: B: 8 Anfänger- und 4 Fortgeschrittenenpaare C: 7 Anfänger- und 4 Fortgeschrittenenpaare D: 8 Anfänger- und 3 Fortgeschrittenenpaare Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: < - 11 B C D B 8 < 4 =;+,>+ 8 );+,'? 4 0,1362 C 7 < 4 =;+,>+ 7 );+,'? 4 0,121 D 8 < 3 =;+,>+ 8 );+,'? 3 0,1816 < ,1362 0,121 0,1816 0,4388 Die Wahrscheinlichkeit, dass an dem Abend mindestens 11 Paare anwesend sind, beträgt etwa 44 %. Seite 14

15 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2017 BW Aufgabe C1 Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile der in Deutschland fahrenden Autos. Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % Diese Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der jeweiligen Autofarben verwendet. Zwei Kinder beobachten vorbeifahrende Autos und achten auf deren Farbe. a) Zunächst beobachten die Kinder 80 Autos. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: : Genau 22 Autos sind silber oder grau. : Mindestens 33 Autos sind schwarz. : Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine in der Tabelle angegebenen Farben haben und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz. b) Wie hoch müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % unter 100 beobachteten Autos mindestens 28 schwarz sind. c) Das eine Kind bietet dem anderen folgendes Spiel an: Wenn von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind, bekommst du von mir ein Gummibärchen, ansonsten bekomme ich eines von dir. Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist. d) Es wird vermutet, dass der Anteil der weißen Autos zugenommen hat. Um dies zu überprüfen, wird die Nullhypothese : 0,151 auf dem Signifikanzniveau 10 % getestet. Dazu werden die Farben von 500 Autos erfasst. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. Aufgabe C2 Bei dem dargestellten Glücksspielautomaten sind zwei Glücksräder und mit fünf bzw. vier gleich großen Kreissektoren angebracht. Bei jedem Spiel werden sie in Drehung versetzt und laufen dann unabhängig voneinander aus. Schließlich bleiben sie so stehen, dass von jedem Rad genau eine Zahl im Rahmen angezeigt wird. Der Spieleinsatz beträgt 2. Sind die beiden angezeigten Zahlen gleich, so wird deren Summe in Euro ausbezahlt; andernfalls wird nichts ausgezahlt. Der Hauptgewinn besteht also daraus, dass 16 ausbezahlt werden. Seite 15

16 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2017 BW a) Ein Spieler spielt zehn Mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: : Das Glücksrad zeigt genau fünf Mal die Zahl 1. : Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen 10. : Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn. b) Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % soll in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt werden. Berechnen Sie, wie oft man dafür mindestens spielen muss. c) Berechnen Sie, wie viel der Spielebetreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient. d) Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal 25 % beträgt. Dazu möchte er bei dem Glücksrad den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, der mit der Zahl 8 beschriftet ist. Berechnen Sie, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt werden darf. Seite 16

17 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2017 BW Lösung C1 a) Binomialverteilungen mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mittels GTR. b) Bernoulliexperiment, bei dem für die Anzahl schwarzer Autos gesucht ist. c) Überprüfung des Erwartungswertes auf Wert 0. d) Hypothesentest, Formulierung der Entscheidungsregel siehe (keine Berechnung gefordert). a) : Genau 22 Autos sind silber oder grau. ;, 22 0,089 : Mindestens 33 Autos sind schwarz. ;, 331 ;, 32 0,0115 : Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine in der Tabelle angegebenen Farben haben und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz. Wahrscheinlichkeit für keine in der Tabelle angegebenen Farben: 100 %29,9 %28,8 %15,1 %26,2 % ;, 3 ;, 201, 2 ;, 20 0,277 b) ;! 28"0,95 1 ;! 27"0,95 ;! 27#0,05 $ 0,3526 Der Anteil schwarzer Autos muss mindestens 35,3 % betragen. c) Erwartungswert: %&'()**: Mindestens drei von vier Autos hintereinander nicht schwarz: %++++,%++++,%++++ mit $+0,288 und $+0,712. %&'()**2 0,288 0,712 -,0,712. 0,4649 Somit ist %&'()**0,4649 und %0' ,46490,5351. %&'()**%0'123+40,46490,53510, das Spiel ist nicht fair. Seite 17

18 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2017 BW d) Hypothesentest mit 8 : $ 0,151 und 8 : $ "$ Es ist ein rechtsseitiger Test auszuführen auf dem Signifikanzniveau 10 %. Die 8 -Hypothese wird abgelehnt, wenn zu viele weiße Autos festgestellt werden, dabei ist der Ablehnungsbereich 9:;:,1;:,2; 500< wobei : die kleinste natürliche Zahl ist, für die gilt: =;,= :#0,1 bzw. 1 =;,= :1#0,1 : ;88;89; 500< Entscheidungsregel: Sind mindestens 87 Autos weiß, so wird die 8 -Hypothese verworfen, ansonsten wird sie beibehalten. Lösung C2 a) Ereignis A ist ein Bernoulli-Experiment mit ;,. 5, die Zufallsvariable gibt die Anzahl der gefallenen 1-en an, Berechnung per GTR. Der Ereignisraum für Ereignis B ist Ω92;8,8;2<. Berechnung der Wahrscheinlichkeit gemäß der erste und zweiten Pfadregel. Ereignis C ist ein Bernoulli-Experiment mit? ; 1, die gibt die Anzahl der gedrehten Doppel-Acht an. Berechnung per GTR über das Gegenereignis. b) Bernoulli-Experiment mit? 1"0,95, die Zufallsvariable gibt die Anzahl der gedrehten Doppel-Acht an. Gesucht wird die Mindestanzahl der Drehungen des Glücksrades. c) Berechnung des Erwartungswertes 5. d) Bernoulli-Experiment mit ;? 10,25, die Zufallsvariable gibt die Anzahl der gedrehten Doppel-Acht an. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit für eine 8 bei Glücksrad &. a) : Das Glücksrad & zeigt genau fünf Mal die Zahl 1. %& 1 = ;,. 5 0,201 : Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen 10. Ω92;8,8;2< %Ω =., =, = 20 % : Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn. 11? ; 0 A: C: Seite 18

19 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2017 BW b)? B; 1 0"0,95 0#0,05 * 59 Man muss mindestens 59 Mal spielen. c) Berechnung des Erwartungswertes: Wahrscheinlichkeiten der Gewinnsituationen: 1-1 =. 2-2 = 8-8 =. F 0,00 2,00 14,00 2, $ F F $ F 0,00 0,40 0,70 1,30. H F $ F FI. 0,00,0,40,0,701,300,20 Wegen 5 FI F $ F 0,20 verdient der Spielebetreiber auf lange Sicht gesehen 0,20 / Spiel. d)? ; C! 1 ;? ;? 00,25 00,75 Berechnung mittels GTR, Angabe der Wahrscheinlichkeit mit K =. $ 0,14179 Maximaler Mittelpunktwinkel: L MNO 360 $ 360 0,14179Q51 Der Mittelpunktswinkel für die 8 bei & darf höchstens 51 betragen. Seite 19

20 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW Aufgabe C1-1 Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4 % der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden. a) 800 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: : Genau 30 der Teile sind fehlerhaft. : Mindestens 5 % der Teile sind fehlerhaft. b) Ermitteln Sie, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 100 Teile keinen Fehler haben. c) Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 % auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. Aufgabe C1-2 Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei Sektoren in den Farben rot, grün und blau hat. Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, beträgt ebenfalls. a) Bei einem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen. b) Die ursprünglichen Größen der Sektoren werden geändert. Dabei soll der Mittelpunkts-Winkel des blauen Sektors größer als 180 werden. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die drei Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben. Bestimmen Sie die Weite des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunkt- Winkels. Seite 20

21 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW Aufgabe C2 Ein Affe sitzt vor einer Tastatur, deren Tasten mit den Ziffern 1, 2, 3 und 4 sowie mit den Buchstaben,,,, und beschriftet sind (siehe Abbildung). Zunächst wird angenommen, dass der Affe zufällig auf die Tasten tippt. Die Tastatureingaben werden aufgezeichnet. a) Es werden die ersten fünf Tastaturanschläge des Affen betrachtet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: : Der Affe tippt nur auf Tasten mit Ziffern. : Der Affe tippt höchstens dreimal eine Ziffer. : Die vom Affen getippte Zeichenfolge enthält die Buchstaben direkt hintereinander. b) Nun werden Versuchsreihen mit jeweils 20 Tastaturanschlägen durchgeführt. Wie viele Buchstaben pro Versuchsreihe kann man dabei auf lange Sicht im Mittel erwarten? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Versuchsreihe die Anzahl der getippten Buchstabentasten um höchstens 20 % von diesem erwarteten Wert abweicht. Wie viele Zifferntasten müssten mindestens hinzugefügt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 15 Buchstabentasten in einer Versuchsreihe getippt werden, auf unter 1 % fällt? c) Die Ergebnisse der Versuche lassen die Vermutung aufkommen, dass der Affe die Zifferntasten gegenüber den Buchstabentasten bevorzugt. Daher wird die Nullhypothese Der Affe tippt mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 40 % eine Zifferntaste mit einer Stichprobe von 80 Tastaturanschlägen auf einem Signifikanzniveau von 1 % überprüft. Formulieren Sie die zugehörige Entscheidungsregel. Seite 21

22 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW Lösung C1.1 a) Binomialverteilungen mit Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mittels WTR. b) Bernoulliexperiment, bei dem der Stichprobenumfang gesucht wird. Hinweis: Dieser Aufgabenteil ist mit dem neuerdings eingeführten WTR nicht mehr lösbar. c) Hypothesentest, Formulierung der Entscheidungsregel siehe (keine Berechnung gefordert). a) : Genau 30 der Teile sind fehlerhaft. ;, 30 0,06927 : Mindestens 5 % der Teile sind fehlerhaft. 5 % von 800 sind 40 fehlerhafte Teile. ;, 401 ;, 39 0,091 b) ;, 1000,95 1 ;, 990,95 ;, 99 0,05 Y1: binomcdf(x,.98,99)! 108 Es müssen mindestens 108 Teile ausgewählt werden. c) Hypothesentest: " # : $ # 0,04; " % : $ % 0,04!500; &0,05 Wegen $ % $ ist ein linksseitiger Test erforderlich mit ';, (0,05 Ablehnungsbereich )0;1;2; ;(+ Annahmebereich )(,1;(,2;(,3; ;500+ ( 12 Sind höchstens 12 Teile fehlerhaft, so wird die Null-Hypothese abgelehnt, ansonsten wird sie beibehalten. Lösung C1.2 a) Aufgabe zum Erwartungswert. Die Wahrscheinlichkeiten für einen Gewinn bei drei gleichen Farben ist %, bei drei verschiedenen Farben ebenfalls %, somit für keinen Gewinn. Gesucht ist der Auszahlungsbetrag - bei drei verschiedenen Farben für.0. Seite 22

23 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW b) Mittelpunkt-Winkel für blau: Aus dem Baumdiagramm lesen wir ab: /0122$; /30ü!$ Da die Summe aller möglichen Ergebnisse immer sein muss, muss gelten: /56-71/012,/30ü!12$,$13$ Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist mit / ,036 gegeben. Über diesen Ansatz bestimmen wir /56-7 und hieraus dann den Mittelpunkt-Winkel. a) Erwartungswert: Tabelle der Ergebnisse 8 5,00-5 5, $ $ < 5 ; 8 $ 8 6, =% Laut Aufgabenstellung soll.0 sein. ',> '? Der Gewinnbetrag für drei unterschiedliche Farben beträgt 20 Euro. b) Mittelpunkt-Winkel für blau: Aus dem Baumdiagramm lesen wir ab. /0122$; /30ü!$ Somit gilt für /56-71@/012,/30ü!A13$ /012;012;56-72$ 2$ 13$0,036 4$? 12$ < 0,0360 :4 $? 3$ < 0,0090 $ % 0,118; $? 0,3 Da /56-70,5 sein soll (Mittelpunktwinkel 180 ) kommt nur $ % 0,118 in Frage, also / ,1180, ,646232,56 Der Mittelpunkt-Winkel für blau beträgt 232,56. Seite 23

24 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW Lösung C2 a) Ereignis ist ein Bernoulli-Experiment mit ';, 5, die Zufallsvariable gibt die Anzahl getippter Ziffern an. Berechnung per GTR/WTR. Ereignis B ist ein Bernoulli-Experiment mit ';, 3, die Zufallsvariable gibt die Anzahl getippter Ziffern an. Berechnung per GTR/WTR. Ereignis C ist kein Bernoulli-Experiment. Der Ergebnisraum ist ΩEF3-6;;G;G;.,;G;G;.;F-36H Berechnung per GTR/WTR. b) Anzahl Buchstaben auf lange Sicht: /7IhK2-5F0,6, binomialverteilt, damit L! $. Wahrscheinlichkeit von 20 % Abweichung vom Mittelwert: Gesucht ist?;, L0,2 LL,0,2 L Anzahl hinzuzufügender Zifferntasten: Gesucht wird $ von?;m 15 0,01. c) Aufgabe zum Signifikanztest: Siehe a) : Der Affe tippt nur auf Tasten mit Ziffern. /NOPPF0!0,4 ';, 5 0,01024 : Der Affe tippt höchstens dreimal eine Ziffer. ';, 3 0,913 R: Die vom Affen getippte Zeichenfolge enthält die Buchstaben G G. direkt hintereinander. /R/E;G;G;.;F3-6H;EF3-6;;G;G;.H2 S % % T 1 0,0002 b) Anzahl Buchstaben auf lange Sicht: /7IhK2-5F0,6 L! $20 0,612 Auf lange Sicht gesehen können 12 Buchstaben erwartet werden. Höchstens 20 % Abweichung: 12 0,22,4 L0,2 L10; L,0,2 L14?;, 1014?;, 14?;, 9 0,8740,1280,746 Die Wahrscheinlichkeit bei höchstens 20 % Abweichung vom Mittelwert beträgt etwa 0,746. Anzahl hinzuzufügender Zifferntasten:?;M 15 0,01 mit $ %UV, wobei W die Anzahl hinzuzufügender Zifferntasten bedeutet. Die Auflösung dieser Bernoulli-Gleichung kann nur mit dem GTR erfolgen. $ 0,468 0,468 10,W %UV 64,68,0,468W 4,68; 0,468 W2,82Y3 Seite 24

25 Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Stochastik 2018 BW Probe:?; Z [\?; Z [] 151 Z?; W14 0,020690,01 [\ 151 Z?; W14 0, ,01 [] Es müssen mindestens drei Zifferntasten hinzugefügt werden. c) Nullhypothese " : $ 0,4 Gegenhypothese " % : $ % 0,4 Wegen $ % $ ist ein rechtsseitiger Test durchzuführen. Stichprobenumfang!80 Signifikanzniveau &0,01 ;, (1 ;, (10,01 Bernoulliformel nur mittels GTR lösbar. ( 43 Ablehnungsbereich )43;44;45; ;82+ Annahmebereich )0;1;2; ;42+ Tippt der Affe höchstens 42 Zifferntasten, wir die " -Hypothese beibehalten, ansonsten wird sie verworfen. Seite 25