Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen

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1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

2 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Häufig: Beobachtung mehrerer zufallsbehafteter Größen Beispiele: Mehrere Aktienindices (z.b. Dax, Dow Jones, Nikkei) Wechselkurs und Aktienindex Anzahl der Sonneneruptionen und Konjunkturdaten Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 2

3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Häufig: Beobachtung mehrerer zufallsbehafteter Größen Beispiele: Körpergröße und Körpergewicht einer zufälligen aus der Population herausgegriffenen Person Genstruktur und Krankheitsgeschichte Medikamentöse Behandlung und Krankheitsverlauf (gemessen durch verschiedene Größen)... Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 3

4 Wichtig für die induktive Statistik: n Stichprobe vom Umfang Wiederholte Durchführung eines Zufallsvorganges (Experiments) unter gleichen Bedingungen. n Durchführungen: n Beobachtungswerte Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 4

5 Formale Darstellung bei einer zufallsbehafteteten Größe Wahrscheinlichkeitsraum zur Beschreibung der Gesetzmäßigkeit des Zufallsvorgangs Zufallsvariable zur Darstellung des Beobachtungswerts bei der Durchführung des Zufallsvorgangs Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 5

6 Formale Darstellung bei mehreren zufallsbehafteten Größen Zielsetzung: Wahrscheinlichkeitsraum zur Beschreibung der Gesetzmäßigkeit sämtlicher Zufallseinflüsse Mehrere Zufallsvariablen auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum zur Darstellung der Beobachtungswerte bei Durchführung des Zufallsgeschehens. Damit: Zufallsvariablen X 1,..., X k auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A(Ω), P) X 1,..., X k : Ω R Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 6

7 Bemerkung: Gemeinsame Untersuchung der Zufallsvariablen ist nur möglich, wenn sie auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind (d.h. von demselben Zufallsprozess abhängen) X 1,..., X k können zu einem Vektor zusammengefasst werden: X i : Ω R, X i (ω) Funktionswert an der Stelle ω. X (ω) = (X 1 (ω),..., X k (ω)) X : Ω R k Vektor der Funktionswerte an der Stelle ω (beim Ablauf ω) k-dimensionale Zufallsvariable ( Zufallsvektor ) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 7

8 Eine eindimensionale Zufallsvariable Y liefert ein Wahrscheinlichkeitsmaß P Y auf R. B R : P Y (B) = P({ω Y (ω) B}) = P(Y 1 (B)) = P( Y B ) Analog: Eine k-dimensionale Zufallsvariable ( Zufallsvektor ) liefert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R k : B Borelsche Teilmenge des R k X 1 (B) = {ω Ω X (ω) B} Urbildmenge von B bei X P X (B) = P(X 1 (B)) = P( X B ) Wahrscheinlichkeit für einen Wert der ZV X in B. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8

9 Spezielle Wahl von B führt zur Verteilungsfunktion: eindimensional: B = (, α] P X (B) = P ( X 1 (B) ) = P(X α) = F X (α) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 9

10 k-dimensional: α = (α 1,..., α k ) R k B = {(x 1,..., x k ) R k x i α i für i = 1,..., k}. P X (B) = P(X 1 (B)) = P({ω Ω X i (ω) α i für i = 1,..., k}) = P(X 1 α 1,..., X k α k ) = P(X α) = F X1,...,X k (α 1,..., α k ) = F X (α) hier: k = 2 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 10

11 Die Verteilungsfunktion F X beschreibt das Wahrscheinlichkeitsmaß P X vollständig. Aber: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Verteilungsfunktion ist mühsamer als im eindimensionalen Fall. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 11

12 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion Sei X : (Ω, A(Ω), P) R 2 zweidimensionale Zufallsvariable (k = 2) mit Verteilungsfunktion F. Beispiel: B = ((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )] = {(x 1, x 2 )a 1 < x 1 b 1, a 2 < x 2 b 2 } Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 12

13 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion P (((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )]) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 13

14 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion P((, (b 1, b 2 )]) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 14

15 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion P((, (a 1, b 2 )]) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 15

16 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion P((, (b 1, a 2 )]) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 16

17 Beispiel - Wahrscheinlichkeiten aus Verteilungsfunktion P((, (a 1, a 2 )]) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 17

18 Rechnerisch: P X (((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )]) = P((, (b 1, b 2 )]) P(, (a 1, b 2 )]) P(, (b 1, a 2 )]) + P(, (a 1, a 2 )]) = F ((b 1, b 2 )) F ((a 1, b 2 )) F ((b 1, a 2 )) + F ((a 1, a 2 )) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 18

19 Eigenschaften der Verteilungsfunktion 1.) F (x) 0 2.) F ist monoton 3.) α i für jedes i = 1,..., k F X (α 1,..., α k ) 0 α i + für jedes i = 1,..., k F X (α 1,..., α k ) 1 4.) F ist von oben stetig, d.h. α n α(α n,i α i für i = 1,..., k) α n α F (α n ) F (α) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 19

20 Eigenschaften der Verteilungsfunktion Diese Eigenschaften sind notwendig, aber nicht hinreichend: Sei F eine Funktion mit F (b 1, b 2 ) = F (a 1, b 2 ) = F (b 1, a 2 ) = 1 und so ist F (a 1, a 2 ) = 0, F (b 1, b 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 ) + F (a 1, a 2 ) = 1. F ist also keine Verteilungsfunktion, kann aber 1.) - 4.) erfüllen. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 20

21 X diskret: Es gibt endlich oder abzählbar unendlich viele Werte von X : x i R k, i I, x i x j für i j, P(x i ) = p i > 0 und i I p i = 1 Eine k-dimensionale ZV ist diskret, wenn jede Komponente x i von X diskret ist. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 21

22 Beispiel 9.7: Wochenproduktion Wir betrachten die Gesamtproduktion an den Wochentagen Mo, Di,... eines Konsumartikels einer Firma über einen bestimmten Zeitraum. Sei Ω wie oben das Laplace-Experiment mit der Menge aller produzierten Exemplare als Grundgesamtheit. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 22

23 Sei X 1 : Ω R definiert durch 1 ω wurde am Mo produziert 2 ω wurde am Di produziert X 1 (ω) = 3 ω wurde am Mi produziert 4 ω wurde am Do produziert 5 ω wurde am Fr produziert und X 2 : Ω R definiert durch 0 ω ist in Ordnung X 2 (ω) = 1 ω ist Ausschuss. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 23

24 X stetig: Es gibt eine integrierbare Funktion f : R k R mit ( ) F (α 1,..., α k ) = α k... α 1 f mit ( ) heißt Dichtefunktion von X, wenn 1.) f (x 1,..., x k ) 0 f (x 1,..., x k )dx 1... dx k 2.) k F α 1 α 2... α k α = f (α), wenn die linke Seite existiert. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 24

25 Wegen der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 muss für eine Dichte gelten (notwendige Bedingung): f (x 1,..., x k )dx 1... dx k = 1 Bemerkung: Wenn einige der Komponenen diskret und die übrigen stetig sind, ist X weder diskret noch stetig. (Kombination von diskreten und stetigen Zufallsvariablen.) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 25

26 Beispiele für 2-dimensionale stetige Zufallsvariablen 1.) Gleichverteilung auf einem Rechteck: Gegeben sei ein Rechteck mit den Koordinaten (a, c), (b, c), (a, d), (b, d) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 26

27 Als Dichtefunktion f : R 2 R verwenden wir analog zur eindimensionalen Gleichverteilung { C a x1 b, c x 2 d f (x 1, x 2 ) = 0 sonst wobei C noch geeignet zu bestimmen ist. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 27

28 Da + + f (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 = 1 gelten muss, ergibt sich für C die Forderung 1 = + + f (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 = b a C(d c)dx 1 = C(d c)(b a). 1 Damit ist C = (d c)(b a), also der Kehrwert des Flächeninhalts des Rechtecks. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 28

29 Man erhält damit 1 (d c)(b a) (α 1 a)(α 2 c) a α 1 b, c α 2 d F (α 1, α 2 ) = 1 b a (α 1 a) a α 1 b, d α 2 1 d c (α 2 c) b α 1, c α 2 d 1 b α 1, d α 2 0 sonst Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 29

30 2.) X = (X 1, X 2 ) habe die Dichte mit q(x 1, x 2 ) = 1 1 ρ 2 f (x 1, x 2 ) = [ (x1 µ 1 1 2πσ 1 σ q(x 1,x 2 ) 2 1 ρ 2 e 2 σ 1 ) 2 ( ) x1 µ 1 2ρ x2 µ 2 σ 1 σ 2 + ( ) ] 2 x2 µ 2 +. Dabei sind µ 1, µ 2 R, σ 1, σ 2 R +, ρ ( 1, 1) Parameter, durch die die Gestalt der Dichte variiert werden kann. Die Wahrscheinlich- keitsverteilung, die durch diese Dichte festgelegt ist, heißt bivariate Normalverteilung. σ 2 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 30

31 Diese Dichte kann dadurch graphisch veranschaulicht werden, dass man die Funktion dreidimensional darstellt oder dass man Höhenlinien wie in einer geographischen Karte wiedergibt. Eine Höhenlinie verbindet die Punkte (x 1, x 2 ) mit übereinstimmender Höhe c : c = f (x 1, x 2 ). f (x 1, x 2 ) = c ist damit gleichwertig mit q(x 1, x 2 ) = c ; die dadurch festgelegte geometrische Figur ist eine Ellipse, man erhält also als Höhenlinien eine Schar von Ellipsen mit übereinstimmenden Hauptachsen. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 31

32 Abbildung: Dichtegebirge einer bivariaten Normalverteilung mit µ 1 = 1, µ 2 = 2, σ 1 = 1, σ 2 = 3, ρ = 0, 5. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 32

33 Abbildung: Höhenliniendiagramm zu obiger bivariater Normalverteilung. Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 33

34 Übungsaufgabe X = (X 1, X 2 ) habe die Dichte { 6 5 f (x, y) = x 1 x 2 0 < y x 1 0 sonst Wie lautet die Verteilungsfunktion? Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 34

35 α 2 α 1 F (α 1, α 2 ) = f (x, y)dxdy Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 35

36 In I: F (α 1, α 2 ) = 0 (I: α 1 1 oder α 2 0) In II: 1 α 1 2, 0 < α 2 α 1 1 F (α 1, α 2 ) = = α 2 α 1 α 2 0 ( 6 f (x, y)dxdy = 5 x 2 2 α 1 y+1 ) dy α 2 α 1 0 y xdxdy Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 36

37 = = α 2 0 α 2 0 ( 3 5 α2 1 3 ) (y + 1)2 dy 5 ( 3 5 α y y 3 ) dy 5 = 3 5 α2 1α 2 3 α α α 2 = 3 5 α2 1α α α α 2 ( ) Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 37

38 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 38

39 In III: 1 α 1 2, α 1 1 < α 2 α 2 = α 1 1 einsetzen in ( ) ergibt F (α 1, α 2 ) = 2 5 α α Notiz: für Werte x 2 > α 1 1 : Dichte = 0 α 2 = α 1 1 setzen Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 39

40 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 40

41 In IV: 2 < α 1, α 2 < 1 α 1 = 2 einsetzen in ( ) ergibt F (α 1, α 2 ) = 1 5 α α α 2 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 41

42 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 42

43 In V: 2 < α 1, 1 < α 2 α 1 = 2, α 2 = 1 einsetzen F (α 1, α 2 ) = = 1 Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 43

44 Fragen Wie lautet die Verteilung(-sfunktion) der Zufallsvariable separat betrachtet? Wie beeinflusst ein fixierter Wert bei einer Komponente die Verteilung der übrigen? Gibt es einen wahrscheinlichkeitstheoretischen Zusammenhang zwischen den Komponenten des Zufallsvektors? Kapitel IX - Mehrdimensionale Zufallsvariablen 44